第04練多邊形的內角和與外角和1.多邊形：由三條或三條以上的線段首位順次連接所組成的封閉圖形叫做多邊形。按照不同的標準，多邊形可以分為正多邊形和非正多邊形、凸多邊形及凹多邊形等。2.n邊形內角和為（n-2）×180°3.任意多邊形的外角和為360°4.正n邊形的一個外角為5.n邊形具有不穩(wěn)定性（n>3）1．一個多邊形截去一個角后，形成另一個多邊形的內角和為，則原多邊形的邊數(shù)是(

)A．或 B． C．或 D．或或【答案】D【解析】解：n邊形的內角和是（n﹣2）?180°（n≥3且n是整數(shù)），一個多邊形截去一個角后，多邊形的邊數(shù)可能增加了一條，也可能不變或減少了一條，根據(jù)題意得（n﹣2）?180°＝2520°，解得：n＝16，則多邊形的邊數(shù)是15或16或17．故選：D．2．從n邊形的一個頂點出發(fā)，可以作5條對角線，則n的值是（）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【解析】解：由題意得：，解得，故選：B．3．若一個多邊形的內角和等于其外角和的3倍，則這個多邊形的邊數(shù)是（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【解析】解：根據(jù)題意，得：（n-2）×180=360×3，解得n=8．故選：D．4．一個十邊形的內角和等于（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：十邊形的內角和等于：（10-2）×180°=1440°．故選C．5．多邊形的邊數(shù)由3增加到2021時，其外角和的度數(shù)（）A．增加 B．減少 C．不變 D．不能確定【答案】C【解析】解：∵任何多邊形的外角和都是360°，∴多邊形的邊數(shù)由3增加到2021時，其外角和的度數(shù)不變，故選：C．6．已知一個多邊形的每個內角都相等，其內角和為2340°，則這個多邊形每個外角的度數(shù)是________________°．【答案】24【解析】解：設這個多邊形是n邊形，根據(jù)題意得：(n?2)?180°=2340°，解得n=15；那么這個多邊形的一個外角是360°÷15=24°，即這個多邊形的一個外角是24°．故答案為：24．7．如圖，已知∠A+∠B+∠C+∠D＝230°，則∠CED=_______°．【答案】50【解析】解：連接CD，∵∠A+∠B+∠BCE+∠ADE＝230°，∠A+∠B+∠BCE+∠ADE+∠CDE+∠DCE=360°，∴∠CDE+∠DCE=360°-230°=130°，∴∠CED=180°-130°=50°．故答案為：50．8．一個多邊形的每個外角的度數(shù)為60°，則這個多邊形的內角和是____________度；【答案】720【解析】解：∵每一個多邊形的外角和都是360°，這個多邊形每一個外角都為60°，∴這個正多邊形的邊數(shù)，∴這個多邊形的內角和為：．故答案為：．9．如圖，∠EAD和∠DCF是四邊形ABCD的外角，∠EAD的平分線AG和∠DCF的平分線CG相交于點G．若∠B＝m°，∠D＝n°，則∠G＝______°．（用含m、n的代數(shù)式表示）【答案】【解析】解：∵∠B＝m°，∠D＝n°，∴，∵∠EAD和∠DCF是四邊形ABCD的外角，∴，∵∠EAD的平分線AG和∠DCF的平分線CG相交于點G．∴，∴，∵∠G+∠BAG+∠B+∠BCG=360°，∴∠G=360°?∠B+∠BAG+BCG故答案為：10．如圖，是三角形ABC的不同三個外角，則___________【答案】360°．【解析】解：∵是三角形ABC的不同三個外角，三角形的外角和為360°，∴∠1+∠2+∠3=360°，故答案為：360°．11．閱讀并解決下列問題：（1）如圖①，中，，、的平分線交于點D，則______．（2）如圖②，五邊形中，，EF平分，平分，若，求的度數(shù)．圖①

圖②【答案】（1）；（2）【解析】（1），分別平分、，，，，，，，．（2）∵EF平分，CF平分，設，，∵，

∴，∵五邊形的內角和為，∴，即，

∴，∵，

∴．12．如圖，如圖，六邊形ABCDEF的內角都相等，∠1＝60°．(1)求∠FAD的度數(shù)；(2)AB與ED有怎樣的位置關系？為什么？【答案】(1)；(2)平行，證明見解析.【分析】(1)解：由于六邊形的內角和為，六邊形的內角都相等，每個內角的度數(shù)為，，；(2)四邊形的內角和為，，，，，．13．如圖，四邊形ABCD，BE、DF分別平分四邊形的外角∠MBC和∠NDC，若∠BAD＝α，∠BCD＝β．(1)如圖1，若α+β＝120°，求∠MBC+∠NDC的度數(shù)；(2)如圖1，試說明：∠MBC+∠NDC的度數(shù)與α，β的數(shù)量關系；(3)如圖1，若BE與DF相交于點G，∠BGD＝30°，請寫出α、β所滿足的等量關系式；(4)如圖2，若α＝β，判斷BE、DF的位置關系，并說明理由．【答案】(1)120°(2)∠MBC+∠NDC=α+β(3)β?α=60°(或α?β=?60°等均正確)(4)平行，理由見解析【分析】(1)解：在四邊形ABCD中，∵∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠ADC=360°，∴∠ABC+∠ADC=360°?(α+β)，∵α+β＝120°，∴∠ABC+∠ADC=360°?120°=240°，∵∠MBC+∠ABC=180°，∠NDC+∠ADC=180°，∴∠MBC+∠NDC=180°?∠ABC+180°?∠ADC=360°?(∠ABC+∠ADC)=360°?240°=120°；(2)解：在四邊形ABCD中，∵∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠ADC=360°，∴∠ABC+∠ADC=360°?(α+β)，∵∠MBC+∠ABC=180°，∠NDC+∠ADC=180°，∴∠MBC+∠NDC=180°?∠ABC+180°?∠ADC=360°?(∠ABC+∠ADC)=360°?[360°?(α+β)]=α+β，∴∠MBC+∠NDC=α+β；(3)解：β?α=60°(或α?β=?60°等均正確)；理由：如圖1，連接BD，由(2)有，∠MBC+∠NDC=α+β，∵BE、DF分別平分四邊形的外角∠MBC和∠NDC，∴∠CBG=∠MBC，∠CDG=∠NDC，∴∠CBG+∠CDG=∠MBC+∠NDC=(∠MBC+∠NDC)=(α+β)，在△BCD中，∠BDC+∠CBD=180°?∠BCD=180°?β，在△BDG中，∠BGD=30°，∠GBD+∠GDB+∠BGD=180°，∴∠CBG+∠CBD+∠CDG+∠BDC+∠BGD=180°，∴(∠CBG+∠CDG)+(∠BDC+∠CBD)+∠BGD=180°，∴(α+β)+180°?β+30°=180°，∴β?α=60°(或α?β=?60°等均正確)；(4)解：平行；理由如下：如圖2：延長BC交DF于點H，由(2)知，∠MBC+∠NDC=α+β，∵BE、DF分別平分四邊形的外角∠MBC和∠NDC，∴∠CBE=∠MBC，∠CDH=∠NDC，∴∠CBE+∠CDH=∠MBC+∠NDC=(∠MBC+∠NDC)=(α+β)，∵∠BCD=∠CDH+∠DHC，∴∠CDH=∠BCD-∠DHC=β?∠DHC，∴∠CBE+β?∠DHC=(α+β)，∵α=β，∴∠CBE+β?∠DHC=(α+β)=β，∴∠CBE=∠DHC，∴BEDF．14．（1）如圖1，四邊形沿MN折疊，使點、落在四邊形內的點、處，探索、與之間的數(shù)量關系，并說明理由；（2）如圖2，將四邊形沿著直線翻折，使得點落在四邊形外部的處，點C落在四邊形內部的處，直接寫出、與之間的關系．【答案】（1），或，見解析；（2）或【解析】解：（1）∠AMD′+∠BNC′=360°-2（∠A+∠B），理由如下：根據(jù)四邊形的內角和為360°可知，∠D+∠C=360°-（∠A+∠B），∠DMN+∠CNM=360°-（∠C+∠D）=∠A+∠B，根據(jù)折疊的性質得，∠DMN=∠D′MN，∠CNM=∠C′NM，∴∠DMD′+∠CNC′=2（∠A+∠B），∵∠DMD′+∠AMD′=180°，∠CNC′+∠BNC′=180°，∴∠AMD′+∠BNC′=360°-2（∠A+∠B）．（2）∠BNC′-∠AMD′=360°-2（∠A+∠B），理由如下：由（1）知，∠DMN+∠CNM=∠A+∠B，根據(jù)折疊的性質得，∠DMN=∠D′MN，∠CNM=∠C′NM，∴∠D′MN+∠C′NM=∠A+∠B，由四邊形的內角和為360°得，∠D′MN-∠AMD′+∠BNC′+∠C′NM=360°-（∠A+∠B）∴∠BNC′-∠AMD′=360°-2（∠A+∠B）．15．【概念認識】如圖①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，則BD，BE叫做∠ABC的“三分線”．其中，BD是“鄰AB三分線”，BE是“鄰BC三分線”．【問題解決】（1）如圖②，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝45°，若∠B的三分線BD交AC于點D，求∠BDC的度數(shù)；（2）如圖③，在△ABC中，BP、CP分別是∠ABC鄰BC三分線和∠ACB鄰BC三分線，且∠BPC＝140°，求∠A的度數(shù)；【延伸推廣】（3）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的三分線所在的直線與∠ACD的三分線所在的直線交于點P．若∠A＝m°（），∠B＝54°，直接寫出∠BPC的度數(shù)．（用含m的代數(shù)式表示）【答案】（1）95°或110°；（2）60°；（3）m°或m°或m°＋°或m°﹣18°【解析】解：（1）如圖，當BD是“鄰AB三分線”時，；當BD是“鄰BC三分線”時，；（2）在△BPC中，∵，∴，又∵BP、CP分別