5.6.1

勻速圓周運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型5.6.2

函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象第1課時(shí)

函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)合作探究·釋疑解惑易

錯(cuò)

辨

析

自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)一、勻速圓周運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書(shū)》中用圖畫(huà)描繪了筒車(chē)的工作原理.如圖,將筒車(chē)抽象為一個(gè)幾何圖形,設(shè)經(jīng)過(guò)ts后,盛水筒M從點(diǎn)P0運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P.設(shè)盛水筒距水面的高度為H.1.H由哪些量決定?提示:H由以下量決定:筒車(chē)轉(zhuǎn)輪的中心O到水面的距離h,筒車(chē)的半徑r,筒車(chē)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω,盛水筒的初始位置P0以及所經(jīng)過(guò)的時(shí)間t.2.如何將盛水筒M距離水面的高度H表示為時(shí)間t的函數(shù)?提示:以O(shè)為原點(diǎn),以與水平面平行的直線(xiàn)為x軸建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)t=0時(shí),盛水筒M位于點(diǎn)P0,以O(shè)x為始邊,OP0為終邊的角為φ,經(jīng)過(guò)t

s后運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P(x,y),于是,以O(shè)x為始邊,OP為終邊的角為ωt+φ,并且有y=rsin(ωt+φ).所以盛水筒M距離水面的高度H與時(shí)間t的關(guān)系是H=rsin(ωt+φ)+h.二、探索φ(φ≠0)對(duì)y=sin(x+φ)的圖象的影響1.如何由y=f(x)的圖象變換得到y(tǒng)=f(x+a)的圖象?提示:向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|個(gè)單位長(zhǎng)度.3.一般地,當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M的起點(diǎn)位置Q所對(duì)應(yīng)的角為φ時(shí),對(duì)應(yīng)的函數(shù)是y=sin(x+φ)(φ≠0),把正弦曲線(xiàn)上的所有點(diǎn)向左(當(dāng)φ>0時(shí))或向右(當(dāng)φ<0時(shí))平移|φ|個(gè)單位長(zhǎng)度,就得到函數(shù)y=sin(x+φ)的圖象.答案:B三、探索ω(ω>0)對(duì)y=sin(ωx+φ)的圖象的影響提示:2π,π,4π.3.函數(shù)y=sinωx的圖象是否可以通過(guò)y=sinx的圖象得到?提示:可以,只要將y=sin

x的圖象沿著x軸“伸長(zhǎng)”或“縮短”即可.四、探索A(A>0)對(duì)y=Asin(ωx+φ)的圖象的影響2.(1)A(A>0)對(duì)y=Asin(ωx+φ)的圖象的影響一般地,函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象,可以看作是把y=sin(ωx+φ)圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)(當(dāng)A>1時(shí))或縮短(當(dāng)0<A<1時(shí))到原來(lái)的

A倍(橫坐標(biāo)不變)而得到.從而,函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的值域?yàn)閇-A,A],最大值是A,最小值是

–A.(2)通過(guò)圖象變換得到y(tǒng)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的圖象方法一般地,函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的圖象,可以用下面的方法得到:先畫(huà)出函數(shù)y=sinx的圖象,再把正弦曲線(xiàn)向左(或右)平移|φ|個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)y=sin(x+φ)的圖象;然后把曲線(xiàn)上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的

倍(縱坐標(biāo)不變),得到y(tǒng)=sin(ωx+φ)的圖象;最后把曲線(xiàn)上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的A倍(橫坐標(biāo)不變),這時(shí)的曲線(xiàn)就是函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象.3.把函數(shù)y=2sin3x的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍,縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的3倍,得到

的圖象.

【思考辨析】

判斷下列說(shuō)法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)打“√”,錯(cuò)誤的打“×”.

合作探究·釋疑解惑探究一

平移變換反思感悟?qū)ζ揭谱儞Q應(yīng)先觀察函數(shù)名是否相同,若函數(shù)名不同,則先化為同名函數(shù),再觀察x的系數(shù),當(dāng)x的系數(shù)不為1時(shí),應(yīng)提取系數(shù)確定平移的單位長(zhǎng)度和方向,方向遵循左加右減,且從ωx到ωx+φ的平移量為

個(gè)單位長(zhǎng)度.答案:f(x)=-2cosx探究二

伸縮變換答案:C反思感悟?qū)τ诤瘮?shù)y=sin

x的圖象,若圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的ω(ω>1)倍,縱坐標(biāo)不變,則得到函數(shù)

的圖象.若圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的A(A>1)倍,橫坐標(biāo)不變,則得到函數(shù)y=Asin

x的圖象.探究三

圖象變換的綜合應(yīng)用答案:B反思感悟本題涉及的知識(shí)點(diǎn)有三角函數(shù)式的化簡(jiǎn),三角函數(shù)的圖象變換,三角函數(shù)的最值,三角函數(shù)的周期.熟練掌握相關(guān)公式是正確解題的關(guān)鍵,注意整體代換思想的應(yīng)用.答案:A易

錯(cuò)

辨

析答案:A以上解答過(guò)程中都有哪些錯(cuò)誤?出錯(cuò)的原因是什么?你如何改正?你如何防范?答案:C防范措施1.圖象的左右平移是針對(duì)x而言的,即平移多少是