2019年黑龍江省黑河市中考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（每小題只有一個正確答案，每小題3分，滿分30分）

1.（3分）（2019?齊齊哈爾）3的相反數(shù)是（）

A.-3B.如C.3D.±3

【考點】14：相反數(shù)；22：算術(shù)平方根；28：實數(shù)的性質(zhì).

【專題】511：實數(shù).

【分析】根據(jù)只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)，可得答案.

【解答】解：3的相反數(shù)是-3,

故選：A.

【點評】本題考查了相反數(shù)，在一個數(shù)的前面加上負(fù)號就是這個數(shù)的相反數(shù).

2.（3分）（2019?齊齊哈爾）下面四個圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

ABO。▽DO

【考點】P3：軸對稱圖形；R5：中心對稱圖形.

【專題】558：平移、旋轉(zhuǎn)與對稱.

【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解.

【解答】解：A、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項錯誤；

B、不是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；

C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；

。、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故此選項正確.

故選：D.

【點評】此題主要考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念.軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找

對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩

部分重合.

3.（3分）（2019?齊齊哈爾）下列計算不正確的是（）

A.±^9—±3B.2ab+3ba—5ab

C.（a-1）°=1D.（3/）2=6/方4

【考點】21：平方根；35：合并同類項；47：幕的乘方與積的乘方；6E：零指數(shù)幕.

【專題】512：整式.

【分析】直接利用同底數(shù)基的乘除運算法則以及完全平方公式、合并同類項法則分別化

簡得出答案.

【解答】解：A、土返=±3,正確，故此選項錯誤；

B、2ab+3ba=5abf正確，故此選項錯誤；

C、（V2-1）°=1，正確，故此選項錯誤；

D、（3際）2=%2說錯誤，故此選項正確；

故選：D.

【點評】此題主要考查了同底數(shù)基的乘除運算以及完全平方公式、合并同類項，正確掌

握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵.

4.（3分）（2019?齊齊哈爾）小明和小強同學(xué)分別統(tǒng)計了自己最近10次“一分鐘跳繩”的

成績，下列統(tǒng)計量中能用來比較兩人成績穩(wěn)定程度的是（）

A.平均數(shù)B.中位數(shù)C.方差D.眾數(shù)

【考點】WA：統(tǒng)計量的選擇.

【專題】542：統(tǒng)計的應(yīng)用.

【分析】根據(jù)方差的意義：體現(xiàn)數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性，集中程度，波動性大??；方差越小，數(shù)

據(jù)越穩(wěn)定.要比較兩位同學(xué)在五次數(shù)學(xué)測驗中誰的成績比較穩(wěn)定，應(yīng)選用的統(tǒng)計量是方

差.

【解答】解：能用來比較兩人成績穩(wěn)定程度的是方差，

故選：C.

【點評】此題主要考查統(tǒng)計的有關(guān)知識，主要包括平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差的意義.反

映數(shù)據(jù)集中程度的統(tǒng)計量有平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)方差等，各有局限性，因此要對統(tǒng)計

量進(jìn)行合理的選擇和恰當(dāng)?shù)倪\用.

5.（3分）（2019?齊齊哈爾）如圖，直線a//b,將一塊含30°角（N8AC=30°）的直角

三角尺按圖中方式放置，其中A和C兩點分別落在直線“和。上.若Nl=20°,則N2

的度數(shù)為（）

廣

b

A.20°B.30°C.40°D.50°

【考點】JA：平行線的性質(zhì).

【專題】551：線段、角、相交線與平行線.

【分析】直接利用平行線的性質(zhì)結(jié)合三角形內(nèi)角和定理得出答案.

【解答】解：?.?直線。〃6,

...Nl+NBC4+N2+NBAC=180°,

VZBAC=30°,ZBCA=90°,Zl=20",

.,.N2=40°.

故選：C.

【點評】此題主要考查了平行線的性質(zhì)，正確掌握平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

6.（3分）（2019?齊齊哈爾）如圖是由幾個相同大小的小正方體搭建而成的幾何體的主視圖

和俯視圖視圖，則搭建這個幾何體所需要的小正方體的個數(shù)至少為（）

【考點】U3：由三視圖判斷幾何體.

【專題】55F：投影與視圖.

【分析】主視圖、俯視圖是分別從物體正面、上面看，所得到的圖形.

【解答】解：綜合主視圖和俯視圖，底層最少有4個小立方體，第二層最少有2個小立

方體，因此搭成這個幾何體的小正方體的個數(shù)最少是6個.

故選：B.

【點評】考查了由三視圖判斷幾何體的知識，根據(jù)題目中要求的以最少的小正方體搭建

這個幾何體，可以想象出左視圖的樣子，然后根據(jù)“俯視圖打地基，正視圖瘋狂蓋，左

視圖拆違章”很容易就知道小正方體的個數(shù).

7.（3分）（2019?齊齊哈爾）“六一”兒童節(jié)前夕，某部隊?wèi)?zhàn)士到福利院慰問兒童.戰(zhàn)士們

從營地出發(fā)，勻速步行前往文具店選購禮物，停留一段時間后，繼續(xù)按原速步行到達(dá)福

利院（營地、文具店、福利院三地依次在同一直線上）.到達(dá)后因接到緊急任務(wù)，立即按

原路勻速跑步返回營地（贈送禮物的時間忽略不計），下列圖象能大致反映戰(zhàn)士們離營地

的距離S與時間t之間函數(shù)關(guān)系的是（）

【考點】E6：函數(shù)的圖象.

【專題】53：函數(shù)及其圖象.

【分析】根據(jù)題意，可以寫出各段過程中，S與r的關(guān)系，從而可以解答本題.

【解答】解：由題意可得，

戰(zhàn)士們從營地出發(fā)到文具店這段過程中，S隨/的增加而增大，故選項A錯誤，

戰(zhàn)士們在文具店選購文具的過程中，S隨著t的增加不變，

戰(zhàn)士們從文具店去福利院的過程中，S隨著r的增加而增大，故選項C錯誤，

戰(zhàn)士們從福利院跑回營地的過程中，S隨著，的增大而減小，且在單位時間內(nèi)距離的變化

比戰(zhàn)士們從營地出發(fā)到文具店這段過程中快，故選項B正確，選項。錯誤，

故選：B.

【點評】本題考查函數(shù)圖象，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

8.（3分）（2019?齊齊哈爾）學(xué)校計劃購買A和8兩種品牌的足球，已知一個A品牌足球

60元，一個B品牌足球75元.學(xué)校準(zhǔn)備將1500元錢全部用于購買這兩種足球（兩種足

球都買），該學(xué)校的購買方案共有（）

A.3種B.4種C.5種D.6種

【考點】95：二元一次方程的應(yīng)用.

【專題】34：方程思想；521：一次方程（組）及應(yīng)用.

【分析】設(shè)購買A品牌足球x個，購買B品牌足球y個，根據(jù)總價=單價X數(shù)量，即可

得出關(guān)于x,），的二元一次方程，結(jié)合x,y均為正整數(shù)即可求出結(jié)論.

【解答】解：設(shè)購買A品牌足球x個，購買B品牌足球y個，

依題意，得：60x+75），=1500,

；.y=20-

5

Vx,y均為正整數(shù)，

（X[=5（x2=10（X3=15（X4=20

??<，<，<，<，

yt=16[y2=12[y3=8[y4=4

該學(xué)校共有4種購買方案.

故選：B.

【點評】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程.

9.（3分）（2019?齊齊哈爾）在一個不透明的口袋中，裝有一些除顏色外完全相同的紅、白、

黑三種顏色的小球.已知袋中有紅球5個，白球23個，且從袋中隨機摸出一個紅球的概

率是」則袋中黑球的個數(shù)為（）

10

A.27B.23C.22D.18

【考點】X4：概率公式.

【專題】543：概率及其應(yīng)用.

【分析】袋中黑球的個數(shù)為x,利用概率公式得到一—=」一，然后利用比例性質(zhì)求

5+23+x10

出X即可.

【解答】解：設(shè)袋中黑球的個數(shù)為X,

根據(jù)題意得一—=」一，解得x=22,

5+23+x10

即袋中黑球的個數(shù)為22個.

故選：C.

【點評】本題考查了概率公式：隨機事件A的概率PG4）=事件4可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)除

以所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù).

10.（3分）（2019?齊齊哈爾）如圖，拋物線'=以2+法+0（〃￥0）與x軸交于點（-3,0）,

其對稱軸為直線》=-工，結(jié)合圖象分析下列結(jié)論：

2

（T）ahc>0；

②3〃+c>0；

③當(dāng)x〈0時，y隨x的增大而增大；

④一元二次方程cx+bx+a=Q的兩根分別為xi=--Lx2=—;

32

⑤

4a

⑥若〃2,n（m（n）為方程〃（x+3）（x-2）+3=0的兩個根，則根V-3且〃>2,

其中正確的結(jié)論有（)

A.3個B.4個C.5個D.6個

【考點】AB：根與系數(shù)的關(guān)系；H4：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；HA：拋物線與x軸

的交點.

【專題】31：數(shù)形結(jié)合；535：二次函數(shù)圖象及其性質(zhì).

【分析】利用二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合圖象依次對各結(jié)論進(jìn)行判斷.

【解答】解：???拋物線>=以2+芯+。QWO）與x軸交于點（-3,0）,其對稱軸為直線x

2

...拋物線丫=〃/+云+。（4/0）與無軸交于點（-3,0）和（2,0）,且4=6

由圖象知：a<0,c>0,b<0

ahc>0

故結(jié)論①正確；

:拋物線y=o?+云+c（〃#0）與x軸交于點（-3,0）

：.9a-3b+c=0

?:a=b

??c=-6a

3tz+c=-3〃>0

故結(jié)論②正確；

,/當(dāng)xV-」二時，y隨x的增大而增大；當(dāng)-L<x<：0時，y隨x的增大而減小

22

結(jié)論③錯誤；

7

Vex+bx+a=O,c>0

.\-^r2+Ax+l=0

aa

:拋物線y=a/+歷什c（a#0）與x軸交于點（-3,0）和（2,0）

/.tzx2+/?x+c=0的兩根是-3和2

「?且=1,，=一6

aa

，與2+且什1=0即為：-6/+x+l=0,解得jq=-L,X2=—；

aa32

故結(jié)論④正確；

2

:當(dāng)x=-,y=%￡zk_>0

24a

Ab^4ac.<0

4a

故結(jié)論⑤正確；

:拋物線y=a/+Ac+c(。#0)與無軸交于點(-3,0)和(2,0),

2

?\y=ax+bx+c=a(x+3)(x-2)

V/?z,H(m<n)為方程〃(x+3)(x-2)+3=0的兩個根

n(相V〃)為方程a(x+3)(x-2)=-3的兩個根

，能，〃(/w<n)為函數(shù)(x+3)(x-2)與直線y=-3的兩個交點的橫坐標(biāo)

結(jié)合圖象得：加<-3且〃>2

故結(jié)論⑥成立；

故選：C.

【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：對于二次函數(shù)y=?7+瓜+c(”#0),

二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小：當(dāng)a>0時，拋物線向上開口；當(dāng)a〈0時,

拋物線向下開口；一次項系數(shù)6和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置：當(dāng)〃與人同號

時(即必>0),對稱軸在)'軸左；當(dāng)a與匕異號時(即浦V0),對稱軸在)'軸右；常

數(shù)項c決定拋物線與y軸交點位置：拋物線與)，軸交于(0,c)；拋物線與x軸交點個數(shù)

由△決定：△=/-4“c>0時，拋物線與x軸有2個交點；△=/-4ac=0時，拋物線

與x軸有1個交點；△=從-4/<0時，拋物線與x軸沒有交點.

二、填空題(共7小題，每小題3分，滿分21分)

11.(3分)(2019?齊齊哈爾)預(yù)計到2025年我國高鐵運營里程將達(dá)到38000公里.將數(shù)據(jù)

38000用科學(xué)記數(shù)法表示為3.8X1()4.

【考點】II：科學(xué)記數(shù)法一表示較大的數(shù).

【專題】511：實數(shù).

【分析】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為aX10"的形式，其

中l(wèi)W|a|<10,"為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定。的值以及〃的值.

【解答】解：38000用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為3.8X1（）4,

故答案為：3.8X104.

【點評】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為"X10"的形式，其

中1＜同＜10,〃為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定。的值以及〃的值.

12.（3分）（2019?齊齊哈爾）如圖，已知在△ABC和△￡）￡1/中，Zfi=Z￡,BF=CE,點

B、F、C、E在同一條直線上，若使△ABC絲△￡＞￡￡則還需添加的一個條件是AB=

DE（只填一個即可）.

【考點】KB：全等三角形的判定.

【專題】553：圖形的全等.

【分析】添加AB=OE,由推出BC=E/，由S4S可證

【解答】解：添加AB=OE；

:BF=CE,

:.BC=EF,

'AB=DE

在△A8C和中，，NB=NE，

BC=EF

.?.△ABC絲△OEF（SAS）；

故答案為：AB=DE.

【點評】本題考查了全等三角形的判定，關(guān)鍵是注意：全等三角形的判定定理有SAS,

ASA,AAS,SSS,答案不唯一.

13.（3分）（2019?齊齊哈爾）將圓心角為216°,半徑為5c機的扇形圍成一個圓錐的側(cè)面,

那么圍成的這個圓錐的高為4cm.

【考點】MP：圓錐的計算.

【專題】55C：與圓有關(guān)的計算.

【分析】圓錐的底面圓的半徑為r,利用圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等

于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長和弧長公式得到2nr=216兀X5,解

180

得r=3,然后根據(jù)勾股定理計算出圓錐的高.

【解答】解：設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r,

根據(jù)題意得2m=216兀X5,解得r=3,

180

所以圓錐的高=,52.32=4Cem）.

故答案為4.

【點評】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓

錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長.

14.（3分）（2019?齊齊哈爾）關(guān)于x的分式方程豈3-——=3的解為非負(fù)數(shù)，則a的取

X-l1-X

值范圍為且〃W3.

【考點】B2：分式方程的解；C6：解一元一次不等式.

【專題】522：分式方程及應(yīng)用；524：一元一次不等式（組）及應(yīng)用.

【分析】根據(jù)解分式方程的方法和方程①支-」_=3的解為非負(fù)數(shù)，可以求得。的取

X-l1-X

值范圍.

【解答】解：區(qū)2包-上=3,

X-l1-X

方程兩邊同乘以X-1,得

2x-a+l=3（x-1）,

去括號，得

2x-〃+1=3x-3,

移項及合并同類項，得

x=4-a,

?.?關(guān)于x的分式方程區(qū)W_-」一=3的解為非負(fù)數(shù)，X-1W0,

X-1l-x

.f4-a>0

I（4-a）-17^0

解得，aW4且

故答案為：且。#3.

【點評】本題考查分式方程的解、解一元一次不等式，解答本題的關(guān)鍵是明確解分式方

程的方法.

15.（3分）（2019?齊齊哈爾）如圖，矩形ABOC的頂點8、C分別在x軸，y軸上，頂點A

在第二象限，點8的坐標(biāo)為（-2,0）.將線段OC繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)60°至線段0。，

若反比例函數(shù)尸》2。）的圖象經(jīng)過4。兩點，則％值為一苧

【考點】G4：反比例函數(shù)的性質(zhì)；G6：反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征；LB：矩形的性

質(zhì)；R7：坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn).

【專題】534：反比例函數(shù)及其應(yīng)用.

【分析】過點。作。軸于點E,由點3的坐標(biāo)為（-2,0）知OC=AB=-K,由

旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知0￡>=0C=-K、N￡>OC=60°,據(jù)此求得OE=OZ）cos30°=-L,DE=

24

ODsin30°=-叵，即。（-叵，-L）,代入解析式解之可得.

444

【解答】解：過點。作QELx軸于點E,

?.,點8的坐標(biāo)為（-2,0）,

：.AB=-K,

2

oc=-K,

2

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知0。=。。=-k、ZCOD=60°,

.?./￡(OE=30°,

：.DE=LOD^-Xt,OE=OZ)cos30。=返義(-K)=-近

24224

即D(-2ZL,-L),

44

?.?反比例函數(shù)y=K(%W0)的圖象經(jīng)過。點，

X

:.k=((-Xt)=^^2,

4416

解得：k=。(舍)或％=-北返，

_3

故答案為：-我退.

3

【點評】本題主要考查反比例函數(shù)圖象上的點，解題的關(guān)鍵是表示出點。的坐標(biāo).

16.（3分）（2019?齊齊哈爾）等腰4ABC中，BDA.AC,垂足為點。，且8O=Lc,則等

2

腰△ABC底角的度數(shù)為1底或45°或75°.

【考點】KH：等腰三角形的性質(zhì)；KO：含30度角的直角三角形.

【專題】554：等腰三角形與直角三角形.

【分析】分點A是頂點、點A是底角頂點、AO在△48C外部和AO在△A8C內(nèi)部三種

情況，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)計算.

【解答】解：①如圖1,當(dāng)點4是頂點時，

"：AB=AC,AD1BC,

：.BD=CD,

2

:.AD=BD=CD,

在RtZi4B￡>中，NB=NBAD=LX（180°-90°）=45°；

2

②如圖2,當(dāng)點A是底角頂點，且在△ABC外部時，

"：AD=kBC,AC=BC,

2

:.AD=1AC,

2

AZACD=30°,

AZBAC^ZABC^kx30°=15°：

2

③如圖3,當(dāng)點A是底角頂點，且AO在aABC內(nèi)部時，

'：AD=LBC,AC=BC,

2

:.AD=1AC,

2

.\ZC=30°,

AZBAC=ZABC=L(180°-30°)=75°；

2

故答案為：15°或45°或75°.

D

AB

【點評】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，掌握在直角三角形中，

30。角所對的直角邊等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵.

17.（3分）（2019?齊齊哈爾）如圖，直線/：y=1+l分別交x軸、），軸于點A和點4，

3

過點4作4出，/，交x軸于點8|,過點81作BIA2_L尤軸，交直線/于點42；過點人2

作A2&，/，交x軸于點B2,過點歷作B2A軸，交直線/于點A3,依此規(guī)律…，若

圖中陰影△&OB1的面積為Si，陰影△428出2的面積為S2,陰影△A3&B3的面積為S3…，

【考點】38：規(guī)律型：圖形的變化類；F5：一次函數(shù)的性質(zhì)；F8：一次函數(shù)圖象上點的

坐標(biāo)特征.

【專題】33：函數(shù)思想；38：猜想歸納；4A：面積法；533：一次函數(shù)及其應(yīng)用.

【分析】由直線/：y=Y3+l可求出與x軸交點A的坐標(biāo)，與y軸交點Ai的坐標(biāo)，進(jìn)

而得到OA,04的長，也可求出RtaOAAi的各個內(nèi)角的度數(shù)，是一個特殊的直角三角

形，以下所作的三角形都是含有30°角的直角三角形，然后這個求出舟、52、S3、$4、……

根據(jù)規(guī)律得出Sn.

【解答】解：直線/：y=1+l,當(dāng)x=0時，y=1；當(dāng)y=0時，x---Js

3

???A（-V3>0）A|（0,I）

.?./OA4i=30°

又?.NlBlJJ,

；.NOAiBi=30°,

在Rtz^OAiBi中，08]=返?041=返，

33

,*Si=會0A<*0B

Z11b

同理可求出：&巴=&,BIB2=支又近,

333_

A52=?凡（|冬哼）

1A2BIBqxfXXXe4

依次可求出：S3=J^.x（y）4;S4哼義修）63哼乂電8……

因此：s?=^-x（y）2n-2

【點評】考查一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、解直角三角形、三角形的面積、以及找規(guī)律歸納

總結(jié)結(jié)論的能力，由于數(shù)據(jù)較繁瑣、計算量交點，容易出現(xiàn)錯誤；因此在方法正確的前

提下，認(rèn)真正確的計算則顯得尤為重要.

三、解答題（共7小題，滿分69分）

18.（10分）（2019?齊齊哈爾）（1）計算：（工）-1+712-6tan60°+|2-

3

（2）因式分解：a+\-2a+4（a-1）

【考點】2C：實數(shù)的運算；56：因式分解-分組分解法；6F：負(fù)整數(shù)指數(shù)昂；T5：特殊

角的三角函數(shù)值.

【專題】512：整式.

【分析】(1)根據(jù)實數(shù)運算的法則計算即可；

(2)根據(jù)因式分解-分組分解法分解因式即可.

【解答】解：(1)(^)-'+V12-6tan60°+|2-4?=3+2?-6X遙+4代-2=1；

3

(2)a2+l-2a+4(a-1)=(a-1)2+4(a-1)=(a-I)(a-1+4)=(a-1)(a+3).

【點評】本題考查了分解因式-分組分解法，實數(shù)的運算，熟記公式和法則是解題的關(guān)

鍵.

19.(5分)(2019?齊齊哈爾)解方程：?+6A=-7

【考點】A6：解一元二次方程-配方法.

【專題】523：一元二次方程及應(yīng)用.

【分析】方程兩邊都加上9,配成完全平方式，再兩邊開方即可得.

【解答】解：?.?/+6x=-7,

，/+6x+9=-7+9,即(JC+3)2=2,

貝(1x+3—±y[2,

.'.x—-3±V2>

即xi=-3+A/2>X2~-3-A/2-

【點評】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方

法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的

方法是解題的關(guān)鍵.

20.(8分)(2019?齊齊哈爾)如圖，以AABC的邊8c為直徑作。0,點A在00上，點。

在線段BC的延長線上，AD=AB,ZD=30°.

(1)求證：直線AO是。。的切線；

(2)若直徑BC=4,求圖中陰影部分的面積.

【考點】ME：切線的判定與性質(zhì)；MO：扇形面積的計算.

【專題】559：圓的有關(guān)概念及性質(zhì).

【分析】（1）連接0A,則得出NCQ4=2N8=2NO=60°,可求得NOAQ=90°,可

得出結(jié)論；

（2）可利用△04。的面積-扇形AOC的面積求得陰影部分的面積.

【解答】（1）證明：連接OA,則NCOA=2N8,

t

：AD=AB1

/.ZB=ZD=30°,

：.ZCOA=60°,

???NOAO=180°-60°-30°=90°,

：.OA1,AD9

即CQ是。。的切線；

(2)解：VBC=4,

：.OA=OC=29

在RtZXOAZ)中，0A=2fZD=30°,

OU=2.0A—4,AD=

所以S^OAD=^OA-AD=Lx2X2y/3=2yf3,

22

因為NCO4=60°,

所以s扇形COA=60兀.21=2n,

3603

所以SMS5=SAOAD-S用形CQA=2A/^-2兀.

【點評】本題主要考查切線的判定及扇形面積的計算，證明切線時，連接過切點的半徑

是解題的關(guān)鍵.

21.（10分）（2019?齊齊哈爾）齊齊哈爾市教育局想知道某校學(xué)生對扎龍自然保護(hù)區(qū)的了解

程度，在該校隨機抽取了部分學(xué)生進(jìn)行問卷，問卷有以下四個選項：人十分了解；B.了

解較多：C.了解較少：D.不了解（要求：每名被調(diào)查的學(xué)生必選且只能選擇一項）.現(xiàn)

將調(diào)查的結(jié)果繪制成兩幅不完整的統(tǒng)計圖.請根據(jù)兩幅統(tǒng)計圖中的信息回答下列問題：

（1）本次被抽取的學(xué)生共有100名:

（2）請補全條形圖；

（3）扇形圖中的選項“C.了解較少”部分所占扇形的圓心角的大小為108°；

（4）若該校共有2000名學(xué)生，請你根據(jù)上述調(diào)查結(jié)果估計該校對于扎龍自然保護(hù)區(qū)“十

分了解”和“了解較多”的學(xué)生共有多少名？

【考點】V5：用樣本估計總體；VB：扇形統(tǒng)計圖；VC：條形統(tǒng)計圖.

【專題】541：數(shù)據(jù)的收集與整理.

【分析】（1）本次被抽取的學(xué)生共30?30%=100（名）；

（2）100-20-30-10=40（名。據(jù)此補全；

（3）扇形圖中的選項“C.了解較少”部分所占扇形的圓心角360°X30%=108°；

（4）該校對于扎龍自然保護(hù)區(qū)“十分了解”和“了解較多”的學(xué)生：2OOOx2P+40=12OO

100

（名）.

【解答】解：（1）本次被抽取的學(xué)生共30?30%=100（名）,

故答案為100；

（2）100-20-30-10=40（名），

補全條形圖如下：

（3）扇形圖中的選項“C了解較少”部分所占扇形的圓心角

360°X30%=108°,

故答案為108；

（4）該校對于扎龍自然保護(hù)區(qū)“十分了解”和“了解較多”的學(xué)生:

2000X2:0+40=1200（名）,

100

答：該校對于扎龍自然保護(hù)區(qū)“十分了解”和“了解較多”的學(xué)生共1200名.

【點評】本題考查的是條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的綜合運用.讀懂統(tǒng)計圖，從不同的統(tǒng)

計圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵.條形統(tǒng)計圖能清楚地表示出每個項目的數(shù)據(jù);

扇形統(tǒng)計圖直接反映部分占總體的百分比大小.

22.（10分）（2019?齊齊哈爾）甲、乙兩地間的直線公路長為400千米.一輛轎車和一輛貨

車分別沿該公路從甲、乙兩地以各自的速度勻速相向而行，貨車比轎車早出發(fā)1小時.，

途中轎車出現(xiàn)了故障，停下維修，貨車仍繼續(xù)行駛.1小時后轎車故障被排除，此時接到

通知，轎車立刻掉頭按原路原速返回甲地（接到通知及掉頭時間不計）.最后兩車同時到

達(dá)甲地，已知兩車距各自出發(fā)地的距離y（千米）與轎車所用的時間x（小時）的關(guān)系如

圖所示，請結(jié)合圖象解答下列問題：

（1）貨車的速度是速千米/小時:轎車的速度是速千米〃」、時:“直為3.

（2）求轎車距其出發(fā)地的距離y（千米）與所用時間x（小時）之間的函數(shù)關(guān)系式并寫

出自變量x的取值范圍；

（3）請直接寫出貨車出發(fā)多長時間兩車相距90千米.

【考點】FH：一次函數(shù)的應(yīng)用.

【專題】533：一次函數(shù)及其應(yīng)用.

【分析】（1）觀察圖象即可解決問題；

（2）分別求出得A、B、C的坐標(biāo)，運用待定系數(shù)法解得即可；

（3）根據(jù)題意列方程解答即可.

【解答】解：（1）車的速度是50千米/小時；轎車的速度是：4004-（7-2）=80千米/

小時；1=240+80=3.

故答案為：50；80；3；

(2)由題意可知:A(3,240),B(4,240),C(7,0),

設(shè)直線0A的解析式為y="ix(k|WO),

：.y^80x(0WxW3),

當(dāng)3WxW4時，y=240,

設(shè)直線BC的解析式為y=k2X+b(&并0),

把8(4,240),C(7,0)代入得：

(4k2+b=240fk?=-80

7k2+b=0lb=560

；.y=-80+560,

r80x(0<x<3)

二1240(3<x<4)；

,-80x+560<4<x<7)

（3）設(shè)貨車出發(fā)x小時后兩車相距90千米，根據(jù)題意得：

50x+80（x-1）=400-90或50x+80（x-2）=400+90,

解得x=3或5.

答：貨車出發(fā)3小時或5小時后兩車相距90千米.

【點評】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用、待定系數(shù)法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法確

定函數(shù)的解析式.

23.（12分）（2019?齊齊哈爾）綜合與實踐

折紙是同學(xué)們喜歡的手工活動之一，通過折紙我們既可以得到許多美麗的圖形，同時折

紙的過程還蘊含著豐富的數(shù)學(xué)知識.

折一折：把邊長為4的正方形紙片ABC。對折，使邊48與CD重合，展開后得到折痕

EF.如圖①：點M為CF上一點，將正方形紙片ABCQ沿直線折疊，使點C落在

EF上的點N處，展開后連接MN,AN,如圖②

（一）填一填，做一做:

(1)圖②中，ZCMD=75°

線段NF=4-2A/3

(2)圖②中，試判斷△AM)的形狀，并給出證明.

剪一剪、折一折：將圖②中的△AN。剪下來，將其沿直線GH折疊，使點A落在點A'

處，分別得到圖③、圖④.

(二)填一填

(4)圖③中，若/A'GN=80°,則NA'HD=40°.

(5)圖③中的相似三角形(包括全等三角形)共有4對;

(6)如圖④點A'落在邊ND上,若山1=如，則旭=生也(用含〃?，〃的代

AzDnAH-irr1-2n-

數(shù)式表示).

【考點】SO：相似形綜合題.

【專題】152：幾何綜合題；553：圖形的全等；554：等腰三角形與直角三角形；556：

矩形菱形正方形；558：平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；55D：圖形的相似.

【分析】(1)由折疊的性質(zhì)得，四邊形CDE尸是矩形，得出EF=CD,ZDEF=90°,

￡>E=AE=L。，由折疊的性質(zhì)得出ZW=CD=2DE,MN=CM,得出/E￡W=60°,得

2

出NCDM=/N￡)M=15°,EN=^-DN=2yf3,因此/CMO=75°,NF=EF-EN=4

-2A/3；

(2)證明△AEN絲△￡>￡1%得出AN=￡W,即可得出△AMD是等邊三角形；

(3)由折疊的性質(zhì)得出A'G=AG,A'H^AH,得出圖③中陰影部分的周長

的周長=12；

(4)由折疊的性質(zhì)得出NAG”=/A'GH,ZAHG=ZA'HG,求出NAGH=50°,

得出NA，G=NA'HG=70°,即可得出結(jié)果：

(5)證明△NGMSAA'NMs/\DNH,即可得出結(jié)論;

(6)設(shè)金_5=四="，則AN=a，〃，A'D=an,證明△△'D,得出上_

A?DnA'H

A"N=_'?,N_.設(shè)WG=AG=X,A'H=AH=y,則GN=4-x,DH=4-y,得出三=_^IL.

DHAzDy4-y

—4~x解得.r=airrf-4y得出AG=ai葉4=am+airrFan=2m4~n

an4+anAH4+ananrl-an+anirrl-2n

【解答】解：(1)由折疊的性質(zhì)得，四邊形C0EF是矩形，

：.EF=CD,ZDEF=90",OE=4E=L。，

2

?.,將正方形紙片ABCD沿直線DM折疊，使點C落在EF上的點N處，

：.DN=CD=2DE,MN=CM,

；.NEDN=60°,

:.NCDM=NNDM=15。,EN=^DN=20

：.ZCMD=15°,NF=EF-EN=4-2^3；

故答案為：75°,4-273；

(2)△4VO是等邊三角形，理由如下：

fAE=DE

在4AEN與ADEN中，，ZAEN=ZDEN=9O0>

,EN=EN

；.AAEN芻/\DEN(SAS),

：.AN=DN,

?：NEDN=6G°,

.?.△4N￡>是等邊三角形；

(3)：將圖②中的△AN。沿直線GH折疊，使點A落在點4'處，

G=AG,A'H=AH,

...圖③中陰影部分的周長=Z\AQN的周長=3X4=12；

故答案為：12；

(4):將圖②中的△AND沿直線G"折疊，使點A落在點A'處，

AZAGH='GH,ZAHG=ZA'HG,

VZA'GN=80°,

AZAGH=50°,

AZAHG=ZA'WG=70°,

.?.NA'40=180°-70°-70°=40°；

故答案為：40；

(5)如圖③，

VZA=ZN=ZD=ZA'=60°,

NNMG=NA'MN,NA'NM=NDNH,

:.XNGMsXNNMSADNH,

V△AGW^AA,GH

???圖③中的相似三角形(包括全等三角形)共有4對，

故答案為：4；

(6)設(shè)2——=—=?,則A'N=ain,A'D—an,

A'Dn

?:NN=/D=NA=NA'=60°,

：.ZNA'G+/A'GN=NNA'G+ZDA'H=U0°,

.?.NA'GN=NDA'H,

.'.△A'GH^/XHA1D,

?￡G=A'N=GN

,,NHDHND'

設(shè)A'G=AG=x,A'H=AH=y,則GN=4-x,DH=4-y,

???x_am_4-_x,

y4-yan

解得：尸亞坦y,

4+an

?AG=airrf-4=anrf-anrl-an=2m+n.

AH4+anairrt-an+anm+2n

故答案為：辿L

irH-2n

圖③

【點評】本題是相似形綜合題目，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、折疊變換的性質(zhì)、

正方形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性

質(zhì)等知識；本題綜合性強，有一定難度，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵.

24.(14分)(2019?齊齊哈爾)綜合與探究

如圖，拋物線y=，+6x+c與x軸交于A、B兩點,與y軸交于C點，OA=2,0C=6,

連接AC和BC.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點O在拋物線的對稱軸上，當(dāng)△AC。的周長最小時，點。的坐標(biāo)為(工，-5).

(3)點E是第四象限內(nèi)拋物線上的動點，連接CE和BE.求△BCE面積的最大值及此

時點E的坐標(biāo)；

(4)若點M是〉軸上的動點，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點M使以點A、C、M、N為頂

點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【專題】153：代數(shù)幾何綜合題；2C：存在型；32：分類討論；521：一次方程(組)及

應(yīng)用；533：一次函數(shù)及其應(yīng)用；535：二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；554：等腰三角形與直角

三角形；556：矩形菱形正方形；558：平移、旋轉(zhuǎn)與對稱.

【分析】(1)由0A=2,0C=6得至IJA(-2,0),C(0,-6),用待定系數(shù)法即求得拋

物線解析式.

(2)由點。在拋物線對稱軸上運動且4、B關(guān)于對稱軸對稱可得，AD=BD,所以當(dāng)點

C、D、B在同一直線上時，△ACO周長最小.求直線BC解析式，把對稱軸的橫坐標(biāo)代

入即求得點D縱坐標(biāo).

(3)過點E作EGVx軸于點G,交直線BC與點F,設(shè)點E橫坐標(biāo)為t,則能用t表示

E尸的長.△BCE面積拆分為ABE/與△CEF的和，以EF為公共底計算可得SABCE=LE/

2

,OB,把含f的式子代入計算即得到&BCE關(guān)于f的二次函數(shù)，配方即求得最大值和/的

值，進(jìn)而求得點E坐標(biāo).

(4)以4c為菱形的邊和菱形的對角線進(jìn)行分類畫圖，根據(jù)菱形鄰邊相等、對邊平行的

性質(zhì)確定點N在坐標(biāo).

【解答】解：(1)V0/1=2,0C=6

；.A(-2,0),C(0,-6)

拋物線y=/+6x+c過點A、C

.*-2b+c=0解得」b=-l

(0+0+c=-6Ic=-6

，拋物線解析式為y=，-x-6

(2).當(dāng)y=0時，x-x-6=0,解得：xi=-2,e=3

：.B(3,0),拋物線對稱軸為直線

22

:點力在直線x=L上，點A、B關(guān)于直線x=L寸稱

22

,\XD——<AD—BD

2

當(dāng)點8、D、C在同一直線上時，C^ACD=AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC^

設(shè)直線解析式為>="-6

：?3k-6=。,解得：k=2

?,?直線8C：y=2x-6

.?.y￡>=2X_L-6=-5

2

r.D(X-5)

2

故答案為：(工，-5)

2

(3)過點E作EG_Lx軸于點G,交直線BC與點尸

設(shè)Z2-Z-6)(0</<3),WJF(t,2r-6)

：.EF=2t-6-(T-/-6)=-』+3f

：?SABCE=S&BE盧S&CEF=LEF'BG+皂F，OG=LEF(BG+OG)=皂尸?。8=工乂3(-

22222

/2+3r）=-A（z-3.）2+2L

228

.?.當(dāng)/=0時，△BCE面積最大

2

：.yE=（當(dāng)2_3-6=一紅

224

.?.點E坐標(biāo)為（2,-2L）時，△BCE面積最大，最大值為ZL

248

（4）存在點M使以點A、C、M、N為頂點的四邊形是菱形.

VA(-2,0),C(0,-6)

AAC=V22+62=2Vi0

①若AC為菱形的邊長，如圖3,

則MN〃AC且，MN=AC=27T^

:岫(-2,2710)-M(-2,-2^/10)>M(2,0)

②若AC為菱形的對角線，如圖4,貝l」AN4〃CM4，AN4=CN4

設(shè)M(-2,n)

A一片正+小產(chǎn)

解得：n=-IP.

3

:.N4(-2,-A2)

3

綜上所述，點N坐標(biāo)為(-2,2d10),(-2,-2。10),(2,0),(-2,-

3

y

圖1

【點評】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，軸對稱求最短路徑，一次函數(shù)的圖象與性

質(zhì)，一次方程（組）的解法，菱形的性質(zhì)，勾股定理.第（4）題對菱形頂點存在性的判

斷，以確定的邊AC進(jìn)行分類，再畫圖討論計算.

考點卡片

1.相反數(shù)

（1）相反數(shù)的概念：只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù).

（2）相反數(shù)的意義：掌握相反數(shù)是成對出現(xiàn)的，不能單獨存在，從數(shù)軸上看，除。外，互

為相反數(shù)的兩個數(shù)，它們分別在原點兩旁且到原點距離相等.

（3）多重符號的化簡：與“+”個數(shù)無關(guān)，有奇數(shù)個“-”號結(jié)果為負(fù)，有偶數(shù)個“-”

號，結(jié)果為正.

（4）規(guī)律方法總結(jié)：求一個數(shù)的相反數(shù)的方法就是在這個數(shù)的前邊添加“-如a的相反

數(shù)是的相反數(shù)是-（,〃+〃），這時機+”是一個整體，在整體前面添負(fù)號時，要用

小括號.

2.科學(xué)記數(shù)法一表示較大的數(shù)

（I）科學(xué)記數(shù)法：把一個大于10的數(shù)記成“X10”的形式，其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的

數(shù)，〃是正整數(shù)，這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法.【科學(xué)記數(shù)法形式：aX10",其中l(wèi)Wa<10,

〃為正整數(shù)

（2）規(guī)律方法總結(jié)：

①科學(xué)記數(shù)法中a的要求和10的指數(shù)n的表示規(guī)律為關(guān)鍵，由于10的指數(shù)比原來的整數(shù)

位數(shù)少1;按此規(guī)律，先數(shù)一下原數(shù)的整數(shù)位數(shù)，即可求出10的指數(shù)

②記數(shù)法要求是大于10的數(shù)可用科學(xué)記數(shù)法表示，實質(zhì)上絕對值大于10的負(fù)數(shù)同樣可用

此法表示，只是前面多一個負(fù)號.

3.平方根

（1）定義：如果一個數(shù)的平方等于“，這個數(shù)就叫做。的平方根，也叫做a的二次方根.

一個正數(shù)有兩個平方根，這兩個平方根互為相反數(shù)，零的平方根是零，負(fù)數(shù)沒有平方根.

（2）求一個數(shù)“的平方根的運算，叫做開平方.

一個正數(shù)a的正的平方根表示為“小”，負(fù)的平方根表示為“-正”.

正數(shù)”的正的平方根，叫做。的算術(shù)平方根，記作零的算術(shù)平方根仍舊是零.

平方根和立方根的性質(zhì)

1.平方根的性質(zhì)：正數(shù)a有兩個平