高考數(shù)學(xué)必背公式與知識點(diǎn)過關(guān)檢測

——決勝高考數(shù)學(xué)基本公式、概念全掌握

第一部分：集合與常用邏輯用語

1.子集個數(shù)：含〃個元素的集合有個子集，有個真子集，有個非空子集，

有個非空真子集

2.常見數(shù)集：自然數(shù)集:；正整數(shù)集：或；整數(shù)集:；有理數(shù)集:；

實(shí)數(shù)集：

3.空集：。是任何集合的,是任何非空集合的.

4.元素特點(diǎn)：、、確定性

5.集合的的運(yùn)算：集運(yùn)算、集運(yùn)算、集運(yùn)算

6.四種命題：原命題：若p,則q；逆命題：若,則；否命題：若,則；逆否

命題：若—，則—；原命題與逆命題，否命題與逆否命題互；原命題與否命題、逆命

題與逆否命題互；原命題與逆否命題、否命題與逆命題互為?；槟娣竦拿}—

7.充要條件的判斷：pnq,p是q的條件；p=q,q是p的條件；

poq，°,q互為條件；若命題p對應(yīng)集合A,命題q對應(yīng)集合8,則p=q等

價于,pQq等價于

注意區(qū)分：“甲是乙的充分條件（甲n乙）”與“甲的充分條件是乙（乙2甲）”；

8.邏輯聯(lián)結(jié)詞：或命題：pvq,有一為真即為,p,q均為假時才為；

且命題：p/\q,p,q均為真時才為,有一為假即為；

非命題：「°和p為一真一假兩個互為對立的命題

9.全稱量詞與存在量詞：

⑴全稱量詞-------“所有的”、“任意一個”等，用V表示；

全稱命題p：VxeM,p（x）；全稱命題p的否定-ip：；

⑵存在量詞--------“存在一個”、“至少有一個”等，用三表示；

特稱命題P：GM,p（x）；特稱命題P的否定->p：；

第二部分：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

1.函數(shù)的定義域：分母0；偶次被開方數(shù)0；0次累的底數(shù)0；

對數(shù)函數(shù)的真數(shù)0；指數(shù)與對數(shù)函數(shù)的底數(shù)0且_____1

2.分段函數(shù)：值域（最值）、單調(diào)性、圖象等問題，先分段解決，再下結(jié)論；

分段函數(shù)是一個函數(shù)，其定義域是各段定義域的、值域是各段值域的

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3.函數(shù)的單調(diào)性：設(shè)X],x2e[a,b],且石片々，那么:

(1)(%1-X,)[/(%)-/(x2)]>0O一>o<=>/(X)在[a,可上是____函數(shù)；

一一七一馬

(2)(Xj-%,)[/(%1)-/(x2)]<0o幺紀(jì)一"%)<0o/(x)在[a,可上是____函數(shù)；

-x,-x2

(3)如果/'(x)>0,則/(x)為_____函數(shù)；f\x)<0,則/(x)為_____函數(shù)；

(4)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：根據(jù)“同異”來判斷原函數(shù)在其定義域內(nèi)的單調(diào)性.

4.函數(shù)的奇偶性：⑴函數(shù)的定義域關(guān)于對稱是函數(shù)具有奇偶性的迪強(qiáng)條件

⑵/(X)是____函數(shù)O/(-X)=-7(X)；/(%)是_____函數(shù)of(-X)=/(X).

⑶奇函數(shù)/(%)在0處有定義，則

⑷在關(guān)于原點(diǎn)對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)：奇函數(shù)有的單調(diào)性，偶函數(shù)有的單調(diào)性

⑸偶函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱、奇函數(shù)圖象關(guān)于坐標(biāo)對稱

5.函數(shù)的周期性：

周期有關(guān)的結(jié)論：(約定a>0)

(1)/(%)=/(%+a),則/(x)的周期T=；

(2)/(x+a)=-/(%),或/'(x+a)=^^(，(x)wO),f(x+a)=(/(%)*0),

/(x)/(%)

則/(%)的周期T=

(3)/(x+a)=/(x-a)或/(x-2a)=/(x)(a〉0)=>/(x)的周期為

(4)f(x+m)=f(x+n)=>/(x)的周期為

6.函數(shù)的對稱性：

①>=/(x)的圖象關(guān)于直線對稱of(a+x)=f(a—x)of(2a—x)=/(x)；

②丁=/(x)的圖象關(guān)于直線對稱o/(a+x)=/(b-x)of(a+b-x)^/(x)；

③>=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱of(a+x)=-f(Jy-x)

④3=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(―，。)對稱o/(a+x)=2c-/(b-x)

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7.分?jǐn)?shù)指數(shù)募與根式的性質(zhì)：

m

(1)an=(。>0,相,〃￡N*,且〃>1).

_生11

n

(2)a=——―,~(Q>0,m,〃￡N,且〃>1).

■行

I—/—[a,a>0

⑶(五)"=a.(4)當(dāng)〃為奇數(shù)時，蟲"=a；當(dāng)〃為偶數(shù)時，血"=3=<八

-a,a<0

8.指數(shù)性質(zhì)：

(1)ap=；(2)a0=(awO)；(3)a""'=

(4)a-a=；⑸a"=；

9.指數(shù)函數(shù)(如右圖)：

(1)丁=優(yōu)(。>1)在定義域內(nèi)是單調(diào)____函數(shù);

(2)y=a\)在定義域內(nèi)是單調(diào)減函數(shù).

注：指數(shù)函數(shù)圖象都恒過定點(diǎn).

10.對數(shù)運(yùn)算規(guī)律：

(1)對數(shù)式與指數(shù)式的互化：log.N=b=(a>0,awl,N>0)

h

(2)對數(shù)恒等式：log“1=,logaa=，logna=—.1g2+lg5=—，lne=

(3)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：

_M

①加法：log”M+log。N=②減法：=logfl—

③數(shù)乘：=log“M"5cR)④恒等式：ao&-N=

⑤log,,"b"=⑥換底公式:

11.對數(shù)函數(shù)(如右圖):

(1)y=log“x(a〉l)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)；

(2)y=log.x(0<a<1)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù);

注：對數(shù)函數(shù)圖象都恒過點(diǎn).

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12.反函數(shù)：函數(shù)y=優(yōu)的反函數(shù)是,函數(shù)y=logax的反函數(shù)是.

13.二次函數(shù)：

二次函數(shù)丁="/+/^+。(aWO)的圖象的對稱軸方程是,頂點(diǎn)坐標(biāo)是

判別式A=Z>2—4ac；A>0時，圖像與了軸有個交點(diǎn)；

△=0時，圖像與光軸有個交點(diǎn)；A<0時，圖像與％軸沒有交點(diǎn)；

14.韋達(dá)定理：

若石,％2是一元二次方程ax?+bx+c=O(awO)的兩個根，貝U：/+々=，xrx2=.

15.零點(diǎn)存在定理：若y=/(x)在[a,b｝上滿足,

則V=/(x)在(。,妨內(nèi)至少有一個零點(diǎn)

16.常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：

①(C)=；②(x")=；(nx)=

?(sinx)=；@(cosx)=；⑤(e*)'=；

@(lnx)=；?(a1)'=；?(logx)=.

17.導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則：

⑴(x)?g(%)]'=；

18.曲線的切線方程：函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)/處的導(dǎo)數(shù)是曲線y=/(x)在尸(玉)，/(/))處的切線

的斜率為/(%),相應(yīng)的切線方程是.

第三部分：三角函數(shù)、三角恒等變換與解三角形

1.角度制與弧度制互化：

360°=rad,180°=rad,1°=?rad,lrad=?

2.若扇形的圓心角為a(a為弧度制)，半徑為r,弧長為/,周長為C,面積為S,則

I=,C=,S==?

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3.三角函數(shù)定義式：角終邊上任一點(diǎn)(非原點(diǎn))P，設(shè)則

4.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：

(1)平方關(guān)系：(2)商數(shù)關(guān)系.

(3)三角不等式：

①的關(guān)系是.

②若一，則.③若一，則

④

5.函數(shù)的誘導(dǎo)公式：［口訣：奇變偶不變，符號看象限.1

,,.(keZ)

(2),,

(3)，，

(4)，,.

(6)_______________________

6.特殊角的三角函數(shù)值：

角a0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°

角a的

弧度數(shù)

Sina

Cosa

tana

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7.三角函數(shù)的圖像與性質(zhì):

圖象

定義域

值域

周期

奇偶性

單調(diào)性

對稱性

8.幾個常見三角函數(shù)的周期：

①|(zhì)|與||的周期為.

②或（）的周期為.

③—的周期為.

?H的周期為

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9.兩角和與差的正弦、余弦和正切公式：

（l）cos（a-yff）=：（2）cos（a+夕）=：

（3）sin（a-尸）=；（4）sin（a+0）-；

（5）tan（a-2）=：（6）tan（a+0）=.

10.二倍角的正弦、余弦和正切公式：

sin2a=___________________

COS26T===

tan2a=___________________

=>降次公式：cos2a-，sin2a-.siiiacosa=

11.引入輔助角公式：asina+）cosa=__________________________

（其中，輔助角e所在象限由點(diǎn)（。,3所在的象限決定，tan^=1）.

12.正弦定理：（R是A43c外接圓直徑）

注：①a:b.c=sin^4:sin5:sinC；②a=2RsirLA,b=2J?sin5,c=27?sinC；

abca+b+c

③-------=--------=--------=---------------------------

sin^4sin5sinCsinN+sin5+sinC

13.余弦定理：O.（逆定理）

（以A角和其對邊來表示）

14.三角形面積公式：S3:_____________=_______________=_______________.

（用邊與角的正弦值來表示）

三角形面積導(dǎo)出公式：

S?=（r為&4BC內(nèi)切圓半徑）=（R外接圓半徑）

15.三角形內(nèi)切圓半徑尸外接圓直徑2R===

第四部分：平面向量、數(shù)列與不等式

1.平面向量的基本運(yùn)算：

設(shè)A（X1，M）,B（X2，V2），則4?=。一&=-

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設(shè))

（定義公式）=1坐標(biāo)公式）.

在方向上的投影為.=［坐標(biāo)公式）

（一般表示）O（坐標(biāo)表示）.

//O（一般表示）=（坐標(biāo)表示）.

=（坐標(biāo)公式X

2.若為的重心，則=；

且G點(diǎn)坐標(biāo)為（,）

3.三點(diǎn)共線的充要條件：P,A,B三點(diǎn)共線

4.三角形的四心

重心：三角形三條交點(diǎn).

外心：三角形三邊_______相交于一點(diǎn).

內(nèi)心：三角形三相交于一點(diǎn).

垂心：三角形三邊上的相交于一點(diǎn).

5.數(shù)列｛｝中與的關(guān)系（注：該公式對任意數(shù)列都適用）

6.數(shù)列相關(guān)知識

★L(fēng)等差數(shù)列：

通項(xiàng)公式：（1），其中為首項(xiàng),d為公差,n為項(xiàng)數(shù)，為末項(xiàng).

（2）推廣：

前n項(xiàng)和：=；其中為首項(xiàng),n為項(xiàng)數(shù)，為末項(xiàng).

常用性質(zhì)：（1）若7M+〃=p+q，則有：

注：若的等差中項(xiàng)，則有211,10邛成等差數(shù)列.

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(2)若、為等差數(shù)列，則為等差數(shù)列.

(3)為等差數(shù)列，為其前n項(xiàng)和，則也成等差數(shù)列.

(4)；

★2.等比數(shù)列：

通項(xiàng)公式：(1)，其中為首項(xiàng),n為項(xiàng)數(shù),q為公比.

(2)推廣：

前n項(xiàng)和：

常用性質(zhì)：(1)若〃z+〃=p+q,則有；

注：若的等比中項(xiàng)，則有n、m、p成等比.

(2)若、為等比數(shù)列，則為等比數(shù)列.

7.常見數(shù)列的和：

①1+2+3+...+n=

②上T+升……+n2=

@l3+23+33+...+n3=

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9.重要不等式：_______________________

基本不等式：若則

11.極值定理：已知都是正數(shù)，則有：

(1)如果積是定值，那么當(dāng)時和有最小值________;

(2)如果和是定值，那么當(dāng)時積有最大值_________.

12.均值不等式鏈：

如果a,b都是正數(shù)，那么(當(dāng)僅當(dāng)a=b時取等號)

即：平方平均》算術(shù)平均》幾何平均》調(diào)和平均6為正數(shù))

特別地，-------------(當(dāng)a=b時，--------------)

幕平均不等式:

13.均值定理：已知都是正數(shù),則有

(1)已知,若則有

(2)已知，若一一則有

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第五部分：立體幾何與解析幾何

1.三視圖與直觀圖：

原圖形與直觀圖面積之比為

2.常見幾何體表面積公式：

圓柱的表面積s=______________圓錐的表面積s=_______________

圓臺的表面積s=______________球的表面積s=________________

3.常見幾何體體積公式：

柱體的體積v=錐體的體積v=_______________

臺體的體積V=球體的體積V=

4.常見空間幾何體的有關(guān)結(jié)論：

⑴棱錐的平行截面的性質(zhì)：如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么所得的截面與底面，

截面面積與底面面積的比等于頂點(diǎn)到截面距離與棱錐高的；相應(yīng)小棱錐與小棱錐的側(cè)

面積的比等于頂點(diǎn)到截面距離與棱錐高的.

⑵長方體從一個頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱長分別為a，b,c,則體對角線長為，全面

積為，體積V=

⑶正方體的棱長為則體對角線長為面積為，體積V=

⑷球與長方體的組合體：長方體的外接球的直徑=長方體的_______長.

球與正方體的組合體:正方體的內(nèi)切球的直徑=正方體的,

正方體的棱切球的直徑=正方體的長，正方體的外接球的直徑=正方體的體長.

⑸正四面體的性質(zhì)：設(shè)棱長為。，則正四面體的：

①高：；②對棱間距離：；③內(nèi)切球半徑：;④外接球半徑：

5.立體幾何常用的六個定理(三種語言)

(1)直線和平面平行的判定定理

(2)直線和平面平行的性質(zhì)定理

(3)平面和平面平行的判定定理

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(4)直線和平面垂直的判定定理

(5)平面和平面垂直的判斷定理

(6)平面和平面垂直的性質(zhì)定理

6.直線的斜率：k==

(c為直線的傾斜角，4(%,％)、內(nèi))為直線上的兩點(diǎn))

7.直線方程的五種形式：

直線的點(diǎn)斜式方程：(直線/過點(diǎn)片(%,%),且斜率為k).

直線的斜截式方程:(b為直線/在y軸上的截距).

直線的兩點(diǎn)式方程：(4(%,%)、P,(x2,y2)xl^x2,%/%)?

直線的截距式方程：(a、b分別為直線在x軸、y軸上的截距，且awO/彳0).

直線的一般式方程：Ax+By+C=0(其中A、B不同時為0).

直線Ax+3y+C=O的法向量：/'=(A3),方向向量：/=(8,—A)

8.兩條直線的位置關(guān)系：

(1)若乙：y=kxx+bx,l2'.y=k2x+d，則：

①乙〃4=________且________；②.

(2)若/］：4_￥+_8/+￡=0,/,:AjX+52y+C2=0,則：

①4〃4=________________且__________________；②.4_L.

9.距離公式：

(1)點(diǎn)《(石,%),鳥(%2，y2)之間的距離：

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(2)點(diǎn)P(x0,y0)到直線Ax+By+C-0的距離：

（3）平行線間的距離：Ax+及v+G=0與Ax+By+C2=。的距離：

10.圓的方程：

（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：______________________________________

(2)圓的一般方程：______________________________________(D2+E2-4F>0)

(3)圓的參數(shù)方程：___________________

11.直線與圓的位置關(guān)系：判斷圓心到直線的距離d與半徑R的大小關(guān)系

(1)當(dāng)__________時,直線和圓__________（有兩個交點(diǎn)）；

(2)當(dāng)__________時,直線和圓_________（有且僅有一個交點(diǎn)）;

(3)當(dāng)__________時，直線和圓_________（無交點(diǎn)）；

12.圓與圓的位置關(guān)系：判斷圓心距d與兩圓半徑和Ri+R2,半徑差&—R?（&>&）的大小

關(guān)系：

（1）當(dāng)__________時，兩圓__________,有4條公切線;

（2）當(dāng)__________時，兩圓__________，有3條公切線;

(3)當(dāng)__________時，兩圓__________,有2條公切線;

(4)當(dāng)__________時，兩圓__________,有1條公切線;

(5)當(dāng)時，兩圓,沒有公切線；

13.直線與圓相交所得弦長|AB|=（d為直線的距離r為半徑）

若A0,%）,B（X2,%）（%N%），則線段AB的垂直平分線為：.

已知兩圓X?+y?+D^x+耳y+F[=0-^x2++D、x+E2y+與=0，

則這兩個圓公共弦所在直線方程為.

14.橢圓的定義：

（1）平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)片、鳥的距離和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫橢圓.這兩個

定點(diǎn)叫橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫焦距.（。2=82+02）

（2）標(biāo)準(zhǔn)方程：焦點(diǎn)在x軸上：；焦點(diǎn)在y軸上：.

（3）橢圓問題隱含條件：（1）,（2）.

15.雙曲線的定義：

（1）平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)片、鳥的距離之差的絕對值等于常數(shù)：的點(diǎn)的軌跡叫

雙曲線.這兩個定點(diǎn)叫雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫焦距.（。2=〃+。2）

（2）標(biāo)準(zhǔn)方程：焦點(diǎn)在x軸上：；焦點(diǎn)在y軸上：.

（3）雙曲線問題隱含條件：（1）,（2）.

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16.拋物線的定義：

（1）平面內(nèi)與一個定點(diǎn)R和一條定直線/（點(diǎn)R不在/上）的距離的的點(diǎn)的軌跡叫做雙

曲線.這個定點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，定直線是拋物線的準(zhǔn)線.

（2）標(biāo)準(zhǔn)方程：焦點(diǎn)在x軸上：；焦點(diǎn)在y軸上：.

（3）拋物線問題隱含條件：（1）,（2）.

17.離心率：e=（橢圓的離心率（0,1）,雙曲線的離心率,拋物線的離心

率）

2222

18.雙曲線的漸近線：5―二=1（。>0,b>0）的漸近線方程為_________，且與二―==1

abab

具有相同漸近線的雙曲線方程可設(shè)為￥-==/I.

a"b~

19.過拋物線焦點(diǎn)的直線：

傾斜角為6的直線過拋物線y1=2px的焦點(diǎn)F且與拋物線交于A（w%）3（々,為）兩點(diǎn)

（%>0）：

\AF\=\BF\=\AB\==

川2=---------------------山力=------嘉+焉=------

20.焦點(diǎn)三角形的面積：（1）橢圓：S=；（2）雙曲線：S=（々產(chǎn)2=6）

21.幾何距離：

（1）橢圓雙曲線特有距離:①長軸（實(shí)軸）:；②短軸（虛軸）:；③焦距:.

（2）通徑長：①橢圓、雙曲線：；②拋物線：.

22.直線被曲線所截得的弦長公式：若弦端點(diǎn)為A（X，%）,3（%,%），則

|AB|=__________________________==______________________

23.中點(diǎn)弦問題：橢圓：左AB左OP=雙曲線：左48左OP=

第六部分：統(tǒng)計(jì)與概率

1.總體特征數(shù)的估計(jì)：

⑴樣本平均數(shù)；

⑵樣本方差；w=；

⑶樣本標(biāo)準(zhǔn)差s=.

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2.概率公式:

⑴互斥事件：;對立事件：：

互斥事件的概率公式：P(A+B)^

⑵古典概型：基本事件的總數(shù)數(shù)為N,隨機(jī)事件A包含的基本事件個數(shù)為〃，則事件A

發(fā)生的概率為：P(A)=

⑶幾"P"試驗(yàn)優(yōu)暮霏腎黑〔黑;需靠積等,

3.回歸分析

(1)判斷兩個變量是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)可以用散點(diǎn)圖；

(2)線性回歸方程系數(shù)公式:其中b為斜率,a縱截距

n___?__

^x^-nxyX(x，—%)(%—y)__

b=號----------=-..-------------=y-bx

22

^xt-nx￡(%.—XP

z=li=\

(3)相關(guān)系數(shù)的理解；

4.獨(dú)立性檢驗(yàn):判斷兩個變量的依賴關(guān)系

產(chǎn)(妙》4)0.250.150.100.050.0250.010.0050.001

k1.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

k2_n(ad-bc)2

(〃+b)(c+d)(a+c)(b+d)

第七部分：復(fù)數(shù)

1.復(fù)數(shù)的基本概念：z=a+〃(〃，beR)

(1)實(shí)部：；虛部：；虛數(shù)單位：七_(dá)______

(2)模：|z|二二

(3)共掘復(fù)數(shù)：i=(4)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為

(5)復(fù)數(shù)相等：a+bi=c+di(a,b,c,d￡R)O

2.復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算：