2024屆高三數(shù)學(xué)試題（理科）

考生注意：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第H卷（非選擇題）兩部分，共150分?？荚嚂r(shí)間120分鐘。

2.請(qǐng)將各題答案填寫在答題卡上。

3.本試卷主要考試內(nèi)容：高考仝部內(nèi)容。

中

第I卷

一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

圜1.已知集合4={川1+1>0）,8=（工|工2<4},則人口8=

A.{x\~l<x<2}B.{x|-2<x<2}

施C.{o：|—2V%V1}D.{N|1VZV2}

2.已知復(fù)數(shù)z=MJ*（a￡R）為純虛數(shù)，則a=

幽

A—1B.0

C.1D.2

3.已知非零向量。"滿足㈤=3㈤，且（a+2b）_L（a-4b），則a與。夾角的余弦值為

■￡A五B-T

（3—D工

J口3

郭

4.已知Z,勿，〃是三條不重合的直線,a,是三個(gè)不重合的平面，則下列結(jié)論正確的是

場A若Z〃a,a〃魚則

盛B.若afl冉=z,帆〃Z,則m〃a且m〃/3

國C.若Zj_m,Z_L”,n:Ua,〃Ua,則Z_La

D.若ania_Ly，BLM_L>

料

【明高三數(shù)學(xué)第1頁（共4頁）理科8B1

6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的值為a=O.3°-2,&=O.2。/，國.

C=-logo.2。.3,貝IJ輸出的值為

A,logo.20.3/輸入。區(qū)c/

B.0.3°-2

C.0.20-3

D.—log0.20.3

7.已知集合。={工￡2|14l45},非空集合八三17,且4中所有元素之

和為奇數(shù)，則滿足條件的集合A共有

A.12個(gè)B.14個(gè)

C.16個(gè)D.18個(gè)［結(jié)束

8.已知函數(shù)/（H）=2工+五-4,若存在工iVg,使得y（xi）y（x2X0,

則下列結(jié)論不正確的是

A.21VI

B.X2>1

C./（外在（6,處）內(nèi)有零點(diǎn)

D.若f（z）在（4，丐&〉內(nèi)有零點(diǎn)，則

9.當(dāng)兩個(gè)變量呈非線性相關(guān)時(shí)，有些可以通過適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)換進(jìn)行線性相關(guān)化，比如反比例關(guān)系

k點(diǎn)，可以設(shè)一個(gè)新的變量之=!，這樣y與z之間就是線性關(guān)系.下列表格中的數(shù)據(jù)可以

用非線性方程y=o.14i2+i進(jìn)行擬合,

X123456

y2.53.64.45.46.67.5

用線性回歸的相關(guān)知識(shí)，可求得占的值約為

A.2.98B.2.88C.2.78D.2.68

10.若函數(shù)八力=25112（等一學(xué)）+7^&3：+學(xué)）—2（3>0）在［0,怎：1上恰有兩個(gè)零點(diǎn),則3的

1L40

取值范圍為

5858曙

L--JX--C

A.33.393

11.我們把形如G套一方=l（a>0,8>0）和Q；/-，=l（a>0,8>0）的兩個(gè)雙曲線叫做共

鈍雙曲線.設(shè)共軻雙曲線GC的離心率分別為公，&，則當(dāng)2+義取得最大值時(shí),e】=

1V

A2,3C6n以13

12.當(dāng)x>0時(shí),ae觸》In三恒成立，則。的取值范圍為

aer

A（0卷］B.jC.［!,+8）,D.［上,+8）

【囹高三數(shù)學(xué)第2頁（共4頁）理科囹］

第n卷

二、填空題:本大題共4小題,每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.

13,已知實(shí)數(shù)科,滿足約束條則其表示的封閉區(qū)域的面積為▲.

[y-1>0,

14.已知拋物線E：V=8%的焦點(diǎn)為F，M5,*）是E上一點(diǎn)，且|MF|=華，則4=▲,

O

15.一個(gè)封閉的玻璃圓錐容器A。內(nèi)裝有部分水（如圖1）,此時(shí)水面與

線段AO交于點(diǎn)B,將其倒置后（如圖2），水面與線段AO還是交于

點(diǎn)B,貝式猾尸=▲.

16.在aABC中,AC=BC,延長CB至點(diǎn)E,使得NACB=2/CEA,若

AB>AC,則磊的取值范圍為▲.

三、解答題:共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21題為必考題，每個(gè)

試題考生都必須作答.第22.23題為選考題,考生根據(jù)要求作答.

（一）必考題:共60分.

17.（12分）

已知數(shù)列〈&｝滿足團(tuán)+華+號(hào)H----\-—^n?

Zon

《1）求｛對(duì)｝的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列（巖等｝的前"項(xiàng)和T,..

，勿十/?

18.（12分）

為了防止注冊(cè)賬號(hào)被他人非法登錄，某系統(tǒng)在賬號(hào)登錄前，要先輸入一個(gè)驗(yàn)證碼.當(dāng)連續(xù)3

次輸入錯(cuò)誤驗(yàn)證碼時(shí)，該用戶賬號(hào)將被凍結(jié)，需本人持有效證件進(jìn)行解凍.已知該系統(tǒng)登人

設(shè)置的每個(gè)驗(yàn)證碼由有序數(shù)字串動(dòng)廿組成，其中a,6,c,QG｛0,1,2,3｝,某人非法登錄一個(gè)

賬號(hào),任選一組驗(yàn)證碼輸入,直到輸入正確的驗(yàn)證碼或賬號(hào)被凍結(jié).

（D求這個(gè)人第一次輸入的驗(yàn)證碼恰有兩位正確的概率；

《2》設(shè)這個(gè)人輸入驗(yàn)證碼的次數(shù)為X,求X的分布列和期望.

19.（12分）

如圖，在四棱柱ABCD-AiBCDi中，底面ABC。和側(cè)B

面ABB14均是邊長為2的正方形.

⑴證明ID」場C.

（2）若NBiBC=120°,求二面角A-BC-D,的余弦值.

【需高三數(shù)學(xué)第3頁（共4頁）理科88]

20.Q2分）

已知橢圓。手+披=1（心知>0）的離心率為號(hào)，且橢圓C的短軸長為276.

（1）求橢圓C的方程.

（2）設(shè)P是橢圓C上第一象限內(nèi)的一點(diǎn),A是桶圓C的左頂點(diǎn),B是橢圓C的上頂點(diǎn)，直線

PA與'軸相交于點(diǎn)直線FB與N軸相交于點(diǎn)N.記4ABN的面積為Si,AAMN

的面積為S2.證明：iS—S2I為定值.

21.（12分）

,已知函數(shù)f（z）=2e*+aH.-

6）討論/1（1）的單調(diào)性；

（2）若方程f（x）=m有兩個(gè)不相等的根可，g，且0〈勾〈例，于8的導(dǎo)函數(shù)為/（①），證

明，（7^西）<0.

坤

爵

（二）選考題:共10分.請(qǐng)考生在第22.23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.

22.［選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程］（10分）a-

/r=cossm6.

.為參數(shù)），直線Z的參數(shù)方程為

{y=cososm0

以

f_1.

x=-2--r^cosa）

<］。為參數(shù)）,Z與C相交于A,B兩點(diǎn).

淵

y=2+@ina

（D求曲線C的普通方程；帽

⑵設(shè)證明：|MA|?為定值.

Ct乙

固

23.［選修4-5：不等式選講卜10分）

已知正實(shí)數(shù)a,6,c滿足十^=3.

⑴若a=l,證明停+/>2.

（2）求刈+於+c。的最大值.

【囹高三數(shù)學(xué)第4頁（共4頁）理科86】

2024屆高三數(shù)學(xué)試題參考答案（理科）

1.A因?yàn)槿?{川］＞—1},B=6|—2V1V2〉,所以4口6={川一1VN＜2}.

o廠―1+ai（—l+ai）（l—i）a—l+（a+l）ia-1?a+l.口"。一1八在萬4日i

2.Cz=-1T（l+i）（l—i）=-------2--------=丁十丁|，則二'=。，解得a=L

3.B因?yàn)椋℅+25）_L（G—4》），所以（G+26）?（a-4&）=a2—2a?b—8b2=b2—2a?b=0,設(shè)a

—b2

與匕的夾角為。，則cos片曲淄=恭=看

4.D若/〃a,a〃⑶則可能lUR,A不正確.若a。0=/,相〃/,則可能有mUa或U0,B不正

確.若相〃〃,則/與a的位置關(guān)系不確定,C不正確.若anS=，，a，7,足17,則?7，D正確.

5.A/（—z）=12二:=”z）,所以"］）為偶函數(shù)，圖象關(guān)于）軸對(duì)稱，排除C,D.當(dāng)

0＜遼＜1時(shí),/（外＜0,排除B.故選A.

3

6.D執(zhí)行程序框圖可知，輸出的值為最小值，因?yàn)閍=0.3。2＞0,6=0.2°-＞0,c=-log0.20.3

=log5。.3＜log51=0,所以輸出的值為一log。”。.3.

7.C若A只有1個(gè)元素，則滿足條件的集合有Q=3個(gè)，若A只有2個(gè)元素，則滿足條件的集

合有C1X?=6個(gè)，若A只有3個(gè)元素，則滿足條件的集合有C；XC+。=4個(gè)，若A只有

4個(gè)元素，則滿足條件的集合有CgXC；=2個(gè)，若A有5個(gè)元素，則A=U,滿足條件,故滿足

條件的集合A共有16個(gè).

8.A因?yàn)?（］）=2，+右一4在［0,+8）上單調(diào)遞增，且?〈及，/（?）/1（工2）V0，

所以/（內(nèi)）＜0"（g）＞0,則函數(shù)八支）在（?,及）內(nèi)有零點(diǎn)，

又因?yàn)?，?）=一1＜0,所以g＞1,

若函數(shù)/（外在（處，嗎四）內(nèi)有零點(diǎn),則/（咨巡）＞0-

乙乙

9.B設(shè)2=*,則j/=o.則

149162536

y2.53.64.45.46.67.5

-1+4+9+16+25+3691-2.5+3.6+4.4+5.4+6.6+7.5

z=-------------6-------------=3=--------------------6---------------------=

則『5—0?1底=5—0.14X卷=2.88.

10.C/(j：)=2sin2(^—-7)+>/3sin(coJr+^-)

246

1,令/(z)=0,得sin(cur+￡")=1,由得松g+費(fèi)_&3兀+_^_.因?yàn)閟in(ahz+￡")

OOOOO

=1恰有兩解,所以合母〈等，解得挈《強(qiáng)

Z6Z00

【賽高三數(shù)學(xué)?參考答案第1頁（共6頁）理科險(xiǎn)】

—c

ei=-(

a99Q9QAO^-Lc/ja=ccos仇n

11.A由題意可知《則左+立=2/+z義=也土曲.由C2=/+加，可設(shè)4(0<

_c勾e2cccU=csin9

卜=針

(9〈號(hào))，則3+看=2033c沙1=3sinj+2cos—々sinM+p),

_3

COSC*D—/_1_2：9

其中v(O<8<3).當(dāng)。+8=今，即e=^—平時(shí)，2十旦取得最大值，豆,

2TLTZLTe\ei

sin(p=__

IY/13

111_713

此時(shí)約

accos9cos9TC、sincp2.

cos(R-g—cp)

12.D因?yàn)楫?dāng)i>0時(shí),ae2，)ln壬恒成立，所以ae&)lnj—Ina-x在(0,+8)上恒成立，即

ae

ein?+2J_|_|n4+27>朋工+ln①在(0,+8)上恒成立.令"z)=e*+z,易得/(z)在(0,

+8)上單調(diào)遞增，所以Ina+2_r>lnh在zG(0,+8)上恒成立，即lna>ln?一21在(0,

+8)上恒成立.令g(z)=lnj—2z,則g，(z)=}-2=1當(dāng)彳￡(0,5)時(shí)，8'殳)>0,

g(_z)單調(diào)遞增；當(dāng)),+8)時(shí),g'OXO.gG)單調(diào)遞減.故g(1r)(g(J)=ln-y—1

乙LiLi

=ln＞則In61吐，即a息

13.2根據(jù)約束條件作出的平面區(qū)域圖如圖所示，其中A(l,l),

夙3,1),C(1,3),則S△用=2|AB|?|AC|=4"X2X2=2,

乙乙

故封閉區(qū)域的面積為2.

14.6由題可知，|MF|=遼0+g=70+2=字,解得才0=6.

乙O

15.4由題意知，在圖1中，圓錐AB的體積是圓錐A。體積的一半，分別設(shè)圓B,圓。的半徑

為廣1，廠2，則

V/V)

16.OO如圖，由題意知因?yàn)锳CBCABAC所以NACB當(dāng)

(73,+)NACBVF=,>,>乙O

設(shè)NACB=2a,則Z.CEA=a，則AB=2BCsina.在△ABE中,

NABE=^+a,所以由正弦定理得而愛麗=/洗后=

E

【周高三數(shù)學(xué)?參考答案第2頁(共6頁)理科賽】

BEg?2BACEsin_a_______B_E__

sin/BAE'即sina一.(二+外，解得AE=2BCCOSa,BE=2BCcos2a,

sin(｝一2。)

則管=空手=-----1.因?yàn)椤?lt;2a<F所以會(huì)<aV第,所以噂Vcosa<§，所以

BBcosZa1oZ64ZZ

Zocosa

cosa

管的取值范圍為（禽，+8）.

IJIS

17.解：（1）當(dāng)〃=1時(shí),m=4................................................................................................1分

當(dāng)G2時(shí),由?+尹尹…+卜〃?2木,得即+尹尹…+急—"，

..........................................................................................................................................2分

則包=〃?2"+】一(〃一1)?2"=(”+1)?2",則a“=〃(〃+l)?2",...................................5分

72

因?yàn)閍i也符合上式，所以a?=n(7?+l)-2"...................................................................6分

(2)由(1)可知,^^=〃?2"T,......................................................................................7分

則「=1X20-1-2X21+3X22J-----H??2"一】，.................................8分

則27“=lX2i+2X22+3X23H----"2",....................................................................9分

兩式相減得f=2。+2—22+…+2"一一〃?2=0—〃?2-1+(1-.)-2”,…

......................................................................................................................................11分

則r=(〃-1)-2"+1.......................................................................................................12分

18.解：（1）由題可知，每位驗(yàn)證碼輸入正確的概率為卷，.........................2分

故這個(gè)人第一次輸入的驗(yàn)證碼恰有兩位正確的概率為C1X（J）2X（?）2=^.……5分

44140

（2）由題意可知X的所有可能取值為1,2,3,..................................................................6分

P（X=D=*=羨，.....................................................7分

255J_J_

P(X=2)=y=8分

-256255-256

_255254_127

P(X=3)y9分

-256255-128,

則X的分布列為

X123

P11127

256256128

10分

E(X)=1X—+2X—+3X^2g=-.......................................................................12分

【周高三數(shù)學(xué)?參考答案第3頁（共6頁）理科88】

19.（1）證明：連接BG,因?yàn)榈酌鍭BCD和側(cè)面ABBA均為正方形，所以四邊形BCQB為

菱形，則.......................................................1分

由底面ABCD和側(cè)面CDDC均為正方形，得GD」BC，GD」CCi....................2分

因?yàn)?GnCG=G，所以平面BCGB]............................................................3分

又BiCU平面BCGB，所以GDiJ_B】C.......................................................................4分

因?yàn)锽CinGDi=G，所以BiC,平面BGDi...............................................................5分

又BDiU平面BGDi，所以.....................................6分

（2）解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn),ASAD所在直線分別為X軸、）軸,建立如圖所示的空間直角坐

標(biāo)系.

由/_61口。=120°,4_6=4。=44]=2,得_6(2,0,0),。(2,2,0),。1(0,1,痣)，則該=(0,2,

0),隔=(—2,1,而)....................................................8分

m?BC=0,(2y=0,

設(shè)平面BCDi的法向量為"z=(z,y,z),則由《_?得＜令z=

l/n?JBDI=0,I—2z+y+Oz=0,

通，得機(jī)=(遮，0,2)...........................................................................................................9分

由圖可知，平面ABC的一個(gè)法向量為"=(0,0,1).

......................................................................10分

/\m?n22A/7IIzv

由圖可知，二面角A-BC-D,為銳角，故二面角

A-BC-必的余弦值為呼................12分

V3

a3'

20.（D解：由題可知,<2分

2。=25/^9

a2=62+c2,

a=3,

解得J6=痣，.............................................................3分

?=辰，

22

故橢圓C的方程為午+A=1............................................................................................4分

yb

（2）證明:設(shè)PCz。,y。）,則直線PA的方程為y=靖WCr+3）,令丁=0,得M（0,湃

..........................................................................................................................................5分

直線PB的方程為_@z+而，令》=0,得N（—四二,0）....................................6分

死》<）一/6

【副高三數(shù)學(xué)?參考答案第4頁（共6頁）理科賽]

S1=||AN||OB|=^|3--^=|,S2=||3--^=：||^^|,...........................7分

乙乙jyo—v6乙y5—J6①。十J

Sf=聶一普嘉"黑I_J_?3)0-3厭一而死.67()+3H一3yoI

2?o—A/6Z)+3

,__

_1|64+9M-18西，0—6I/6^J：O3OI36J7O+54

~~2'I.9分

10yo+3y)--3乃

出避+式—1a2In.,2_C則JLI6近+9乂-18宿。一6后。？。+36工。+54,

由9+6T，付6fi死r十9y。-544,則?Im，。+3,?！伞?3痣1

_11108—1876^O-6A/6J73/O+36J7O?_/F11ZV

=引…3-O95Q...............................................................11分

故IS-SZI為定值...........................................................12分

21.(1)解"'Cz)=2e，+a.......................................................................................................1分

當(dāng)a)0時(shí),，Cz)>O在R上恒成立，即/(])在R上單調(diào)遞增....................2分

當(dāng)aVO時(shí),由/、'(衛(wèi))>0,得x>ln(—,由/'(zX。,得zVlnl—,

所以/（G在（ln（一告），+8）上單調(diào)遞增，在（一8,ln（一與）上單調(diào)遞減.

Ct乙

綜上，當(dāng)Q>0時(shí)"（%）在R上單調(diào)遞增；

當(dāng)。<0時(shí),/（彳）在（111（—￡）,+8）上單調(diào)遞增,在（一8,111（—3））上單調(diào)遞減,…4分

乙乙

（2）證明：由（D得，當(dāng)a>0時(shí)"（1）=77?至多有一個(gè)根，不符合題意.

當(dāng)a<0時(shí)在（In（一號(hào)），+8）上單調(diào)遞增，在（-8,In（一號(hào)））上單調(diào)遞減，且

7(ln(—y))=0...................................................................................................................5分

不妨設(shè)OVr1<ln(--y)<72,要證明f1工\工2)<0,即證力工\工?<ln(一告).

乙乙

又后石〈左手，所以只需要證明?+i2〈21n(一￡)..........................7分

乙Lt

令函數(shù)/Z(J?)=/(%)—f(21n(—3)—7)=2er+a7—2e?尿一號(hào))一”一2aln(一告)+ai=2e"一

乙Li

2—.r

幺F2az—2aln(y),0<^<ln(--y)....................................................................8分

乙LiLt

，殳）駕入n2P~'r

=2e—242J2er?笑一+2a=0,

Li

所以灰￡)在(0,ln(—3))上單調(diào)遞增，..........................................9分

乙

所以/MGV/Mln(一與))=