遼寧省五校（鞍山一中、大連二十四中等）2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（含解析）2022-2023學(xué)年度上學(xué)期期末考試高二年級(jí)數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在?小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線和直線的位置關(guān)系是()A.平行 B.相交但不垂直 C.垂直 D.重合2.若直線的方向向量與平面的法向量的夾角等于，則直線與平面的所成的角等于()A. B. C. D.以上均錯(cuò)3.在平面內(nèi)，已知定點(diǎn)及定直線，記動(dòng)點(diǎn)到的距離為，則“”是“點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線”的()A.充要條件 B.充分不必要條件C必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件4.的展開(kāi)式中的系數(shù)為()A. B. C. D.1925.正方體中，直線與平面所成的角為()A. B. C. D.6.用這九個(gè)數(shù)字組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)中，各位數(shù)字之和為偶數(shù)的共有()A.120個(gè) B.600個(gè) C.720個(gè) D.840個(gè)7.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為為橢圓上一點(diǎn)，且，若關(guān)于平分線的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓上，則的面積為()A. B. C. D.8.我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休.”事實(shí)上，很多代數(shù)問(wèn)題可以都轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題加以解決，列如，與相關(guān)的代數(shù)問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離的幾何問(wèn)題.已知點(diǎn)在直線，點(diǎn)在直線上，且，結(jié)合上述觀點(diǎn)，的最小值為()A. B. C. D.5二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知雙曲線，則不因的變化而變化的是()A.頂點(diǎn)坐標(biāo) B.漸近線方程 C.焦距 D.離心率10.下列有關(guān)排列數(shù)、組合數(shù)的等式中，正確的是()A. B.C. D.11.已知點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，則()A.當(dāng)時(shí)，最小值為1 B.當(dāng)吋，的最小值為4C.當(dāng)時(shí)，的最小值為3 D.當(dāng)吋，的最大值為212.過(guò)直線上一點(diǎn)作圓的兩條切線.切點(diǎn)分別為，若四邊形周長(zhǎng)的最小值是6，則()A. B.的最大度數(shù)為C.直線必過(guò)點(diǎn) D.的最小值為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.平面內(nèi)，一條直線至多與雙曲線有__________個(gè)交點(diǎn).14.在四面體中，是棱的中點(diǎn)，且，則的值為_(kāi)_________.15.某大學(xué)的名同學(xué)準(zhǔn)備拼車去旅游，其中大一、大二、大三、大四每個(gè)年級(jí)各兩名，分乘甲、乙兩輛汽車.每車限坐名同學(xué)(乘同一輛車的名同學(xué)不考慮位置)，其中大一的孿生姐妹需乘同一輛車，則乘坐甲車的名同學(xué)中恰有名同學(xué)是來(lái)自同一年級(jí)的乘坐方式共有_______種(有數(shù)字作答).16.底面為矩形直四棱柱中，，點(diǎn)在棱上且滿足分別為棱的中點(diǎn)，是底面內(nèi)一點(diǎn)，若直線與平面垂直，則點(diǎn)到平面的距離的大小是__________.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.在二項(xiàng)式展開(kāi)式中，前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為79.(1)求的值；(2)若展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為，求實(shí)數(shù)的值.18.①經(jīng)過(guò)點(diǎn)；②與軸相切，半徑2；③被直線平分.從這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并完成解答.問(wèn)題：已知圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)，__________.(1)求圓的方程；(2)若經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與圓相切，求直線的方程.注：如果選多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.19.如圖所示幾何體是圓錐的一部分，其中是圓錐的高，，底面是扇形，滿足，，點(diǎn)為弧的中點(diǎn).(1)求證：平面平面；(2)求直線與平面所成的角的正弦值.20.如圖，直角梯形中，，，，為中點(diǎn).平面外一點(diǎn)滿足：，且.(1)證明：平面；(2)存在線段上一點(diǎn)，使得二面角的余弦值為，求三棱錐的體積.21.已知，點(diǎn)在橢圓上，是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn).經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，直線與交于點(diǎn).(1)當(dāng)時(shí)，求直線的方程；(2)當(dāng)點(diǎn)異于點(diǎn)點(diǎn)，求.22.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，漸近線與拋物線交于點(diǎn).(1)求的方程；(2)設(shè)是與在第一象限的公共點(diǎn)，作直線與的兩支分別交于點(diǎn)，便得.(i)求證：直線過(guò)定點(diǎn)；(ii)過(guò)作于.是否存在定點(diǎn)，使得為定值？如果有，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由.

2022-2023學(xué)年度上學(xué)期期末考試高二年級(jí)數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在?小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線和直線的位置關(guān)系是()A.平行 B.相交但不垂直 C.垂直 D.重合【答案】B【解析】【分析】根據(jù)兩直線的方程求出各自的斜率，然后斜率的關(guān)系進(jìn)行判斷即可.【詳解】方程可化為，因此該直線的斜率.方程可化為，因此該直線的斜率，因?yàn)?，所以這兩條直線相交但不垂直.故選：B.2.若直線的方向向量與平面的法向量的夾角等于，則直線與平面的所成的角等于()A. B. C. D.以上均錯(cuò)【答案】A【解析】【分析】利用直線的方向向量與法向量的夾角與線面角的關(guān)系可求答案.【詳解】因?yàn)橹本€的方向向量與平面的法向量的夾角等于，所以直線與平面的所成的角為.故選：A.3.在平面內(nèi)，已知定點(diǎn)及定直線，記動(dòng)點(diǎn)到的距離為，則“”是“點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線”的()A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)拋物線的定義和利用充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷.【詳解】“點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線”“”，反之不成立，直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，軌跡不是拋物線.因此“”是“點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線”的必要不充分條件.故選：C.4.的展開(kāi)式中的系數(shù)為()A. B. C. D.192【答案】B【解析】【分析】由，根據(jù)單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則結(jié)合二項(xiàng)式定理求展開(kāi)式中的系數(shù).【詳解】因?yàn)?，因?yàn)榈恼归_(kāi)式的通項(xiàng)，所以的展開(kāi)式中含的項(xiàng)為，其系數(shù)為，所以的展開(kāi)式中含的項(xiàng)為，其系數(shù)為，所以的展開(kāi)式中的系數(shù)為.故選：B.5.正方體中，直線與平面所成的角為()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，作出直線與平面所成的角，再在三角形中求解作答.【詳解】正方體中，連接，連接，如圖，則有，而平面，平面，即有，又平面，因此平面，則是直線與平面所成的角，在中，，，則有，所以直線與平面所成的角為.故選：A6.用這九個(gè)數(shù)字組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)中，各位數(shù)字之和為偶數(shù)的共有()A.120個(gè) B.600個(gè) C.720個(gè) D.840個(gè)【答案】D【解析】【分析】首先根據(jù)題意將問(wèn)題分成四位均為奇數(shù)和四位中兩位偶數(shù)兩位奇數(shù)兩種情況，然后分別計(jì)算兩種情況所包含的四位奇數(shù)個(gè)數(shù)，最后根據(jù)分類相加原理即可求出總共個(gè)數(shù).【詳解】根據(jù)題意，若想組成四位奇數(shù)且各位數(shù)字之和為偶數(shù)，分以下兩種情況：(1)四位數(shù)均為奇數(shù)：包含種；(2)四位數(shù)中兩位奇數(shù)兩位偶數(shù)：包含種.綜上所述一共包含個(gè).故選：D7.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為為橢圓上一點(diǎn)，且，若關(guān)于平分線的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓上，則的面積為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)關(guān)于平分線的對(duì)稱點(diǎn)為Q，結(jié)合角平分線的性質(zhì)可得是正三角形，再運(yùn)用橢圓定義求得，，根據(jù)三角形面積公式求的面積即可.【詳解】設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸為，則設(shè)關(guān)于平分線的對(duì)稱點(diǎn)為Q，由橢圓對(duì)稱性及角平分線性質(zhì)可知P，，Q三點(diǎn)共線且又因?yàn)椋允钦切?，設(shè)，由橢圓定義可得，，又，所以，所以，即，，所以的面積.故選：C.8.我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休.”事實(shí)上，很多代數(shù)問(wèn)題可以都轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題加以解決，列如，與相關(guān)的代數(shù)問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離的幾何問(wèn)題.已知點(diǎn)在直線，點(diǎn)在直線上，且，結(jié)合上述觀點(diǎn)，的最小值為()A. B. C. D.5【答案】D【解析】【分析】根據(jù)兩點(diǎn)距離公式將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到點(diǎn)的距離和，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，證明，由求目標(biāo)函數(shù)最小值.【詳解】由已知表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離，表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離，所以，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，因?yàn)橹本€的方程為，，所以，又直線與直線平行，，所以，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以，又，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)點(diǎn)為線段與直線的交點(diǎn)時(shí)，取最小值，最小值為，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)與直線垂直的直線的方程為，聯(lián)立，可得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，所以最小值為，故選：D.【點(diǎn)睛】本題解決的關(guān)鍵在于根據(jù)兩點(diǎn)距離公式將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為求線段的距離和問(wèn)題，進(jìn)一步結(jié)合圖形將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間的距離問(wèn)題.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知雙曲線，則不因的變化而變化的是()A.頂點(diǎn)坐標(biāo) B.漸近線方程 C.焦距 D.離心率【答案】BD【解析】【分析】將雙曲線方程整理為標(biāo)準(zhǔn)方程，寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)，漸近線方程，焦距和離心率，，判斷是否因改變而變化，即可得解.【詳解】整理雙曲線方程可得，所以，，，所以頂點(diǎn)坐標(biāo)為或，A錯(cuò)誤；漸近線方程為，B正確；該雙曲線焦距為：，C錯(cuò)誤；離心率為：，D正確；不因改變而變化的是離心率與漸近線方程.故選：BD.10.下列有關(guān)排列數(shù)、組合數(shù)的等式中，正確的是()A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】對(duì)于AC,根據(jù)組合數(shù)的公式即可;對(duì)于B，根據(jù)排列數(shù)的公式即可;對(duì)于D，根據(jù)二項(xiàng)式定理即可.【詳解】對(duì)于A,,故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，組合數(shù)的性質(zhì)，，故C正確；對(duì)于D，由二項(xiàng)式定理知，=，故D錯(cuò)誤；故選：BC.11.已知點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，則()A.當(dāng)時(shí)，最小值為1 B.當(dāng)吋，的最小值為4C.當(dāng)時(shí)，的最小值為3 D.當(dāng)吋，的最大值為2【答案】ABD【解析】【分析】由題意，根據(jù)拋物線的定義，作圖，結(jié)合點(diǎn)到直線距離以及三角形三邊法則，利用兩點(diǎn)距離公式，可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，作拋物線的準(zhǔn)線，過(guò)作，過(guò)作，如下圖所示：可得恰為拋物線的焦點(diǎn)，由拋物線定義可得，則，故A、B正確；當(dāng)時(shí)，連接，如下圖所示：設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，取得最小值為，故C錯(cuò)誤；則，當(dāng)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，等號(hào)成立，故D正確.故選：ABD.12.過(guò)直線上一點(diǎn)作圓的兩條切線.切點(diǎn)分別為，若四邊形周長(zhǎng)的最小值是6，則()A. B.的最大度數(shù)為C.直線必過(guò)點(diǎn) D.的最小值為【答案】ACD【解析】【分析】由圓的切線的性質(zhì)可得四邊形的周長(zhǎng)，再求的最小值，結(jié)合條件列方程求，判斷A，求的余弦及其最小值，結(jié)合余弦函數(shù)性質(zhì)求的最大度數(shù)，判斷B，求過(guò)點(diǎn)的圓的方程，再求其與圓的公共弦方程，確定其所過(guò)定點(diǎn)坐標(biāo)，判斷C，利用等面積法可得，由此可求的最小值，判斷D.【詳解】因?yàn)榉匠炭苫癁?，所以圓的圓心為，半徑，所以，因?yàn)闉閳A的切線，切點(diǎn)分別為，所以，所以，，如圖四邊形的周長(zhǎng)，因?yàn)樗倪呅沃荛L(zhǎng)最小值是6，所以的最小值為，所以點(diǎn)到直線的距離為，所以，所以，A正確；，，所以，所以當(dāng)取最小值時(shí)，取最小值為，即，又余弦函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以點(diǎn)四點(diǎn)共圓，且線段為該圓的直徑，設(shè)，過(guò)點(diǎn)的圓的方程為，化簡(jiǎn)可得，因?yàn)閳A與圓相交，將圓與圓方程相減可得，化簡(jiǎn)可得，故直線的方程為，又由可得，所以直線必過(guò)點(diǎn)，C正確；因?yàn)榈拿娣e，所以，所以當(dāng)取最小值時(shí)，取最小值為，D正確；故選：ACD.【點(diǎn)睛】本題為直線與圓的綜合問(wèn)題，涉及直線外一點(diǎn)到直線的最小距離，直線過(guò)定點(diǎn)，圓的切線的性質(zhì)，相交圓的公共弦的求法等方面，難度較大.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.平面內(nèi)，一條直線至多與雙曲線有__________個(gè)交點(diǎn).【答案】2【解析】【分析】根據(jù)直線與雙曲線方程，聯(lián)立求根，可得答案.【詳解】當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，可設(shè)直線方程為，將其代入雙曲線方程，則，整理可得，顯然當(dāng)時(shí)，方程由兩個(gè)不相等的實(shí)根，則此時(shí)直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，可設(shè)直線方程為，將其代入雙曲線方程，則，整理可得，顯然當(dāng)，且時(shí)，該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則此時(shí)直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，故答案為：2.14.在四面體中，是棱的中點(diǎn)，且，則的值為_(kāi)_________.【答案】0【解析】【分析】利用空間向量加減法法則，把用表示出來(lái)，即可求出結(jié)果.【詳解】如圖所示，因?yàn)槭抢獾闹悬c(diǎn)，所以，則，所以，故答案為：0.15.某大學(xué)的名同學(xué)準(zhǔn)備拼車去旅游，其中大一、大二、大三、大四每個(gè)年級(jí)各兩名，分乘甲、乙兩輛汽車.每車限坐名同學(xué)(乘同一輛車的名同學(xué)不考慮位置)，其中大一的孿生姐妹需乘同一輛車，則乘坐甲車的名同學(xué)中恰有名同學(xué)是來(lái)自同一年級(jí)的乘坐方式共有_______種(有數(shù)字作答).【答案】24【解析】【詳解】由題意，第一類，大一的孿生姐妹在甲車上，甲車上剩下兩個(gè)要來(lái)自不同的年級(jí)，從三個(gè)年級(jí)中選兩個(gè)為，然后分別從選擇的年級(jí)中再選擇一個(gè)學(xué)生，為，故有=3×2×2=12種．第二類，大一的孿生姐妹不在甲車上，則從剩下的3個(gè)年級(jí)中選擇一個(gè)年級(jí)的兩名同學(xué)在甲車上，為，然后再?gòu)氖Ｏ碌膬蓚€(gè)年級(jí)中分別選擇一人(同第一類情況)，這時(shí)共有=3×2×2=12種因此共有24種不同的乘車方式16.底面為矩形的直四棱柱中，，點(diǎn)在棱上且滿足分別為棱的中點(diǎn)，是底面內(nèi)一點(diǎn)，若直線與平面垂直，則點(diǎn)到平面的距離的大小是__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)條件建立適當(dāng)?shù)目臻g坐標(biāo)系，利用空間向量得到坐標(biāo)，進(jìn)而利用等體積轉(zhuǎn)化求得點(diǎn)面距離.【詳解】如圖所示以為中心建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，,∴∵直線與平面垂直，∴，解得：即設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則有：故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.在二項(xiàng)式展開(kāi)式中，前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為79.(1)求的值；(2)若展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為，求實(shí)數(shù)的值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)由二項(xiàng)式定理求前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，列方程即可求得；(2)由二項(xiàng)式定理求的通項(xiàng)，由此可求常數(shù)項(xiàng)，由條件列方程求即可.【小問(wèn)1詳解】二項(xiàng)式的展開(kāi)式的前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)依次為，因?yàn)檎归_(kāi)式中的前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和等于79，所以有，即，解得或.因?yàn)椋?【小問(wèn)2詳解】因?yàn)檎归_(kāi)式的通項(xiàng)為，令，得，所以常數(shù)項(xiàng)為，由已知整理得，所以.18.①經(jīng)過(guò)點(diǎn)；②與軸相切，半徑為2；③被直線平分.從這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并完成解答.問(wèn)題：已知圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)，__________(1)求圓的方程；(2)若經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與圓相切，求直線的方程.注：如果選多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】(1)條件選擇見(jiàn)解析，(2)或【解析】【分析】(1)選①把三個(gè)點(diǎn)代入圓的一般方程求得結(jié)果；②利用圓心在線段的中垂線上以及與軸相切，半徑為2確定圓心坐標(biāo)，寫出圓的方程；③圓心在線段的中垂線上和直線上，求出圓心坐標(biāo)及半徑，寫出圓的方程.(2)分成直線斜率存在與不存在兩種情況進(jìn)行討論，利用進(jìn)行求解.【小問(wèn)1詳解】選①.設(shè)圓的方程為，因?yàn)閳A經(jīng)過(guò)三點(diǎn)，所以，解得.所以圓的方程為，即.選②.由點(diǎn)，得線段的中垂線方程為.則圓心在直線上，設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為，又由圓與軸相切，可知圓心在軸上方由半徑為2，得，所以.所以圓的方程為.選③.由點(diǎn)，得線段的中垂線方程為.則圓心在直線上，因?yàn)閳A被直線平分，則圓心在直線上.由解得所以圓心坐標(biāo)為，所以半徑，所以圓的方程為.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即.因?yàn)橹本€與圓相切，所以，解得，所以直線的方程為.當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，符合題意；綜上，直線的方程為或.19.如圖所示的幾何體是圓錐的一部分，其中是圓錐的高，，底面是扇形，滿足，，點(diǎn)為弧的中點(diǎn).(1)求證：平面平面；(2)求直線與平面所成的角的正弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【解析】【分析】(1)根據(jù)給定條件，利用線面垂直的性質(zhì)、判定證明平面，再利用面面垂直的判定推理作答.(2)以O(shè)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量計(jì)算作答.【小問(wèn)1詳解】依題意，平面，平面，有，又點(diǎn)為弧的中點(diǎn)，即有，且平面，則平面，又平面，所以平面平面.【小問(wèn)2詳解】以為原點(diǎn)，的方向分別作為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，取，得，設(shè)直線與平面所成的角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.20.如圖，直角梯形中，，，，為的中點(diǎn).平面外一點(diǎn)滿足：，且.(1)證明：平面；(2)存在線段上一點(diǎn)，使得二面角的余弦值為，求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】【分析】(1)利用勾股定理，可得，再利用全等三角形以及線面垂直判定以及性質(zhì)定理，可得，結(jié)合線面垂直判定定理，可得答案.(2)由題意，建立空間直角坐標(biāo)系，表示點(diǎn)的坐標(biāo)，求得平面的法向量，根據(jù)公式，可得答案.小問(wèn)1詳解】如圖，連接與的交點(diǎn)記為點(diǎn)，即又，且，平面，平面，又平面，又，平面，平面.【小問(wèn)2詳解】如圖，以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，平行于為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，則，即點(diǎn)則，設(shè)平面的法向量，由，取，則，易知，平面的一個(gè)法向量為，二面角的余弦值為，，整理得，解得(舍)或.，此時(shí)點(diǎn)為線段靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，點(diǎn)到平面的距離，又，三棱錐的體積為.21.已知，點(diǎn)在橢圓上，是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn).經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，直線與交于點(diǎn).(1)當(dāng)時(shí)，求直線的方程；(2)當(dāng)點(diǎn)