旋轉(zhuǎn)

模型（三十四）一一費(fèi)馬點(diǎn)模型

好模型解密

費(fèi)馬點(diǎn)：到一個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)，稱為三角形的費(fèi)馬點(diǎn).

當(dāng)PA+PB+PC取最小值時(shí)，點(diǎn)P叫三角形的費(fèi)馬點(diǎn).

◎結(jié)論：如圖，^ABC的三個(gè)內(nèi)角均不大于120。，點(diǎn)P在形內(nèi)，

當(dāng)ZBPC=ZAPC=NCPA=120°時(shí)，PA+PB+PC的值最小.

【證明】如圖，將aABP繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到△A,BP〃

連接PPi,則△BPPi是等邊三角形，所以PB=PP〃

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得PA+PB+PC=PA+PPi+PC2A￡,

.?.當(dāng)A】、Pi、P、C四點(diǎn)共線時(shí)，PA+PB+PC的值最小,

?.?△BPP,是等邊三角形，ZBPP1=605,

ZBPC=1202,

VZAPB=ZA,P1B,ZBP1P=605,

AZAPB=1805-605=1209

則NCPA=360。-1205-1205=1205,

故NBPC=NAPC=NCPA=120。.

費(fèi)馬點(diǎn)作法:

D

分別以AC、BC、AB為邊作等邊aACD、△BCE、ZXABF,連接CF,BD,AE,

由手拉手可得△ACEgZWCB,AABE^AFBC,

/.AE=BD,AE=CF,

,-.AE=BD=CF

旋轉(zhuǎn)角：ZBPE=ZEPC=ZCPD=60°

有等邊，求長(zhǎng)度，不好求，作等邊

Q典例精講

1.（2023?四川?成都實(shí)外九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在ABC中，ZCAB=90°,AB=AC=\,尸是ABC內(nèi)一

點(diǎn)，求%+P8+PC的最小值為.

2.（2023?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是菱形，A5=6,且NABC=60。，M是菱形內(nèi)任一

點(diǎn)，連接AM,BM,CM,則4M+8M+CM的最小值為

1.(2023?福建三明?八年級(jí)期中)【問(wèn)題背景】17世紀(jì)有著“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”美譽(yù)的法國(guó)律師皮耶?德?費(fèi)馬,

提出一個(gè)問(wèn)題:求作三角形內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)，使它到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小后來(lái)這點(diǎn)被稱之為“費(fèi)馬點(diǎn)

如圖，點(diǎn)尸是內(nèi)的一點(diǎn)，將△APC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。到aAP'C',則可以構(gòu)造出等邊APP',得

AP=PP,CP=CP,所以R4+P8+PC的值轉(zhuǎn)化為PP+PB+PC的值，當(dāng)8,P,P',C四點(diǎn)共線時(shí)，

線段BC的長(zhǎng)為所求的最小值，即點(diǎn)尸為.4?C的“費(fèi)馬點(diǎn)

(1)【拓展應(yīng)用】

如圖1,點(diǎn)尸是等邊ABC內(nèi)的一點(diǎn)，連接抬，PB,PC,將△PAC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到4PC.

①若抬=3,則點(diǎn)尸與點(diǎn)P'之間的距離是；

②當(dāng)％=3,PB=5,PC=4時(shí)，求—AP1。的大小;

(2)如圖2,點(diǎn)尸是ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且/84C=90。，AB=6,AC=2百，求PA+P8+PC的最小值.

A

2.(2023?江蘇?蘇州工業(yè)園區(qū)星灣學(xué)校八年級(jí)期中)背景資料：在已知，所在平面上求一點(diǎn)尸，使它到

三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小.這個(gè)問(wèn)題是法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬1640年前后向意大利物理學(xué)家托里拆利提

出的，所求的點(diǎn)被人們稱為“費(fèi)馬點(diǎn)如圖1,當(dāng)ABC三個(gè)內(nèi)角均小于120。時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)P在“AfiC內(nèi)部,

當(dāng)Z4P8=ZAPC=NCPB=120。時(shí)，則尸A+P8+PC取得最小值.

(1)如圖2,等邊.A3C內(nèi)有一點(diǎn)P,若點(diǎn)尸到頂點(diǎn)A、B、C的距離分別為3,4,5,求Z4PB的度數(shù)，為了

解決本題，我們可以將A4BP繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△ACP處，此時(shí)ACP注這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變換，

將三條線段總、PB、PC轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，從而求出“>8=：

知識(shí)生成：怎樣找三個(gè)內(nèi)角均小于120。的三角形的費(fèi)馬點(diǎn)呢？為此我們只要以三角形一邊在外側(cè)作等邊三

角形并連接等邊三角形的頂點(diǎn)與&ABC的另一頂點(diǎn)，則連線通過(guò)三角形內(nèi)部的費(fèi)馬點(diǎn).請(qǐng)同學(xué)們探索以下問(wèn)

題.

⑵如圖3,ABC三個(gè)內(nèi)角均小于120。，在.外側(cè)作等邊三角形，連接CQ,求證：CB'過(guò)ABC

的費(fèi)馬點(diǎn).

(3)如圖4,在RTABC中，ZC=9O°,AC=\,NABC=3O。，點(diǎn)尸為A3C的費(fèi)馬點(diǎn)，連接”、BP、CP,

求R4+P3+PC的值.

(4)如圖5,在正方形ABCD中，點(diǎn)E為內(nèi)部任意一點(diǎn)，連接AE、BE、CE,且邊長(zhǎng)A8=2；求A￡+M+CE

的最小值.

3.(2023?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí))如圖，AABC中，NBAC=45。，AB=6,AC=4,P為平面內(nèi)一點(diǎn)，求

2-J2BP+非AP+3PC最小值

1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,2),點(diǎn)。在*軸的正半軸上，ZODB=30°,

y3+2+c

0E為△BOD的中線，過(guò)B、E兩點(diǎn)的拋物線.6與x軸相交于A、尸兩點(diǎn)(A在尸的

左側(cè)).

(1)求拋物線的解析式；

(2)等邊△0MN的頂點(diǎn)M、N在線段AE上，求AE及AM的長(zhǎng)；

(3)氤P為4A3。內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)m=PA+PB+PO,請(qǐng)直接寫出，”的最小值，以及，”取得最小值時(shí),

線段AP的長(zhǎng).

2.(2023?廣東廣州?一模)如圖，在心△ABC中，ZBAC=90°,4B=AC,點(diǎn)P是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，作P￡)J_BC

于點(diǎn)。，線段A。上存在一點(diǎn)Q,當(dāng)QA+QB+QC的值取得最小值，且AQ=2時(shí)，則P￡>=.

旋轉(zhuǎn)

模型（三十四）一費(fèi)馬點(diǎn)模型

力模型解密

費(fèi)馬點(diǎn)：到一個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)，稱為三角形的費(fèi)

馬點(diǎn).

當(dāng)PA+PB+PC取最小值時(shí)，點(diǎn)P叫三角形的費(fèi)馬點(diǎn).

◎結(jié)論：如圖，AABC的三個(gè)內(nèi)角均不大于120。，點(diǎn)P在形內(nèi)，

當(dāng)NBPC=ZAPC=NCPA=120°時(shí)，PA+PB+PC的值最小.

【證明】如圖，將4ABP繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到△ABP”

連接PP,,則△BPPi是等邊三角形，所以PB=PP1.

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得PA+PB+PC=PA+PPi+PC2A￡,

...當(dāng)4、件、P、C四點(diǎn)共線時(shí)，PA+PB+PC的值最小,

?.?△BPPi是等邊三角形，NBPK=60。，

ZBPC=1209,

VZARB=ZA,P,B,ZBP1P=609,

APB=180。-605=1205

則NCPA=360。-1209-1205=120。，

故NBPC=NAPC=NCPA=120。.

費(fèi)馬點(diǎn)作法:

分別以AC、BC、AB為邊作等邊△ACD、ABCEXZkABF,連接CF,BD,為,

由手拉手可得△ACEgZ^DCB,AABE^AFBC,

.-.AE=BD,AE=CF,

,-.AE=BD=CF

旋轉(zhuǎn)角：NBPE=NEPC=NCPD=60。

須年）。篋）

有等邊，求長(zhǎng)度，不好求，作等邊

Q典例精講

1.（2023?四川?成都實(shí)外九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在ABC中，NC4B=90。，43=AC=1,

P是，ABC內(nèi)一點(diǎn)，求P4+P8+PC的最小值為.

分析將△APC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得4DFC,可得PC=PF,DF=AP,將PA+PB+PC轉(zhuǎn)

化為FD+BP+PF,此時(shí)當(dāng)8、尸、F、力四點(diǎn)共線時(shí)，P4+P8+PC的值最小，最小值為

BQ的長(zhǎng)；根據(jù)勾股定理求解即可.

【詳解】解:將AAPC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得4）匕連接PEAC'CB,過(guò)點(diǎn)。作力E.BA,

交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E；

：.AP=DF,NPCF=NACD=60°,PC=FC,AC=CD,

:APCF、△ACO是等邊三角形，

:.PC=PF,Aiy=AC^\,ND4C=60°

PA+PB+PC=FD+BP+PF,

，當(dāng)8、P、尸、。四點(diǎn)共線時(shí)，A4+P8+PC的值最小，最小值為8。的長(zhǎng);

VZC4B=90°,ZCAD=60°,

：.ZEAD=3(JP,

/.DE=-AD=~,

22

/?AE=>JAD2-ED2=—,

2

/.BE=1+—.

2

BD=>JBE2+DE2=亞+5,

2

二期+尸8+PC的值最小值為、+&.

2

故答案為：理上走.

【點(diǎn)睛】本題考查費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵在于將△APC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得^DFC,

將三條線段的長(zhǎng)轉(zhuǎn)化到一條直線上.

2.（2023?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是菱形，A8=6,且/ABC=60。，

M是菱形內(nèi)任一點(diǎn)，連接AM,BM,CM,則AM+8M+CM的最小值為.

AD

答案：6&

分析以為邊作等邊△8MN,以BC為邊作等邊△BCE,如圖，則△8CM絲△8EM由全

等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到CM=NE,進(jìn)而得到AM+MB+CM=AM+MN+NE.當(dāng)A、M、N、

E四點(diǎn)共線時(shí)取最小值A(chǔ)E.根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)得到8”J_AE,AH=EH,根

據(jù)30。直角三角形三邊的關(guān)系即可得出結(jié)論.

【詳解】以為邊作等邊△BMN,以8c為邊作等邊△8CE,則BM=BN=MN,BC=BE=CE,

NMBN=NCBE=60。,:.NMBC=NNBE,:.ABCM冬/XBEN,：.CM=NE,

:.AM+MB+CM=AM+MN+NE.當(dāng)A、M、N、E四點(diǎn)共線時(shí)取最小值A(chǔ)E.

;AB=BC=BE=6,NABH=NEBH=60。,：.BHLAE,AH=EH,ZBAH^30°,：.BH=^AB=3,

AH=0BH=3也,；.AE=2AH=68.

故答案為60■

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì).難度比較

大.作出恰當(dāng)?shù)妮o助線是解答本題的關(guān)鍵.

1.（2023?福建三明?八年級(jí)期中）【問(wèn)題背景】17世紀(jì)有著“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”美譽(yù)的法國(guó)律師

皮耶?德?費(fèi)馬，提出一個(gè)問(wèn)題：求作三角形內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)，使它到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和

最小后來(lái)這點(diǎn)被稱之為“費(fèi)馬點(diǎn)

如圖，點(diǎn)P是二43C內(nèi)的一點(diǎn)，將△APC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。到APC,則可以構(gòu)造出等

邊，APP'，得=CP=CP,所以%+P8+PC的值轉(zhuǎn)化為P戶+P8+PC'的值，

當(dāng)B,P,P',C四點(diǎn)共線時(shí)，線段BC的長(zhǎng)為所求的最小值，即點(diǎn)P為&A8C的“費(fèi)馬點(diǎn)”.

c

(1)【拓展應(yīng)用】

如圖1,點(diǎn)P是等邊A8C內(nèi)的一點(diǎn)，連接E4,PB,PC,將△P4C繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。

得到一AP'C.

①若E4=3,則點(diǎn)P與點(diǎn)P，之間的距離是；

②當(dāng)抬=3,PB=5,PC=4時(shí)，求NAP'C的大?。?/p>

(2)如圖2,點(diǎn)尸是A5C內(nèi)的一點(diǎn)，且/84C=90°,AB=6,AC=2g,^.PA+PB+PC

的最小值.

答案:⑴①3；②150。；

(2)2后

分析(1)①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可求出尸產(chǎn)的值：

②先證△ABP^AACP',利用全等的性子求出對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)，通過(guò)勾股定理的逆定理得到

NCPP=90°,即可求出—APC的大??；

(2)將AAPC繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到A'p'c,先求出NBC4'=120。，然后證明△€￥＞「'為

等邊三角形，當(dāng)8、P、戶、H四點(diǎn)共線時(shí)，期+P8+PC和最小，用勾股定理求出B4的

值即可.

(1)

①如圖，將△P4C繞A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，

則AP=AF,NB4P=60°,

_AP產(chǎn)為等邊三角形,

:.PP'=PA=3；

②...△ABC為等邊三角形，

，AB=AC,N8AP+/以C=60°,

又Y-APP是等邊三角形，

：.ZPAC+ZCAP'=6Q0,

：.ZBAP=ZCAP\

AB=AC

在AA8P與△ACP中，■ZBAP=ZCAP',

AP=AP'

:.l\KBP9△ACP(SAS),

：.BP=CP'=5,PP'=3,PC=4,

/.PP'2+PC2=CP12,NCPP'=90°，

ZAPC=ZAPP1+NCPP=600+90°=150°，

又：旋轉(zhuǎn),，ZAPC=NAPC==150。；

(2)

如圖,將^APC繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到APC.

則ZACP=ZACP,ZACP+ZACP=60°,

在R/.ABC中，BC=y/AB2+AC2=^62+(2^3):=4A/3,

AC^-BC,:.ZABC=30°,ZACB=60°,

2

ZACP+ZBCP=60°,

乂ZACP=ZACP,ZACP+ZACP=60°,

ZACP+ZACP=60°，BCP+ZACP+ZACP+ZACP=120°，

過(guò)A'作AD_LBC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q,

則ZACD=ZBCD-N8GV=180°-120°=60°,

:.ZCAD=30°,

AC=AC=25:.CD=?（30。所對(duì)的直角邊等于斜邊的--半）,

:.AD=y]AC2-CD2=3>

NPCP'=60°,PC=CP',CPP為等邊三角形,

當(dāng)8、尸、產(chǎn)、4四點(diǎn)共線時(shí)，R4+PB+PC和最小，

在Rt/\BDA'中，BD=BC+CD=4也+也=5瓜D4'=3,

BA'=-JBD2+DA'2=1（5國(guó)+32=2屈，

?*.PA+P8+PC的最小值為2J亓.

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于能夠添加輔助線

構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題.

2.（2023?江蘇?蘇州工業(yè)園區(qū)星灣學(xué)校八年級(jí)期中）背景資料：在已知ABC所在平面上求

一點(diǎn)P,使它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小.這個(gè)問(wèn)題是法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬1640年前后

向意大利物理學(xué)家托里拆利提出的，所求的點(diǎn)被人們稱為“費(fèi)馬點(diǎn)如圖I,當(dāng)三個(gè)

內(nèi)角均小于120。時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)尸在，ABC內(nèi)部，當(dāng)/4依=/4/＞。=/。依=120。時(shí)，則

PA+PB+PC取得最小值.

BC

圖5

(1)如圖2,等邊二ABC內(nèi)有一點(diǎn)P,若點(diǎn)P到頂點(diǎn)A、B、C的距離分別為3,4,5,求/4P3

的度數(shù)，為了解決本題，我們可以將&WP繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△"1「鬼,此時(shí)AC尸烏ABP

這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段以、尸8、PC轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，從而求出"3=

知識(shí)生成：怎樣找三個(gè)內(nèi)角均小于120。的三角形的費(fèi)馬點(diǎn)呢？為此我們只要以三角形一邊

在外側(cè)作等邊三角形并連接等邊三角形的頂點(diǎn)與的另一頂點(diǎn)，則連線通過(guò)三角形內(nèi)部

的費(fèi)馬點(diǎn).請(qǐng)同學(xué)們探索以下問(wèn)題.

(2)如圖3,ABC三個(gè)內(nèi)角均小于120。，在aABC外側(cè)作等邊三角形,A88',連接C9,求

證：C8'過(guò)ABC的費(fèi)馬點(diǎn).

(3)如圖4,在ATABC中，NC=90。，AC=l,ZABC=30°,點(diǎn)P為aABC的費(fèi)馬點(diǎn)，連

接”、BP、CP,求K4+尸8+PC的值.

(4)如圖5,在正方形A8CO中，點(diǎn)E為內(nèi)部任意一點(diǎn)，連接AE、BE、CE,且邊長(zhǎng)AB=2;

求AE+3E+CE的最小值.

答案:(1)150。；

(2)見(jiàn)詳解；

⑶萬(wàn)；

(4)76+72.

分析(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得出△ABPgZXACP,得出ZAPB^ZAP'C,

AP=AP'=3,BP=CP，=4,根據(jù)AABC為等邊三角形，得出N84C=60。，可證△/P產(chǎn)為等邊三

角形，PP，=AP=3,N4PP=60。,根據(jù)勾股定理逆定理“2+pc2=32+42=25=PC2,得出

△PP'C是直角三角形，NPPC=90。,可求乙4P'C=/APP+/PPC=6O°+9O°=15OK[^；

(2)將△4P8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得到△/斤尸,連結(jié)PP',根據(jù)尸1AP=/產(chǎn),P8=P夕，

AB=AB',根據(jù)NB4P=/8/夕=60。，△/PP和△488,均為等邊三角形，得出PP=4P,根據(jù)

PA+PB+PC=PP+PB，+PC,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得出點(diǎn)C,點(diǎn)P,點(diǎn)尸'，點(diǎn)8'四點(diǎn)

共線時(shí)，PA+P3+PC『,H、=CB',點(diǎn)P在C8'上即可；

(3)將△"8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得至IJ△/尸/，連結(jié)BB',PP',得出△/產(chǎn)",可證尸

和△羽夕均為等邊三角形，WtBPP'=AP,BB'=AB,N/8夕=60。，根據(jù)

PA+PB+PC=PP'+P'B'+PC,可得點(diǎn)C,點(diǎn)P,點(diǎn)尸，點(diǎn)夕四點(diǎn)共線時(shí)，PA+PB+PC

，i、=CB，,利用30。直角三角形性質(zhì)得出AB=2AC=2,根據(jù)勾股定理BC=

dAB?—AC2=122=5可求8"=A8=2，根據(jù)NC88，=NABC+NABB，=30°+60°=90°，

在RtAC&B'中，B'C=dBC?+BB°=J(陰+2?=J7即可；

(4)將ABCE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到ACEB，，連結(jié)E?,BB',過(guò)點(diǎn)*作8戶，48,交A8延長(zhǎng)

線于凡得出BE=B'E',CE=CE',CB=CBl可證△￡C￡與ABC方均為等邊

三角形，得出EE，=EC,BB'=BC,ZB'BC=60°,AE+BE+CE=AE+EE'+E'B',得出點(diǎn)C,

點(diǎn)區(qū)點(diǎn)El點(diǎn)F四點(diǎn)共線時(shí)，AE+BE+CE=AE+EE'+E'ff^=AB',根據(jù)四邊形ABC￡>

為正方形，得出AB=BC=2,ZABC=90°,可求/尸8*=180。-/48。/。8夕=180。-90。-60。=30。，

根據(jù)30。直角三角形性質(zhì)得出8F=:88'=1x2=1,勾股定理BF=

22

^BS--SF2=后=F=>/3>可求AF=AB+BF=2+G,再根據(jù)勾股定理AB'=

yjAF2+H'F2=42+可+』=卡+&即可.

(1)

解:連結(jié)尸產(chǎn),

,//XABP^AACP',

AZBAP=ZCAP',NAPB?C,4P=NP'=3,BP=CP'=4,

???AABC為等邊三角形,

：.ZBAC=60°

：.ZPAP'=ZPAC+ZCAP'=ZPAC+ZBAP^60°,

...ZUPP為等邊三角形，

，二PP=A片3,N4P，P=60。,

在△尸尸。中，PC=5,

PP'2+P'C2=32+4?=25=PC2，

...△PP'C是直角三角形，/PP'C=90°,

ZAP'C=NAPP+NPPC=600+90°=150°,

/AP8=/4P'C=150°,

故答案為150°；

(2)

證明：將AAPB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得到△4BP,連結(jié)PP,

AAPB注AAB'P',

：.AP=AP',PB=PB',AB=AB',

■：ZPAP'=ZBAB'=60°,

/.A4PP，和MBB均為等邊三角形,

:.PP'=AP,

'：PA+PB+PC=PP+PB'+PC,

.??點(diǎn)C點(diǎn)尸，點(diǎn)p,點(diǎn)夕四點(diǎn)共線時(shí),PA+PB+PC^、=CB',

二點(diǎn)P在CB上,

...CE過(guò)_ABC的費(fèi)馬點(diǎn).

(3)

解：將AAPB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得到△45皆，連結(jié)8》，PP',

，△APBmXAPE,

：.AP'=AP,AB'=AB,

'：ZPAP'=ZBAB'^60°,

：.△”「「￥口△NB9均為等邊三角形，

:.PP'=AP,BB'=AB,N4BB'=60°,

,?PA+PB+PC=PP'+PS+PC

二點(diǎn)C，點(diǎn)P，點(diǎn)P'，點(diǎn)/四點(diǎn)共線時(shí)，PA+PB+PC^=CB',

VZC=90°.AC-1,ZABC=30°,

：.AB=2AC^2,根據(jù)勾股定理BC=4AB2-AC/二技-產(chǎn)=6

:.BB'=AB=2,

,/ZCBB'=ZABC+ZAB8，=30°+60。=90。，

???在RSCBB，中，B'C=ylBC2+BB'2=J(可+2?=S

PA+PB+PC,a+=CB'=5；

(4)

解：將△8CE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到△CEB,連結(jié)BB',過(guò)點(diǎn)8作87<LAB,交48延長(zhǎng)

線于憶

:.ABCEmACE'B',

:.BE=BE,CE=CE,CB=CB',

,/NECE'=NBCB，=60。,

:AECE'與48c8,均為等邊三角形，

：.EE'=EC,BB'=BC,NB5C=60。,

,：AE+BE+CE=AE+EE+E'B1,

.,?點(diǎn)C,點(diǎn)E,點(diǎn)￡7,點(diǎn)》四點(diǎn)共線時(shí)'AE+BE+CE=AE+EE'+E'B'?,=AB

?..四邊形ABC。為正方形，

：.AB=BC^2,NA8c=90°,

ZFBB'=\800-ZABC-ZCBB'=yS00-90o-60o=30o,

.B'FA.AF,

1

BF=LBB'X2=

2-BF==>/22-l2=6,

2

：.AF=AB+BF=2+43,

.,./》=ylAF2+B'F2=J(2+V3)2+l2=后+夜,

AE+BE+CE.

AD

【點(diǎn)睛】本題考查圖形旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，等邊三角形判定與性質(zhì)，勾股定理，直角三角形判定與性

質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短，四點(diǎn)共線，正方形性質(zhì)，30。直角三角形性質(zhì)，掌握?qǐng)D形旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，

等邊三角形判定與性質(zhì)，勾股定理，直角三角形判定與性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短，四點(diǎn)共線，

正方形性質(zhì)，30。直角三角形性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

3.（2023?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，△ABC中，N54C=45。，AB=6,AC=4,P為平面

內(nèi)一點(diǎn)，求2&BP+石4P+3PC最小值

答案：126

分析將△APC繞點(diǎn)4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。,得到△APC,將△AP'C'擴(kuò)大逑倍，得到△AP"C",

4

當(dāng)點(diǎn)8、P、P"、C"在同一直線上時(shí)，26BP+小AP+3PC=20PB+PP+PC）最短,

利用勾股定理求出BC"即可.

【詳解】解：如圖，將△APC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。，得到AAPC',將擴(kuò)大，

相似比為述倍，得到△AP"C",則42"=述4/,P"C"=±&PC',ACn=-AC',

4444

過(guò)點(diǎn)尸作PEJ_AP"于E,

.".AE=PE=—AP,

2

P"E=AP"-AE=^AP,

4

/.PP"=y/PE2+P"E2=—AP,

4

當(dāng)點(diǎn)8、P、P"、C"在同一直線上時(shí)，2也BP+非AP+3PC=2鳳PB+PP+PC）最短

此時(shí)2垃（依+PP+PC,）=26BC",

?；ZBAC"=ZBAC+ZCAC"=90°,A8=6,AC"=AC'=x4=3>/2.

44

BC"=^AB-+AC1=j62+(3>/2)2=3瓜.

2aBp+非AP+3PC=2立BC"=2氏乂3a=126

【點(diǎn)睛】此題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，勾股定理，正確理解費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題的造圖

方法:利用旋轉(zhuǎn)及全等的性質(zhì)構(gòu)建等量的線段,利用三角形的三邊關(guān)系及點(diǎn)共線的知識(shí)求解,

有時(shí)根據(jù)系數(shù)將圖形擴(kuò)大或縮小構(gòu)建圖形

真題熱身

1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,2),點(diǎn)。在x軸的正半軸上，ZODB=30°,

OE為△BOD的中線，過(guò)B、E兩點(diǎn)的拋物線)，=??+且x+c與*軸相交于A、F兩點(diǎn)(A

在尸的左側(cè)).

(1)求拋物線的解析式；

(2)等邊△0MN的頂點(diǎn)M、N在線段AE上，求AE及AM的長(zhǎng)；

(3)點(diǎn)尸為△A80內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)加=R4+P8+PO,請(qǐng)直接寫出機(jī)的最小值，以及機(jī)取

得最小值時(shí)，線段4P的長(zhǎng).

2

J=-lx+—x+2(2)=V13:AM=R電或AM=2叵(3)加可以取到

261313

的最小值為JB.當(dāng)m取得最小值時(shí)，線段AP的長(zhǎng)為智

分析(1)已知點(diǎn)B的坐標(biāo)，可求出OB的長(zhǎng)；在RtAOBD中，已知了/ODB=30。，通過(guò)解

直角三角形即可求得OD的長(zhǎng),也就得到『點(diǎn)D的坐標(biāo)；由于E是線段BD的中點(diǎn)，根據(jù)B、

D的坐標(biāo)即可得到E點(diǎn)的坐標(biāo)；將B、E的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求得待定系數(shù)

的值，由此確定拋物線的解析式；

（2）過(guò)E作EG_Lx軸于G,根據(jù)A、E的坐標(biāo)，即可用勾股定理求得AE的長(zhǎng)；過(guò)O作

AE的垂線，設(shè)垂足為K,易證得AAOKs/XAEG,通過(guò)相似三角形所得比例線段即可求得

OK的長(zhǎng)；在RtAOMK中，通過(guò)解直角三角形，即可求得MK的值,而AK的長(zhǎng)可在RtAAOK

中由勾股定理求得，根據(jù)AM=AK-KM或AM=AK+KM即可求得AM的長(zhǎng)；

（3）由于點(diǎn)P到AABO三頂點(diǎn)的距離和最短，那么點(diǎn)P是AABO的費(fèi)馬點(diǎn)，即

ZAPO=ZOPB=ZAPB=120°；易證得^OBE是等邊三角形，那么PA+PO+PB的最小值應(yīng)為

AE的長(zhǎng)；求AP的長(zhǎng)時(shí)，可作AOBE的外接圓（設(shè)此圓為。Q）,那么。Q與AE的交點(diǎn)即

為m取最小值時(shí)P點(diǎn)的位置；設(shè)。Q與x軸的另一交點(diǎn)（O點(diǎn)除外）為H,易求得點(diǎn)Q的

坐標(biāo)，即可得到點(diǎn)H的坐標(biāo)，也就得到了AH的長(zhǎng)，相對(duì)于。Q來(lái)說(shuō)，AE、AH都是OQ

的割線，根據(jù)割線定理（或用三角形的相似）即可求得AP的長(zhǎng).

【詳解】（1）過(guò)E作EGJ_OD于G

；NBOD=NEGD=90。，ZD=ZD,

.,.△BOD^AEGD,

?.?點(diǎn)B（0,2）,NODB=30。，

可得OB=2,OD=2>/3；

為BD中點(diǎn)，

.EGDEGD\

??茄一麗一五一5

；.EG=1,GD=5/3

：.OG=yf3

.,.點(diǎn)E的坐標(biāo)為（G，1）

,.,拋物線了=”+走》+0經(jīng)過(guò)3（0,2）、E（G,1）兩點(diǎn)，

，l=a（百）石+2.

可得4=-g.

???拋物線的解析式為y=-gx2+*x+2.

（2）:拋物線與光軸相交于A、F,A在下的左側(cè)，

A點(diǎn)的坐標(biāo)為（-6,0）.

過(guò)E作EGJ_x軸于G

二AG=2>/J,EG=1,

.?.在AAGE中，ZAG￡=90°,

AE=#南+F=取

過(guò)點(diǎn)。作OK_LAE于K,

可得△AOKs/XA￡G.

.OKEG

"AO-A￡'

.OK1

/.AK=IAO2-OK?=^.

13

???△OMN是等邊三角形，

，ZWO=60°.

返

sOK13V13.

KM=--------------=z.=------

tanZKMO613

AM=AK+KM?，或AM=AK-KM

以AB為邊做等邊三角形