第二節(jié)排列與組合第十一章內(nèi)容索引0102強基礎增分策略增素能精準突破課標解讀1.理解排列、組合的概念.2.能利用計數(shù)原理推導排列數(shù)公式、組合數(shù)公式.強基礎增分策略知識梳理1.排列與組合的概念名稱定義排列從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素按照

排成一列

組合作為一組一定的順序

微點撥定義中規(guī)定m≤n,如果m<n,則這樣的排列只是取一部分元素作排列,叫做選排列;如果m=n,則這樣的排列是取出所有元素作排列,叫做全排列.微思考排列問題與組合問題的區(qū)別是什么?提示

元素之間與順序有關的為排列,與順序無關的為組合.2.排列數(shù)與組合數(shù)

是符合條件的排列的總數(shù),是一個實數(shù)

常用此性質(zhì)計算組合數(shù)

不同排列

不同組合

n!

1微點撥排列數(shù)與組合數(shù)的兩種形式:連乘積形式;階乘形式.前者多用于數(shù)字計算,后者多用于含有字母的排列數(shù)式子的變形與論證.常用結論

對點演練1.判斷下列結論是否正確,正確的畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)所有元素完全相同的兩個排列為相同排列.(

)(2)兩個組合相同的充要條件是其中的元素完全相同.(

)√××答案

7即6(m-3)=4!,解得m=7.答案

C

解析

分以下2種情況:3.某校開設A類選修課3門,B類選修課4門,一位同學從中共選3門.若要求兩類課程中各至少選一門,則不同的選法有(

)A.18種 B.12種C.30種 D.48種增素能精準突破考點一排列問題典例突破例1.(1)某校A,B,C,D,E五名學生分別上臺演講,若A在B前面出場,且A,B都不能在第3號位置,則不同的出場次序有(

)A.18種

B.36種 C.60種

D.72種(2)某校高三要安排畢業(yè)晚會的4個音樂節(jié)目,2個舞蹈節(jié)目和1個曲藝節(jié)目的演出順序,要求2個舞蹈節(jié)目不連排,則不同排法的種數(shù)是(

)A.1800 B.3600 C.4320 D.5040(3)甲、乙、丙、丁、戊5名同學站成一排參加文藝匯演,若甲不站在兩端,丙和丁相鄰的不同排列方式有(

)A.12種

B.24種 C.36種

D.48種答案

(1)B

(2)B

(3)B

方法總結求解排列問題的四種常用方法

對點訓練1(1)有8位學生春游,其中小學生2名,初中生3名,高中生3名.現(xiàn)將他們排成一列,要求2名小學生相鄰、3名初中生相鄰,3名高中生中任意兩名都不相鄰,則不同的排法種數(shù)為(

)A.288 B.144 C.72 D.36(2)某高中元旦晚會有一個節(jié)目是現(xiàn)代舞,選了5位男生和4位女生參加,舞蹈老師在排練前,讓他們男女間隔排列,則排列的方式有

種.

答案

(1)B

(2)2880

考點二組合問題典例突破例2.男運動員6名,女運動員4名,其中男、女隊長各1名.現(xiàn)選派5人外出參加比賽,在下列情形中各有多少種選派方法?(1)男運動員3名,女運動員2名;(2)至少有1名女運動員;(3)隊長中至少有1人參加;(4)既要有隊長,又要有女運動員.方法總結組合問題的兩類題型

對點訓練2(1)(2023新高考Ⅱ,3)某學校為了了解學生參加體育運動的情況,用比例分配的分層隨機抽樣法作抽樣調(diào)查,擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學生,已知該校初中部和高中部分別有400和200名學生,則不同的抽樣結果有(

)(2)(2023新高考Ⅰ,13)某學校開設了4門體育類選修課和4門藝術類選修課,學生需從這8門課中選修2門或3門課,并且每類選修課至少選修1門,則不同的選課方案共有

種(用數(shù)字作答).

答案

(1)D

(2)64

考點三分組、分配問題(多考向探究)考向1.不等分問題典例突破例3.(2023廣東深圳二模)現(xiàn)將5個代表團人員安排至甲、乙、丙三家賓館入住,要求同一個代表團人員住同一家賓館,且每家賓館至少有1個代表團入住.若這5個代表團中A,B兩個代表團已經(jīng)入住甲賓館且不再安排其他代表團入住甲賓館,則不同的入住方案種數(shù)為(

)A.6 B.12

C.16

D.18答案

A

解析

甲賓館不再安排代表團入住,則乙、丙兩家賓館需安排余下的3個代表團入住,所以一個賓館住1個代表團,另一個賓館住2個代表團,共有

=6種不同的方法,故選A.名師點析對于不等分問題,首先要對分配數(shù)量的可能情形進行一一列舉,然后再對每一種情形分類考慮.在每一類的計數(shù)中,又要考慮是分步乘法計數(shù)還是分類加法計數(shù),是排列問題還是組合問題.對點訓練3若將6名教師分到3所中學任教,每名教師只去1所中學,其中一所1名,一所2名,一所3名,則有

種不同的分法.

答案

360

考向2.整體均分問題典例突破例4.甲、乙、丙3家公司承包了6項工程,每家公司承包2項,則不同的承包方案有

種.

答案

90解析

甲、乙、丙3家公司承包了6項工程,每家公司承包2項,則不同的承

名師點析對于整體均分,不管它們的順序如何,都是一種情況,所以分組后一定要除以組數(shù)的階乘.對點訓練4將9名大學生志愿者安排在星期五、星期六、星期日3天參加社區(qū)公益活動,每天分別安排3人,每人參加一次,則不同的安排方案共有

種.(用數(shù)字作答)

答案

1680

考向3.部分均分問題典例突破例5.有5名同學考慮報書法、圍棋、繪畫3個暑假興趣班,如果每人只能報1個興趣班,每個興趣班都有同學報名,可能的報名結果共有

種.(用數(shù)字作答)

答案

150

名師點析對于部分均分,即若有m組元素個數(shù)相同,則分組時應除以m!.對點訓練5現(xiàn)某大學為提高數(shù)學系學生的