2024高考數(shù)學(xué)教材一統(tǒng)計與統(tǒng)計案例

目錄

i.隨機抽樣與用樣本估計總體...................................................1

2.變量間的相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計案例................................................17

3.概率與統(tǒng)計的綜合問題......................................................32

1.隨機抽樣與用樣本估計總體

課程標(biāo)準(zhǔn)考向預(yù)測

1.通過實例，了解簡單隨機抽樣的

含義及其解決問題的過程，掌握兩種簡

單隨機抽樣方法:抽簽法和隨機數(shù)法.會

計算樣本均值和樣本方差，了解樣本與

總體的關(guān)系.

2.通過實例，了解分層隨機抽樣的

特點和適用范圍，了解分層抽樣的必要

性，掌握各層樣本量比例分配的方法.結(jié)

考情分析：簡單隨機抽樣、分層

合具體實例，掌握分層隨機抽樣的樣本

抽樣、分層抽樣的相關(guān)概念、頻率分布

均值和樣本方差.

直方圖、莖葉圖及其應(yīng)用.預(yù)計頻率分

3.在簡單的實際情境中，能根據(jù)實

布直方圖及其應(yīng)用是考查的熱點.

際問題的特點，設(shè)計恰當(dāng)?shù)某闃臃椒ń?/p>

學(xué)科素養(yǎng)：數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運算.

決問題.

4.能根據(jù)實際問題的特點，選擇恰

當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計圖表對數(shù)據(jù)進行可視化描述，

體會合理使用統(tǒng)計圖表的重要性.

5.結(jié)合實例，能用樣本估計總體的

集中趨勢參數(shù)（平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)），

理解集中趨勢參數(shù)的統(tǒng)計含義.

6.結(jié)合實例，能用樣本估計總體的

第1頁共44頁

離散程度參數(shù)(標(biāo)準(zhǔn)差、方差、極差)，理

解離散程度參數(shù)的統(tǒng)計含義.

7.結(jié)合實例，能用樣本估計總體的

取值規(guī)律.

分步落實

?q精梳理、巧診斷，過好雙基關(guān)

V學(xué)生用書P187

I整知識I........................................................>?

1.隨機抽樣

(1)簡單隨機抽樣

①定義：設(shè)一個總體含有N個個體，從中逐個不放回地抽取“個個體作為

樣本(〃WAO,如果每次抽取時總體內(nèi)的各個個體被抽到的機會都相笠，就把這種

抽樣方法叫做簡單隨機抽樣.

②最常用的方法：抽簽法和隨機數(shù)法.

(2)分層抽樣

①定義：在抽樣時，將總體分成互不交叉的層,然后按照一定的比例，從各

層獨立地抽取一定數(shù)量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本，這種抽樣

方法叫做分層抽樣.

②應(yīng)用范圍：當(dāng)總體是由差異明顯的幾個部分組成時,往往選用分層抽樣.

2.用樣本的頻率分布估計總體分布

(1)在頻率分布直方圖中，縱軸表示頻率,數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率用各小

長形的面積表示.各小長方形的面積總和等于組噩.

(2)頻率分布折線圖和總體密度曲線

①頻率分布折線圖：連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點,就得到

頻率分布折線圖.

②總體密度曲線：設(shè)想如果樣本容量不斷增大,分組的組距不斷縮小,則頻

率分布直方圖實際上越來越接近于總體的分布,它可以用一條光滑曲線y=")

來描繪，這條光滑曲線就叫做總體密度曲線.

(3)莖葉圖

第2頁共44頁

莖是指中間的一列數(shù)，葉是從莖的旁邊生長出來的數(shù).

3.用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征

(1)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中重復(fù)出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù).

(2)中位數(shù)：把一組數(shù)據(jù)按從小到大順序排列,處在中間位置的一個數(shù)據(jù)

(或兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)).

(3)平均數(shù)：T=也+承：…反映了一組數(shù)據(jù)的平均水平.

(4)標(biāo)準(zhǔn)差：是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離，s=

-7)2-(?2—才)‘十…+(X,,-Z).

-

--[(-J)"+(XQ-X)'十…?卜(?—7)’]

(5)方差：.=〃(X”是樣本數(shù)

據(jù)，〃是樣本容量，x是樣本平均數(shù)).

￥常用結(jié)論

1.必記結(jié)論

(1)眾數(shù)的估計值是最高矩形底邊中點的橫坐標(biāo).

(2)平均數(shù)的估計值等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底

邊中點的橫坐標(biāo)之和.

(3)中位數(shù)的估計值的左邊和右邊小矩形的面積和是相等的.

2.常用公式

(1)若數(shù)據(jù)xi,X2,…，龍”的平均數(shù)是尤，則nw+a,tnxi+a,mxn

+a的平均數(shù)是加T+A.

(2)若數(shù)據(jù)XI,X2,???,X"的方差為$2,則依1+/?,?%2+人，…，辦"十/7的

方差為熱2,標(biāo)準(zhǔn)差為好

I練基礎(chǔ)I................................................m

1.判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“J”或“X”)

(1)簡單隨機抽樣是一種不放回抽樣.()

(2)在分層抽樣中，每個個體被抽到的可能性與層數(shù)及分層有關(guān).()

(3)平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)都可以描述數(shù)據(jù)的集中趨勢.()

第3頁共44頁

（4）一組數(shù)據(jù)的方差越大，說明這組數(shù)據(jù)的波動越大.（）

（5）頻率分布直方圖中，小矩形的面積越大，表示樣本數(shù)據(jù)落在該區(qū)間內(nèi)的

頻率越大.（）

（6）莖葉圖中的數(shù)據(jù)要按從小到大的順序?qū)懀嗤臄?shù)據(jù)可以只記一

次.（）

（7）頻率分布表和頻率分布直方圖是一組數(shù)據(jù)頻率分布的兩種形式，前者準(zhǔn)

確，后者直觀.（）

答案:⑴J（2）X⑶J（4/⑸J⑹X⑺J

2.（必修3P64習(xí)題T5改編）某公司有員工500人，其中不到35歲的有125

人，35?49歲的有280人，50歲及50歲以上的有95人，為了調(diào)查員工的身體

健康狀況，從中抽取100名員工，則應(yīng)在這三個年齡段分別抽取人數(shù)為（）

A.33,34,33B.25,56,19

C.20,40,30D.30,50,20

B［因為125：280：95=25：56：19,所以抽取人數(shù)分別為25,56,19.］

3.（多選）如圖的折線圖是某超市2020年一月份至五月份的營業(yè)額與成本數(shù)

據(jù).根據(jù)該折線圖，下列說法正確的是（）

A.該超市2020年的前五個月中五月份的利潤最高

B.該超市2020年的前五個月的利潤一直呈增長趨勢

C.該超市2020年的前五個月的利潤的中位為0.8萬元

D.該超市2020年前五個月的總利潤為3.5萬元

AD［第1個月的利潤為3—2.5=0.5（萬元），第2個月的利潤為3.5—2.8=

0.7（萬元），第3個月的利潤為3.8—3=0.8（萬元），第4個月的利潤為4-3.5=

0.5（萬元），第5個月的利潤為5—4=1（萬元），其中第5個月利潤最高，為1萬

元，所以A正確.第4個月利潤相比第3個月在下降，所以B錯誤.前五個月

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的利潤的中位數(shù)為0.7萬元，所以C錯誤，前五個月的總利潤為0.5+0.7+0.8

+0.5+1=3.5(萬元),所以D正確，故選AD.］

4.(必修3P71練習(xí)T1改編)如圖所示是一樣本的頻率分布直方圖.若樣本

容量為100,則樣本數(shù)據(jù)在［15,20］內(nèi)的頻數(shù)是.

解析：因為［15,20］對應(yīng)的小矩形的面積為1-0.04X5-0.1X5=0.3,所

以樣本落在［15,20］內(nèi)的頻數(shù)為0.3X100=30.

答案：30

5.(必修3P79練習(xí)T1改編)已知一組數(shù)據(jù)6,7,8,8,9,10,則該組數(shù)據(jù)

的方差是.

解析：這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為8,故方差為X［(6-8)2+(7-8)2+(8-

8)2+(8-8)2+(9-8)2+(10-8)2］=|.

答案：|

6暫分類突破微點撥、多維練，研透命題點。

〈學(xué)生用書P188

隨機抽樣自練型

［題組練透］

1.(多選X2020.全國高一專題練習(xí))下列抽樣方法不是簡單隨機抽樣的是

()

A.從平面直角坐標(biāo)系中抽取5個點作為樣本

B.某可樂公司從倉庫中的1000箱可樂中一次性抽取20箱進行質(zhì)量檢查

C.某連隊從120名戰(zhàn)士中，挑選出50名最優(yōu)秀的戰(zhàn)士去參加搶險救災(zāi)活

動

D.從10個手機中逐個不放回地隨機抽取2個進行質(zhì)量檢驗(假設(shè)10個手

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機已編號）

AC[對于A,平面直角坐標(biāo)系中有無數(shù)個點，這與要求總體中的個體數(shù)有

限不相符，故A中的抽樣方法不是簡單隨機抽樣；對于B,一次性抽取與逐個

不放回地抽取是等價的，故B中的抽樣方法是簡單隨機抽樣；對于C,挑選的

50名戰(zhàn)士是最優(yōu)秀的，不符合簡單隨機抽樣的等可能性，故C中的抽樣方法不

是簡單隨機抽樣；對于D,易知D中的抽樣方法是簡單隨機抽樣.故選AC.]

2.（多選X2020?全國高三專題練習(xí)）某中學(xué)高一年級有20個班，每班50人；

高二年級有30個班，每班45人.甲就讀于高一，乙就讀于高二.學(xué)校計劃從這

兩個年級中共抽取235人進行視力調(diào)查，下列說法中正確的是（）

A.應(yīng)該采用分層隨機抽樣法

B.高一、高二年級應(yīng)分別抽取100人和135人

C.乙被抽到的可能性比甲大

D.該問題中的總體是高一、高二年級的全體學(xué)生的視力

ABD[由于各年級的年齡段不一樣，因此應(yīng)采用分層隨機抽樣法.由于比

2351

例為20X5+30X45=10，因此高一年級1000人中應(yīng)抽取100人，高二年級

1350人中應(yīng)抽取135人，甲、乙被抽到的可能性都是古，因此只有C不正確，

故應(yīng)選ABD.]

3.為應(yīng)對新冠肺炎疫情，許多企業(yè)在非常時期轉(zhuǎn)產(chǎn)抗疫急需物資，某工廠

轉(zhuǎn)產(chǎn)甲、乙、丙、丁四種不同型號的防疫物資，產(chǎn)量分別為200,400,300,100（單

位：件）.為檢驗產(chǎn)品的質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法從以上所有的產(chǎn)品中抽取60件

進行檢驗，則應(yīng)從甲種型號的產(chǎn)品中抽取件.

解析：依題意，注意到在甲、乙、丙、丁四種不同型號的防疫物資中，甲

種型號的產(chǎn)品占赤,而=1.因此，采用分層抽樣的方法從這些產(chǎn)

NUUI3I八■/IDUUI1UUJ

品中抽取60件進行檢驗，應(yīng)從甲種型號的產(chǎn)品中抽取60X,=12（件）.

答案：12

療練后悟通

（1）抽簽法與隨機數(shù)法的適用情況

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①抽簽法適用于總體中個體數(shù)較少的情況，隨機數(shù)法適用于總體中個體數(shù)

較多的情況。

②一個抽樣試驗?zāi)芊裼贸楹灧ǎP(guān)鍵看兩點：

一是制簽是否方便；二是號簽是否易攪勻.一般地，當(dāng)總體容量和樣本容量

都較小時可用抽簽法.

(2)分層抽樣問題類型及解題思路

①求某層應(yīng)抽個體數(shù)量，根據(jù)該層所占總體的比例計算.

②已知某層個體數(shù)量，求總體容量，根據(jù)分層抽樣即按比例抽樣，列比例式

進行計算.

③確定是否應(yīng)用分層抽樣：分層抽樣適用于總體中個體差異較大的情況.

樣本的數(shù)字特征講練型

區(qū)TH(2019?全國卷H)某行業(yè)主管部門為了解本行業(yè)中小企業(yè)的生產(chǎn)情況,

隨機調(diào)查了100個企業(yè)，得到這些企業(yè)第一季度相對于前一年第一季度產(chǎn)值增

長率)，的頻數(shù)分布表.

y的分[-[0，[0.20,[0.40,[0.60,

組0.20,0)0.20)0.40)0.60)0.80)

企業(yè)

22453147

數(shù)

(1)分別估計這類企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于40%的企業(yè)比例、產(chǎn)值負增長

的企業(yè)比例；

(2)求這類企業(yè)產(chǎn)值增長率的平均數(shù)與方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的

中點值為代表).

解析：(1)根據(jù)產(chǎn)值增長率頻數(shù)分布表得，所調(diào)查的100個企業(yè)中產(chǎn)值增

14+7

長率不低于40%的企業(yè)頻率為一如=0.21.

2

產(chǎn)值負增長的企業(yè)頻率為而=0.02.

用樣本頻率分布估計總體分布得這類企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于40%的企業(yè)

比例為21%,產(chǎn)值負增長的企業(yè)比例為2%.

—1

(2)y=而(-0.10X2+0.10X24+0.30X53+0.50X14+0.70X7)=

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0.30,

,]5一,

/=而i(y-y)2

/=i

=擊[(-0.40)2X2+(-0.20)2X24+02X53+0.202X14+0.402X7]

=0.0296.

用歸綱升華

眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)'方差的意義及常用結(jié)論

(1)平均數(shù)與方差都是重要的數(shù)字特征，是對總體的一種簡明的描述，它們

所反映的情況有著重要的實際意義，平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述其集中趨勢，

方差和標(biāo)準(zhǔn)差描述波動大小.

(2)方差的簡化計算公式：$2=(［(X1+%2H---F焉)一〃X2］,或?qū)懗?2

=1(4+/+…+焉)-72,即方差等于原數(shù)據(jù)平方的平均數(shù)減去平均數(shù)

的平方.

變式訓(xùn)練

1.(多選)(2020.湖北鄂州市高二期中)下列命題中是真命題的有()

A.有A,B,。三種個體按3：1：2的比例分層抽樣調(diào)查，如果抽取的A

個體數(shù)為9,則樣本容量為30

B.一組數(shù)據(jù)1,2,3,3,4,5的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)相同

C.若甲組數(shù)據(jù)的方差為5,乙組數(shù)據(jù)為5,6,9,10,5,則這兩組數(shù)據(jù)中

較穩(wěn)定的是甲

D.某一組樣本數(shù)據(jù)為125,120,122,105,130,114,116,95,120,134,

則樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間［114.5,124.5］內(nèi)的頻率為0.4

BD［對于選項A:根據(jù)樣本的抽樣比等于各層的抽樣比，樣本容量為

3

9-f+2+3=18,故選項A不正確；對于選項B：數(shù)據(jù)1,2,3,3,4,5的平

均數(shù)為((14-2+3+3+44-5)=3,眾數(shù)和中位數(shù)都是3,故選項B正確；對于

選項C：乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為］(5+6+9+10+5)=7,乙組數(shù)據(jù)的方差為］［(5

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-7)2+(6-7)2+(9-7)2+(10-7)2+(5-7)2]=4.4<5,所以這兩組數(shù)據(jù)中較穩(wěn)

定的是乙，故選項C不正確；對于選項D：樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間[114.5,124.5]有

120,122,116,120有4人,所以樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間[114.5,124.5]內(nèi)的頻率為

4

正=0.4,故D正確.故選BD.]

2.已知樣本7,8,9,x,y的平均數(shù)是8,方差是4,則孫=.

解析：由平均數(shù)是8可得x+y=16①.由方差是4得][1+0+1+(x-

x—11[x=5

8)2+(y-8)2]=4②，聯(lián)立①②解得彳u或《，，，所以孫=55.

ly=5ly=ll

答案：55

3.(2020.廣東惠州調(diào)研)某工廠為了解產(chǎn)品的生產(chǎn)情況，隨機抽取了100個

樣本.若樣本數(shù)據(jù)XI，X2,…，xioo的方差為8,則數(shù)據(jù)2xi—1,2x2—1,…，

2x100—1的方差為.

解析：因為樣本數(shù)據(jù)XI,尤2,…，xioo的方差為8,所以數(shù)據(jù)2xi—1,2x2

—1,…，2xioo—1的方差為22X8=32.

答案：32

統(tǒng)計圖表及應(yīng)用多維型

角度一扇形圖

某貧困村經(jīng)過一年的精準(zhǔn)扶貧，該村農(nóng)民的經(jīng)濟收入增加了一倍，實

現(xiàn)翻番，全村已經(jīng)實現(xiàn)脫貧，為更好地了解該村的經(jīng)濟收入變化情況，統(tǒng)計了該

村精準(zhǔn)扶貧前后農(nóng)民的經(jīng)濟收入構(gòu)成比例，得到如下餅圖：

精準(zhǔn)扶貧前經(jīng)濟收入構(gòu)成比例精準(zhǔn)扶貧后經(jīng)濟收人構(gòu)成比例

則下面結(jié)論中不正確的是()

A.精準(zhǔn)扶貧后，種植收入減少

B.精準(zhǔn)扶貧后，其他收入增加了一倍以上

C.精準(zhǔn)扶貧后，養(yǎng)殖收入增加了一倍

D.精準(zhǔn)扶貧后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟收入的一半

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A[設(shè)精準(zhǔn)扶貧前經(jīng)濟收入為加，則精準(zhǔn)扶貧后經(jīng)濟收入為2加，精準(zhǔn)扶貧

前養(yǎng)殖收入為0.25m，種植收入為0.7"?,第三產(chǎn)業(yè)收入為0.03〃?，其他收入為

0.02加，精準(zhǔn)扶貧后養(yǎng)殖收入為0.5〃?,種植收入為0.88相，第三產(chǎn)業(yè)收入為0.52加，

其他收入為0.1加，所以種植收入增加了，A選項錯誤.]

角度二折線圖

EI31（多選）鄭州市某一景區(qū)為了了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)

質(zhì)量，收集并整理了2016年1月至2018年12月期間接待游客量（單位：萬人）

的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖.

月接待游客殳（萬人）

45

40

35

30

0123456789101112123456789101112123456789101112

根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論正確的是（）

A.月接待游客量逐月增加

B.年接待游客量逐年增加

C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月

D.各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月，波動性更小，變

化比較平穩(wěn)

BCD[由折線圖知，每月接待游客的人數(shù)有增有減，故A項錯誤；從折線

圖可以看出，每年接待游客的人數(shù)呈上升趨勢，故B項正確；由三年接待游客

的人數(shù)情況來看，每年的游客量高峰期大致在7,8月，故C項正確；由折線圖

易知，D項也正確.故選BCD.]

角度三莖葉圖

區(qū)1不1（多選）（2020.龍巖期中）某賽季甲、乙兩名籃球運動員5場比賽得分的

莖葉圖如圖所示，乙知甲得分的極差為32,乙得分的平均值為24,則下列結(jié)論

正確的是（）

A.x=8

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B.甲得分的方差是736

C.y=26

D.乙得分的方差小于甲得分的方差

AD?甲得分的極差為32,

，30+無-6=32,解得尤=8,故A正確；

;乙得分的平均值為24,

(12+25+26+20+^+31)=24,

解得y=6,故C錯誤；

甲得分的平均數(shù)為：

|(6+14+28+38+34)=24,

二甲得分的方差是：

s?=1[(6—24)2+(14—24)2+(28—24>+(38—24/+(34—24月=147.2,故

B錯誤；乙得分的方差是：

S2=|[(12-24)2+(25-24)2+(26-24)2+(26-24)2+(31-24)2]=125.2,

二乙得分的方差小于甲得分的方差，故D正確.故選AD.]

角度四頻率分布直方圖

區(qū)T&：(2019?全國卷HI)為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進行

如下試驗：將200只小鼠隨機分成A,8兩組，每組100只，其中A組小鼠給服

甲離子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液.每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃

度相同.經(jīng)過一段時間后用某種科學(xué)方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分

比.根據(jù)試驗數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：

t頻率7組距

;狽率闌距?---------

030------------

o.20

o.a15

10

o.050

1.52.53.54.55.56.57.5百分比O2.53.54.55.56.57.58.5百分比

甲離子殘留百分比宜方圖乙肉子殘留百分比直方圖

記。為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到

P(0的估計值為0.70.

(1)求乙離子殘留百分比直方圖中a,8的值；

第11頁共44頁

(2)分別估計甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間

的中點值為代表).

解析：(1)由已知得0.70=a+0.20+0.15,故

rz=0.35.

/?=1-0.05-0.15-0.70=0.10.

(2)甲離子殘留百分比的平均值的估計值為

2X0.15+3X0.20+4X0.30+5X0.20+6X0.10+7X0.05=4.05.

乙離子殘留百分比的平均值的估計值為

3X0.05+4X0.10+5X0.15+6X0.35+7X0.20+8X0.15=6.00.

平歸納升華

(1)通過扇形統(tǒng)計圖可以很清楚地表示出各部分?jǐn)?shù)量同總數(shù)之間的關(guān)系.

(2)折線圖可以顯示隨時間(根據(jù)常用比例放置)而變的連續(xù)數(shù)據(jù)，因此非常

適用于顯示在相等時間間隔下數(shù)據(jù)的趨勢.

(3)由莖葉圖可以清晰地看到數(shù)據(jù)的分布情況，這一點同頻率分布直方圖類

似.它優(yōu)于頻率直方圖的第一點是從莖葉圖中能看到原始數(shù)據(jù)，沒有任何信息

損失，第二是從莖葉圖便于記錄和表示.其缺點是當(dāng)樣本容量較大時，作圖較

煩瑣.

(4)準(zhǔn)確理解頻率分布直方圖的數(shù)據(jù)特點

①頻率分布直方圖中縱軸上的數(shù)據(jù)是各組的頻率除以組距的結(jié)果，不要誤

認(rèn)為縱軸上的數(shù)據(jù)是各組的頻率，不要和條形圖混淆.

②頻率分布直方圖中各小長方形的面積之和為1,這是解題的關(guān)鍵，常利用

頻率分布直方圖估計總體分布.

變式訓(xùn)練

1.(多選)(2020.福州市質(zhì)量檢測)某工廠有甲、乙兩條流水線同時生產(chǎn)直徑

為50mm的零件，各抽取10件進行測量，其結(jié)果如圖所示.則以下結(jié)論正確的

是()

第12頁共44頁

A.甲流水線生產(chǎn)的零件直徑的極差為0.4mm

B.乙流水線生產(chǎn)的零件直徑的中位數(shù)為50.0mm

C.乙流水線生產(chǎn)的零件直徑比甲流水線生產(chǎn)的零件直徑穩(wěn)定

D.甲流水線生產(chǎn)的零件直徑的平均值小于乙流水線生產(chǎn)的零件直徑的平均

值

ABC［由圖知甲流水線生產(chǎn)的零件直徑的極差為50.2—49.8=0.4(mm),故

A正確；由圖知乙流水線生產(chǎn)的零件直徑的中位數(shù)為50.0mm,故B正確；由圖

知乙流水線生產(chǎn)的零件直徑比甲流水線生產(chǎn)的零件直徑穩(wěn)定，故C正確，兩流

水線生產(chǎn)的零件平均值相等，D不正確.選ABC.］

073

2.某校隨機抽取20個班調(diào)查各班有出國意向的學(xué)生1764430

人數(shù)，所得數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示，以5為組距將數(shù)據(jù)分27554320

385430

成［0,5),［5,10),…，［30,35),［35,40］,所作的頻率

分布直方圖是()

震

05

04需04

-

03-03

-

02-02

0101

0510152025303540人數(shù)0510152025303540人數(shù)

AB

頻率頻率

組距

S

O0.404

O0.3O.03

O0.2O.02

O.

O0.101數(shù)

。

0人

10203C01()10203D040

頻率1

A［法一：由莖葉圖可知數(shù)據(jù)在［0,5)內(nèi)的有1個，其赤為雙=0.01,

頻率1頻率

在［5,10)內(nèi)的有1個，其薪為赤石=0.01,在［10,15)內(nèi)的有4個，其維

第13頁共44頁

4

為月=004,結(jié)合選項可知選A.

ZUAj

法二：由頻率分布直方圖的組距為5可排除C,D選項，又在區(qū)間［0,5),

頻率

［5,10)內(nèi)的數(shù)據(jù)個數(shù)相等，所以其告相等，故排除B選項，故選A.］

3.(2020.長沙市統(tǒng)一模擬考試)某學(xué)校對本校高三500名學(xué)生視力進行了

一次調(diào)查，隨機抽取了100名學(xué)生的體檢表，得到的頻率分布直方圖如圖所

示，若頻率分布直方圖后四組的頻數(shù)成等差數(shù)列，則估計本校高三這500名學(xué)

生中視力在4.8以上(含4.8)的人數(shù)為()

A.185B.180

C.195D.200

C［由題意得頻率分布直方圖前三組的頻率依次為0.03,0.07,0.27,所以

前三組的頻數(shù)依次為3,7,27,則后四組的頻數(shù)和為90,又后四組的頻數(shù)成等

差數(shù)列，所以后四組的頻數(shù)依次為27,24,21,18,所以視力在4.8以上(含4.8)

的頻率為39%,故本校高三這500名學(xué)生中視力在4.8以上(含4.8)的人數(shù)約為

500X39%=195.故選C.］

微專題系列42［五育并舉］

滲透體育教育踐行教化功能

(2020.新高考I卷)某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉，其中有96%的學(xué)

生喜歡足球或游泳，60%的學(xué)生喜歡足球，82%的學(xué)生喜歡游泳，則該中學(xué)既喜

歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是()

A.62%B.56%

C.46%D.42%

C［法一：記喜歡足球的學(xué)生為事件A,喜歡游泳的學(xué)生為事件B,由題意

得P(A+B)=0.96,P(A)=0.60,P(3)=0.82.因為P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB),

第14頁共44頁

所以P（A3）=0.60+0.82—0.96=0.46.故選C.

法二：設(shè)該校學(xué)生總數(shù)為100,既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)為x；則

100X96%=100X60%+100X82%-X,解得x=46,所以既喜歡足球又喜歡游

泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例為46%.選C.］

I爭名師點評

本題以學(xué)生喜歡的體育項目為背景設(shè)計，情境近實際，倡導(dǎo)學(xué)生積極參加體

育鍛煉.體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng).

變式訓(xùn)練

（多選X2020.山東臨沂期末）為了了解運動健身減肥的效果，某健身房調(diào)查

了20名肥胖者，健身之前他們的體重（單位：kg）情況如三維餅圖（1）.經(jīng)過4個

月的健身后，他們的體重情況如三維餅圖（2）.

對比健身前后，關(guān)于這20名肥胖者，下面結(jié)論正確的是（）

A.他們健身后，體重在區(qū)間［90,100）內(nèi)的人數(shù)增加了2

B.他們健身后，體重在區(qū)間［100,110）內(nèi)的人數(shù)沒有改變

C.他們健身后，20人的平均體重大約減少了8kg

D.他們健身后，原來體重在區(qū)間［110,120）內(nèi)的肥胖者的體重都減少了

ABD［體重在區(qū)間［90,100）內(nèi)的肥胖者由健身前的20X30%=6人增加

到健身后的20義40%=8人，所以增加了2人，A正確.他們健身后，體重在

區(qū)間［100,110）內(nèi)的百分比沒有變，所以人數(shù)沒有改變，B正確.他們健身

后，20人的平均體重大約減少了（0.3X95+0.5X105+0.2X115）-（0.1X85+

0.4X95+0.5X105）=5（kg）,C錯誤.因為題圖（2）中沒有體重在區(qū)間［110,

120）內(nèi)的比例，所以原來體重在區(qū)間［110,120）內(nèi)的肥胖者體重都減少了，D

正確.故選ABDJ

［友情提示］每道習(xí)題都是一個高考點，每項訓(xùn)練都是對能力的檢驗，認(rèn)

真對待它們吧！進入“課時作業(yè)（六十二）”，去收獲希望，體驗成功！本欄目

第15頁共44頁

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第16頁共44頁

2.變量間的相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計案例

課程標(biāo)準(zhǔn)考向預(yù)測

1.結(jié)合實例，了解樣本相關(guān)系數(shù)的

統(tǒng)計含義，了解樣本相關(guān)關(guān)系與標(biāo)準(zhǔn)化

數(shù)據(jù)向量夾角的關(guān)系.

2.結(jié)合實例，會通過相關(guān)系數(shù)比較

多組成對數(shù)據(jù)的相關(guān)性.考情分析：兩個變量線性相關(guān)的

3.結(jié)合具體實例，了解一元線性回判斷及應(yīng)用，回歸直線方程的求法及應(yīng)

歸模型的含義，了解模型參數(shù)的統(tǒng)計意用，利用2X2列聯(lián)表判斷兩個變量的相

義，了解最小二乘原理、掌握一元線性關(guān)關(guān)系將是高考考查的熱點，題型將是

回歸模型參數(shù)的最小二乘估計方法，會選擇題與填空題或者在解答題中綜合考

使用相關(guān)的統(tǒng)計軟件.查.

4.針對實際問題，會用一元線性回學(xué)科素養(yǎng)：數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析、

歸模型進行預(yù)測.數(shù)學(xué)運算.

5.通過實例，理解2X2列聯(lián)表的

統(tǒng)計意義.

6.通過實例，了解2X2列聯(lián)表的

獨立性檢驗及其應(yīng)用.

?等分步落實

精梳理、巧診斷，過好雙基關(guān)。

V學(xué)生用書P192

I整知識I.............................................................?>

1.相關(guān)關(guān)系與回歸方程

(1)相關(guān)關(guān)系的分類

①正相關(guān)：從散點圖上看，點散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi);

②負相關(guān)：從散點圖上看，點散布在從左上角到右下角的區(qū)域內(nèi).

(2)線性相關(guān)關(guān)系

從散點圖上看，如果這些點從整體上看大致分布在一條直線附近，則稱這兩

個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線.

第17頁共44頁

(3)回歸方程

①最小二乘法：使得樣本數(shù)據(jù)的點到回歸直線的距離的平方和最小的方法

叫最小二乘法.

②回歸方程：兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)：(xi,yi),(x2,*),…,

n__

Z(XLx)(yi—y)

3”其回歸方程為y/\=b/\x+a/\,貝!J。/\==

n_

Z(XLX)2

/=1

n__

Exiyi-nxy

/=!

一〃x2

/=1

a\=y-b/\x，其中，人八是回歸方程的斜莖，aA是在y軸上的截距.

(4)樣本相關(guān)系數(shù)

n

,用它來衡量兩個變量間的線性相關(guān)

①當(dāng)—>0時，表明兩個變量正相關(guān).

②當(dāng)7yo時，表明兩個變量負相關(guān).

③一的絕對值越接近于1,表明兩個變量的線性相關(guān)性越強,廠的絕對值越

接近于0,表明兩個變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系.通常當(dāng)加大于0.75時,

認(rèn)為兩個變量有很強的線性相關(guān)性.

2.獨立性檢驗

⑴2X2列聯(lián)表

假設(shè)有兩個分類變量X和匕它們的取值分別為｛用，也｝和｛yi,”｝,其樣本

頻數(shù)列聯(lián)表(稱2X2列聯(lián)表)為：

第18頁共44頁

Vy

總計

12

XIab

X2Cdc+d

ab

總計a+b+c+d

+c+d

(2)心統(tǒng)計量

n（ad—be）

爛=.（其中n=a+b+c+d為樣本容

十力）k…c+d八）（。+c）kb+d）

量）

I爭常用結(jié)論

(1)求解回歸方程的關(guān)鍵是確定回歸系數(shù)6八，應(yīng)充分利用回歸直線

過樣本中心點(x，y).

(2)根據(jù)K2的值可以判斷兩個分類變量有關(guān)的可信程度，若心越大，則兩

分類變量有關(guān)的把握越大.

(3)根據(jù)回歸方程計算的y八值，僅是一個預(yù)報值，不是真實發(fā)生的值.

I練基礎(chǔ)I..............................>?

1.判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“J”或“X”)

(1)散點圖是判斷兩個變量是否相關(guān)的一種重要方法和手段.()

(2)回歸直線方程yA=b/\x+aA至少經(jīng)過點(xi,yi),(xi,yi),…，(xn,

?)中的一個點.()

(3)若事件x,丫關(guān)系越密切，則由觀測數(shù)據(jù)計算得到的蜉的觀測值越

小.()

(4)兩個變量的相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1,它們的相關(guān)性越強.()

答案:⑴J⑵義⑶X(4)V

2.(必修3P90例題改編)某研究機構(gòu)對高三學(xué)生的記憶力x和判斷力)，進行

統(tǒng)計分析，所得數(shù)據(jù)如表：

02

第19頁共44頁

則y對x的線性回歸直線方程為（）

A.yA=2.3x—0.7B.yA=2.3x+0.7

C.yA=0.7x-2.3D.y/\=0.7x+2.3

C[易求x=9,y=4,樣本點的中心（9,4）代入驗證，滿足y/\=0.7》一2.3.]

3.（選修2—3P86例2改編）兩個變量y與x的回歸模型中，分別選擇了4個

不同模型，它們的相關(guān)指數(shù)K如下，其中擬合效果最好的模型是（）

A.模型1的相關(guān)指數(shù)R2為。98

B.模型2的相關(guān)指數(shù)R2為（）.80

C.模型3的相關(guān)指數(shù)改為0.50

D.模型4的相關(guān)指數(shù)R2為0.25

A[在兩個變量y與x的回歸模型中，它們的相關(guān)指數(shù)改越接近1,擬合

效果越好，在四個選項中A的相關(guān)指數(shù)最大，所以擬合效果最好的是模型L]

4.下面是一個2X2列聯(lián)表

Vy2總計

XIa2173

X222527

總計b46

則表中“，人處的值分別為.

解析：?.7+21=73,：.a=52.

又?.Z+2=b,

.'.b=54.

答案：52；54

5.根據(jù)回歸系數(shù)b八和回歸截距。八的計算公式可知：若y與龍之間的一

組數(shù)據(jù)為：

若擬合這5組數(shù)據(jù)的回歸直線恒經(jīng)過的點是（4,6）.則表中的M的值為

第20頁共44頁

，N的值為.

解析：根據(jù)題意，回歸直線恒經(jīng)過的點是(4,6).

一I

所以由尤X(l+M+3+4+5)=4,解得M=7,

——1

由=5X(3+5+6+N+9)=6,解得N=7.

答案：7；7

6你分類突破微點撥、多維練，研透命題點

V學(xué)生用書P193

相關(guān)關(guān)系的判斷自練型

［題組練透］

1.(多選)為了對變量x與y的線性相關(guān)進行檢驗，由樣本點(如，yi)、(及,

?)、…、(xio,yio)求得兩個變量的樣本相關(guān)系數(shù)為「，那么下面說法中錯誤的有

()

A.若所有樣本點都在直線y=-2x+1上，則/?=1

B.若所有樣本點都在直線y=-2x+l上，則/"=-2

C.若仍越大，則變量x與y的線性相關(guān)性越強

D.若團越小，則變量光與y的線性相關(guān)性越強

ABD［若所有樣本點都在直線y=—2x+l上，且直線斜率為負數(shù)，則r=

-1,A、B選項均錯誤；若|r|越大，則變量x與y的線性相關(guān)性越強，C選項正

確，D選項錯誤.故選：ABD.］

2.某公司的科研人員在7塊并排、形狀和大小相同的試驗田上對某棉花新

品種進行施化肥量x對產(chǎn)量y影響的試驗，得到如下表所示的一組數(shù)據(jù)(單位：

kg)：

施化1223344

肥量X5050505

棉花3334444

產(chǎn)量y30456505455055

(1)畫出散點圖；

(2)判斷施化肥量尤與產(chǎn)量y是否具有相關(guān)關(guān)系.

第21頁共44頁

解析：(1)散點圖如圖所示.

棉花產(chǎn)量？

500

450e??

400?

350??

300°

...........」

01020304050施化肥量4

(2)由散點圖知，各組數(shù)據(jù)對應(yīng)點大致都在一條直線附近，所以施化肥量工

與產(chǎn)量y具有線性相關(guān)關(guān)系.

練后悟通

判定兩個變量正'負相關(guān)性的方法

(1)畫散點圖：點的分布從左下角到右上角，兩個變量正相關(guān)；點的分布從

左上角到右下角，兩個變量負相關(guān).

(2)相關(guān)系數(shù)：r〉0時，正相關(guān)；/＜0時，負相關(guān).

(3)線性回歸方程中：匕八＞0時，正相關(guān)；b八＜0時，負相關(guān).

線性回歸方程多維型

角度一線性回歸方程及其應(yīng)用

為加快經(jīng)濟轉(zhuǎn)型升級，加大技術(shù)研發(fā)力度，某市建立高新科技研發(fā)園

區(qū)，并力邀某高校入駐該園區(qū).為了解教職工意愿，該高校在其所屬的8個學(xué)院

的教職工中作了“是否意愿將學(xué)校整體搬遷至研發(fā)園區(qū)”的問卷調(diào)查，8個學(xué)院

請預(yù)測該校愿意將學(xué)校整體搬遷至研發(fā)園區(qū)的人數(shù).

A?.VyA_A_

參皆公式及數(shù)據(jù)：〃=:―5r-----------------,a=y—〃?1?

V，9

乙.?7

/-I

S.r,y,=16310,光吁=2。400.

I-1i-I

第22頁共44頁

8____

——Ai~1

解析：由已知得_r=45.y=36,58—

S—8/

i~1

16310—8X45X36A

比0.80,61=36-0.80X45=0,

20400-8X452

故變量y關(guān)于變量x的線性回歸方程為yA=0.80x.

所以當(dāng)x=2500時，y=2500X0.80=2000,所以該校愿意將學(xué)校整體搬遷

至研發(fā)園區(qū)的人數(shù)約為2000.

口歸納升華

求線性回歸方程的基本步驟

(1)先把數(shù)據(jù)制成表，從表中計算出x、y,x；+%2H--------H京、xiyi+x2y2

H-----的值；

(2)計算回歸系數(shù)aA,bA；

(3)寫出線性回歸方程y/\=b\x+a\.

注意：回歸方程一定過點(x,y).

角度二相關(guān)系數(shù)及其應(yīng)用

區(qū)巨(2020.全國卷II)某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生

動物數(shù)量有所增加.為調(diào)查該地區(qū)某種野生動物的數(shù)量，將其分成面積相近的

200個地塊，從這些地塊中用簡單隨機抽樣的方法抽取20個作為樣區(qū)，調(diào)查得

到樣本數(shù)據(jù)⑶，y)(i=l，2,…，20),其中屈和y分別表示第，個樣區(qū)的植物覆

202()

蓋面積(單位：公頃)和這種野生動物的數(shù)量，并計算得8,=60,Sv/=1200,

/=1i=l

202020

2=

X(兇一X)2=80,Z(yi-y)9000,Z⑶一x)(y—y)=800.

i=lz=lz=l

(1)求該地區(qū)這種野生動物數(shù)量的估計值(這種野生動物數(shù)量的估計值等于

樣區(qū)這種野生動物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù))；

(2)求樣本?,y,)(i=l,2,20)的相關(guān)系數(shù)(精確到0.01)；

(3)根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大.為提高樣本的代

第23頁共44頁

表性以獲得該地區(qū)這種野生動物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計，請給出一種你認(rèn)為更合理

的抽樣方法，并說明理由.