全等三角形綜合訓(xùn)練（五）1．如圖，中，點(diǎn)D在上，，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，連接，則______________．【答案】【詳解】解：如圖，延長至F，使得，交于點(diǎn)G，∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，∴，在與中，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，

設(shè)，∵，∴，解得，即．故答案為：2．如圖，在中，，，求邊上中線的范圍為_____．【答案】【詳解】解：延長到E，使得，連接，如圖，在和中，，∴，∴．∵，∴，∴．故答案為：．3．如圖，，，，，點(diǎn)M為的中點(diǎn)，，______．【答案】6【詳解】證明：延長AM至N，使，連接，∵點(diǎn)M為的中點(diǎn)，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∵，，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴．故答案為：6．4．如圖，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，點(diǎn)D是線段BC上一點(diǎn)，∠ADC=90°，點(diǎn)P是BA延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)O是線段AD上一點(diǎn)，OP=OC，下面的結(jié)論：①∠APO=∠ACO；②∠APO+∠DCO=30°；③AC=AO+AP；④PO=PC，其中正確的有______．【答案】①②③④【詳解】解：連接BO，如圖1所示：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BO=CO，∴∠OBC=∠OCB，又∵OP=OC，∴OP=OB，∴∠OBP=∠OPB，又∵在等腰△ABC中∠BAC=120°，∴∠ABC=∠ACB=30°，∴∠OBC+∠OBP=∠OCB+∠ACO，∴∠OBP=∠ACO，∴∠APO=∠ACO，故①正確；又∵∠ABC=∠PBO+∠CBO=30°，∴∠APO+∠DCO=30°，故②正確；∵∠PBC+∠BPC+∠BCP=180°，∠PBC=30°，∴∠BPC+∠BCP=150°，又∵∠BPC=∠APO+∠CPO，∠BCP=∠BCO+∠PCO，∠APO+∠DCO=30°，∴∠OPC+∠OCP=120°，又∵∠POC+∠OPC+∠OCP=180°，∴∠POC=60°，又∵OP=OC，∴△OPC是等邊三角形，∴PC=PO，∠PCO=60°，故④正確；在線段AC上截取AE=AP，連接PE，如圖2所示：∵∠BAC+∠CAP=180°，∠BAC=120°，∴∠CAP=60°，∴△APE是等邊三角形，∴AP=EP，又∵△OPC是等邊三角形，∴OP=CP，又∵∠APE=∠APO+∠OPE=60°，∠CPO=∠CPE+∠OPE=60°，∴∠APO=∠EPC，在△APO和△EPC中，，∴△APO≌△EPC（SAS），∴AO=EC，又∵AC=AE+EC，AE=AP，∴AO+AP=AC，故③正確；故答案為：①②③④．5．如圖，△ABC中，E在BC上，D在BA上，過E作EF⊥AB于F，∠B＝∠1+∠2，AB＝CD，BF＝，則AD的長為________．【答案】【詳解】在FA上取一點(diǎn)T，使得FT=BF，連接ET，在CB上取一點(diǎn)K，使得CK=ET，連接DK．∵EB=ET，∴∠B=∠ETB，∵∠ETB=∠1+∠AET，∠B=∠1+∠2，∴∠AET=∠2，∵AE=CD，ET=CK，∴△AET≌△DCK(SAS)，∴DK=AT，∠ATE=∠DKC，∴∠ETB=∠DKB，∴∠B=∠DKB，∴DB=DK，∴BD=AT，∴AD=BT，∵BT=2BF=，∴AD=，故答案為：．6．在中，，，，點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)到三個頂點(diǎn)的距離和的最小值是_______．【答案】【詳解】如圖：以為邊作等邊三角形，以為邊作等邊，連接，作，作，交的延長線于．和是等邊三角形，，在和中，，，，，當(dāng)、、、四點(diǎn)共線時，值最小，，，．，，，最小值為．故答案為：．7．如圖，△ABC的外角∠ACD的平分線CP與內(nèi)角∠ABC的平分線BP交于點(diǎn)P，若∠BPC＝50，∠CAP＝______．【答案】40°【詳解】解：過點(diǎn)P作PF⊥AB于F，PM⊥AC于M，PN⊥CD于N，如圖：設(shè)∠PCD=x，∵CP平分∠ACD，∴∠ACP=∠PCD=x，PM=PN，∴∠ACD=2x，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP=∠PBC，PF=PM=PN，∵∠BPC＝50°，∴∠ABP=∠PBC=，∴,∴，∴，在Rt△APF和Rt△APM中，∵PF=PM，AP為公共邊，∴Rt△APF≌Rt△APM（HL），∴∠FAP=∠CAP，∴；故答案為：40°；8．如圖，平行四邊形中，于，點(diǎn)為邊中點(diǎn)，，，則_________【答案】【詳解】解：延長、交于點(diǎn)，連接FC，∵平行四邊形中，∴，,,∴，，,又∵點(diǎn)為邊中點(diǎn)，得,∴≌(ASA)，，∴，∴，∴,∴,∵,,,,∴,∴,∴,∴,故答案為：.9．已知，如圖1，四邊形是正方形，，分別在邊、上，且，我們把這種模型稱為“半角模型”，在解決“半角模型”問題時，旋轉(zhuǎn)是一種常用的方法．(1)在圖1中，連接，為了證明結(jié)論“”，小亮將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)后解答了這個問題，請按小亮的思路寫出證明過程；(2)如圖2，當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖2位置時，試探究與、之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？【答案】(1)見解析；(2)．【詳解】（1）證明：如圖1，由旋轉(zhuǎn)可得,,四邊形為正方形、、三點(diǎn)在一條直線上在和中（2）結(jié)論：．理由：如圖2，把繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，使與重合，點(diǎn)與點(diǎn)對應(yīng)，同（1）可證得,且10．已知為等腰三角形，，直線過點(diǎn)（不經(jīng)過點(diǎn)），過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)位于直線的同側(cè)時，判斷與的大小關(guān)系，并說明理由；(2)如圖2，若點(diǎn)位于直線的兩側(cè)，①（1）的結(jié)論是否還能成立，請說明理由；②設(shè)與交于點(diǎn)，當(dāng)時，判斷與是否相等，并說明理由．【答案】(1)；理由見解析(2)①成立，理由見解析；②，理由見解析【詳解】（1）解：，理由如下：∵為等腰三角形，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴；（2）（2）①成立，同理可得，∴；②，理由如下：∵，，∴，∵，，∴，∴，即，∵，∴，∵，∴，∴．11．課堂上，老師提出了這樣一個問題：如圖1，在中，平分交于點(diǎn)D，且，求證：，小明的方法是：如圖2，在上截取，使，連接，構(gòu)造全等三角形來證明．(1)小天提出，如果把小明的方法叫做“截長法”，那么還可以用“補(bǔ)短法”通過延長線段構(gòu)造全等三角形進(jìn)行證明．輔助線的畫法是：延長至F，使=______，連接請補(bǔ)全小天提出的輔助線的畫法，并在圖1中畫出相應(yīng)的輔助線；(2)小蕓通過探究，將老師所給的問題做了進(jìn)一步的拓展，給同學(xué)們提出了如下的問題：如圖3，點(diǎn)D在的內(nèi)部，分別平分，且．求證：．請你解答小蕓提出的這個問題（書寫證明過程）；(3)小東將老師所給問題中的一個條件和結(jié)論進(jìn)行交換，得到的命題如下：如果在中，，點(diǎn)D在邊上，，那么平分小東判斷這個命題也是真命題，老師說小東的判斷是正確的．請你利用圖4對這個命題進(jìn)行證明．【答案】(1)，證明見解析；(2)見解析；(3)見解析【詳解】（1）證明：（1）如圖1，延長至F，使，連接，則，∴，∵平分∴，

∵，∴，在和中，，∴，∴，∴．故答案為：．（2）證明：如圖3，在上截取，使，連接∵分別平分，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴，

∴，∴，∴．（3）證明：如圖4：延長至G，使，連接，則，∴，∵，∴，∵，

∴，∴，∴，∴，在和中，，∴∴，即平分．12．在中，且．(1)如圖（1），若分別平分，交于點(diǎn)C、B，連接．請你判斷是否相等，并說明理由；(2)的位置保持不變，將（1）中的繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)至圖（2）的位置，相交于O，請你判斷線段與的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)在（2）的條件下，若，試求四邊形的面積．【答案】(1)，理由見解析；(2)，，理由見解析；(3)32【詳解】（1）解：．理由如下：∵分別平分，∴，，∵，∴，在和中，∵，∴，∴；（2）解：，．理由如下：∵，∴，即，在和中，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴；（3）解：∵，∴四邊形的面積．13．在中，，點(diǎn)D是直線BC上一點(diǎn)（不與重合），以為一邊在的右側(cè)作，使，，連接．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段上，如果，則為多少？說明理由；(2)設(shè)，．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段上移動，則之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由；②當(dāng)點(diǎn)D在直線上移動，則之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的結(jié)論，畫出圖形，簡要證明．【答案】(1)；(2)①，②之間滿足或【詳解】（1）解：∵，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴；（2）①，理由如下：∵，∴．即．在與中，，∴，∴．∴．∵，∴，∵，∴；②當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時，，理由如下：如圖：∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，，∴，，∴，∴；當(dāng)點(diǎn)D在線段的延長線上時，．理由如下：如圖，∵，∴，即，在和中，，∴，∴，∴．∵，∴，∵，∴，綜上：當(dāng)點(diǎn)D在直線上移動時，之間滿足或．14．如圖，在中，，分別過點(diǎn)B，C作過點(diǎn)A的直線的垂線BD，CE，垂足為D，E．若，求DE的長．【答案】7cm【詳解】解：∵在中，，∴，∵，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴．15．如圖1，∠DAB＝90°，CD⊥AD于點(diǎn)D，點(diǎn)E是線段AD上的一點(diǎn)，若DE＝AB，DC＝AE．(1)判斷CE與BE的關(guān)系是．(2)如圖2，若點(diǎn)E在線段DA的延長線上，過點(diǎn)D在AD的另一側(cè)作CD⊥AD，并保持CD＝AE，DE＝AB，連接CB，CE，BE，試說明（1）中結(jié)論是否成立，并說明理由．【答案】(1)CE＝BE且CE⊥BE；(2)成立，理由詳見解析【解析】（1）解：CE＝BE且CE⊥BE，理由如下：∵CD⊥AD，∴∠CDE＝90°，∵∠DAB＝90°，∴∠CDE＝∠EAB，在△CDE和△EAB中，∴，∴CE＝BE，∠CED＝∠EBA，∵∠