花都區(qū)第一中學(xué)20232024學(xué)年高二上學(xué)期10月段考試題數(shù)學(xué)測(cè)試時(shí)間：120分鐘滿分：150分注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鉛筆或簽字筆將自己的姓名和考號(hào)寫在答題卡上.2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)的題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再填涂其它答案，答案不能答在試卷上.3．非選擇題必須用黑色字跡的簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新的答案，不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液，不按以上要求作答的答案無(wú)效.第一部分選擇題一、單選題．（本題共8小題，每小題5分，共40分；在每小題列出的選項(xiàng)中，進(jìn)出符合題目的一項(xiàng)）1.在空間四邊形中，等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平面向量的加法運(yùn)算法則，即可求解.【詳解】.故選：C2.直線l經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，則直線l的傾斜角是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)斜率公式及傾斜角范圍求解.【詳解】因?yàn)榫€l經(jīng)過(guò),所以，即，因?yàn)?，所以，故選：B3.如圖所示,在正方體中,點(diǎn)F是側(cè)面的中心,設(shè),則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)空間向量基本定理將轉(zhuǎn)化為即可選出答案.【詳解】解:由題知,點(diǎn)F是側(cè)面的中心,為中點(diǎn),則,故選:A4.空間四邊形中，等于（）A. B.0 C.1 D.不確定【答案】B【解析】【分析】令，利用空間向量的數(shù)量積運(yùn)算律求解.【詳解】令，

則，，.故選：B5.已知直線l的一個(gè)方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，若，則＝（）A.﹣3 B.3 C.6 D.9【答案】B【解析】【分析】根據(jù)線面垂直的向量表示即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，解得，所?故選：B6.已知為直線l的方向向量，、分別為平面、的法向量（、不重合），那么下列說(shuō)法中：①；②；③；④其中正確的有（

）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】B【解析】【分析】利用空間向量法分別判斷即可得到答案.【詳解】因?yàn)椤⒉恢睾?，?duì)①，平面、平行等價(jià)于平面、的法向量平行，故①正確；對(duì)②，平面、垂直等價(jià)于平面、的法向量垂直，故②正確；對(duì)③，若，故③錯(cuò)誤；對(duì)④，或，故④錯(cuò)誤.故選：B7已知向量，，且，那么等于（）A. B. C. D.5【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)向量垂直數(shù)量積為零求坐標(biāo)，再根據(jù)坐標(biāo)求模長(zhǎng)計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)椋?，且，所以，即，所以，所以，故選：C．8.在三棱錐中，平面，，，則直線與夾角的余弦值是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】過(guò)B作Bz//AS.以分別為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.利用向量法求解.【詳解】過(guò)B作Bz//AS.以分別為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)，則，，，.所以,.設(shè)直線與夾角為，則.故選：C.二、多選題.（本題共4小題，每小題5分，共20分；在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目嬰求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.）9.已知向量，，則下列正確的是（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算逐項(xiàng)計(jì)算判斷作答.【詳解】向量，，則，A正確；顯然，B正確；由數(shù)量積的定義得，C錯(cuò)誤；顯然，則，即有，D錯(cuò)誤.故選：AB10.下列說(shuō)法正確的是（）A.直線的傾斜角取值范圍是B.若直線的斜率為，則該直線的傾斜角為C.平面直角坐標(biāo)系中的任意一條直線都有傾斜角，但不一定有斜率D.直線的傾斜角越大，其斜率就越大【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)直線傾斜角和斜率關(guān)系判斷各項(xiàng)的正誤.【詳解】A：直線傾斜角范圍為，正確；B：當(dāng)直線斜率為，則該直線的傾斜角為內(nèi)正切值為的角，錯(cuò)誤；C：平面內(nèi)所有直線都有傾斜角，當(dāng)傾斜角為90°時(shí)沒有斜率，正確；D：傾斜角為銳角時(shí)斜率為正，傾斜角為鈍角時(shí)斜率為負(fù)，錯(cuò)誤.故選：AC11.已知空間中三點(diǎn)，，，則下列說(shuō)法正確的是（）A.與是共線向量 B.與同向的單位向量是C.和夾角的余弦值是 D.平面的一個(gè)法向量是【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)向量共線定理可判斷A；根據(jù)單位向量的概念可判斷B；由向量夾角的余弦公式可判斷C；根據(jù)法向量的特征可判斷D.【詳解】因?yàn)?，，，所以，，，?duì)于A：若存在實(shí)數(shù)使得，則，顯然方程組無(wú)解，所以不存在使得，即與不共線，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)椋耘c同向的單位向量，故B正確；對(duì)于C：，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：設(shè)平面的法向量，則，取，得，故D正確；故選：BD12.如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，動(dòng)點(diǎn)分別在線段上，則（）A.異面直線和所成的角為B.點(diǎn)到平面的距離為C.若分別為線段的中點(diǎn)，則平面D.線段長(zhǎng)度的最小值為【答案】BCD【解析】【分析】利用異面直線所成角方法求解即可判斷選項(xiàng)A，利用等體積法求解點(diǎn)到面的距離即可判斷B，利用線面平行的判定定理判斷選項(xiàng)C，建立空間直角坐標(biāo)系利用向量共線的性質(zhì)建立關(guān)系式，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式表示出來(lái)分析即可判斷選項(xiàng)D.【詳解】因?yàn)?，所以異面直線和所成的角即為和所成的角，因?yàn)?，所以為等邊三角形，即，故錯(cuò)誤.連接如圖所示：點(diǎn)到平面的距離為，因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)到平面的距離為，故B正確，當(dāng)分別為線段的中點(diǎn)時(shí)，則為的中位線，所以，又平面，平面，所以平面，故C正確.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則，設(shè)，，所以，所以，設(shè)，，又所以，所以，所以當(dāng)時(shí)，有最小值，即，故D選項(xiàng)正確，故選：BCD.第II卷（非選擇題）三、填空題.（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.過(guò)點(diǎn)斜率為3的直線的點(diǎn)斜式方程是______【答案】【解析】【分析】由點(diǎn)斜式方程的定義和特征即可求解.【詳解】由題意知：斜率為3，點(diǎn)為，故點(diǎn)斜式方程為：故答案為：14.已知A，B，C，D四點(diǎn)共面且任意三點(diǎn)不共線，平面外一點(diǎn)O，滿足，則_____________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意和空間向量的基本定理列方程，解之即可求解.【詳解】由題意得，因?yàn)锳、B、C、D滿足四點(diǎn)共面且任意三點(diǎn)不共線，，所以，解得.故答案為：4.15.—個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別是(0,0,0)、(1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)，則該四面體的體積為________.【答案】【解析】【詳解】分析：滿足條件的四面體為正方體的一個(gè)角，利用三棱錐的體積計(jì)算公式即可得出結(jié)果.詳解：如圖所示，滿足條件的四面體為正方體的一個(gè)角，該四面體的體積，故答案為.點(diǎn)睛：本題主要考查空間直角坐標(biāo)系與三棱錐的體積計(jì)算公式，考查了空間想象力、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.16.二面角為，,是棱上的兩點(diǎn)，，分別在半平面，內(nèi)，，，且，，則的長(zhǎng)為_____．【答案】【解析】【分析】將分解為，再求模即可.【詳解】由題意，∵二面角為，，，∴與夾角為，∴與夾角為，，∴，即的長(zhǎng)為.故答案為：.四、解答題.（本題共6小題，共70分.解答題應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程成演算步驟）17.已知，.（1）若，求的值；（2）若，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)利用空間向量夾角公式的坐標(biāo)運(yùn)算直接求解；(2)根據(jù)兩向量的共線定理，利用坐標(biāo)運(yùn)算求解.【小問1詳解】由已知可得，，∴.【小問2詳解】，，∵，∴存在實(shí)數(shù)使得，∴，，，聯(lián)立解得.18.已知四邊形的頂點(diǎn).（1）求斜率與斜率；（2）求證：四邊形為矩形.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用斜率公式求解即可；（2）利用直線平行與垂直的性質(zhì)依次證得，，，從而得證.小問1詳解】因?yàn)?，所以，?【小問2詳解】因?yàn)?，所?又因?yàn)?，所以，所以四邊形為平行四邊形，又因?yàn)椋?，所以四邊形為矩?19.在空間直角坐標(biāo)系中，已知向量，，.（1）求，；（2）求平面BCD的一個(gè)法向量；（3）求點(diǎn)到平面BCD的距離.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，直接寫出結(jié)果即可；（2）根據(jù)題意，由平面法向量的計(jì)算公式，列出方程，然后計(jì)算，即可得到結(jié)果；（3）根據(jù)題意，由點(diǎn)到平面的距離公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【小問1詳解】由題意可得，，；【小問2詳解】設(shè)平面BCD的一個(gè)法向量，則，即，令，則，，即，即平面BCD的一個(gè)法向量為；【小問3詳解】點(diǎn)到平面BCD的距離，點(diǎn)到平面BCD的距離為.20.如圖所示，四棱錐的底面是矩形，底面，，，，．（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系，證明與平面的法向量垂直即可；(2)利用空間向量求線面角即可.【小問1詳解】由題意知，，，兩兩互相垂直，以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，．底面，底面，又，，且平面,平面，所以是平面的一個(gè)法向量．因?yàn)?，所以．又平面，所以平面．【小?詳解】因?yàn)椋?，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則由，解得，令，得平面的一個(gè)法向量為．設(shè)直線與平面所成的角為，則．故：直線與平面所成角的正弦值為．21.如圖，在四棱錐中，，底面ABCD為菱形，邊長(zhǎng)為2，，，且，異面直線PB與CD所成的角為.（1）求證:平面ABCD;（2）若E是線段OC的中點(diǎn)，求點(diǎn)E到直線BP的距離.【答案】（1）證明見解析（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理、判定定理證明；（2）利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，求點(diǎn)到直線的距離.【小問1詳解】因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所?因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?因?yàn)?，為中點(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫妫云矫?【小問2詳解】以原點(diǎn)，方向?yàn)檩S方向，建系如圖，因?yàn)?所以為異面直線所成的角，所以，在菱形中，，因?yàn)?，所?設(shè)，則，在中，由余弦定理得，，所以，解得，所以,,所以,所以點(diǎn)E到直線BP的距離為.22.三棱柱中，側(cè)面是矩形，，.（1）求證：面面ABC；（2）若，，，在棱AC上是否存在一點(diǎn)P，使得二面角的大小為45°？若存在求出，不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）證明見解析（2）存在點(diǎn)P滿足條件，此時(shí)（即P是AC中點(diǎn)時(shí)）.【解析】【分析】（1）由題，根據(jù)平面與平面垂直的判