江蘇省宿遷市泗陽縣2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷（解析版）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（5分）++等于（）A． B． C． D．2．（5分）cos50°cos160°﹣cos40°sin160°＝（）A． B． C．﹣ D．﹣3．（5分）若向量，則與的夾角為（）A． B． C． D．4．（5分）在△ABC中，已知A＝75°，B＝45°，b＝4，則c＝（）A． B．2 C． D．5．（5分）△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a，b，c．已知a＝7，b＝3，c＝8，則△ABC的面積為（）A．6 B．6 C． D．146．（5分）已知向量，的夾角為，且，，則＝（）A．19 B．7 C． D．7．（5分）已知，則的值為（）A． B． C． D．8．（5分）如果滿足∠ABC＝45°，AB＝6，AC＝b的△ABC有且只有一個(gè)，那么實(shí)數(shù)b的取值范圍是（）A．（0，6] B．[6，+∞） C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9．（6分）下列命題正確的是（）A．||＝||?＝ B．||＞||?＞ C．||＝0?＝ D．＝?（多選）10．（6分）下列化簡(jiǎn)結(jié)果正確的是（）A． B． C． D．（多選）11．（6分）在△ABC中，a，b，c分別為角A、B，C的對(duì)邊，下列敘述正確的是（）A．若acosB＝bcosA，則△ABC為等腰三角形 B．若atanA＝btanB，則△ABC為等腰三角形 C．若sin2A+sin2B+cos2C＜1，則△ABC為銳角三角形 D．若cos2A+cos2B+cos2C＞﹣1，則△ABC為鈍角三角形三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．（5分）若cos（α﹣）＝，則sin2α＝．13．（5分）已知為一個(gè)單位向量，若在上的投影向量為，，則與的夾角為．14．（5分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a，b，c，若，且a＝4，則A＝，△ABC面積的值為．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）化簡(jiǎn)與求值：（1）；（2）．16．（15分）已知在△ABC中，M是邊BC的中點(diǎn)，N是邊AB上的點(diǎn)，且．記．（1）用，表示向量；（2）若，且AM⊥CN，求∠BAC的大?。?7．（15分）電視塔是縣城的標(biāo)志性建筑，我校高一年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組去測(cè)量電視塔AB的高度，該興趣小組同學(xué)在電視塔底B的正東方向上選取兩個(gè)測(cè)量點(diǎn)C與D，記∠ACB＝α，∠ADB＝β（圖1），測(cè)得CD＝225米，tanα＝2，．（1）請(qǐng)據(jù)此算出電視塔AB的高度；（2）為慶祝即將到來的五一勞動(dòng)節(jié)，縣政府決定在電視塔上A到E處安裝彩燈烘托節(jié)日氣氛．已知AE＝50米，市民在電視塔底B的正東方向上的F處欣賞彩燈（圖2），請(qǐng)問當(dāng)BF為多少米時(shí)，欣賞彩燈的視角θ最大？18．（17分）已知ΔABC中，AB＝4，AC＝2，M為BC邊上的點(diǎn)．（1）若BC＝3，求BC邊上的高；（2）若M為BC的中點(diǎn)，且∠BAC＝60°，求線段AM的長(zhǎng)；（3）若AM平分∠BAC，求線段AM長(zhǎng)的取值范圍．19．（17分）給出定義：對(duì)于函數(shù)f（x）＝msinx+ncosx，則稱向量為函數(shù)f（x）的特征向量，同時(shí)稱函數(shù)f（x）為向量的特征函數(shù)．（1）設(shè)向量分別為函數(shù)與函數(shù)的特征向量，求；（2）設(shè)向量的特征函數(shù)為h（x），且，，求sinθ的值；（3）已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，，設(shè)函數(shù)φ（x）＝bsinx+2ccosx的特征向量為，且，M，N分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，求的取值范圍．

參考答案與試題解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（5分）++等于（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)平面向量的加法運(yùn)算法則，進(jìn)行化簡(jiǎn)即可．【解答】解：根據(jù)平面向量的加法運(yùn)算，得；++＝（+）+＝+＝．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的加法運(yùn)算法則問題，解題時(shí)應(yīng)利用平面向量的加法運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)，是容易題．2．（5分）cos50°cos160°﹣cos40°sin160°＝（）A． B． C．﹣ D．﹣【分析】由條件利用誘導(dǎo)公式、兩角和的正弦公式，化簡(jiǎn)所給的式子為sin（﹣120°），從而求得結(jié)果．【解答】解：cos50°cos160°﹣cos40°sin160°＝sin40°cos160°﹣cos40°sin160°＝sin（40°﹣160°）＝．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩角和的正弦公式，誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．3．（5分）若向量，則與的夾角為（）A． B． C． D．【分析】直接利用向量的夾角運(yùn)算和向量的模的運(yùn)算的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：對(duì)于向量，所以，由于θ∈[0，π]，所以：．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：向量的夾角運(yùn)算，向量的模，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．4．（5分）在△ABC中，已知A＝75°，B＝45°，b＝4，則c＝（）A． B．2 C． D．【分析】根據(jù)題意和三角形的內(nèi)角和定理求出角C，再由正弦定理求出邊c．【解答】解：由A＝75°，B＝45°得，C＝180°﹣A﹣B＝60°，由正弦定理得，，則c＝＝＝，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用正弦定理解三角形，以及三角形的內(nèi)角和定理，屬于基礎(chǔ)題．5．（5分）△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a，b，c．已知a＝7，b＝3，c＝8，則△ABC的面積為（）A．6 B．6 C． D．14【分析】直接利用海倫公式求出三角形的面積．【解答】解：由于a＝7，b＝3，c＝8，所以p＝所以利用海倫公式，S＝＝，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角形的面積公式，海倫公式，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題型．6．（5分）已知向量，的夾角為，且，，則＝（）A．19 B．7 C． D．【分析】根據(jù)平面向量的數(shù)量積與模長(zhǎng)公式求解即可．【解答】解：由題意可得||＝＝＝＝．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的數(shù)量積與模長(zhǎng)公式的應(yīng)用問題，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．7．（5分）已知，則的值為（）A． B． C． D．【分析】由已知結(jié)合兩角和與差的正切公式即可求解．【解答】解：因?yàn)?，所以tan2α＝tan[（α+β）+（α﹣β）]＝＝＝，tan2β＝tan[（α+β）﹣（α﹣β）]＝＝＝，則＝＝．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了和差角公式在三角求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．8．（5分）如果滿足∠ABC＝45°，AB＝6，AC＝b的△ABC有且只有一個(gè)，那么實(shí)數(shù)b的取值范圍是（）A．（0，6] B．[6，+∞） C． D．【分析】由正弦定理列式，得出sinC＝＝，根據(jù)符合條件的△ABC有且只有一個(gè)，列式算出b的取值范圍．【解答】解：根據(jù)正弦定理，得，即＝，解得sinC＝，若滿足條件的△ABC有且只有一個(gè)，則C＝90°或C≤B＝45°，所以sinC＝＝1或sinC＝≤，結(jié)合b＞0，解得b＝或b≥6，即實(shí)數(shù)b的取值范圍是[6，+∞）∪{}．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查利用正弦定理解三角形、三角函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9．（6分）下列命題正確的是（）A．||＝||?＝ B．||＞||?＞ C．||＝0?＝ D．＝?【分析】由題意利用共線向量，向量的模的定義，判斷各個(gè)選項(xiàng)是否正確，從而得出結(jié)論．【解答】解：由||＝||，不能推出＝，故排除A；由||＞||，不能推出＞，故排除B；||＝0?＝，正確；＝，不等于∥，故排除D，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查共線向量，向量的模的定義，屬于基礎(chǔ)題．（多選）10．（6分）下列化簡(jiǎn)結(jié)果正確的是（）A． B． C． D．【分析】由已知結(jié)合和差角公式，二倍角公式，輔助角公式檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷．【解答】解：cos15°＝cos（60°﹣45°）＝cos60°cos45°+sin60°sin45°＝＝，A正確；因?yàn)閠an（10°+50°）＝＝，B正確；sin15°﹣cos15°＝2（cos60°sin15°﹣sin60°cos15°）＝2sin（﹣45°）＝﹣，C錯(cuò)誤；sin15°sin30°sin75°＝sin15°cos15°＝＝，D錯(cuò)誤．故選：AB．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了和差角公式，二倍角公式及輔助角公式在三角化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．（多選）11．（6分）在△ABC中，a，b，c分別為角A、B，C的對(duì)邊，下列敘述正確的是（）A．若acosB＝bcosA，則△ABC為等腰三角形 B．若atanA＝btanB，則△ABC為等腰三角形 C．若sin2A+sin2B+cos2C＜1，則△ABC為銳角三角形 D．若cos2A+cos2B+cos2C＞﹣1，則△ABC為鈍角三角形【分析】選項(xiàng)A，利用正弦定理化邊為角，再由兩角差的正弦公式，即可判斷；選項(xiàng)B，結(jié)合同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系，正弦定理與余弦定理，化簡(jiǎn)推出a＝b，從而作出判斷；選項(xiàng)C，利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系與正弦定理，化簡(jiǎn)運(yùn)算，即可作出判斷；選項(xiàng)D，結(jié)合二倍角公式，運(yùn)用兩次和差化積，推出cosCcosAcosB＜0，從而作出判斷．【解答】解：選項(xiàng)A，由acosB＝bcosA及正弦定理得，sinAcosB＝sinBcosA，所以sin（A﹣B）＝0，即A＝B，所以△ABC為等腰三角形，即選項(xiàng)A正確；選項(xiàng)B，因?yàn)閍tanA＝btanB，所以a?＝b?，由正弦定理知，，由余弦定理知，＝，整理得，（a3﹣b3）+（a﹣b）c2﹣ab（a﹣b）＝0，所以（a﹣b）（a2+ab+b2+c2﹣ab）＝0，即（a﹣b）（a2+b2+c2）＝0，因?yàn)閍2+b2+c2＞0，所以a﹣b＝0，即a＝b，所以△ABC為等腰三角形，即選項(xiàng)B正確；選項(xiàng)C，因?yàn)閟in2A+sin2B+cos2C＜1，所以sin2A+sin2B＜1﹣cos2C＝sin2C，由正弦定理知，a2+b2＜c2，所以△ABC為鈍角三角形，即選項(xiàng)C正確；選項(xiàng)D，由cos2A+cos2B+cos2C＞﹣1知，cos2A+cos2B＞﹣（1+cos2C），所以2cos（A+B）cos（A﹣B）＞﹣2cos2C，因?yàn)锳+B＝C，所以cos（A+B）＝﹣cosC，所以﹣2cosCcos（A﹣B）＞﹣2cos2C，即cosC[cos（A﹣B）﹣cosC]＜0，所以cosC[cos（A﹣B）+cos（A+B）]＜0，所以cosCcosAcosB＜0，又A+B+C＝π，所以A，B，C中有且僅有一個(gè)是鈍角，所以△ABC是鈍角三角形，即選項(xiàng)D正確．故選：ABD．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角形形狀的判斷，熟練掌握正余弦定理，和差化積公式是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．（5分）若cos（α﹣）＝，則sin2α＝．【分析】由已知結(jié)合兩角差的余弦公式及同角平方關(guān)系，二倍角公式即可求解．【解答】解：因?yàn)閏os（α﹣）＝＝，所以cosα+sinα＝，兩邊平方得1+2sinαcosα＝則sin2α＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了兩角差的余弦公式，同角平方關(guān)系及二倍角公式，屬于基礎(chǔ)題．13．（5分）已知為一個(gè)單位向量，若在上的投影向量為，，則與的夾角為．【分析】結(jié)合投影向量的定義，即可求解．【解答】解：設(shè)與的夾角為θ，θ∈[0，π]在上的投影向量為，為一個(gè)單位向量，則，即cosθ＝，解得θ＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查投影向量的定義，屬于基礎(chǔ)題．14．（5分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a，b，c，若，且a＝4，則A＝，△ABC面積的值為．【分析】由余弦定理可得3a2﹣3b2+c2＝0，且a2+5b2﹣5c2＝0，2a2+b2﹣2c2＝0，可得b，c的值，再由余弦定理可得cosA的值，進(jìn)而求出角A的大小，再求出△ABC的面積．【解答】解：因?yàn)?，由余弦定理可得＝＝，所?a2﹣3b2+c2＝0，且a2+5b2﹣5c2＝0，2a2+b2﹣2c2＝0，又因?yàn)閍＝4，所以b2＝，c2＝，由余弦定理可得cosA＝＝＝，而A∈（0，π），可得A＝，S△ABC＝bcsinA＝sinA＝?a?＝＝．故答案為：；．【點(diǎn)評(píng)】本題考查余弦定理及三角形的面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）化簡(jiǎn)與求值：（1）；（2）．【分析】（1）由同角三角函數(shù)關(guān)系及兩個(gè)差的正切公式求解即可；（2）由余弦的二倍角公式及兩角和差的余弦公式求解即可．【解答】解：（1）原式＝＝；（2）由倍角公式cos2α＝1﹣2sin2α，得，所以sin2（α﹣）+sin2（α+）﹣sin2α＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了兩角和差的正切、余弦公式及二倍角公式的應(yīng)用，屬于中檔題．16．（15分）已知在△ABC中，M是邊BC的中點(diǎn)，N是邊AB上的點(diǎn)，且．記．（1）用，表示向量；（2）若，且AM⊥CN，求∠BAC的大?。痉治觥浚?）由平面向量的線性運(yùn)算計(jì)算即可；（2）由平面向量的線性運(yùn)算將用表示出來，再由向量垂直的性質(zhì)建立方程求得，從而即可求得．【解答】解：（1）因?yàn)镸是邊BC的中點(diǎn)，N是邊AB上的點(diǎn)，且，所以＝；（2）因?yàn)镸是邊BC的中點(diǎn)，N是邊AB上的點(diǎn)，且，所以，因?yàn)锳M⊥CN，所以，即，所以，化簡(jiǎn)得：，因?yàn)?，所以，所以＝，即，所以，即．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算，屬于中檔題．17．（15分）電視塔是縣城的標(biāo)志性建筑，我校高一年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組去測(cè)量電視塔AB的高度，該興趣小組同學(xué)在電視塔底B的正東方向上選取兩個(gè)測(cè)量點(diǎn)C與D，記∠ACB＝α，∠ADB＝β（圖1），測(cè)得CD＝225米，tanα＝2，．（1）請(qǐng)據(jù)此算出電視塔AB的高度；（2）為慶祝即將到來的五一勞動(dòng)節(jié)，縣政府決定在電視塔上A到E處安裝彩燈烘托節(jié)日氣氛．已知AE＝50米，市民在電視塔底B的正東方向上的F處欣賞彩燈（圖2），請(qǐng)問當(dāng)BF為多少米時(shí)，欣賞彩燈的視角θ最大？【分析】（1）由銳角的正切函數(shù)的定義，解方程可得所求值；（2）運(yùn)用兩角差的正切公式，結(jié)合基本不等式可得所求．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，得，在Rt△ABD中，得BD＝2AB，因?yàn)镃D＝BD﹣BC，所以，解得AB＝150米．（2）由圖可知θ＝∠AFB﹣∠EFB，設(shè)BF＝x米，則＝，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．顯然且y＝tanθ在單調(diào)遞增，即tanθ最大時(shí)，θ最大．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形，以及兩角差的正切公式和基本不等式的運(yùn)用，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．18．（17分）已知ΔABC中，AB＝4，AC＝2，M為BC邊上的點(diǎn)．（1）若BC＝3，求BC邊上的高；（2）若M為BC的中點(diǎn)，且∠BAC＝60°，求線段AM的長(zhǎng)；（3）若AM平分∠BAC，求線段AM長(zhǎng)的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)余弦定理求得cosB＝，進(jìn)而可得sinB＝，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，算出BC邊上的高的值；（2）根據(jù)三角形中線的性質(zhì)，可得，兩邊平方并利用數(shù)量積的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)，算出||＝，可得答案；（3）設(shè)，利用三角形的面積公式列式，化簡(jiǎn)出用α表示AM長(zhǎng)的表達(dá)式，然后根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)算出答案．【解答】解：（1）在△ABC中，由余弦定理得＞0，可知B為銳角，所以，設(shè)△ABC中，BC邊上的高為AD，則在Rt△ABD中，AD＝．（2）根據(jù)題意，可得＝||?||cos60°＝4，因?yàn)镸是BC的中點(diǎn)，所以，兩邊平方得＝（16+4+8）＝7，所以||＝，即線段AM的長(zhǎng)等于；（3）設(shè)，因?yàn)锳M平分∠BAC，所以∠BAM＝∠CAM＝α，由S△BAC＝S△BAM+S△CAM