專題06三角形（解析版）1．（2023·福建·統(tǒng)考中考真題）若某三角形的三邊長分別為3，4，m，則m的值可以是（）A．1 B．5 C．7 D．9【答案】B【分析】根據(jù)三角形的三邊關系求解即可．【詳解】解：由題意，得4-3<m<4+3，即1<m<7，故m的值可選5，故選：B．【點睛】本題考查了三角形的三邊關系，熟練掌握三角形的三邊關系是解答的關鍵．2．（2023·福建·統(tǒng)考中考真題）閱讀以下作圖步驟：①在OA和OB上分別截取OC,OD，使OC=OD；②分別以C,D為圓心，以大于12CD的長為半徑作弧，兩弧在∠AOB內(nèi)交于點③作射線OM，連接CM,DM，如圖所示．根據(jù)以上作圖，一定可以推得的結論是（

）

A．∠1=∠2且CM=DM B．∠1=∠3且CM=DMC．∠1=∠2且OD=DM D．∠2=∠3且OD=DM【答案】A【分析】由作圖過程可得：OD=OC,CM=DM，再結合DM=DM可得△COM≌△DOMSSS，由全等三角形的性質(zhì)可得∠1=∠2【詳解】解：由作圖過程可得：OD=OC,CM=DM，∵DM=DM，∴△COM≌△DOMSSS∴∠1=∠2．∴A選項符合題意；不能確定OC=CM,則∠1=∠3不一定成立，故B選項不符合題意；不能確定OD=DM,故C選項不符合題意，OD∥CM不一定成立，則∠2=∠3不一定成立，故故選A．【點睛】本題主要考查了角平分線的尺規(guī)作圖、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識點，理解尺規(guī)作圖過程是解答本題的關鍵．3．（2023·福建·統(tǒng)考中考真題）我國魏晉時期數(shù)學家劉徽在《九章算術注》中提到了著名的“割圓術”，即利用圓的內(nèi)接正多邊形逼近圓的方法來近似估算，指出“割之彌細，所失彌少．割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所失矣”．“割圓術”孕育了微積分思想，他用這種思想得到了圓周率π的近似值為3.1416．如圖，⊙O的半徑為1，運用“割圓術”，以圓內(nèi)接正六邊形面積近似估計⊙O的面積，可得π的估計值為332，若用圓內(nèi)接正十二邊形作近似估計，可得A．3 B．22 C．3 D．【答案】C【分析】根據(jù)圓內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)可得∠AOB=30°，根據(jù)30度的作對的直角邊是斜邊的一半可得BC=1【詳解】解：圓的內(nèi)接正十二邊形的面積可以看成12個全等的等腰三角形組成，故等腰三角形的頂角為30°，設圓的半徑為1，如圖為其中一個等腰三角形OAB，過點B作BC⊥OA交OA于點于點C，∵∠AOB=30°，∴BC=1則S△OAB故正十二邊形的面積為12S圓的面積為π×1×1=3，用圓內(nèi)接正十二邊形面積近似估計⊙O的面積可得π=3，故選：C．【點睛】本題考查了圓內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)，30度的作對的直角邊是斜邊的一半，三角形的面積公式，圓的面積公式等，正確求出正十二邊形的面積是解題的關鍵．4．（2022·福建·統(tǒng)考中考真題）美術老師布置同學們設計窗花，下列作品為軸對稱圖形的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進行分析即可．【詳解】解：A、是軸對稱圖形，故此選項符合題意；B、不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；C、不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；D、不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；故選：A．【點睛】此題主要考查了軸對稱圖形，關鍵是掌握軸對稱圖形的定義．5．（2022·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖所示的衣架可以近似看成一個等腰三角形ABC，其中AB＝AC，∠ABC=27°，BC＝44cm，則高AD約為（

）（參考數(shù)據(jù)：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，A．9.90cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm【答案】B【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及BC＝44cm，可得DC=12BC=22cm，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及∠ABC=27°，可得∠ACB=∠ABC=27°，在Rt△ADC中，由AD=【詳解】解：∵等腰三角形ABC，AB＝AC，AD為BC邊上的高，∴DC=1∵BC＝44cm，∴DC=12∵等腰三角形ABC，AB＝AC，∠ABC=27°，∴∠ACB=∠ABC=27°．∵AD為BC邊上的高，∠ACB=27°，∴在Rt△ADC中，AD=tan∵tan27°≈0.51，DC=22cm∴AD≈0.51×22=11.22cm．故選：B．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握正切的定義是解題的關鍵．6．（2022·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖，現(xiàn)有一把直尺和一塊三角尺，其中∠ABC=90°，∠CAB=60°，AB＝8，點A對應直尺的刻度為12.將該三角尺沿著直尺邊緣平移，使得△ABC移動到△A'B'C'，點A'A．96 B．963 C．192 D．【答案】B【分析】根據(jù)直尺與三角尺的夾角為60°，根據(jù)四邊形ACC'A【詳解】解：依題意ACC∵∠ABC=90°，∠CAB=60°，AB＝8，AA∴AC=2AB∴平行四邊形ACC'A'的面積故選B【點睛】本題考查了解直角三角形，平移的性質(zhì)，掌握平移的性質(zhì)是解題的關鍵．7．（2021·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖，某研究性學習小組為測量學校A與河對岸工廠B之間的距離，在學校附近選一點C，利用測量儀器測得∠A=60°,∠C=90°,AC=2km．據(jù)此，可求得學校與工廠之間的距離AB等于（

A．2km B．3km C．23km D【答案】D【分析】解直角三角形，已知一條直角邊和一個銳角，求斜邊的長．【詳解】∵∠A=60°,∠C=90°,AC=2∴cosA=∴AB=AC故選D．【點睛】本題考查解直角三角形應用，掌握特殊銳角三角函數(shù)的值是解題關鍵．8．（2021·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖，點F在正五邊形ABCDE的內(nèi)部，△ABF為等邊三角形，則∠AFC等于（

）A．108° B．120° C．126° D．132°【答案】C【分析】根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式可求出∠ABC的度數(shù)，根據(jù)正五邊形的性質(zhì)可得AB=BC，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠ABF=∠AFB=60°，AB=BF，可得BF=BC，根據(jù)角的和差關系可得出∠FBC的度數(shù)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可求出∠BFC的度數(shù)，根據(jù)角的和差關系即可得答案．【詳解】∵ABCDE是正五邊形，∴∠ABC=(5-2)×180°5=108°，AB=BC∵△ABF為等邊三角形，∴∠ABF=∠AFB=60°，AB=BF，∴BF=BC，∠FBC=∠ABC-∠ABF=48°，∴∠BFC=12(180°-∠FBC)∴∠AFC=∠AFB+∠BFC=126°，故選：C．【點睛】本題考查多邊形內(nèi)角和、等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握多邊形內(nèi)角和公式是解題關鍵．9．（2020·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖，面積為1的等邊三角形ABC中，D,E,F分別是AB，BC，CA的中點，則ΔDEF的面積是（

）A．1 B．12 C．13 D【答案】D【分析】根據(jù)題意可以判斷四個小三角形是全等三角形,即可判斷一個的面積是14【詳解】∵D,E,F分別是AB，BC，CA的中點,且△ABC是等邊三角形,∴△ADF≌△DBE≌△FEC≌△DFE,∴△DEF的面積是14故選D．【點睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)及全等,關鍵在于熟練掌握等邊三角形的特殊性質(zhì)．10．（2020·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖，AD是等腰三角形ABC的頂角平分線，BD=5，則CD等于（

）A．10 B．5 C．4 D．3【答案】B【分析】根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可判斷CD的長．【詳解】∵AD是等腰三角形ABC的頂角平分線∴CD=BD=5．故選：B．【點睛】本題考查等腰三角形的三線合一，關鍵在于熟練掌握基礎知識．11．（2023·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖，在?ABCD中，O為BD的中點，EF過點O且分別交AB,CD于點E,F．若AE=10，則CF的長為___________．

【答案】10【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得DC∥AB,DC=AB即∠OFD=∠OEB,∠ODF=∠EBO，再結合OD=OB可得△DOF≌△BOEAAS可得DF=EB【詳解】解：∵ABCD中，∴DC∥∴∠OFD=∠OEB,∠ODF=∠EBO，∵OD=OB，∴△DOF≌△BOEAAS∴DF=EB，∴DC-DF=AB-BE,即FC=AE=10．故答案為：10．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識點，證明三角形全等是解答本題的關鍵．12．（2023·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形ABCD中，AB=10，∠B=60°，則AC的長為

【答案】10【分析】由菱形ABCD中，∠B=60°，易證得△ABC是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得解．【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC=10，∵∠B=60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AC=10．故答案為：10．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟記菱形的性質(zhì)并推出等邊三角形是解題的關鍵．13．（2022·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC的中點．若BC＝12，則DE的長為______．【答案】6【分析】利用中位線的性質(zhì)計算即可．【詳解】∵D，E分別是AB，AC的中點，∴DE是△ABC的中位線，又BC=12，∴DE=1故答案為：6．【點睛】本題考查了三角形中位線的性質(zhì)，中位線平行且等于第三邊的一半，熟記中位線的性質(zhì)是解題的關鍵．14．（2021·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖，AD是△ABC的角平分線．若∠B=90°,BD=3，則點D到AC的距離是_________【答案】3【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)，角平分線上的點到角的兩邊的距離相等，即可求得．【詳解】如圖，過D作DE⊥AC，則D到AC的距離為DE∵AD平分∠CAB，∠B=90°,BD=3∴DE=BD=∴點D到AC的距離為3．故答案為3．【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，點到直線的距離等知識，理解點到直線的距離的定義，熟知角平分線的性質(zhì)是解題關鍵．15．（2020·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖所示的六邊形花環(huán)是用六個全等的直角三角形拼成的，則∠ABC等于_______度．【答案】30【分析】先證出內(nèi)部的圖形是正六邊形，求出內(nèi)部小正六邊形的內(nèi)角，即可得到∠ACB的度數(shù)，根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余即可求解．【詳解】解：由題意六邊形花環(huán)是用六個全等的直角三角形拼成，可得BD=AC，BC=AF，∴CD=CF，同理可證小六邊形其他的邊也相等，即里面的小六邊形也是正六邊形，∴∠1=16∴∠2=180°-120°=60°，∴∠ABC=30°，故答案為：30．【點睛】本題考查正多邊形的證明、多邊形的內(nèi)角和以及三角形的內(nèi)角和，熟練掌握多邊形內(nèi)角和的計算是解題的關鍵．一、單選題1．（2023·山東聊城·?？家荒＃┤鐖D，在RtΔABC中，∠ACB=90°，CD為AB邊上的高，CE為AB邊上的中線，AB=10，AD=2，則CD的長度是（

）A．2 B．3 C．4.8 D．4【答案】D【分析】由已知條件推知AE=CE=12AB=5，則DE=3．在直角△CDE中，利用勾股定理求CD【詳解】解：如圖，∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，CE為AB邊上的中線，AB=10，∴AE=CE=12AB=5∵AD=2，∴DE=3．∵CD為AB邊上的高，∴∠CDE=90°，∴由勾股定理，得CD=CE故選：D．【點睛】本題主要考查了勾股定理和直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，根據(jù)已知條件得到線段EC，DE的長度是解題的關鍵．2．（2023·天津南開·校聯(lián)考二模）如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=AC，將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)40°得到出△A'B'C'，CB'與ABA．10° B．15° C．20° D．30°【答案】C【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠ACA’=40°，AC=A’C，由等邊對等角求出∠AA’C的度數(shù)，問題得解.【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)可知：∠ACA’=40°，AC=A’C，∠B’A’C=∠BAC=90°，∴∠CAA’=∠AA’C=12∴∠B’A’A=90°-70°=20°，故選C.【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，明確旋轉(zhuǎn)角的定義與旋轉(zhuǎn)前后對應角相等是解題關鍵.3．（2023·河南三門峽·?？家荒＃┤鐖D，AB∥CD，BE∥CF，∠B=44°，則∠C的度數(shù)為（

）A．146° B．136° C．144° D．134°【答案】B【分析】首先根據(jù)平行線的性質(zhì)求得∠CGE=∠B=44°，然后再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠C的度數(shù)．【詳解】解：∵AB∥CD，∠B=44°，∴∠CGE=∠B=44°，∵BE∥CF，∴∠C=180°-∠CGE=136°，故選：B．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，關鍵是掌握兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．4．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）第二十四屆國際數(shù)學家大會會徽的設計基礎是1700多年前中國古代數(shù)學家趙爽的“弦圖”．如圖，在由四個全等的直角三角形（△DAE,△ABF,△BCG,△CDH）和中間一個小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，∠ABF>∠BAF，連接BE．設∠BAF=α,∠BEF=β，若正方形EFGH與正方形ABCD的面積之比為1:n,tanα=tan2β

A．5 B．4 C．3 D．2【答案】C【分析】設BF=AE=a，EF=b，首先根據(jù)tanα=tan2β得到2a2+2ab=2b2，然后表示出正方形ABCD的面積為AB2【詳解】設BF=AE=a，EF=b，∵tanα=tan2∴BFAF=BF∴aa+b=a∴2a∵∠AFB=90°，∴AB∴正方形ABCD的面積為AB∵正方形EFGH的面積為EF∵正方形EFGH與正方形ABCD的面積之比為1:n，∴b2∴解得n=3．故選：C．【點睛】此題考查了勾股定理，解直角三角形，趙爽“弦圖”等知識，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點．5．（2023·浙江杭州·校聯(lián)考一模）如圖，邊長相等的正五邊形和正六邊形如圖拼接在一起，則∠ABC的度數(shù)為（

）A．22度 B．23度 C．24度 D．25度【答案】C【分析】先根據(jù)正多邊形的內(nèi)角公式求出正五邊形和正六邊形的一個內(nèi)角，進而求得∠BAC，再根據(jù)等腰三角形的等邊對等角性質(zhì)求解即可．【詳解】解：由題意，正五邊形的一個內(nèi)角為5-2×180°5=108°，正六邊形的一個內(nèi)角為6-2∴∠BAC=360°-108°-120°=132°，∴∠ABC=180°-∠BAC故選：C．【點睛】本題考查正多邊形的內(nèi)角問題、等腰三角形的性質(zhì)，熟記正多邊形的內(nèi)角和公式是解答的關鍵．6．（2023·湖南·長沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學校?？家荒＃┤鐖D，在△ABC中，BD，CE分別為AC，AB邊上的中線，BD⊥CE,若BD＝3，CE＝2，則△ABC的面積為（

）A．4 B．8 C．12 D．16【答案】A【分析】根據(jù)題意得到點O是△ABC的重心，得到OC=23CE=43，根據(jù)三角形的面積公式求出【詳解】∵BD，CE分別為AC，AB邊上的中線，∴點O是△ABC的重心，∴OC=23CE∴S△BDC=12∵BD為AC邊上的中線∴△ABC的面積=2S△BDC=4，故選A.【點睛】此題主要考查三角形的重心，解題的關鍵是熟知三角形中線的性質(zhì).7．（2023·山東煙臺·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形ABCD中，AB=12，AD=10，點E在AD上，點F在BC上，且AE=CF，連結CE，DF，則CE+DF的最小值為（

）A．26 B．25 C．24 D．22【答案】A【分析】先連接BE，將CE+DF轉(zhuǎn)化為CE+BE，再利用將軍飲馬解決問題即可．【詳解】解：如圖，連接BE，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠BAE=∠DCF=90°，∵AE=CF，∴△ABE≌△CDF，∴BE=DF，∴CE+DF=CE+BE，如圖，作點B關于A點的對稱點B'，連接CCB'即為∵AB=12，AD=10，∴BB'=24∴CB∴CE+DF的最小值為26，故A正確．故選：A．【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)、勾股定理、將軍飲馬問題、全等三角形的判定與性質(zhì)等內(nèi)容，綜合性較強，將CE+DF轉(zhuǎn)化為CE+BE是解題的關鍵．8．（2023·江蘇連云港·?？家荒＃┤鐖D，AB∥DF，AC⊥CE于C，BC與DF交于點E，若∠A=20°，則∠CEF等于（

）

A．110° B．100° C．80° D．70°【答案】A【詳解】∵AC⊥BC于C，∴△ABC是直角三角形，∴∠ABC=180°-∠A-∠C=180°-20°-90°=70°，∴∠ABE=180°-∠ABC=110°，∵AB∥DF，∴∠CEF=∠ABE=110°．故選A．9．（2023·四川涼山·統(tǒng)考中考真題）下列長度的三條線段能組成三角形的是（

）A．3，4，8 B．5，6，11 C．5，6，10 D．5，5，10【答案】C【分析】根據(jù)三角形的三邊關系定理（任意兩邊之和大于第三邊）逐項判斷即可得．【詳解】解：A、3+4=7<8，不能組成三角形，此項不符題意；B、5+6=11，不能組成三角形，此項不符題意；C、5+6=11>10，能組成三角形，此項符合題意；D、5+5=10，不能組成三角形，此項不符題意；故選：C．【點睛】本題考查了三角形的三邊關系定理，熟練掌握三角形的三邊關系定理是解題關鍵．10．（2023·重慶九龍坡·重慶市育才中學校聯(lián)考三模）下列命題正確的是（

）A．四個角相等且鄰邊相等的四邊形是正方形 B．對角線相互垂直的平行四邊形是矩形C．同位角相等 D．絕對值等于本身的數(shù)是0和1【答案】A【詳解】解：A選項，四個角相等且鄰邊相等的四邊形是正方形，故A選項符合題意；B選項，對角線相互垂直的平行四邊形是菱形，故B選項不符合題意；C選項，兩直線平行，同位角相等，故C選項不符合題意；D選項，絕對值等于本身的數(shù)是所有非負數(shù)，故D選項不符合題意．故選：A．【點睛】本題考查正方形的判定定理，菱形的判定定理，平行線的性質(zhì)，絕對值的意義，熟練掌握這些知識點是解題關鍵．11．（2023·貴州銅仁·統(tǒng)考一模）如圖已知點A（1，4），B（2，2）是反比例函數(shù)y＝4x的圖象上的兩點，動點P（x，0）在x軸上運動，當線段AP＝BP時，點PA．（﹣92，0） B．（﹣94，0） C．（92，0） D．（9【答案】A【分析】根據(jù)平面直角坐標系中距離公式得到：（x﹣1）2+42＝（x﹣2）2+22，求解即可．【詳解】解：∵點A（1，4），B（2，2），動點P（x，0）在x軸上運動，∴AP2＝（x﹣1）2+42，BP2＝（x﹣2）∵AP＝BP，∴（x﹣1）2+42＝（x﹣2）2+22，解得x＝﹣92∴點P的坐標是（﹣92，0故選：A．【點睛】本題考查距離公式，掌握平面直角坐標系中距離公式是解題關鍵．12．（2023·河南信陽·河南省淮濱縣第一中學?？家荒＃┤鐖D，在等邊△ABC中，D為BC邊上一點，E為AC邊上一點，且∠ADE=60°，BD=4，CE=43，則△ABC的面積A．83 B．15 C．93 D【答案】C【分析】首先由△ABC是等邊三角形，可得∠B=∠C=∠ADE=60°，又由三角形外角的性質(zhì)，求得∠ADB=∠DEC，即可得△ABD∽△DCE，又由BD=4，CE=43，根據(jù)相似三角形的對應邊成比例，即可求得AB的長，則可求得△ABC【詳解】解：∵△ABC是等邊三角形，∠ADE=60°，∴∠B=∠C=∠ADE=60°，AB=BC，∵∠ADB=∠DAC+∠C，∠DEC=∠ADE+∠DAC，∴∠ADB=∠DEC，∴△ABD∽△DCE，∴ABDC∵BD=4，CE=43設AB=x，則DC=x-4，∴xx-4∴x=6，∴AB=6，過點A作AF⊥BC于F，在Rt△ABF中，∠BAF=30°，∴BF=1∴AF=A∴S△ABC=12BC?AF=12×6×33=9故選C．【點睛】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)與等邊三角形的性質(zhì)．此題綜合性較強，解題的關鍵是方程思想與數(shù)形結合思想的應用．13．（2023·廣西·統(tǒng)考一模）將一副三角板按圖中方式疊放，則∠α的度數(shù)為（

）A．30° B．45° C．60°【答案】D【分析】根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)解決問題即可．【詳解】解：如圖，∠α=30°+45°=75°．故選：D．【點睛】本題考查了三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并準確識圖，熟知三角板各角的度數(shù)是解題的關鍵．14．（2023·廣東中山·統(tǒng)考二模）若長度分別是2，3，a的三條線段能組成一個三角形，則a的取值不可能是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】由三角形三邊關系可知3-2<a<3+2，可得a的取值范圍，對各選項進行判斷即可．【詳解】解：由三角形三邊關系可知3-2<a<3+2∴1<a<5∴a的取值不可能是1故選A．【點睛】本題考查了三角形的三邊關系．解題的關鍵在于熟練掌握組成三角形的三邊關系即兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊．15．（2023·安徽池州·校聯(lián)考一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，∠B=30°，動點M，N分別在邊AB，BC上則CM+MN的最小值是（

A．23 B．26 C．6 D【答案】D【分析】如圖，作點C關于直線AB的對稱點P，過點P作PN⊥BC于點N，交AB于點M，連接CM，此時CM+MN=PN最小，再通過解直角三角形求出PN的長即可【詳解】如圖，作點C關于直線AB的對稱點P，過點P作PN⊥BC于點N，交AB于點M，連接CM，此時CM+MN=PN最小.在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，BC=6，∠B=30°∴AC=23∴AB=2AC=43又∵12∴12×43由對稱得，CP=2CQ=6.∵∠B=30°，∴∠BCP=60°.∵PN⊥BC，∴∠P=30°，∴CN=1∴PN=CP2-C故選：D【點睛】本題考查了線路最短的問題，確定動點P的位置時，使PN的值最小是關鍵．16．（2023·山西忻州·模擬預測）平行四邊形的兩條對角線分別為10和16，則它的一邊長可以是（

）．A．12 B．13 C．24 D．26【答案】A【分析】根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分，得出AO=5,OD=8，根據(jù)三角形三邊關系即可求解．【詳解】解：如圖，∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC=10,BD=16，∴AO=5,OD=8，∴3<AD<13，只有A選項符合題意，故選：A．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形三邊關系，掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關鍵．17．（2023·廣西欽州·中考真題）等腰三角形的一個角是80°，則它的頂角的度數(shù)是（

）A．80° B．80°或20° C．80°或50° D．20°【答案】B【分析】分80°角是頂角與底角兩種情況討論求解．【詳解】解：①80°角是頂角時，三角形的頂角為80°，②80°角是底角時，頂角為180°﹣80°×2=20°，綜上所述，該等腰三角形頂角的度數(shù)為80°或20°．故選：B．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)．18．（2023·湖北黃岡·統(tǒng)考三模）如圖，在矩形ABCD中，AB=1，AD=3，O是對角線的交點，過C作CE⊥BD于點E，EC的延長線與∠BAD的平分線相交于點H，AH與BC交于點F.給出下列四個結論：①AF=FH；②BF=BO；③AC=CH；④BE=3DE.其中正確結論有(

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】利用矩形性質(zhì)及勾股定理，30°所對的直角邊等于斜邊的一半，可知∠ABO=60°，進一步可得△AOB為等邊三角形，得到BO=BA=1，再利用角平分線的性質(zhì)可證明BF=BA=1，故②正確；證明∠CHA=∠OAH=15°，即可知③正確；求出DE=12CD=12，BE=2-12=3【詳解】解：∵ABCD為矩形，AB=1，AD=3，∴∠DAB=90°，∠ADB=30°，BD=2，∵AF平分∠DAB，∴∠FAB=∠AFB=45°，即BF=BA=1，∵∠ADB=30°，∴∠ABO=60°，∵OA=OB，∴△AOB為等邊三角形，∴BO=BA=1，∴BF=BO，故②正確；∵△AOB為等邊三角形，且∠FAB=45°，∴∠OAH=15°，同理：△COD為等邊三角形，∵CE⊥BD，∴∠ECO=30°，∴∠CHA=15°，∴∠CHA=∠OAH=15°，即AC=CH，故③正確；∵∠ECO=30°，∴∠DCE=30°，∵CD=AB=1，∴DE=1∵DB=2，∴BE=2-1∴BE=3DE，故④正確；∵AC=CH，但是無法證明F是AH中點，故①錯誤；綜上所述：正確的有②③④．故選：C．【點睛】本題考查矩形性質(zhì)及勾股定理，30°所對的直角邊等于斜邊的一半，等邊三角形，角平分線，三角形外角的定義及性質(zhì)．解題的關鍵是熟練掌握以上知識點，證明BO=BA=1，BF=BA=1；證明∠CHA=∠OAH=15°；求出DE=12CD=19．（2023·海南·九年級專題練習）如圖，已知∠MAN=60°，AB=6．按以下步驟作圖：①以點A為圓心，適當長度為半徑作弧，分別交AM、AN于B、C兩點；②分別以點B、C為圓心，以大于12BC的長為半徑畫弧，兩弧在∠MAN的內(nèi)部交于點P；③連接AP、BC，交于點D，則AD的長為（A．33 B．3 C．2 D．【答案】A【分析】根據(jù)作法得：AB=AC，AP平分∠MAN，可得△ABC為等邊三角形，從而得到AD⊥BC，BD=3，再由勾股定理，即可求解．【詳解】解：根據(jù)作法得：AB=AC，AP平分∠MAN，∵∠MAN=60°，∴△ABC為等邊三角形，∴AD⊥BC，BC=AB=6，∴BD=3，∴AD=A故選：A【點睛】本題主要考查了尺規(guī)作圖——作已知角的平分線，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握作已知角的平分線的作法，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理是解題的關鍵．20．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預測）如圖，將5個全等的等腰三角形拼成內(nèi)外兩個大小不同的正五邊形圖案，設小正五邊形邊長為1，則大正五邊形邊長為（

）

A．5 B．5+12 C．2 D【答案】D【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理得到∠ABE=5-2×180°5=108°，等量代換得到∠CBE+∠ABC=∠BAC+∠ABC=108°，如圖，作∠ACB的平分線CD交【詳解】在正五邊形ABEFG中，∠ABE=5-2∵將5個全等的等腰三角形拼成內(nèi)外兩個大小不同的正五邊形圖案，∴∠CBE+∠ABC=∠BAC+∠ABC=108°，如圖，作∠ACB的平分線CD交AB于D，

∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ACB+∠BAC+∠ABC=108°+∠ACB=180°，∴∠ABC=∠ACB=72°，∴∠BAC=36°，∠ACD=∠BCD=∠BAC=36°，∴∠BCD=∠BAC，AD=CD=BC，∴△ABC∽△CBD，∴BCAB∵AB=BC+1，∴BD=AB-AD=AB-BC=1，∴BCBC+1∴BC=1+∴AB=BC+1=5故選：D．【點睛】本題考查了正多邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關鍵．二、填空題21．（2023春·新疆省直轄縣級單位·八年級統(tǒng)考期末）如圖所示，在菱形ABCD中，∠A=60°,AB=2，E，F(xiàn)兩點分別從A，B兩點同時出發(fā)，以相同的速度分別向終點B，C移動，連接EF，在移動的過程中，EF的最小值為____________．【答案】3【分析】連接DB，作DH⊥AB于H，如圖，利用菱形的性質(zhì)得AD=AB=BC=CD，則可判斷△ABD和△BCD都是等邊三角形，再證明△ADE≌△BDF得到∠2=∠1，DE=DF，接著判定△DEF為等邊三角形，所以EF=DE，然后根據(jù)垂線段最短判斷DE的最小值即可．【詳解】解：連接DB，作DH⊥AB于H，如圖，∵四邊形ABCD為菱形，∴AD=AB=BC=CD，而∠A=60°，∴△ABD和△BCD都是等邊三角形，∴∠ADB=∠DBC=60°，AD=BD，在Rt△ADH中，AH=1，AD=2，∴DH=22-1在△ADE和△BDF中AD=BD∠A=∠FBD∴△ADE≌△BDF，∴∠2=∠1，DE=DF，∴∠1+∠BDE=∠2+∠BDE=∠EDF=60°，∴△DEF為等邊三角形，∴EF=DE，而當E點運動到H點時，DE的值最小，其最小值為3，∴EF的最小值為3，故答案為：3．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，添加恰當輔助線構造全等三角形是本題的關鍵．22．（2023·貴州黔東南·模擬預測）已知三角形的三個內(nèi)角的比為2：3：5，則最大角的大小為______．【答案】90°/90度【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和是180度即可求解．【詳解】解：這個三角形的最大內(nèi)角是：180°×5故答案是：90°．【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，理解定理是關鍵．23．（2023·浙江金華·統(tǒng)考一模）圖1是修正帶實物圖，圖2是其示意圖，使用時⊙B上的白色修正物隨透明條（載體）傳送到點O處進行修正，留下來的透明條傳到⊙A收集．即透明條的運動路徑為：M→C→O→P→N．假設O，P，A，B在同一直線上，BC＝3cm，AC＝4cm，AC⊥BC，tan∠ACO＝13，P為OA（1）點B到OC的距離為______cm．（2）若⊙A的半徑為1cm，當留下的透明條從點O出發(fā)，第一次傳送到⊙A上某點，且點B到該點距離最小時，最多可以擦除的長度為______cm．【答案】91010【分析】（1）過點B作BH⊥OC交OC的延長線于點H，利用同角的余角相等證明∠CBH＝∠ACO，tan∠CBH＝tan∠ACO＝13，在Rt△BCH中，設CH＝x，則BH＝3x，BC＝3cm，利用勾股定理求出x即可得到點B到OC（2）過點A作AG⊥OC交OC于點G，利用（1）中的方法求出AG，再證明△AGO∽△BHO，得OAAB=45，在Rt△ABC中，利用勾股定理得AB，得到OA的長，進而求得OP、AP，連接AN，設線段OB與⊙A的交點為D，則當留下的透明條從點O出發(fā)，第一次傳送到⊙A上D點時，點B到D點距離最小，最多可以擦除的長度為PO＋PN＋DN的長，用勾股定理求出【詳解】解：（1）如圖1，過點B作BH⊥OC交OC的延長線于點H，∵BH⊥OC∴∠BHC＝90°，∴∠BCH＋∠CBH＝90°∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°∴∠ACO＋∠BCH＝90°∴∠CBH＝∠ACO∴tan∠CBH＝tan∠ACO＝1∴CHBH在Rt△BCH中，設CH＝x，則BH＝3x，BC＝3cm，BC∴3解得x＝310∴BH＝3x＝910即點B到OC的距離為910故答案為：910（2）如圖2，過點A作AG⊥OC交OC于點G，則∠AGO＝∠AGC＝90°，∵tan∠ACO＝13∴AGCG在Rt△ACG中，設AG＝n，則CG＝3n，AC＝4cm，AC∴4解得n＝210∴AG＝2105∵∠AGO＝∠BHC＝90°，∠O＝∠O∴△AGO∽△BHO∴OAOB∴OA在Rt△ABC中，AB＝AC2∴OA＝4cm，∵P為OA中點

∴OP＝AP＝12OA＝2如圖3，連接AN，則AN＝1cm，設線段OB與⊙A的交點為D，則當留下的透明條從點O出發(fā)，第一次傳送到⊙A上D點時，點B到D點距離最小，最多可以擦除的長度為PO＋PN＋DN的長，由題意知PN是⊙A的切線∴AN⊥PN∴∠ANP＝90°∴PN＝AP∵sin∠APN＝AN∴∠APN＝30°∵∠NAD＝∠APN＋∠ANP＝120°，AN＝AD＝1cm，∴DN的長＝120π×1180=2∴最多可以擦除的長度為PO＋PN＋DN的長＝（2＋3+23故答案為：（2＋3+【點睛】本題考查了勾股定理、銳角三角函數(shù)、相似三角形的判定和性質(zhì)、切線的性質(zhì)、弧長公式等知識，得到最多可以擦除的長度為PO＋PN＋DN的長是解題的關鍵．24．（2023·廣東揭陽·統(tǒng)考一模）三角形的兩邊長分別為3和6，第三邊的長是方程x2﹣6x+8＝0的解，則此三角形的周長是_____．【答案】13【分析】先求出方程的兩根，然后根據(jù)三角形的三邊關系，得到合題意的邊，進而求得三角形周長即可．【詳解】解：x2﹣6x+8＝0，(x﹣2)(x﹣4)＝0，x﹣2＝0，x﹣4＝0，x1＝2，x2＝4，當x＝2時，2+3＜6，不符合三角形的三邊關系定理，所以x＝2舍去，當x＝4時，符合三角形的三邊關系定理，三角形的周長是3+6+4＝13，故答案為：13．【點睛】本題考查了因式分解法解一元二次方程以及三角形的三邊關系，不能盲目地將三邊長相加起來，而應養(yǎng)成檢驗三邊長能否構成三角形的好習慣，熟練掌握一元二次方程的解法是解本題的關鍵．25．（2023·河北石家莊·統(tǒng)考中考模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，∠A=60°，點F在邊AC上，并且CF=2，點E為邊BC上的動點，將△CEF沿直線EF翻折，點C落在點P處，則點P到邊AB距離的最小值是_________．【答案】23-【分析】延長FP交AB于M，當FP⊥AB時，點P到AB的距離最?。\用勾股定理求解.【詳解】解:如圖，延長FP交AB于M，當FP⊥AB時，點P到AB的距離最小．∵AC=6，CF=2，∴AF=AC-CF=4，∵∠A=60°，∠AMF=90°，∴∠AFM=30°，∴AM=12AF=2∴FM=AF2-FM2∵FP=FC=2，∴PM=MF-PF=23-2，∴點P到邊AB距離的最小值是23-2．故答案為:23-2．【點睛】本題考查了翻折變換，涉及到的知識點有直角三角形兩銳角互余、勾股定理等，解題的關鍵是確定出點P的位置.26．（2023·江蘇徐州·三模）如圖，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，CD平分∠ACB，則∠ADC的度數(shù)是_______．【答案】100°/100度【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和三角形的外角的性質(zhì)即可得到結論．【詳解】∵∠A＝30°，∠B＝50°，∴∠ACB＝180°﹣30°﹣50°＝100°，∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∴∠ADC＝∠BCD+∠B＝50°+50°＝100°，故答案為：100°．【點睛】本題考查了三角形外角的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理及外角的性質(zhì)是解題的關鍵．27．（2023·湖北省直轄縣級單位·模擬預測）如圖，正八邊形ABCDEFGH的兩條對角線AC、BE相交于點P，則∠EPC的度數(shù)為________.【答案】67.5°【分析】先根據(jù)正多邊形內(nèi)角計算公式求出∠ABC的度數(shù)，繼而求出∠BAC的度數(shù)，在△ABP中，利用三角形的內(nèi)角和求出∠APB的度數(shù)，再利用對頂角相等即可得解.【詳解】解：∵八邊形ABCDEFGH是正八邊形，∴∠ABC=∴BA=BC.∵∠ABE=90°，.∴∠EPC=∠APB=90-∠BAC=67.5°.故答案為：67.5°.【點睛】本題考查的知識點有正多邊形內(nèi)角公式，正多邊形的性質(zhì)，，三角形的內(nèi)角和以及對頂角相等，屬于容易題.失分的原因是：1.沒有掌握正多邊形內(nèi)角公式(n-2)?180°n，無法求出∠BAC的值；2.28．（2023·湖南邵陽·統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC中，AB=AC，AE平分外角∠DAC，∠DAE=70°．則∠C的度數(shù)為______．

【答案】70°/70度【分析】首先根據(jù)角平分線的概念得到∠DAC=2∠DAE=140°，然后根據(jù)等邊對等角得到∠B=∠C，最后利用三角形外角的性質(zhì)求解即可．【詳解】∵AE平分外角∠DAC，∠DAE=70°，∴∠DAC=2∠DAE=140°，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠B+∠C=∠DAC，∴∠C=1故答案為：70°．【點睛】此題考查了角平分線的概念，三角形外角的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點．29．（2023·廣東清遠·統(tǒng)考一模）如圖，已知△ABC為等邊三角形，AB=6，將邊AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α(0°<α<120°)得到線段AD，連接CD，CD與AB交于點G，∠BAD的平分線交CD于點E，點F為CD上一點，則∠AEC=_____°．【答案】60【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠CAD=α+60°，由角平分線的定義得到∠DAE=12α【詳解】解：∵△ABC為等邊三角形，∴∠BAC=60°，AB=AC，∵將邊AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α(0°<α<120°)得到線段AD，∴∠BAD=α，AD=AB，∴∠CAD=α+60°，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=1∵AD=AB=AC，∴∠D=∠ACD=180°-∠CAD∵∠AEC是△ADE的外角，∴∠AEC=∠D+∠DAE=60°-1故答案為：60．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)，熟記三角形外角的性質(zhì)并準確識圖是解題的關鍵．30．（2023春·全國·八年級期中）如圖，在矩形ABCD中，AB=5，AD=12，P是AD上不與A和D重合的一個動點，過點P分別作AC和BD的垂線，垂足分別為E、F．則PE+PF=_______．【答案】6013/【分析】連接OP，過點A作AG⊥BD于G，利用勾股定理列式求出BD，再利用三角形的面積求出AG，然后根據(jù)△AOD的面積求出PE+PF=AG即可．【詳解】解：如圖所示，連接OP，過點A作AG⊥BD于G，∵AB=5，AD=12，∴BD=52+即12解得：AG=60在矩形ABCD中，OA=OD，∴S△AOD∴PE+PF=AG=60故答案為：6013【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理、三角形的面積，根據(jù)三角形面積公式推出PE+PF=AG是解題的關鍵．31．（2023·寧夏吳忠·統(tǒng)考二模）公元三世紀，我國漢代數(shù)學家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的“趙爽弦圖”如圖所示，它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形，如果大正方形的面積是25，小正方形面積是1，則sinθ=___________【答案】3【分析】先由兩個