第第頁(yè)數(shù)列求和的運(yùn)算1．等比數(shù)列的公比為2，且成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【詳解】（1）已知等比數(shù)列的公比為2，且成等差數(shù)列，，,解得，（2），.2．正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知．(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并求出，；(2)若，求數(shù)列的前2023項(xiàng)和．【答案】(1)；；(2).【詳解】（1）由可得，，又因?yàn)闉檎?xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和，所以，因?yàn)?，所以，所以，?shù)列為等差數(shù)列，所以，，，所以.（2），.3．已知數(shù)列為：1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4….即先取，接著復(fù)制該項(xiàng)粘貼在后面作為，并添加后繼數(shù)2作為；再?gòu)?fù)制所有項(xiàng)1，1，2并粘貼在后面作為，，，并添加后繼數(shù)3作為，…依次繼續(xù)下去.記表示數(shù)列中首次出現(xiàn)時(shí)對(duì)應(yīng)的項(xiàng)數(shù).(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意知：，即，且，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，則.（2）由（1）可知，，所以在前項(xiàng)中出現(xiàn)1次，5在前項(xiàng)中出現(xiàn)2次，4在前項(xiàng)中出現(xiàn)次，3在前項(xiàng)中出現(xiàn)次，2在前項(xiàng)中出現(xiàn)次，1在前項(xiàng)中出現(xiàn)次，所以.4．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)公差為，由，，得，解得，所以.（2）由（1）可得，所以，故數(shù)列的前項(xiàng)和為.5．已知是首項(xiàng)為2，公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列滿足.(1)證明是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列與中有公共項(xiàng)，即存在，使得成立.按照從小到大的順序?qū)⑦@些公共項(xiàng)排列，得到一個(gè)新的數(shù)列，記作，求.【答案】(1)證明見(jiàn)解析，，(2)【詳解】（1）由題意可得：，而，變形可得：，故是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列.從而，即.（2）由題意可得：，，令，則，此時(shí)滿足條件，即時(shí)為公共項(xiàng)，所以.6．設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)且，求數(shù)列的前n項(xiàng)和為．【答案】(1)(2)，【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，則.（2）由題設(shè)知：，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；綜上，，.7．已知數(shù)列滿足：，且對(duì)任意的，(1)求，的值，并證明數(shù)列是等比數(shù)列；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)，，證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1），.由題意得，又，所以數(shù)列是等比數(shù)列.（2）由（1）知.運(yùn)用分組求和，可得.8．已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且對(duì)任意，成等差數(shù)列，又正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，.(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，是否存在正整數(shù)，使.若存在，求出的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)，(2)不存在，理由見(jiàn)解析【詳解】（1）設(shè)的公比為，顯然，由，可得，解得或（舍去），又，所以，又對(duì)任意，成等差數(shù)列，，所以.因?yàn)椋?，所以，故是以為首?xiàng)，公差的等差數(shù)列，所以，又，所以，所以.當(dāng)時(shí)，，時(shí)，滿足上式，故.（2），設(shè)，①，②，①-②，得，所以，故不存在正整數(shù)，使.9．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，滿足，(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記為數(shù)列在區(qū)間中最大的項(xiàng)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）設(shè)的公比為，則，又，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，兩式相減可得，，所以，所以或(舍去)，所以，即，所以等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為；（2）由，，可得，所以，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，所以，所以.即.10．已知等差數(shù)列的公差，且滿足，，，成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足求數(shù)列的前2n項(xiàng)的和．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)?，，成等比?shù)列，所以，即，解得或．因?yàn)?，所以，所以．?）由（1）得所以，所以，，所以數(shù)列的前2n項(xiàng)的和．11．設(shè)是數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，.(1)求，；(2)令，求.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由得即，即，又，所以，（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，兩式相加可得，得，由于，所以12．已知是遞增的等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且，，，．(1)求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；(2)，數(shù)列滿足，求的前項(xiàng)和．【答案】(1)，(2)【詳解】（1）解：由題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，，，因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，則，即，因?yàn)椋獾茫?又因?yàn)?，，所以，等比?shù)列的公比為，因此，.（2）解：由，①可得，所以，，當(dāng)時(shí)，，②①②得，所以，，不滿足，所以，.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，也滿足，綜上所述，對(duì)任意的，.13．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，．可得，整理得：，從而，又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列；所以，所以，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足，綜上，數(shù)列的通項(xiàng)公式為；（2）由（1）得，所以，所以，，所以14．已知為數(shù)列的前n項(xiàng)和，，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)?，所以，兩式相減得，化簡(jiǎn)得，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以．（2），所以所以．15．已知函數(shù)的首項(xiàng)，且滿足．(1)求證為等比數(shù)列，并求．(2)對(duì)于實(shí)數(shù)，表示不超過(guò)的最大整數(shù)，求的值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析，(2)【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以，所以，所?又因?yàn)?，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以，所以.（2）因?yàn)?，所?設(shè)，所以，所以，所以，所以.因?yàn)椋?，所以，所?16．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{}滿足（正整數(shù)(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）證明：已知遞推公式，兩邊同時(shí)加上3，得：，因?yàn)?，所以，又，所以?shù)列是以為首項(xiàng)、以2為公比的等比數(shù)列.（2）由（1），則，所以.17．已知在數(shù)列中，，且是公差為1的等差數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求使得的最大整數(shù)m的值；(3)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和【答案】(1)(2)8(3)【詳解】（1）由可知，又是公差為1的等差數(shù)列，所以，故．（2），，則，整理得，解得，故滿足條件的最大整數(shù)m的值為8．（3）由題得，則，，兩式相減得，所以.18．已知數(shù)列各項(xiàng)都不為，前項(xiàng)和為，且，數(shù)列滿足，．(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)令，求數(shù)列的前項(xiàng)和為【答案】(1);;(2)【詳解】（1）由，可得，兩式相減得，整理得，因?yàn)閿?shù)列各項(xiàng)都不為，所以數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列．令，則，解得，故．由題知，所以（2）由（1）得，所以，，兩式相減得，所以．19．已知等比數(shù)列的公比為2，數(shù)列滿足，，．(1)求和的通項(xiàng)公式；(2)記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，證明：．【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，又，解得．所以是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故．則，即．所以是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，故．（2）由（1）可得，，所以．則①，②，①-②可得，所以．因?yàn)?，所以是遞增數(shù)列．則，故．20．在數(shù)列中，，.(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；；(2)【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，，；（2）數(shù)列的前項(xiàng)和．21．記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知是公差為2的等差數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）因?yàn)椋?，因?yàn)槭枪顬?的等差數(shù)列，所以，所以.（2），①所以，②①-②則，所以.22．已知數(shù)列滿足（n≥2，），．(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)證明見(jiàn)解析，(2)【詳解】（1）∵，∴，所以，又，∴是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，∴，∴．（2）∵，∴，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，．當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，．綜上．23．已知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，且滿足.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前10項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)槭枪顬榈牡炔顢?shù)列，，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋?，解得，所以或（舍去），所以；?）由（1）得，.所以.24．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，兩式相減，得，整理得，即時(shí)，，又當(dāng)時(shí)，，解得，所以數(shù)列是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以.（2）由（1）知，所以，令，易知，，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則①，②，由①-②，得，即，所以，所以.25．已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列滿足，求的前項(xiàng)和.【答案】(1)；(2).【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公比為，則，，解得，所以，即的通項(xiàng)公式為；（2）由題可知，則，，兩式相減得：，.26．已知數(shù)列中，，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和，求證：．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）解：因?yàn)?，，所以，所以?dāng)時(shí)，滿足條件，所以；（2）因?yàn)?，所以，所以，所?27．?dāng)?shù)列滿足.(1)求證：是等比數(shù)列；(2)若，求的前項(xiàng)和為.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）可得，，所以，設(shè)設(shè)其前項(xiàng)和為，則①②減②得所以所以28．已知正數(shù)數(shù)列，，且滿足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【詳解】（1）∵，∴，又，∴，即．又，且，∴（2），∴，，又，∴.29．已知數(shù)列、，滿足，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：因?yàn)椋?，則，，，以此類推可知，對(duì)任意的，，所以，即，，又因?yàn)?，所以是首?xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以的通項(xiàng)公式為.（2）解：，則，所以，，故.30．已知數(shù)列中，，是數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)證明：．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列是首項(xiàng)為2，公差為的等差數(shù)列，所以，則，得（），兩式相減得：，則，（），又適合上式，故．另解：由得（），故為常數(shù)列，則，故．（2）由（1）得，所以，則.31．已知在等差數(shù)列中，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)(2)且【詳解】（1）若等差數(shù)列公差為，則，即，由，則，所以的通項(xiàng)公式.（2）由題設(shè)，當(dāng)為偶數(shù)，則；當(dāng)為奇數(shù)，則；所以且.32．記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，，．(1)求，t；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)，t＝2(2)(3)【詳解】（1）由（）可得，，，，又，，則解得，t＝2．（2）由（）可得，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，所以數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是一個(gè)公差為3的等差數(shù)列，又，則；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，所以數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)是一個(gè)公差為3的等差數(shù)列，又，則，則．（3）．，則，即．33．?dāng)?shù)列中，，且．(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求出；(2)記數(shù)列的前n項(xiàng)和為．若，求．【答案】(1)證明見(jiàn)詳解，(2)1360【詳解】（1）因?yàn)?，則，且，所以數(shù)列是以首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，故，可得.（2）因?yàn)?，即，?dāng)時(shí)，則，解得；當(dāng)時(shí)，則，兩式相減得：，整理得；所以，即.34．已知數(shù)列滿足，．(1)記求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【詳解】（1），，又，，又，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）得，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和為=.35．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，成等差數(shù)列．(1)求的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若求數(shù)列的前項(xiàng)和【答案】(1)，，；(2)【詳解】（1），，成等差數(shù)列，，即，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，是等比數(shù)列，，則，得，數(shù)列的通項(xiàng)公式為，；（2），則前項(xiàng)和，，兩式相減可得，化簡(jiǎn)可得．36．已知數(shù)列和，，，.(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)，(2)【詳解】（1）由，，得，整理得，而，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，所以，，.（2），設(shè)，則，兩式相減得，從而.37．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，且成等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以，因?yàn)?，所以，即，所?（2）由（1）得，因?yàn)?，所以，所以，即；，，兩式相減可得；所以.38．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且滿足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)的前n項(xiàng)和為，求．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，兩式作差得，即，又，所以，當(dāng)時(shí)，，又當(dāng)時(shí)，，解得，可知數(shù)列是以首項(xiàng)為1，公差為2的等差