/初中數(shù)學(xué)等腰三角形的分類討論等腰三角形是一種特殊而又十分重要的三角形，就是因?yàn)檫@種特殊性，在具體處理問(wèn)題時(shí)往往又會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤，因此，同學(xué)們?cè)谇蠼庥嘘P(guān)等腰三角形的問(wèn)題時(shí)一定要注意分類討論。那么在什么情況下應(yīng)該分類討論呢？本課分以下幾種情形講述。一.遇角需討論例1.已知等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為75°則其頂角為（）A.30° B.75° C.105° D.30°或75°說(shuō)明：對(duì)于一個(gè)等腰三角形，若條件中并沒(méi)有確定頂角或底角時(shí)，應(yīng)注意分情況討論，先確定這個(gè)已知角是頂角還是底角，再運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理求解。二.遇邊需討論例2.已知等腰三角形的一邊等于5，另一邊等于6，則它的周長(zhǎng)等于_________。說(shuō)明：對(duì)于底和腰不等的等腰三角形，若條件中沒(méi)有明確哪是底哪是腰時(shí)，應(yīng)在符合三角形三邊關(guān)系的前提下分類討論。三.遇中線需討論例3.若等腰三角形一腰上的中線分周長(zhǎng)為9cm和12cm兩部分，求這個(gè)等腰三角形的底和腰的長(zhǎng)。簡(jiǎn)析：已知條件并沒(méi)有指明哪一部分是9cm，哪一部分是12cm，說(shuō)明：這里求出來(lái)的解應(yīng)滿足三角形三邊關(guān)系定理。四.遇高需討論例4.等腰三角形一腰上的高與另一腰所成的夾角為45°，求這個(gè)等腰三角形的頂角的度數(shù)。簡(jiǎn)析：例5.為美化環(huán)境，計(jì)劃在某小區(qū)內(nèi)用的草皮鋪設(shè)一塊一邊長(zhǎng)為10的等腰三角形綠地，請(qǐng)你求出這個(gè)等腰三角形綠地的另兩邊長(zhǎng)。說(shuō)明：三角形的高是由三角形的形狀決定的，對(duì)于等腰三角形，當(dāng)頂角是銳角時(shí)，腰上的高在三角形內(nèi)；當(dāng)頂角是鈍角時(shí)，腰上的高在三角形外。五.遇中垂線需討論例6.在ΔABC中，AB=AC，AB的中垂線與AC所在直線相交所得的銳角為50°，則底角∠B=____________。說(shuō)明：這里的最容易漏掉，求解時(shí)一定要認(rèn)真分析題意，畫出所有可能的圖形，這樣才能正確解題。等腰三角形的存在性問(wèn)題專題攻略如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三種情況．已知腰長(zhǎng)畫等腰三角形用圓規(guī)畫圓，已知底邊畫等腰三角形用刻度尺畫垂直平分線．解等腰三角形的存在性問(wèn)題，有幾何法和代數(shù)法，把幾何法和代數(shù)法相結(jié)合，可以使得解題又好又快．幾何法一般分三步：分類、畫圖、計(jì)算．代數(shù)法一般也分三步：羅列三邊長(zhǎng)，分類列方程，解方程并檢驗(yàn)．針對(duì)訓(xùn)練1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)D在坐標(biāo)為(3，4)，點(diǎn)P是x軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果△DOP是等腰三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．2．如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，動(dòng)點(diǎn)P以2個(gè)單位/秒的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC向點(diǎn)C移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q以1個(gè)單位/秒的速度從點(diǎn)C出發(fā)，沿CB向點(diǎn)B移動(dòng)，當(dāng)P、Q兩點(diǎn)中其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)則停止運(yùn)動(dòng)．在P、Q兩點(diǎn)移動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)△PQC為等腰三角形時(shí)，求t的值．3．如圖，直線y＝2x＋2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)P是x軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線PQ與直線AB垂直，交y軸于點(diǎn)Q，如果△APQ是等腰三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)． 4.如圖，點(diǎn)A在x軸上，OA＝4，將線段OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°至OB的位置．（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）求經(jīng)過(guò)A、O、B的拋物線的解析式；（3）在此拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、O、B為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案:1．因?yàn)镈（3，4），所以O(shè)D＝5，．①如圖1，當(dāng)PD＝PO時(shí)，作PE⊥OD于E．在Rt△OPE中，，，所以．此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為．②如圖2，當(dāng)OP＝OD＝5時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(5，0)．③如圖3，當(dāng)DO＝DP時(shí)，點(diǎn)D在OP的垂直平分線上，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(6，0)．第1題圖1第1題圖2第1題圖32．在Rt△ABC中，.因此.在△PQC中，CQ＝t，CP＝10－2t.第2題圖1第2題圖2第2題圖3①如圖1，當(dāng)時(shí)，，解得(秒).②如圖2，當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)Q作QM⊥AC于M，則CM＝.在Rt△QMC中，，解得(秒).③如圖3，當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥BC于N，則CN＝.在Rt△PNC中，，解得(秒).綜上所述，當(dāng)t為時(shí)，△PQC為等腰三角形.3．由y＝2x＋2得，A(－1，0)，B(0，2)．所以O(shè)A＝1，OB＝2．如圖，由△AOB∽△QOP得，OP∶OQ＝OB∶OA＝2∶1．設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(0，m)，那么點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2m，0)．因此AP2＝(2m＋1)2，AQ2＝m2＋1，PQ2＝m2＋(2m)2＝5m2．①當(dāng)AP＝AQ時(shí)，AP2＝AQ2，解方程(2m＋1)2＝m2＋1，得或．所以符合條件的點(diǎn)P不存在．②當(dāng)PA＝PQ時(shí)，PA2＝PQ2，解方程(2m＋1)2＝5m2，得．所以．③當(dāng)QA＝QP時(shí)，QA2＝QP2，解方程m2＋1＝5m2，得．所以．第3題圖4．（12臨沂26）（1）如圖，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥y軸，垂足為C．在Rt△OBC中，∠BOC＝30°，OB＝4，所以BC＝2，．所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為．（2）因?yàn)閽佄锞€與x軸交于O、A(4,0)，設(shè)拋物線的解析式為y＝ax(x－4)，代入點(diǎn)B，．解得．所以拋物線的解析式為．（3）拋物線的對(duì)稱軸是直線x＝2，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(