《空間中的平面與空間向量》教學(xué)設(shè)計(jì)

?教材分析

本節(jié)主要學(xué)習(xí)空間中的平面與空間向量，在向量坐標(biāo)化的基礎(chǔ)上，將空間中線線、線面、

面面的位置關(guān)系，轉(zhuǎn)化為向量語言，進(jìn)而運(yùn)用向量的坐標(biāo)表示，從而實(shí)現(xiàn)運(yùn)用空間向量解決

立體幾何問題，為學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何提供了新的方法和新的觀點(diǎn)，為培養(yǎng)學(xué)生思維提供了更

廣闊的空間.

?教學(xué)目標(biāo)

課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)

A.理解平面的法向量的定義并能在空間1.數(shù)學(xué)抽象：空間向量運(yùn)算與垂直平行判斷

直角坐標(biāo)系中正確地求出某一平面的法向2.邏輯推理：三垂線定理及其逆定理

量.3.直觀想象：線面、面面位置關(guān)系的向量表達(dá)

B.會(huì)用向量語言表達(dá)線面、面面的垂直、4.數(shù)學(xué)運(yùn)算：求平面的法向量

平行關(guān)系.

C.理解并會(huì)用三垂線定理及其逆定理.

?教學(xué)重難點(diǎn)

1.教學(xué)重點(diǎn)：會(huì)用向量語言表達(dá)線面、面面的垂直、平行關(guān)系

2.教學(xué)難點(diǎn)：用向量運(yùn)算解決空間中線面、面面的垂直、平行的判定

?課前準(zhǔn)備

多媒體

、

?教學(xué)過程

教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計(jì)意圖

核心素養(yǎng)目標(biāo)

一、情境導(dǎo)學(xué)

牌樓與牌坊類似，是中國(guó)傳統(tǒng)建筑之一，最早見于周朝.在園林、

寺觀、宮苑、陵墓和街道常有建造.舊時(shí)牌樓主要有木、石、木石、

磚木、琉璃幾種，多設(shè)于要道口.牌樓中

有一種有柱門形構(gòu)筑物，一般較高大.如

圖，牌樓的柱子與地面是垂直的，如果牌

樓上部的下邊線與柱子垂直，我們就能知?jiǎng)?chuàng)設(shè)問題情境，

道下邊線與地面平行.這是為什么呢？引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)運(yùn)用

二、探究新知向量運(yùn)算解法，立體

問題1:我們已經(jīng)知道空間中的直線，根據(jù)它的方向向量和一個(gè)點(diǎn)可幾何問題，實(shí)現(xiàn)幾何

以描述這條直線的位置，那么，對(duì)于空間中的平面，能否引進(jìn)類似的問題代數(shù)化解決的

向量來描述其位置？基本思想，提升數(shù)形

結(jié)合思想.

1.平面的法向量

如果a是空間中的一個(gè)平面，n是空間中的一個(gè)非零向量,

且表示n的有向線段所在的直線與平面a垂直，則稱n為平面a的

一個(gè)法向量.此時(shí)，也稱n與平面a垂直，記作nLa.

思考1：一個(gè)平面的法向量是否唯一？

提示：不唯一，一個(gè)平面的法向量有無數(shù)多個(gè).

2.平面的法向量的求法

在空間直角坐標(biāo)系下，求平面的法向量的一般步驟：

(1)設(shè)平面的法向量為n=(x,y,z)；

(2)找出(求出)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量a=(m,b\,a),

b=(.az,bi,C2)；

(4)解方程組，取其中的一組解,即得平面的一個(gè)法向量.

n.a=0

(3)根據(jù)法向量的定義建立關(guān)于x,必z的方程組,：

1.點(diǎn)A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c),則平面ABC

的一個(gè)法向量為()

A.(be,ac,ab)

B.(ac,ab,be)

C.(be,ab,ac)

D.(ab,ac,be)

解析：設(shè)法向量為n=(x,y>z),則四下二。，Xc-n=0,則

_ax+by=0,

1_QX+cz=0

x=bc,則n=(be,acfab).答案：A

問題2：如果D是直線l的一個(gè)方向向量，n是平面a的一個(gè)法向量,

分別探討n||u與n1v時(shí),直線I與平面氏的關(guān)系；由問題引導(dǎo)，讓

學(xué)生感受到運(yùn)用向

如果%是平面田的一個(gè)法向量，叼是平面如2的一個(gè)法向量，分別探

量運(yùn)算的結(jié)果，表示

討論1電與||叫時(shí)，平面力與平面a2的關(guān)系.

立體幾何的平行與

垂直，實(shí)現(xiàn)立體幾何

向量化和運(yùn)算化.

3.用空間向量處理平行或垂直關(guān)系

(1)如果v是直線/的一個(gè)方向向量，n是平面a的一個(gè)法向量，

則n//v<=>/J_a；n±v=/〃“，或/u”.

(2)如果ni是平面ai的一個(gè)法向量，in是平面a2的一個(gè)法向量,

則

ni-Ln2=ai-La2：ni〃n20ai〃a2,或ai與02重合.

點(diǎn)睛：解答這類問題的關(guān)鍵：一是要清楚直線的方向向量，平面的法

向量和直線、平面的位置關(guān)系之間的內(nèi)在聯(lián)系；二是熟練掌握判斷向

量共線、垂直的方法.在把向量問題轉(zhuǎn)化為幾何問題時(shí)，要注意兩者

的區(qū)別，直線的方向向量和平面平行，則直線可能在平面內(nèi)，也可能

與平面平行.

2.判斷

（1）若平面外的一條直線的方向向量與平面的法向量垂直，則該直

線與平面平行.（）

（2）直線的方向向量與平面的法向量的方向相同或相反時(shí)，直線與

平面垂直.（）

（3）兩個(gè)平面的法向量平行，則這兩個(gè)平面平行或重合；兩個(gè)平面

的法向量垂直，則這兩個(gè)平面垂直.（）

答案：（1）y（2）q（3）7

問題3：已知AB是平面a的一條斜線且B為斜足（即AB不垂直于

且ABna=B）,設(shè)其中4，是A在平面a內(nèi)的射影，而1是平面a內(nèi)

的一條直線，如圖所示，判斷下列命題是否成立，并用空間向量證明：

（1）當(dāng)114,B時(shí)，ILAB-.

（2）當(dāng)114B時(shí)，HAB

通過對(duì)立體幾何

的向量表示的學(xué)習(xí)，

進(jìn)而使向量坐標(biāo)化，

讓學(xué)生感受，用代數(shù)

方法解決立體幾何

證明：設(shè)&II1,則由44,?Ltt,且1ua,可知44,_Lb.問題.發(fā)展學(xué)生邏輯

即44,,v=0,如果，11A1B,則〃8，v-Af又推理，數(shù)學(xué)抽象和數(shù)

學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

因?yàn)樗?AA-+AB=-A-A+A-B

所以布,v-（一4,4+4，3）?》二-4,4?"+4，B，廿二。

因止匕11AB.

如果則uj.何，”?同=0,乂因?yàn)閍，B=彳2'+而，

所以4B'v~（4，4+而）,v=A-A'v+AB,v=0

因此11A'B-

4.三垂線定理及三垂線定理的逆定理

三垂線定理:如果平面內(nèi)的一條直線與平面的一條斜線在該平面內(nèi)的

射影垂直,則它也和這條斜線垂直.

三垂線定理的逆定理:如果平面內(nèi)的一條直線和這個(gè)平面的一條斜線

垂直，則它也和這條斜線在該平面內(nèi)的射影垂直.

思考：三垂線定理及其逆定理有何區(qū)別與聯(lián)系？

提示：聯(lián)系：都是一面四線，三種垂直關(guān)系.

區(qū)別：①?gòu)臈l件或結(jié)論上看?，三垂線定理是“線與射影垂直n線與斜

線垂直”，而逆定理恰好相反；②從作用上看，三垂線定理是“共面直

線垂直=異面直線垂直”，而逆定理恰好相反.

例1如圖，已知空間直角坐標(biāo)系中的三棱錐0—A8C中

0（0,0,0）,A（a,0,0）,B（0,b,0）,C（0,0,c）.

其中abc豐Q,求平面ABC的一個(gè)法向量.

CE=OB-OA=(0,b,0)-(a,0,0)=(-a,b,0)

AC=OC-OA=(0,0,c)-(a,0,0)=(-a,0,C)

設(shè)平面ABC的■—個(gè)法向量為＞1=(x,y,z).則

{n,AB=-ax+by=0

n-AC=-ax+cy=0

將無看成常數(shù)，可解得y=￡￡，z=/x.

令x=be,則y=ac,z=ab,因此n=(be,ac,ab)為平面

ABC的一個(gè)法向量.

通過此類例題的解答，在求平面的法向量時(shí)要注意：

(1)選向量：在選取平面內(nèi)的向量時(shí)，要選取不共線的兩個(gè)向量.

(2)取特值：在求n的坐標(biāo)時(shí)，可令x,y,z中一個(gè)為特殊值得另

兩個(gè)值，得到平面的一個(gè)法向量.

(3)注意0：提前假定法向量1)=(x,y,z)的某個(gè)坐標(biāo)為某特定值通過典型例題

時(shí)一定要注意這個(gè)坐標(biāo)不為0.的分析和解決，讓學(xué)

跟蹤訓(xùn)練1如圖，四棱錐尸一4BCD中，底面ABC。為矩形，PA1.生感受空間向量坐

平面ABC。，E為PQ的中點(diǎn).AB=AP=1,AD=痘,試建立恰當(dāng)?shù)臉?biāo)運(yùn)算在解決空間

空間直角坐標(biāo)系，求平面ACE的一個(gè)法向量.幾何中的應(yīng)用.發(fā)展

學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯

推理的核心素養(yǎng).

解：因?yàn)橐裕矫鍭8CO,底面ABC。為矩形，所以A8,AD,AP

兩兩垂直.如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD,而的方向?yàn)閤軸，y

軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.

則4(0,0,0),D(0,V3.0),E(0,今|),B(1,0,0),

C(1,V3.0).

于是荏=(0，亨，3,AC=(1.V3.0).

設(shè)n=(x,y,z)為平面ACE的法向量.

(n.AC=0(x+V3y=0,fx=_V3y

則1一，即已]所以「，

|n.4E=0,(fy+y=o,]z=_V3y(

令y=T,則x=z=g.

所以平面ACE的一個(gè)法向量為n=(V3.-1,V3).

則ni_L而，mlAE.

%.瓦？=2X]=0pq=0

即1.'得一>

^.AE=2yl+Zi=0,(zi一一2%.

V

令zi=2,則yi=-1.

所以m=(0,—1,2).

因?yàn)榻?m=-2+2=0,所以肩_Lm.

又因?yàn)槭珿<t平面AQE,所以尸Ci〃平面AQE.

通過典例解析，進(jìn)一

步讓學(xué)生體會(huì)空間

向量坐標(biāo)在解決立

體幾何中的應(yīng)用，提

升推理論證能力，提

(2)￡1/；=(2,0,0),設(shè)H2=(必)*Z2)是平面BiGF的一個(gè)

高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算

法向量.

及邏輯推理的核心

由H2_L近1n2_LC；B；.

素養(yǎng).

n2?"1=2y2+名2=0(x2=0

一>，解得L

n,CB--2X-0,[z2_—2y2.

(21l2

令Z2=2,得)2=—1,所以112=(0,—1,2).

因?yàn)閚i=n2,即ni〃n2,所以平面AOE〃平面BiGF.

證明線面、面面平行問題的方法

（1）用向量法證明線面平行：①證明直線的方向向量與平面內(nèi)的某

一向量是共線向量且直線不在平面內(nèi)；②證明直線的方向向量可以用

平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量表示且直線不在平面內(nèi)；③證明直線的方向向

量與平面的法向量垂直且直線不在平面內(nèi)，如（1）中，/CW平面

ACE一定不能漏掉.

（2）利用空間向量證明面面平行，通常是證明兩平面的法向量平

行.當(dāng)然要注意當(dāng)法向量坐標(biāo)中有。時(shí)，要使用ni=4n2這一形式.

BB、

證明：如圖所示，取8c的中點(diǎn)O,連接AO.

因?yàn)闉檎切危訟O_LBC.

因?yàn)樵谡庵鵄8C—486中，平面ABCJ_平面8CCI8I,且平面

ABCC平面BCG8i=BC,AOu平面ABC,所以AOL平面BCGB.

取BCi的中點(diǎn)。，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB,OO\,OA所在直線分別

為x軸，)，軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Qqz.

則8(1,0,0),0(-1,1,0),Ai(0,2,V3)M(0,0,百)，B\

(1,2,0).

所以甌=(1，2,一百)，西=(-1,2,V3)，BD=(-2,I,

0).

因?yàn)楦?西=lx(-1)+2x2+(-V3)xV3=0.

福*,麗=卜(-2)+2x1+(—V3)x0=0.

所以彳瓦*1西，即ABi_L84,ABiLBD.

又因?yàn)?4n所以ASJ_平面48D.

g|JEFLEA,EFLED,又EACED=E,EA,EOu平面AOE.

，EF_L平面AOE.

延伸探究本例中增加條件，E,F分別是BC,8田的中點(diǎn)，求證：

E凡L平面AOE.

證明：建系同例3：點(diǎn)E與點(diǎn)O重合.由E(0,0,0),A(0,0,

V3),D(-l,1,0),F(1,1,0).

得而=(1,1,0),EA=(0,0,V3)，ED=(T，1，0).

?.,市?麗=0，F(xiàn)FFD=O,：.~EF1~EA,EF1FD.

1.用坐標(biāo)法證明線面垂直的常用方法：

方法一：基向量法

(1)建立空間直角坐標(biāo)系.

(2)將直線的方向向量用坐標(biāo)表示.

(3)找出平面內(nèi)兩條相交直線，并用坐標(biāo)表示它們的方向向量.

(4)分別計(jì)算兩組向量的數(shù)量積，得到數(shù)量積為0.

方法二：坐標(biāo)法

(1)建立空間直角坐標(biāo)系.

(2)將直線的方向向量用坐標(biāo)表示.

(3)求出平面的法向量.

(4)判斷直線的方向向量與平面的法向量平行.

2.對(duì)于容易建系的幾何載體要盡量用坐標(biāo)法處理有關(guān)垂直問題，如

果只用基向量法解決涉及的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算比較復(fù)雜.而建系

后只需一切交給坐標(biāo)即可.

跟蹤訓(xùn)練3如圖所示，在正方體ABC。-AIBGOI中，E,F分

別是BBi,。力|的中點(diǎn).求證：E尸，平面BiAC.

證明：方法一設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)

系.

則A(2,0,0),C(0,2,0),B\(2,2,2),￡(2,2,1),

F(1,I,2).

：.'EF=(—1,—1,1).麗=(0,2,2),AC=(—2,2,0).

?；O|是△8CO的垂心，：.DO\LBC.

又AO」平面BCD,...BCLA。（三垂線定理）.

?.?8C是平面ACO的斜線，8Q_L平面AC￡>,CO2是BC在平面ACQ

內(nèi)的射影，.,.CQLA。（三垂線定理的逆定理）.

同理，AO21CD.二仍是△ACQ的垂心.

1.三垂線定理及其逆定理常用于判定空間直線互相垂直，在引用時(shí)

要清楚以下問題：

（1）從條件上看，三垂線定理的條件是“和射影垂直”；其逆定理的

條件是“和斜線垂直”.顯然本例中三垂線定理和三垂線定理的逆定理

都充分利用了.

（2）從功能上看，三垂線定理用于解決已知共面垂直，證明異面垂

直的問題；逆定理正好相反,解決垂心問題需要兩次垂直的證明，都

能用上定理和其逆定理的框架結(jié)構(gòu).

2.三垂線定理及其逆定理應(yīng)用中的三個(gè)環(huán)節(jié)

用三垂線定理及其逆定理證明線線垂直的關(guān)鍵在于構(gòu)造三垂線定理

的基本圖形，創(chuàng)設(shè)應(yīng)用定理的環(huán)境.構(gòu)造三垂線定理基本圖形時(shí)要抓

住下面三個(gè)環(huán)節(jié)：（1）確定投影面；（2）作出垂線；（3）確定射

影.

跟蹤訓(xùn)練4如圖，BC是RSA8C的斜邊，過點(diǎn)A作AA8C所在平

面a的垂線AP,連接PB,PC,過點(diǎn)4作AD±BC于點(diǎn)D,連接PD,

那么圖中的直角三角形共有（）

A.4個(gè)B.6個(gè)C.7個(gè)

D.8個(gè)

解析：???”，平面a,.?/￡>在平面a內(nèi)的射影為AD.

由三垂線定理可得，PD1BC.

：.tiABC,^ABD,&ACD,"BD,"CD,LPAB,&PAD,&PAC

均為直角三角形，共8個(gè).故選D.

三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)

1.若直線/的方向向量a=(1,0,2),平面a的法向量為n=(—通過練習(xí)鞏固本

2,0,-4)，則()節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過學(xué)

A.l//aB.IlaC.luaD./與a斜交生解決問題，發(fā)展學(xué)

解析：?；n=-2a,；.a〃n,即/_La.答案：B生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯

2.若直線/〃a,且/的方向向量為(2,加，1),平面a的法向量推理、數(shù)學(xué)建模的核

為(1,p2),則加為()心素養(yǎng).

A.-4B.-6C.-8D.8

解析：；/〃a,平面a的法向量為(1,2),A(2,in,1)(1,

1,2)=0..-.2+|w+2=0.：.m=-8.答案：C

3.若平面a,尸的法向量分別為a=(2,—1,0),b=(—1,—2,

0),則a與￡的位置關(guān)系是()

A.平行B.垂直

C.相交但不垂直D.無法確定

解析：ab=-2+2+0=0,.*.a±b,:?邛.答案：B

4.如圖，在△ABC中，ZACB=90°,直線/過點(diǎn)4且垂直于平面A8C,

動(dòng)點(diǎn)、P0,當(dāng)點(diǎn)P逐漸遠(yuǎn)離點(diǎn)A時(shí)，NPCB的度數(shù)()

A.逐漸變大B.逐漸變小

C.不變D.先變大再變小

:

解析：由題意可得，AC±BC.平面ABC.

由三垂線定理的逆定理可得，BC1PC.

.../PCB=90。，即/PC8的度數(shù)保持不變.故選C.

答案：C

5.已知點(diǎn)P是平行四邊形ABCD所在的平面外一點(diǎn)，如果四=(2,

—1,—4),而=(4,2,0),AP=(—1,2,-1)