金融計算：基于Python

第6章Python金融遠期、期貨與互換定價【教學目的與要求】通過本章學習，結(jié)合習近平新時代中國特色社會主義經(jīng)濟思想，講授Python的金融定價方法、遠期合約定價、期貨合約定價、期貨套期保值、互換合約定價?！局攸c和難點】Python的遠期合約定價、期貨合約定價、期貨套期保值、互換合約定價【思政育人目標】將習近平新時代中國特色社會主義經(jīng)濟思想融入到Python的金融定價方法、遠期合約定價、期貨合約定價、期貨套期保值、互換合約定價的學習中?！菊n程學習目標】了解Python的金融定價方法，掌握Python的遠期合約定價、期貨合約定價、期貨套期保值、互換合約定價。金融計算：基于Python2主要內(nèi)容6.1.金融定價方法6.2.金融遠期合約定價6.3.期貨合約定價6.4.期貨套期保值6.5.互換合約定價金融計算：基于Python36.1.金融定價方法6.1.1.風險中性定價法[例6.1.1]假設(shè)一種不支付紅利的股票目前的市價為15元，在3個月后，該股票價格要么是16元，要么是14元。假設(shè)現(xiàn)在的無風險年利率等于5%，現(xiàn)在要找出一份3個月期協(xié)議價格為15.5的該股票歐式看漲期權(quán)的價值。金融計算：基于Python4由于歐式期權(quán)不會提前執(zhí)行，其價值取決于3個月后股票的市價。若3個月后該股票價格等于11元，則該期權(quán)價值為0.5元;若3個月后該股票價格等于9元，則該期權(quán)價格為0。為了找出該期權(quán)的價值，我們假定所有投資者都是風險中性的，假定該股票上升的概率為P，下跌的概率為1-P。實際上，風險中性概率已經(jīng)由股票價格的變動情況和利率所決定，可求得P=0.59，根據(jù)風險中性定價原理，我們就可以求出該期權(quán)的價值f=0.29元。#定義函數(shù)defqqjz(rf，time，u，d，s0，X):p=(exp(rf*time)-d)/(u-d)f=exp(-rf*time)*(p*max(s0*u-X，0)+(1-p)*max(s0*d-X，0))returnffromnumpyimport*#導入numpy的庫函數(shù)rf=0.05;time=0.25;u=16/15;d=14/15;s0=15;X=15.5res=qqjz(rf，time，u，d，s0，X)print("股票歐式看漲期權(quán)的價值="，round(res，2))print("股票上升的概率="，round((exp(rf*time)-d)/(u-d)，2))6.1.2. 狀態(tài)價格定價法[例6.1.2]假如債券A現(xiàn)在的市場價格為100元，無風險利率為5%，u=1.07，d=0.98，現(xiàn)在假設(shè)有另一個風險債券B，其價格要么上升到103元，要么下跌到98.5元，那么B現(xiàn)在的價格為多少?這里r_f=0.05，uP_b=107，dP_b=98.5。當確定了基本資產(chǎn)的價格之后，就可以利用它復制其他的資產(chǎn)，從而可以用來為其他資產(chǎn)定價。金融計算：基于Python5#定義函數(shù)defpbz(rf，u，d，upb，dpb):paiu=(1-d*exp(-rf))/(u-d)paid=exp(-rf)-paiupb=paiu*upb+paid*dpbreturnpb#導入numpy的庫函數(shù)fromnumpyimport*rf=0.05;u=1.07;d=0.98;upb=103;dpb=98.5res=pbz(rf，u，d，upb，dpb)print("B現(xiàn)在的價格="，res)6.1.3. 無套利定價方法套利（Arbitrage）是指在某項資產(chǎn)的交易過程中，交易者可在不需要期初投資支出的條件下便可獲得無風險報酬，但在實際市場中，套利一般指的是一個預期能產(chǎn)生無風險盈利的策略，可能會承擔一定的低風險。無套利定價法與風險中性定價法的結(jié)果是一致的。金融計算：基于Python66.2. 金融遠期合約定價金融遠期合約(ForwardContracts)是指雙方約定在未來的某一確定時間，按確定的價格買賣一定數(shù)量的金融資產(chǎn)的協(xié)定。遠期合約定價的基本思想是構(gòu)建兩種投資組合，讓其終值(T時刻）相等，則其現(xiàn)值（t時刻）一定相等；否則的話，就可以進行套利。這樣，我們就可根據(jù)兩種組合現(xiàn)值相等的關(guān)系求出遠期價格。金融計算：基于Python76.2.1. 基本概念6.2.1.1.基本假設(shè)沒有交易費用和稅收能以相同的無風險利率自由借貸遠期合約沒有違約風險。允許現(xiàn)貨賣空行為。理論價格是在沒有套利機會下的均衡價格。期貨合約的保證金賬戶支付同樣的無風險利率。（即無論是借還是貸，只有一個利率）金融計算：基于Python86.2.1.2. 基本符號：

T：遠期和期貨合約的到期時間，單位為年；

t：現(xiàn)在的時間，單位為年；

S：標的資產(chǎn)在時間t的價格；

ST：標的資產(chǎn)在時間T的價格；

K：遠期合約中的交割價格；

f：遠期合約多頭在t時刻的價值（遠期價值），即價差；

F：t時刻的遠期合約和期貨合約中標的資產(chǎn)的遠期理論價格和期貨理論價格，即遠期價格、期貨價格；

r：T時刻到期的以連續(xù)復利計算的t時刻的無風險利率（年利率）6.2.2. 無收益資產(chǎn)遠期合約的定價無收益資產(chǎn)是指在到期日前不產(chǎn)生現(xiàn)金流的資產(chǎn)，如貼現(xiàn)債券。基本思路：構(gòu)建兩種投資組合，讓其終值(T時刻）相等，則其現(xiàn)值（t時刻）一定相等；否則的話，就可以進行套利。這樣，我們就可根據(jù)兩種組合現(xiàn)值相等的關(guān)系求出遠期價格。金融計算：基于Python9[例6.2.1]考慮一個6個月的遠期多頭情況，標的資產(chǎn)是1年期貼現(xiàn)債券，遠期的交割價格為950元。假設(shè)6個月期的無風險利率為6%，債券的現(xiàn)價為930元，求遠期的價值及當合約第一次時遠期的價格。#遠期合約的價值；#S代表標的資產(chǎn)價格；#K代表交割價格；#rf無風險利率；#time權(quán)利期間defyqvalue(S，K，rf，time):f=S-K*exp(-rf*time)returnf#遠期合約的價格defyqprice(S，K，rf，time):F=S*exp(rf*time)returnFfromnumpyimport*S=930;K=950;rf=0.06;time=0.5res1=yqvalue(S，K，rf，time)print("遠期的價值="，round(res1，2))6.2.3. 支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)遠期合約的定價支付已知現(xiàn)金收益的資產(chǎn)是指在到期前會產(chǎn)生完全可預測的現(xiàn)金流的資產(chǎn)。如附息債券和支付已知現(xiàn)金紅利的股票。黃金、白銀等貴金屬本身不產(chǎn)生收益，但需要花費一定的存儲成本，存儲成本可看成是負收益。[例6.2.2]考慮一個5年期債券，價格為900元，假設(shè)1年遠期的交割價格為910元，在6個月和12個月后預計都將收到60元的利息，且第二次付息日正好在遠期合約交割日之前。已經(jīng)6個月和12個月的無風險利率分別為9%和10%，求遠期的價值及當合約第一次時遠期的價格。金融計算：基于Python10#已知現(xiàn)金流收益的現(xiàn)值defpv_div(div，time，r):s=div*exp(-r*time)s1=sum(s)returns1#遠期價值defyqivalue(div，time，r，S，K，rf，time1):I=pv_div(div，time，r)f=S-I-K*exp(-rf*time1)returnf#遠期合約的價格defyqiprice(div，time，r，S，K，rf，time1):I=pv_div(div，time，r)F=(S-I)*exp(rf*time1)returnF6.2.4. 提供已知紅利收益資產(chǎn)的遠期合約支付已知收益率的資產(chǎn)是指在到期前將產(chǎn)生與該資產(chǎn)現(xiàn)貨價格成一定比率的收益的資產(chǎn)。外匯是這類資產(chǎn)的典型代表（可以儲蓄，得利息），其收益率就是該外匯發(fā)行國的無風險利率。[例6.2.3]考慮一個6個月的遠期合約，標的資產(chǎn)提供年利率q為4%的連續(xù)紅利收益率，股價為45元，遠期的交割價格為46元。假設(shè)6個月期的無風險利率為10%，求遠期的價值及當合約第一次時遠期的價格。金融計算：基于Python11#支付紅利收益率的遠期價值defyqqvalue(S，K，r，q，time):f=S*exp(-q*time)-K*exp(-r*time)returnf#支付紅利收益率遠期合約的價格defyqqprice(S，K，r，q，time):F=S*exp((r-q)*time)returnFfromnumpyimport*S=45;K=46;r=0.1;q=0.04;time=0.5res1=yqqvalue(S，K，r，q，time)print("遠期的價值="，res1)res2=yqqprice(S，K，r，q，time)print("遠期的價值="，res2)6.3.期貨合約定價6.3.1.期貨基本知識期貨合約(FuturesContracts)是指期貨交易所統(tǒng)一制定的，協(xié)議雙方同意在約定的將來某個日期按約定的條件(包括價格、交割地點、交割方式)買入或賣出一定標準數(shù)量的某種金融工具的標準化（遠期）協(xié)議。期貨價格(FuturesPrice)，合約中規(guī)定的價格，對應遠期中的未來價格。金融期貨與遠期本質(zhì)一樣，金融期貨是標準化協(xié)議，而遠期是非標準化協(xié)議。金融計算：基于Python126.3.1.1.商品期貨合約商品期貨是最早出現(xiàn)的期貨種類。商品期貨合約包括的范圍很廣，主要分為農(nóng)產(chǎn)品期貨合約、能源期貨合約和金屬等，這三大類類商品期貨合約加起來約占世界期貨市場交易總量的40%。金融計算：基于Python136.3.1.2.金融期貨合約20世紀70年代，期貨市場有了突破性的發(fā)展,金融期貨大量出現(xiàn)并逐漸占據(jù)了期貨市場的主導地位。金融期貨合約主要包括股指期貨合約、利率期貨合約和外匯期貨合約。金融計算：基于Python14項目內(nèi)容合約標的滬深300指數(shù)合約乘數(shù)每點300元報價單位指數(shù)點最小變動價位0.2點合約月份當月、下月及隨后兩個季月交易時間上午：9:30-11:30，下午：13:00-15:00最后交易日交易時間上午：9:30-11:30，下午：13:00-15:00每日價格最大波動限制上一個交易日結(jié)算價的±10%最低交易保證金合約價值的12%最后交易日合約到期月份的第三個周五，遇國家法定假日順延交割日期同最后交易日交割方式現(xiàn)金交割交易代碼IF上市交易所中國金融期貨交易所項目內(nèi)容合約標的面值為100萬元人民幣、票面利率為3%的名義中期國債可交割國債發(fā)行期限不高于7年、合約到期月份首日剩余期限為4-5.25年的記賬式附息國債報價方式百元凈價報價最小變動價位0.005元合約月份最近的三個季月（3月、6月、9月、12月中的最近三個月循環(huán)）交易時間09:30—11:30，13:00—15:15最后交易日交易時間09:30—11:30每日價格最大波動限制上一交易日結(jié)算價的±1.2%最低交易保證金合約價值的1%最后交易日合約到期月份的第二個星期五最后交割日最后交易日后的第三個交易日交割方式實物交割交易代碼TF上市交易所中國金融期貨交易所項目內(nèi)容交易單位62500英鎊最小變動價位0.0002英鎊(每張合約最小價格變動1250英鎊)合約月份1、3、4、6、7、9、10、12和現(xiàn)貨月份交易時間上午7:20~下午2:00(芝加哥時間)，到期合約最后交易日交易截止時間為上午9:16，市場在假日或假日之前將提前收盤，具體細節(jié)與交易所聯(lián)系交割日期合約月份的第三個星期三交易場所芝加哥商業(yè)交易所(CME)6.3.2. 金融期貨合約定價金融期貨是協(xié)議雙方約定在將來某個交易日按照約定的條件（包括價格、交割地點、交割方式）買入或者賣出一定標準數(shù)量某種金融資產(chǎn)的協(xié)議。金融計算：基于Python156.3.2.1.外匯期貨定價金融計算：基于Python16[例6.3.1]考慮一個外匯期貨合約，標的資產(chǎn)價格為100元，交割價格為99元，本國無風險年利率是10%，外匯無風險年利率是0.2%，到期時間為6個月，求該外匯期貨合約的價值及價格。6.3.2.2.股指期貨定價

金融計算：基于Python176.3.2.3.利率期貨定價

金融計算：基于Python18短期國債期貨是以短期國債作為標的資產(chǎn)的期貨。短期國債也稱為貼現(xiàn)債券，在其存在期間一般不支付利息，在到期日投資者收到債券的面值。短期國債期貨涉及的概念較多，例如即期利率、遠期利率等，但這些不是我們討論的重點，我們關(guān)心的僅是短期國債期貨的定價問題。[例6.3.4]假設(shè)140天期的年利率是8%，230天期年利率是8.25%，兩者都使用連續(xù)復利,試求140天期、面值是100元的短期國債期貨的價格。6.4. 期貨套期保值套期保值就是利用遠期、期貨、期權(quán)、互換等金融衍生品的頭寸對沖現(xiàn)貨頭寸來避免或減少風險。期貨的套期保值就是買進（或賣出）與現(xiàn)貨數(shù)量相等但交易方向相反的期貨合約，以期在未來某一時間再通過平倉獲得來抵償因現(xiàn)貨市場價格變動帶來的實際價格風險。金融計算：基于Python196.4.1. 期貨合約的套期保值計算方法基差是指某特定商品在某一特定時點的現(xiàn)貨價格與該商品在期貨市場的期貨價格之差，即:基差=現(xiàn)貨價格-期貨價格，基差可以是正數(shù)，也可以是負數(shù)。金融計算：基于Python206.4.2. 最優(yōu)套期保值策略

金融計算：基于Python21defktttb(svar，fvar，cov，s0，st，f0，ft):h=cov/fvarr=st-s0-h*(ft-f0)var=svar+h*h*fvar-2.0*h*covprint("最優(yōu)空頭套期保值比："，round(h,2))print("套期保值的利潤："，round(r,2))returnvar6.4.2.2.多頭套期保值的利潤和方差

金融計算：基于Python22defdtttb(svar，fvar，cov，s0，st，f0，ft):h=cov/fvarr=s0-st+h*(ft-f0)var=svar+h*h*fvar-2.0*h*covprint("最優(yōu)空頭套期保值比："，round(h,2))print("套期保值的利潤："，round(r,2))returnvar[例6.4.1]已知某資產(chǎn)在過去20天內(nèi)的現(xiàn)貨價格和3個月到期的期貨價格見6.4.1.xlsx，現(xiàn)用同種資產(chǎn)的期貨對該資產(chǎn)進行套期保值。試計算多頭套期保值的最優(yōu)套期保值比。6.5. 互換合約定價金融互換是從平行貸款和背對背貸款發(fā)展起來的。平行貸款是指A、B兩國的母公司達成協(xié)議，由A國的母公司向B國母公司設(shè)在A國的子公司發(fā)放貸款，由B國的母公司向A國母公司設(shè)在B國的子公司發(fā)放貸款。缺陷：兩個獨立的貸款協(xié)議，一方出現(xiàn)違約，另一方不能解除履約義務(wù)。背對背貸款是A國母公司和B國母公司把款項相互提供給對方，由雙方母公司把資金再各自提供給自己的子公司。缺陷：涉及跨國借貸，存在外匯管制問題，在法律上產(chǎn)生新的資產(chǎn)和負債，影響資產(chǎn)負債結(jié)構(gòu)。平行貸款和背對背貸款有兩個共同的缺點,金融互換正是為了克服平行貸款和背對背貸款的缺點而產(chǎn)生的。金融計算：基于Python236.5.1. 利率互換合約定價

金融計算：基于Python24defbportwap_price(times，cf，r，A，fr，time):b1=cf/exp(r*times)s1=sum(b1)b2=A/exp(fr*time)V=b2-s1returnV6.5.2. 貨幣互換合約定價

金融計算：基于Python25defcurr_swap_price(S，time，cf1，cf2，y1，y2):bf=cf1*exp(-y1*time)bd=cf2*exp(-y2*time)s1=sum(bf)s2=sum(bd)V=S*s1-s2returnV金融計算：基于Python26金融計算：基于Python

第7章 Python期權(quán)定價【教學目的與要求】通過本章學習，結(jié)合習近平新時代中國特色社會主義經(jīng)濟思想，講授Python的Black-Scholes期權(quán)定價模型、期權(quán)定價的蒙特卡羅模擬、二項式期權(quán)定價模型的計算。【重點和難點】Python的Black-Scholes期權(quán)定價模型、期權(quán)定價的蒙特卡羅模擬、二項式期權(quán)定價模型的計算?！舅颊四繕恕繉⒘暯叫聲r代中國特色社會主義經(jīng)濟思想融入到Python的Black-Scholes期權(quán)定價模型、期權(quán)定價的蒙特卡羅模擬、二項式期權(quán)定價模型計算的學習中。【課程學習目標】掌握Python的Black-Scholes期權(quán)定價模型、期權(quán)定價的蒙特卡羅模擬、二項式期權(quán)定價模型計算。金融計算：基于Python28主要內(nèi)容7.1. Black-Scholes期權(quán)定價模型7.2. 期權(quán)定價的蒙特卡洛模擬7.3. 二項式期權(quán)定價模型金融計算：基于Python297.1.Black-Scholes期權(quán)定價模型

金融計算：基于Python30defbscall_option(S0，X，rf，sigma，T):d1=(log(S0/X)+(rf+0.5*sigma**2)*T)/(sigma*sqrt(T))d2=d1-sigma*sqrt(T)C=S0*norm.cdf(d1)-X*exp(-rf*T)*norm.cdf(d2)returnC[例7.1.1]股票當前價格為25元，執(zhí)行價格為25元，無風險利率8%，股票的波動率30%，期權(quán)到期期限6個月，計算對應的歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的價格。[例7.1.2]假設(shè)政府在以招標形式轉(zhuǎn)讓土地的有償使用權(quán)，有一投資商想要購買一塊荒地用于開發(fā)城市居民區(qū)，那么投資商究竟應該投標多少金額呢?進一步假設(shè)投資商估計要在這片荒地上投入10億元進行基礎(chǔ)設(shè)施開發(fā)，然后按照現(xiàn)有可比性的的相同住宅的現(xiàn)價，估計用2年時間將基礎(chǔ)設(shè)施建成后，這片土地的價值為15億元。并且投資測算出當前市場對未來土地價格預期的波動率是0.3，同期無風險利率是5%。7.1.2. 紅利對歐式期權(quán)價格影響

金融計算：基于Python31defdivbcall_option(S0，X，rf，div，divt，sigma，T):V=sum(div*exp(-rf*divt))d1=(log((S0-V)/X)+(rf+0.5*sigma**2)*T)/(sigma*sqrt(T))d2=d1-sigma*sqrt(T)C=(S0-V)*norm.cdf(d1)-X*exp(-rf*T)*norm.cdf(d2)returnC歐式看跌期權(quán)defdivbput_option(S0，X，rf，div，divt，sigma，T):V=sum(div*exp(-rf*divt))d1=(log((S0-V)/X)+(rf+0.5*sigma**2)*T)/(sigma*sqrt(T))d2=d1-sigma*sqrt(T)P=X*exp(-rf*T)*norm.cdf(-d2)-(S0-V)*norm.cdf(-d1)returnP[例7.1.3]考慮到期時間還有6個月的股票歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)。標的股票在2個月和5個月后各有一個除息日，每個除息日的紅利期望值為0.5元，已知當前股票價格為40元，行權(quán)價格是40元，股票年波動率為30%，無風險利率為9%。試求兩種期權(quán)的價格。7.1.3. 風險對沖分析風險對沖是指通過投資或購買與標的資產(chǎn)收益波動負相關(guān)的某種資產(chǎn)或衍生證券，來沖銷標的資產(chǎn)潛在損失的一種策略。在進行風險對沖時經(jīng)常用到的定量參數(shù)有:Delta、Gamma、Vega、Theta、Rho。這些參數(shù)一般是某些變量變化的比率，反映了一些變量對另外一些變量的相對變化。金融計算：基于Python32Delta對沖defdc_Delta(S0,X,rf,sigma,T):d1=(log(S0/X)+(rf+0.5*sigma**2)*T)/(sigma*sqrt(T))d2=d1-sigma*sqrt(T)Delta=norm.cdf(d1)returnDeltadefdc_Gamma(S0，X，rf，sigma，T):d1=(log(S0/X)+(rf+0.5*sigma**2)*T)/(sigma*sqrt(T))d2=d1-sigma*sqrt(T)nd1=1/(sqrt(2*3.14159265))*exp(-d1**2/2)Gamma=nd1/(S0*sigma*sqrt(T))returnGammaVega=Sn(d_1)√Tdefdc_Vega(S0，X，rf，sigma，T):d1=(log(S0/X)+(rf+0.5*sigma**2)*T)/(sigma*sqrt(T))d2=d1-sigma*sqrt(T)nd1=1/(sqrt(2*3.14159265))*exp(-d1**2/2)Vega=S0*nd1*sqrt(T)returnVegadefdc_Theta(S0，X，rf，sigma，T):d1=(log(S0/X)+(rf+0.5*sigma**2)*T)/(sigma*sqrt(T))d2=d1-sigma*sqrt(T)nd1=1/(sqrt(2*3.14159265))*exp(-d1**2/2)Theta=-S0*nd1*sigma/(2*sqrt(T))-rf*X*exp(-rf*T)*norm.cdf(d2)returnThetadefdc_Rho(S0，X，rf，sigma，T):d1=(log(S0/X)+(rf+0.5*sigma**2)*T)/(sigma*sqrt(T))d2=d1-sigma*sqrt(T)nd1=1/(sqrt(2*3.14159265))*exp(-d1**2/2)Rho=X*T*exp(-rf*T)*norm.cdf(d2)returnRho[例7.1.4]考慮一個不支付紅利股票的歐式看漲期權(quán)，其標的資產(chǎn)價格是50元，行權(quán)價格是50元，無風險年利率是10%，年波動率為30%，權(quán)力期間還有6個月，求其相應的對沖參數(shù)。金融計算：基于Python337.1.4. 隱含波動率作為Black-Scholes歐式期權(quán)定價公式最重要的參數(shù)，波動率σ是標的資產(chǎn)本身的波動率。我們更關(guān)心的是當時的報價所反映的市場對波動率的估計，這個估計的波動率稱為隱含波動率(ImpliedVolatility)。這里的過程實際上是在Black-Scholes歐式期權(quán)定價公式中，假設(shè)另外4個參數(shù)確定，期權(quán)價格已知，反解σ。當計算得到看漲期權(quán)價格和給定看漲期權(quán)價格之間的絕對值小于我們設(shè)定的一個臨界值，如1分錢，即|c-3.3|<0.01時，就停止計算。金融計算：基于Python34defimpvol(S0,X,T,rf,c):fromscipy.statsimportnormforiinrange(200):sigma=0.005*(1+i)d1=(log(S0/X)+(rf+0.5*sigma**2)*T)/(sigma*sqrt(T))d2=d1-sigma*sqrt(T)diff=c-(S0*norm.cdf(d1)-X*exp(-rf*T)*norm.cdf(d2))ifabs(diff)<=0.01:returni,sigma,diff[例7.1.5]考慮一個不支付紅利股票的歐式看漲期權(quán)，其標的資產(chǎn)價格是40元，行權(quán)價格是40元，無風險年利率是10%，權(quán)力期間還有6個月，假設(shè)看漲期權(quán)價格為3.3元，求隱含波動率。7.2. 期權(quán)定價的蒙特卡洛模擬

金融計算：基于Python357.2.2. 對數(shù)正態(tài)分布的隨機變量模擬

金融計算：基于Python36defsim_randvariable(S，rf，sigma，t):R=(rf-0.5*sigma**2)*tSD=sigma*sqrt(t)C=S*exp(R+SD*norm.cdf(1))returnC[例7.2.1]假設(shè)標的資產(chǎn)現(xiàn)在價格是10元，無風險利率0.01，年標準差0.3，距離下一時刻的時間為6個月，計算下一時刻標的資產(chǎn)的價格7.2.3. 模擬歐式期權(quán)定價

金融計算：基于Python37defqqdj(S0，X，T，rf，sigma，n):z=random.standard_normal(n)ST=S0*exp((rf-0.5*sigma**2)*T+sigma*z*sqrt(T))ht=maximum(ST-X，0)C0=exp(-rf*T)*sum(ht)/nreturnC0[例7.2.2]不支付紅利股票的歐式看漲期權(quán)，資產(chǎn)價格是100元，無執(zhí)行價格是100元，風險利率0.1，年標準差0.25，期權(quán)有效期1年，模擬歐式看漲期權(quán)的價格7.2.4. 蒙特卡羅模擬精度的改進7.2.4.1.對偶變量利用對偶技術(shù)可以增加估計穩(wěn)定性、提高估計精度根據(jù)對偶變量法的基本思想，編寫python函數(shù)的思路為：1) 模擬標的資產(chǎn)的價格路徑；2) 計算兩個期權(quán)損益值，其中一個是按照常規(guī)蒙特卡羅法計算的結(jié)果，另一個是己變所有正態(tài)分布符號計算出來的結(jié)果3) 計算期權(quán)的價格，即計算上述兩期權(quán)的平均值并將計算結(jié)果進行貼現(xiàn)。金融計算：基于Python38defdoqqdj(S0,X,T,r,sigma,N):z=random.standard_normal(N)#模擬標的變量路徑并計算估計值

ST1=S0*exp((r-0.5*sigma*sigma)*T+sigma*z*sqrt(T))hT1=maximum(ST1-X,0)#貼現(xiàn)

C1=exp(-r*T)*sum(hT1)/N#改變隨機變量z的符號，模擬標的變量路徑并計算估計值

ST2=S0*exp((r-0.5*sigma*sigma)*T+sigma*(-z)*sqrt(T))hT2=maximum(ST2-X,0)#貼現(xiàn)

C2=exp(-r*T)*sum(hT2)/N#計算平均值

C=(C1+C2)/2returnC[例7.2.3]考慮不支付紅利股票的歐式看漲期權(quán)，它們的標的資產(chǎn)價格是100元，執(zhí)行價格是100元，無風險利率是10%，年波動率是25%，期權(quán)的有效期是1年，用對偶變量法計算其歐式看漲價格。7.2.4.2.控制變量法模擬控制變量法就是將與所估計的未知變量密切相關(guān)的另一個已知量的真實值和估計值之間的差異作為控制量，以提高估計精度。在定價實踐中，將兩種衍生證券用相同的隨機抽樣樣本和時間間隔，