136-1板殼力學(xué)研究生課程羅永峰李元齊2012年April.2010板殼力學(xué)134-2教材板殼理論何福保沈亞鵬西安交通大學(xué)出版社1993April.2010板殼力學(xué)134-3聯(lián)系方式：羅永峰：土木大樓A73065980531

yfluo93@李元齊：土木大樓A72065980586

liyq@April.2010板殼力學(xué)134-4參考書徐芝綸.彈性力學(xué).高等教育出版社,1992楊耀乾.平板理論.中國(guó)鐵道出版社,1980MaanH.Jawad.Theoryanddesignofplateandshellstructures.NY,USA.1994成祥生.應(yīng)用板殼理論.山東科學(xué)技術(shù)出版社,1989翁智遠(yuǎn),王遠(yuǎn)功.彈性薄殼理論.高等教育出版社,1986R.Szilard.板的理論與分析.中國(guó)鐵道出版社,1984平板理論April.2010板殼力學(xué)134-5平

板

理

論第一章薄板小撓度問(wèn)題的經(jīng)典解法

第二章薄板小撓度問(wèn)題的差分及變分解

第三章薄板的振動(dòng)

目錄第四章薄板的穩(wěn)定

April.2010板殼力學(xué)134-6第五章薄板大撓度理論

第六章薄板的有限元理論

第七章各向異性板目錄第八章中厚板及厚板平

板

理

論April.2010板殼力學(xué)134-7平

板

理

論第一章

薄板小撓度彎曲問(wèn)題的經(jīng)典解法平板理論小撓度

(也稱為線性?)問(wèn)題的理論描述；經(jīng)典求解方法。April.2010板殼力學(xué)134-8§1.1薄板的概念及基本假定平板理論1)平板

定義：兩個(gè)平面間所圍部分形成的連續(xù)實(shí)體；

特點(diǎn)：平板的兩個(gè)平面尺寸遠(yuǎn)大于厚度。

2)中面定義：平分平板厚度的幾何平面。

梁的軸線(中性軸線)?April.2010板殼力學(xué)134-9平板理論3)板的薄厚薄板——板厚遠(yuǎn)小于平面的最小尺寸(t/b=1/5~1/8)

厚板(中厚板)——t/b>1/5

膜——很薄且柔，抗彎剛度很弱或沒(méi)有抗彎剛度

劃分原則：考慮沿厚度方向(z向)的效應(yīng)?April.2010板殼力學(xué)134-104)計(jì)算的基本假定——用于薄板彎曲小撓度理論

(1)垂直于中面方向的正應(yīng)變

z

可忽略不計(jì)即中面的任一根法線上、板厚內(nèi)的所有各點(diǎn)撓度相同,

沿板厚度不變。

——板厚度不變。平板理論與梁比較！April.2010板殼力學(xué)134-11平板理論yxz板中微元上的應(yīng)力

z(

z)

y(

y)

x(

x)

yz(

yz)

zy(

zy)

xz(

xz)

zx(

zx)

xy(

xy)

yx(

yx)April.2010板殼力學(xué)134-12(2)應(yīng)力分量

zx、

zy、

z

為次要應(yīng)力,它們所引起的變形忽略不計(jì)(但平衡條件要考慮應(yīng)力),即平板理論忽略

z

表明:假定薄板在外力作用下，其厚度t始終不變。忽略

zx、

zy

表明:原垂直于中面的法線在板變形后仍垂直于中面,且原垂直于中面的直線變形后仍為直線?！狈ň€假定

平截面假定??April.2010板殼力學(xué)134-13(3)薄板中面內(nèi)各點(diǎn)無(wú)平行于中面的位移即板中面在xy平面內(nèi)投影不變,也即中面無(wú)伸長(zhǎng)或縮短

變形或者說(shuō)中面無(wú)應(yīng)力，屬于中性面。(4)板中面撓度遠(yuǎn)小于其厚度(小變形假定)

工程上撓度小于板厚的1/5,既可滿足精度要求。(5)板材為各向同性板(6)外荷垂直于中面作用(面內(nèi)無(wú)荷載，中面無(wú)應(yīng)力?)平板理論April.2010板殼力學(xué)134-14§1.2彈性曲面彎曲微分方程1.2.1應(yīng)變-變形關(guān)系(幾何關(guān)系或幾何方程)1)正應(yīng)變從板內(nèi)取一微元dxdy,由幾何關(guān)系可知,微元上任一距中面為z的任一線段dx的變形為:

xdx或

zxdx平板理論

xdxrx

April.2010板殼力學(xué)134-15平板理論同理Ky、

y

為在y方向的彎曲曲率及曲率半徑。且有Kx、

x

為在x方向的彎曲曲率及曲率半徑，與z

無(wú)關(guān)。

則上式簡(jiǎn)化后，x向的主應(yīng)變?yōu)橛袔缀侮P(guān)系A(chǔ)pril.2010板殼力學(xué)134-16上兩式中，曲率Kx、Ky與板受彎后撓度有關(guān)。由曲率與變形的數(shù)學(xué)關(guān)系可知：平板理論在薄板小撓度彎曲變形理論中,撓度w對(duì)應(yīng)于y,用w替換上式中的y

，則可得到x向曲率為April.2010板殼力學(xué)134-17平板理論在小變形條件下有同理可得y向曲率為根據(jù)基本假定(4)中的小變形假設(shè)，因April.2010板殼力學(xué)134-18

將曲率Kx、Ky代入以上應(yīng)變表達(dá)式，可得到距中面為z

的點(diǎn)在板平面內(nèi)的兩個(gè)正應(yīng)變：平板理論z=0，則

x=

y=0，即中面無(wú)變形或中面不受力(基本假定?)April.2010板殼力學(xué)134-19平板理論2)剪應(yīng)變微元平面內(nèi)幾何變形(距中面為z)April.2010板殼力學(xué)134-20平板理論根據(jù)小變形假定

微元的剪切角

、

之和即為剪應(yīng)變。剪切角

為則有April.2010板殼力學(xué)134-21平板理論同理可得到剪切角

由此，得到剪應(yīng)變

xy

但是，剪應(yīng)變

xy中的u、v未知。April.2010板殼力學(xué)134-22平板理論板彎曲變形后,中面由于板撓曲產(chǎn)生的x方向的撓曲角(或繞y軸的轉(zhuǎn)角)為

x，

x與w的幾何關(guān)系為根據(jù)中面不變形的基本假定(3),可得距中面為z

處的點(diǎn)的水平位移u可表示為即xApril.2010板殼力學(xué)134-23平板理論同理可得y向水平位移v

將求得的u、v代入剪應(yīng)變表達(dá)式，得到

Kxy稱為扭率April.2010板殼力學(xué)134-24平板理論

3)應(yīng)變矩陣表達(dá)式參照彈性力學(xué)的寫法小變形條件下，滿足工程應(yīng)用精度要求。April.2010板殼力學(xué)134-25平板理論1.2.2應(yīng)力-變形方程(物理方程)由彈性力學(xué)的物理方程(三維)可知：根據(jù)板厚度方向無(wú)變形及直法線假定，則

April.2010板殼力學(xué)134-26

平板理論即則，在薄板小撓度彎曲理論中，主要應(yīng)力矩陣變?yōu)锳pril.2010板殼力學(xué)134-27

平板理論剪應(yīng)力

zx、

zy需要通過(guò)積分求得，而非應(yīng)變求得。需要特別注意的是,雖然忽略

z、

zx、

zy,但不能忽略應(yīng)力

zx、

zy，否則，板單元受力無(wú)法平衡。即April.2010板殼力學(xué)134-28平板理論

1.2.3薄板中面內(nèi)力表達(dá)式圖示為橫向荷載作用下，板單位長(zhǎng)度上的內(nèi)力April.2010板殼力學(xué)134-29平板理論

力矩的方向：

Mx——x

取某值的截面上，繞y

軸(旋轉(zhuǎn))的彎矩

My——y

取某值的截面上，繞x

軸(旋轉(zhuǎn))的彎矩

Mxy——x

取某值的截面上，繞x

軸(旋轉(zhuǎn))的扭矩

Myx——y

取某值的截面上，繞y

軸(旋轉(zhuǎn))的彎矩April.2010板殼力學(xué)134-30平板理論

與主要應(yīng)力對(duì)應(yīng)的薄板中面內(nèi)力表達(dá)式為將應(yīng)力-變形關(guān)系表達(dá)式代入，則有：April.2010板殼力學(xué)134-31平板理論

或April.2010板殼力學(xué)134-32平板理論

上面表達(dá)式中為板的彎曲剛度(單位寬度內(nèi))若

=0，板變?yōu)榱?，形式為D=EI。特別需要說(shuō)明：以上的內(nèi)力分量均為板單位寬度的分量同時(shí)，沒(méi)有給出剪力Qx、Qy分量，因

yz、

zx

未知，不能通過(guò)積分得到。April.2010板殼力學(xué)134-33平板理論

1.2.4薄板撓曲微分方程板單元內(nèi)力圖April.2010板殼力學(xué)134-34平板理論

首先建立薄板內(nèi)力平衡方程1)由z向內(nèi)力平衡條件,即

Fz=0得到簡(jiǎn)化后

(A)

April.2010板殼力學(xué)134-35平板理論

得到括號(hào)中項(xiàng)乘dy，后一微項(xiàng)可忽略，則得則對(duì)上式關(guān)于y微分可得(B)

2)由繞y軸彎矩平衡條件,即

Mx=0April.2010板殼力學(xué)134-36平板理論

(C)

3)由繞x軸彎矩平衡條件,即

My=0，同法可得則對(duì)上式關(guān)于x微分可得April.2010板殼力學(xué)134-37平板理論

將(B)、(C)代入(A),且有Mxy=Myx,得到上式稱為:用內(nèi)力表示的薄板小撓度彎曲微分方程或平衡方程

——力法方程4)薄板小撓度彎曲微分方程April.2010板殼力學(xué)134-38平板理論

將力矩Mx、My、Mxy與撓度w的關(guān)系,帶入用內(nèi)力表示的薄板小撓度彎曲微分方程中，可得或

其中

上式為矩形薄板小撓度彎曲控制微分方程。—位移法方程April.2010板殼力學(xué)134-39平板理論

5)板中的剪力由和可通過(guò)以上關(guān)于Qx、Qy與Mx、My的關(guān)系式導(dǎo)出無(wú)法求得剪力。April.2010板殼力學(xué)134-40平板理論6)用內(nèi)力表示的應(yīng)力分量(材料力學(xué)方法)最大正應(yīng)力在板表面；最大剪應(yīng)力

xz、

yz在板中面。April.2010板殼力學(xué)134-41§1.3邊界條件平板理論1)邊界的種類

(1)固支或夾支

(fixed、clamped)(2)簡(jiǎn)支(simplysupported,hinged)(3)部分約束(partiallyrestrained)(或稱彈性約束)(4)自由(free)April.2010板殼力學(xué)134-42平板理論也反映

若OA邊有初始變位，則上兩式右邊應(yīng)為對(duì)應(yīng)初值。2)邊界條件的確定

(1)固支邊(OA)

邊界條件，x=0時(shí)：xyApril.2010板殼力學(xué)134-43平板理論

(2)簡(jiǎn)支邊(OC)

邊界條件，y=0時(shí)：也反映

或若邊界有初始變形，則上兩式右邊不為0，用對(duì)應(yīng)值代替。yxabApril.2010板殼力學(xué)134-44平板理論

(3)自由邊(AB)

邊界條件，y=b時(shí)，該邊界上的力均為零，則

以上邊界條件多出一項(xiàng)，原因是其中的Myx、Qy在忽略

yz、

zx后不為獨(dú)立量,應(yīng)將Myx、Qy合并為一項(xiàng)。方法：可將Myx分解為分布橫向剪力,再與Qy合并.合并后的剪力稱為“等效橫向剪力”，用Vy表示。不忽略

yz、

zx,平衡方程為6階,需要6個(gè)邊界條件;忽略后,平衡方程變?yōu)?階,需要4個(gè)邊界條件。April.2010板殼力學(xué)134-45平板理論Myx的分解分布橫向剪力為April.2010板殼力學(xué)134-46平板理論即等效橫向剪力為0。則等效橫向剪力Vy為相應(yīng)的邊界條件合并變?yōu)楹虯pril.2010板殼力學(xué)134-47平板理論

則，自由邊界y=b

時(shí)的兩個(gè)條件為用撓度w表示，則為若自由邊界上有位移，則右邊不為0若自由邊界上有分布荷載，則右邊不為0April.2010板殼力學(xué)134-48平板理論

同理，自由邊界x=a(BC邊)時(shí)的兩個(gè)條件為用撓度w表示，則為若自由邊界上有位移，則右邊不為0若自由邊界上有分布荷載，則右邊不為0April.2010板殼力學(xué)134-49平板理論

兩個(gè)自由邊相交點(diǎn)的角點(diǎn)反力：

Mxy分解到板邊時(shí)，在角點(diǎn)上有集中剪力產(chǎn)生AB邊兩端點(diǎn)的集中力

BC邊兩端點(diǎn)的集中力A端B端B端C端April.2010板殼力學(xué)134-50平板理論

A端、C端的集中力由不動(dòng)邊界平衡；而B端可能有多種邊界條件，B端的合力為

①若AB、BC均為自由邊，B點(diǎn)無(wú)支承，則在B點(diǎn)即

April.2010板殼力學(xué)134-51平板理論

②若B點(diǎn)自由(無(wú)支承)，且有集中力P，則在B點(diǎn)③若B點(diǎn)有支承，則在B點(diǎn)或

(

為支座沉降)

April.2010板殼力學(xué)134-52平板理論

(4)彈性邊界(部分約束邊界)

通常是板支承在梁上或其它彈性基礎(chǔ)上。有4種類型：①支承梁的EI、GJ很大(

∞)——?jiǎng)傂赃吔?、固支②支承梁的EI=GJ很小(0)——自由③支承梁的EI很大(∞)、GJ很小(0)——簡(jiǎn)支④支承梁的EI、GJ均有限,不能忽略時(shí)，彈性邊界April.2010板殼力學(xué)134-53平板理論

彈性邊界條件：

A)剪力邊界條件梁、板相交處,力邊界條件板邊等效剪力=梁分布荷載板單位寬度等效剪力梁分布剪力(材料力學(xué)公式)April.2010板殼力學(xué)134-54平板理論

用撓度函數(shù)表示的剪力彈性邊界條件：或April.2010板殼力學(xué)134-55(B)彎矩邊界條件梁、板相交處，力矩邊界條件板邊緣分布彎矩=梁的分布扭矩平板理論板單位寬度彎矩：梁的分布扭矩：通過(guò)梁的扭轉(zhuǎn)角確定。April.2010板殼力學(xué)134-56平板理論梁的扭轉(zhuǎn)角變化率梁的扭矩用板的撓度表示板梁相交處，板繞y軸的轉(zhuǎn)角為梁的扭轉(zhuǎn)角，即April.2010板殼力學(xué)134-57平板理論

用板的撓度函數(shù)表示的彎矩彈性邊界條件：梁的分布扭矩April.2010板殼力學(xué)134-58§1.4四邊簡(jiǎn)支矩形板的納維葉(Navier)解法

—四邊簡(jiǎn)支矩形板在橫向分布荷載作用下的小撓度問(wèn)題解法

又稱為雙三角級(jí)數(shù)解法

(Doubleseriessolutionofsimplysupportedplates),1820年Navier首先成功解出了均布荷載作用下的簡(jiǎn)支矩形板(求得解析解)。1)基本方法

四邊簡(jiǎn)支矩形板的邊界條件為：平板理論April.2010板殼力學(xué)134-59薄板小撓度問(wèn)題的平衡方程——控制微分方程平板理論力法方程：位移法方程：April.2010板殼力學(xué)134-60納維葉假定解定為雙重三角級(jí)數(shù)，即平板理論其中，m、n為任意正整數(shù)；Amn為待定常系數(shù)。由于每項(xiàng)正弦函數(shù)均滿足簡(jiǎn)支邊界條件，所以函數(shù)w自動(dòng)滿足邊界條件。

w的精度與所取級(jí)數(shù)項(xiàng)數(shù)多少有關(guān)。April.2010板殼力學(xué)134-61納維葉解的特點(diǎn)：平板理論1.各項(xiàng)均自動(dòng)滿足邊界條件；2.各項(xiàng)函數(shù)均為x與y

的函數(shù)的乘積,x與y

的函數(shù)互不包含;3.各項(xiàng)函數(shù)兩次求導(dǎo)后，函數(shù)不變。April.2010板殼力學(xué)134-62平板理論

將w

代入撓曲控制微分方程，得:為求系數(shù)Amn，需將橫向荷載q(x,y)展為同樣的級(jí)數(shù)形式

上式兩邊乘以

，再積分，可得系數(shù)April.2010板殼力學(xué)134-63平板理論

將展開(kāi)的荷載q

代入撓曲控制微分方程,比較方程兩邊,同類項(xiàng)系數(shù)相等，得到:

由此可得到薄板在橫向荷載作用下,小撓度彎曲問(wèn)題的解。將w

代入各內(nèi)力、應(yīng)力表達(dá)式,即可求得橫向荷載作用下,板彎曲后的內(nèi)力、應(yīng)力。

雙三角級(jí)數(shù)法的缺點(diǎn)：計(jì)算應(yīng)力時(shí)收斂很慢。April.2010板殼力學(xué)134-642)特殊情形

(1)均布荷載

即q=q0=常數(shù)則荷載項(xiàng)系數(shù)為平板理論

撓度函數(shù)的系數(shù)為April.2010板殼力學(xué)134-65平板理論

代入撓度函數(shù)，得到

內(nèi)力為：

April.2010板殼力學(xué)134-66平板理論

內(nèi)力表達(dá)式中的系數(shù)April.2010板殼力學(xué)134-67平板理論

板中最大撓曲變形、最大彎矩在處。

方板內(nèi)力如下圖所示,M1為對(duì)角線方向彎矩,M1曲線說(shuō)明,在橫向荷載作用下，板角會(huì)翹起。(2)集中荷載作用—(自學(xué))April.2010板殼力學(xué)134-68§1.5矩形板的李維解法

—兩對(duì)邊簡(jiǎn)支矩形板在橫向分布荷載作用下的小撓度問(wèn)題解法平板理論

雙級(jí)數(shù)復(fù)雜、收斂性差，1900年李維(Levy)提出單級(jí)數(shù)解法(singleseriessolution)。適于兩對(duì)邊簡(jiǎn)支長(zhǎng)板，另兩邊邊界任意。1)基本方法薄板彎曲控制微分方程的解，可表達(dá)為齊次解與特解兩部分，完整解為薄板彎曲控制微分方程為April.2010板殼力學(xué)134-69(1)齊次解

其中，Ym(y)僅為y

的函數(shù)。滿足兩對(duì)邊簡(jiǎn)支的邊界條件：平板理論令滿足方程April.2010板殼力學(xué)134-70平板理論

將代入薄板撓曲微分方程的齊次方程上式成立的條件是方括號(hào)中為0，即其解為

得到April.2010板殼力學(xué)134-71平板理論

將Ym(y)代入上面微分方程，得其根為

則，關(guān)于Ym(y)的解為或

April.2010板殼力學(xué)134-72平板理論

撓度函數(shù)w的齊次解可寫為:

系數(shù)Am、Bm、Cm、Dm由邊界條件確定。(2)特解wp=w*

令w*同樣滿足兩對(duì)邊簡(jiǎn)支的邊界條件。滿足方程April.2010板殼力學(xué)134-73

平板理論

將荷載q(x,y)

展開(kāi)為同樣的級(jí)數(shù)形式其中將w*代入板彎曲微分方程，比較兩邊同類項(xiàng)得到方程

其中，qm(y)

為已知量。April.2010板殼力學(xué)134-74平板理論

求解上面的微分方程，可得到fm(y)的解。由此得到w*

的解。(3)完整解

將上面得到的齊次解、特解w*疊加,可得到完整解w

系數(shù)Am、Bm、Cm、Dm由另外兩邊的邊界條件確定。April.2010板殼力學(xué)134-75李維解的特點(diǎn)：平板理論1.各項(xiàng)均自動(dòng)滿足x

向邊界條件；2.各項(xiàng)函數(shù)均為x

與y

的函數(shù)的乘積,x

與y

的函數(shù)互不包含;3.各項(xiàng)函數(shù)關(guān)于x

兩次求導(dǎo)后，函數(shù)不變。April.2010板殼力學(xué)134-76平板理論

2)例子：四邊簡(jiǎn)支矩形板，受均布荷載q=q0作用

將q=q0代入荷載展開(kāi)式，得到由關(guān)于fm的微分方程可得

(常數(shù))April.2010板殼力學(xué)134-77平板理論

fm的表達(dá)式為特解w*的表達(dá)式為April.2010板殼力學(xué)134-78平板理論另外，關(guān)于齊次解。根據(jù)圖示坐標(biāo)系,x軸為對(duì)稱軸,w是y的偶函數(shù),則齊次解中的系數(shù)Cm=Dm=0。又因w關(guān)于也對(duì)稱，故中

m為偶數(shù)的項(xiàng)也為0。(m為偶數(shù)時(shí)，1-cosm

=0)則得系數(shù)Am、Bm由板另外兩邊的邊界條件確定。

April.2010板殼力學(xué)134-79平板理論

其中

當(dāng)板另外兩邊簡(jiǎn)支時(shí)，邊界條件為：

可得April.2010板殼力學(xué)134-80平板理論

板的最大撓度發(fā)生在處，當(dāng)板為正方形板時(shí)，a=b,

，可得April.2010板殼力學(xué)134-81§1.6圓形薄板在橫向荷載作用下的彎曲平板理論1.6.1圓板彎曲基本方程描述圓板彎曲的坐標(biāo)系統(tǒng)—極坐標(biāo)系(柱面坐標(biāo)系)

撓度和荷載表達(dá)形式為：w=w(r,

),q=q(r,

)April.2010板殼力學(xué)134-82平板理論在極坐標(biāo)下的主應(yīng)變?yōu)?)圓板變形幾何關(guān)系根據(jù)薄板近似理論的基本假設(shè),與中面平行的各面(厚度方向?yàn)閦)上的徑向和切向位移分別為徑向:切向:April.2010板殼力學(xué)134-83平板理論

將位移u、v代入應(yīng)變表達(dá)式廣義變形分量(曲率和扭率)為April.2010板殼力學(xué)134-84平板理論

2)內(nèi)力與變形的物理關(guān)系在極(柱面)坐標(biāo)系中應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系

April.2010板殼力學(xué)134-85平板理論

將以上應(yīng)變-位移關(guān)系代入，可得應(yīng)力-變形關(guān)系由以上關(guān)系式可看出，應(yīng)力沿厚度成線性分布。當(dāng)z=0時(shí)，

r=

=

r

=0，表示板中面不變形。April.2010板殼力學(xué)134-86平板理論

由以上應(yīng)力得到內(nèi)力(單位寬度的力矩)其中，D—板的抗彎剛度April.2010板殼力學(xué)134-87微元體(dr,d

)上的內(nèi)力、荷載平板理論3)平衡方程April.2010板殼力學(xué)134-88(1)在微元體(dr,d

)中，由平衡條件

Fz=0可得(a)平板理論(可略去)Qr、Q

為單位長(zhǎng)度的剪力April.2010板殼力學(xué)134-89平板理論

(2)對(duì)微元最外邊切向取力矩平衡

M

=0

簡(jiǎn)化并略去次要項(xiàng)qrdrd

,

可得(b)則進(jìn)而得到Qr(c)April.2010板殼力學(xué)134-90平板理論

(3)對(duì)微元徑向(

+d

邊)取力矩平衡

Mr=0

簡(jiǎn)化并略去次要項(xiàng)可得(d)則進(jìn)而得到Q

(e)April.2010板殼力學(xué)134-91平板理論

(4)用內(nèi)力表示的平衡方程將式(b)、(d)代入式(a)，得到內(nèi)力表示的平衡方程(f)

(5)用位移函數(shù)表示的平衡方程將力矩位移關(guān)系代入上式，可得到柱面坐標(biāo)系下的圓板撓曲方程，位移表示的平衡方程其中(g)

April.2010板殼力學(xué)134-92平板理論

等效橫向剪力4)剪力表達(dá)式將力矩-位移關(guān)系代入(c)、(e)，可得剪力-撓度關(guān)系A(chǔ)pril.2010板殼力學(xué)134-93平板理論5)用內(nèi)力表示的應(yīng)力分量(材料力學(xué)方法)最大正應(yīng)力在板表面；最大剪應(yīng)力

rz、

z在板中面。April.2010板殼力學(xué)134-94平板理論

1.6.2邊界條件1)周邊剛性固定r=a時(shí)，

2)周邊簡(jiǎn)支于剛性支座上r=a時(shí)，

?April.2010板殼力學(xué)134-95平板理論3)周邊自由邊界r=a時(shí)，

需要考察板中心的邊界條件：

r=0

時(shí)，w有限，其他條件???April.2010板殼力學(xué)134-96§1.7圓形薄板的軸對(duì)稱彎曲平板理論

通常非對(duì)稱的荷載及邊界，難求解析解。1)彎曲方程若圓形薄板的幾何形狀、邊界條件為軸對(duì)稱，且荷載q=q(r)也為軸對(duì)稱，則變形w=w(r)也為軸對(duì)稱，即變形后中曲面為一簇旋轉(zhuǎn)曲面——旋轉(zhuǎn)曲面的定義；與變量

的關(guān)系?

則彈性曲面方程簡(jiǎn)化為——常微分方程:April.2010板殼力學(xué)134-97圓板軸對(duì)稱彎曲微分方程—常微分方程—解為：w1為特解

c1、c2、c3、c4為常數(shù)，由邊界條件確定。平板理論即

April.2010板殼力學(xué)134-98平板理論2)例子——圓板受均布荷載q(r)=q0作用對(duì)實(shí)心圓板(中心無(wú)孔)，邊界條件為故，c1=c2=0，則對(duì)實(shí)心板

特解為通解為r=0

(板中心)時(shí)，w、、均為有限值A(chǔ)pril.2010板殼力學(xué)134-99平板理論

相應(yīng)的內(nèi)力為

April.2010板殼力學(xué)134-100平板理論

(1)若圓板周邊固定則r=a時(shí)，(2)若圓板周邊簡(jiǎn)支則r=a時(shí)，w=0，Mr=0April.2010板殼力學(xué)134-101§1.8圓形薄板在靜水壓力下的彎曲平板理論問(wèn)題的來(lái)源？——水下板殼結(jié)構(gòu)。其中,q0為均布?jí)毫榉磳?duì)稱分布?jí)毫o水壓力可表示為：April.2010板殼力學(xué)134-102平板理論靜水壓力下的解可分為兩項(xiàng)：

均布?jí)毫0的解

+反對(duì)稱分布?jí)毫Φ慕饩級(jí)毫0作用下的解，采用圓板軸對(duì)稱彎曲的方法。關(guān)于反對(duì)稱分布?jí)毫ψ饔孟碌慕?，需要另外求解，然后將兩個(gè)解疊加。反對(duì)稱分布?jí)毫杀硎緸椋号c

有關(guān)，不屬于圓板軸對(duì)稱彎曲問(wèn)題。April.2010板殼力學(xué)134-103將代入圓板彎曲微分方程，得到令本式特解為代入方程組得

即得

平板理論April.2010板殼力學(xué)134-104平板理論由方程

得

故反對(duì)稱荷載下變形為

板中心無(wú)孔時(shí)，撓度、內(nèi)力為有限值，則c3=c4=0c1、c2

根據(jù)邊界條件定

齊次解：令變形關(guān)于x軸對(duì)稱April.2010板殼力學(xué)134-105§1.9變厚度矩形板平板理論薄板的內(nèi)力：彎曲剛度：

由于厚度t為變量，則板的彎曲剛度D為變量。April.2010板殼力學(xué)134-106

若平分厚度的中面仍為平面,厚度t變化平緩,則上式仍成立。由力的平衡方程：可得：

因D為變量D=D(x,y)，上式變?yōu)槭顷P(guān)于w的微分方程。平板理論April.2010板殼力學(xué)134-107§1.10變厚度圓形薄板平板理論

僅討論軸對(duì)稱變厚度圓板受軸對(duì)稱荷載情形,其他情形難得解析解。1)平衡方程與撓曲方程微元體中，Mr、M

、Qr

與

無(wú)關(guān)，Mr

、Q

均為0以微元體中心切線為軸，取

M=0

April.2010板殼力學(xué)134-108簡(jiǎn)化后可得平板理論可得到2)軸對(duì)稱條件下April.2010板殼力學(xué)134-109平板理論

定義薄板撓曲面的曲率半徑為r

，與撓曲面的上任一點(diǎn)與法線(中點(diǎn)或原法線)的夾角為

，根據(jù)幾何關(guān)系：則內(nèi)力可改寫為April.2010板殼力學(xué)134-110平板理論

因D是r

的函數(shù)(變厚度),代入平衡方程可得軸對(duì)稱條件下的平衡方程剪力，可由

Fz=0求得

展開(kāi)并略去并略去dQrdrd

項(xiàng)，則April.2010板殼力學(xué)134-111平板理論

2.特殊情形厚度成線性變，即t=cr，則代入撓曲微分方程，有April.2010板殼力學(xué)134-112平板理論

令

(因子)，上式變?yōu)樯鲜降慕夥謨刹糠郑褐笖?shù)

April.2010板殼力學(xué)134-113平板理論

常數(shù)c1、c2由邊界條件確定；

*由Qr(或q(r))確定。當(dāng)取

=?時(shí)，微分方程簡(jiǎn)化為且

解為April.2010板殼力學(xué)134-114§1.11彈性(文克勒)地基上的板問(wèn)題來(lái)源——機(jī)場(chǎng)跑道、道路、房屋基礎(chǔ)、鋼管砼柱、擋土墻、儲(chǔ)料容器以及水工結(jié)構(gòu)平板理論1)文克勒(Winkler)地基模型地基反力與撓度成正比、方向相反k—基床系數(shù)(地基模量),無(wú)張拉彈性地基April.2010板殼力學(xué)134-1152)文克勒地基上板的彎曲置于地基上的板所受的力：撓曲方程：平板理論April.2010板殼力學(xué)134-1163)文克勒地基上的四邊簡(jiǎn)支矩形薄板采用雙級(jí)數(shù)解(Navier)：

平板理論并將荷載展為雙三角級(jí)數(shù)其中April.2010板殼力學(xué)134-117平板理論將w、q(x,y)的表達(dá)式代入撓曲方程，比較同類項(xiàng)系數(shù)得當(dāng)q=q0為常數(shù)時(shí)

April.2010板殼力學(xué)134-118平板理論4)兩對(duì)邊簡(jiǎn)支，另兩邊自由的矩形板應(yīng)用李維(單級(jí)數(shù))解法

并將荷載展為三角級(jí)數(shù)代入撓曲方程，得

April.2010板殼力學(xué)134-119平板理論微分方程的解為：常數(shù)Am、Bm、Cm、Dm

由邊界條件確定。其中April.2010板殼力學(xué)136-120平板理論5)其他地基模型解析法：彈性半空間體(Boussinesq)地基模型；

Pasternak

地基模型；

Kerr地基模型；數(shù)值法：離散化地基模型。April.2010板殼力學(xué)136-121§1.12