2024屆北京卷高考數(shù)學三模試卷

請考生注意：

1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。

2.答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.如下的程序框圖的算法思路源于我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)”.執(zhí)行該程序框圖，若輸入的用

8分別為176,320,則輸出的。為()

A.16B.18C.20D.15

2.等比數(shù)列｛4｝的各項均為正數(shù)，且%/+%%=18,則k^q+log3a2++log3a10=()

A.12B.10C.8D.2+log35

3.半徑為2的球。內(nèi)有一個內(nèi)接正三棱柱，則正三棱柱的側(cè)面積的最大值為()

A.973B.12后C.16百D.18A/3

_3兀

4.已知單位向量Q,Z?的夾角為,若向量加n=4a—>且加則，尸()

A.2B.2C.4D.6

a(a<b)

5.定義運算。十b="二，則函數(shù)/(%)=1十2%的圖象是().

b(a>Z?)

y

A.B.

X

（JT\7T7T

6.已知函數(shù)/（%）=2coswx—耳3>0）在一上單調(diào)遞增，則。的取值范圍（）

2~|（2-1「2

A.—,2B.0,—C.—,1D.（0,2]

_3J13」13_

7.如圖，已知三棱錐Q—ABC中，平面平面ABC,記二面角D-AC-6的平面角為a,直線ZM與平面

ABC所成角為￡,直線與平面ADC所成角為7,則（）

A.a>/3>yB./3>a>yc.a>y>13D./>?>/?

8.當a>0時，函數(shù)/（無）=任一的圖象大致是（）

9.已知平行于工軸的直線分別交曲線1”=2%+1,丁=2%-1（y20）于4,3兩點，則41A目的最小值為（）

A.5+In2B.5—In2C.3+In2D.3-In2

10.關(guān)于函數(shù)/（x）=4sin[gx+?]+4cos[gx+q],有下述三個結(jié)論:

IT

①函數(shù)/（X）的一個周期為一;

2

TT37r

②函數(shù)在-，T上單調(diào)遞增;

③函數(shù)f（x）的值域為［4,4魚］.

其中所有正確結(jié)論的編號是（）

A.①②B.②C.②③D.③

11.波羅尼斯（古希臘數(shù)學家，的公元前262-190年）的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學成果，它將圓錐

曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡，幾乎使后人沒有插足的余地.他證明過這樣一個命題：平面內(nèi)與兩定點距離的比為常數(shù)k（k>

0,且k'D的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.現(xiàn)有橢圓與+工=1(a>b>0),A,B為橢圓的長

軸端點，C,D為橢圓的短軸端點，動點M滿足面j=2,AMAB面積的最大值為8,△MCD面積的最小值為1,

則橢圓的離心率為（）

7BY-

12.已知（1+/lx）"展開式中第三項的二項式系數(shù)與第四項的二項式系數(shù)相等，（1+幾%）"=。0+。/+。2犬++。/"，

若％+a2Ta”=242,則4—%+%------H（—l）"a"的值為（）

A.1B.-1C.81D.-81

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

ex

—,x<2

13.已知函數(shù)〃x）=；，（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)），若關(guān)于x的方程/⑴―⑸+24=0恰

---,x>2

、5x

有5個相異的實根，則實數(shù)a的取值范圍為.

14.在平面直角坐標系X0Y中，曲線y=e'在點P（Xo，e'。）處的切線與x軸相交于點A,其中e為自然對數(shù)的底數(shù).

若點以x°,0）,ARAB的面積為3,則無。的值是.

15.直線y=ex+2b是曲線丁=加（%>0）的一條切線（e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù)），則實數(shù)b=.

x-l<0

16.變量尤,V滿足約束條件x+y+120,則目標函數(shù)z=—2x+y的最大值是.

x-y+3>0

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

22

17.（12分）如圖，設橢圓G：工+==1（?！?〉0）,長軸的右端點與拋物線。2：V=8x的焦點斤重合，且橢

ab

圓G的離心率是且.

2

（I）求橢圓G的標準方程;

（II）過尸作直線/交拋物線。2于A，B兩點,過萬且與直線/垂直的直線交橢圓q于另一點C,求AABC面積的

最小值，以及取到最小值時直線/的方程.

18.（12分）尸是圓爐+丁2=4上的動點，尸點在x軸上的射影是O,點M滿足

-2

（1）求動點M的軌跡C的方程，并說明軌跡是什么圖形；

（2）過點N（3,0）的直線/與動點M的軌跡C交于不同的兩點A,B,求以。4,08為鄰邊的平行四邊形Q4E3的頂

點E的軌跡方程.

19.（12分）已知函數(shù)。（%）=血03工

（1）若x<0,求證：/（%）<|；

（2）若x>0,恒有/（x）2（左+3）x+21nx+l,求實數(shù)左的取值范圍.

221

20.（12分）已知橢圓C：\+2=1（a>b>。）,點A是C的左頂點，點尸（2,3）為C上一點，離心率6=天

（1）求橢圓。的方程；

（2）設過點A的直線/與C的另一個交點為3（異于點P）,是否存在直線/,使得以A5為直徑的圓經(jīng)過點P,若

存在，求出直線/的方程；若不存在，說明理由.

21.（12分）已知函數(shù)/（x）=a（xT）lnx+ex（aeR）.其中e是自然對數(shù)的底數(shù).

（1）求函數(shù)/（九）在點X=1處的切線方程；

（2）若不等式/（X）-e'WO對任意的xe[L”）恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

22.（10分）已知函數(shù)/（無）=（2-％）/+公.

（I）已知無=2是“X）的一個極值點，求曲線〃龍）在（0"（0））處的切線方程

（II）討論關(guān)于x的方程“X）=alnx（aeR）根的個數(shù).

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、A

【解析】

根據(jù)題意可知最后計算的結(jié)果為a,b的最大公約數(shù).

【詳解】

輸入的明》分別為176,320,根據(jù)流程圖可知最后計算的結(jié)果為a,b的最大公約數(shù)，按流程圖計算

320-176=144,176-144=32,144-32=112,112-32=80,80-32=48,48-32=16,32-16=16176和320的最大公約

數(shù)為16,

故選:A.

【點睛】

本題考查的是利用更相減損術(shù)求兩個數(shù)的最大公約數(shù)，難度較易.

2、B

【解析】

由等比數(shù)列的性質(zhì)求得。嗎0,再由對數(shù)運算法則可得結(jié)論.

【詳解】

:數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列，a3a$+&%=2?1a10=18,axaw=9,

log3ax+log3++log3aw=log3（a1a2a10）==51og39=10.

故選:B.

【點睛】

本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查對數(shù)的運算法則，掌握等比數(shù)列的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

3,B

【解析】

設正三棱柱上下底面的中心分別為q，a，底面邊長與高分別為X,〃，利用。42=。。；+。2人2,可得r=16-

進一步得到側(cè)面積S=3xh,再利用基本不等式求最值即可.

【詳解】

如圖所示.設正三棱柱上下底面的中心分別為a，0,底面邊長與高分別為XM,則

-23

Bi《

C

Z72/4

在RfAona中，—+—=4,化為外=16——

433

?「S=3xh,

S2=9X2/Z2=12x2(12-X2)?12~=432,

[2J

當且僅當了="時取等號，此時5=126.

故選：B.

【點睛】

本題考查正三棱柱與球的切接問題，涉及到基本不等式求最值,考查學生的計算能力，是一道中檔題.

4、C

【解析】

根據(jù)相」〃列方程，由此求得義的值，進而求得;.

【詳解】

由于加_L〃，所以加?〃=()，即

2a.(4〃一Xb)=812一24a.人=8-23cos亨=8+y/22=0,

解得4=一美=一4&.

所以〃=4。+4拒6

所以

W=,(4=+4屬『=J16/+32缶0+32片=J48+320cos弓=,48-32=4.

故選：C

【點睛】

本小題主要考查向量垂直的表示，考查向量數(shù)量積的運算,考查向量模的求法，屬于基礎題.

5,A

【解析】

由已知新運算。十的意義就是取得。力中的最小值，

/、l,x>0

因此函數(shù)/(x)=l十丁=

乙，4-U

只有選項A中的圖象符合要求，故選A.

6、B

【解析】

兀兀兀兀兀兀兀

由---<X<一，可得---3---<COX---〈一①---，結(jié)合)，=8sx在[-71,0]上單調(diào)遞增，易得

3233323

兀兀兀兀

N[-兀,0],即可求出①的范圍.

【詳解】

1兀//兀一r”曰兀兀/兀/7171

由——VxW—,可得——3——<a)x——<—(0——,

3233323

(71A兀兀

x=0時J(0)=2cos-可，而。￡,

\L32_

又y=cos%在[-K,0]上單調(diào)遞增，且——G[-71,0],

3

7171

-----(D---->—71

33a)<2

71717171兀?！拱?2

所以-----(D------,—0)------C[-71,O]，則<一co—?0，即故0<G<g.

332323

。〉0?！?

故選:B.

【點睛】

本題考查了三角函數(shù)的單調(diào)性的應用，考查了學生的邏輯推理能力,屬于基礎題.

7、A

【解析】

作加」于。，。石，AC于E，分析可得c=?DED',/3=NDAD'，再根據(jù)正弦的大小關(guān)系判斷分析得a>/3,

再根據(jù)線面角的最小性判定/之/即可.

【詳解】

作于￡>',DE_LAC于E.

因為平面DIB，平面ABC,」平面ABC.故AC，DE,AC，，

故AC,平面。石。1故二面角￡)—AC—6為0=?DED：

又直線ZM與平面ABC所成角為力=ZDAD',因為ZM之DE,

DD'DD'

故sin?DE。'——?——sin?ZM。'.故a2",當且僅當A,E重合時取等號.

DEDA

又直線AB與平面AOC所成角為7,且力=NDAD'為直線AB與平面ADC內(nèi)的直線AD所成角，故尸》/,當且僅

當瓦)，平面ADC時取等號.

板aN/32丫.

B

故選:A

【點睛】

本題主要考查了線面角與線線角的大小判斷，需要根據(jù)題意確定角度的正弦的關(guān)系，同時運用線面角的最小性進行判定.

屬于中檔題.

8、B

【解析】

由/(x)=0,解得三―依=0,即x=0或x=。，a>。,，函數(shù)/(九)有兩個零點，二4,。，不正確，設。=1,

則〃%)=(V_x)'⑺=(V+x-1)/,由/(x)=(爐+%-1)產(chǎn)>0,解得x>-"J或x<,

由尸(x)=(尤2—1日<0,解得：—T；逐<x<T；6，即X=—1是函數(shù)的一個極大值點,??.￡>不成立，排除。，

故選B.

【方法點晴】本題通過對多個圖象的選擇考察函數(shù)的解析式、定義域、值域、單調(diào)性，導數(shù)的應用以及數(shù)學化歸思想，

屬于難題.這類題型也是近年高考常見的命題方向，該題型的特點是綜合性較強較強、考查知識點較多，但是并不是無

路可循.解答這類題型可以從多方面入手，根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、特殊點以及

xf-f+oo,x-—oo時函數(shù)圖象的變化趨勢，利用排除法，將不合題意選項一一排除.

9、A

【解析】

求出41AB令/(a)="+2—Ina,利用導數(shù)求出

設直線為y=a(a>0),A(Xi，%)3(X2，y2)，用。表示出用，x2,

單調(diào)區(qū)間和極小值、最小值，即可求出41ABi的最小值.

【詳解】

解：設直線為y=a(a〉0),A(Xi，yi)B(X2，y2)，則Ina=2%+1,二.玉=](Inci-1)9

而%滿足/=2%—1,

那么4AB=4(/_玉)=4=2(a2+2-lna)

設/(a)=4+2—In]，則r(Q)=/一函數(shù)/(〃)在0,-y上單調(diào)遞減，在手,+8上單調(diào)遞增，

a、7\7

所以4|AB|mm=2/?in=2/|^|=5+ln2

故選：A.

【點睛】

本題考查導數(shù)知識的運用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，考查化簡整理的運算能力，正確求導確定函數(shù)的最小值是關(guān)鍵，

屬于中檔題.

10、C

【解析】

①用周期函數(shù)的定義驗證.②當％￡y時，5工+可￡IVFT'=4^sin—x+—,再利用單調(diào)性

判斷.③根據(jù)平移變換，函數(shù)/(x)=4sin(gx+g］+4cos(gx+g］的值域等價于函數(shù)

1n

g(x)=4sin1x+4COS-X的值域，而g(x+?)=g(x),當無￡[0,而時,g(x)=4A歷sin-x-\——再求值域.

223

【詳解】

因為小+f7C=4sin9+爸+4c°s1/+^771r171171

=4cos—XH----+4sin—XH----工/(%),故①錯誤;

2212212212

.「萬3萬］,1萬7萬17幾所以f(x)=4sin[gx+|^—4co1s+(71171

當xe萬，丁時，—xd——e——,------=4A/2sin|—x+—

23122423212

|jr\\TTTT37r

r+ne后所以小)在萬彳上單調(diào)遞增,故②正瑜

1711

函數(shù)/(%)=4sin[g%+()+4cos—XH——的值域等價于函數(shù)g(x)=4singx+4cos1x的值域，易知

232

g(x+i)=g(x),故當xe[0㈤時，g(x)=4A/2sinfx+yje[4,4A/2],故③正確.

故選：C.

【點睛】

本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，還考查推理論證能力以及分類討論思想，屬于中檔題.

11、D

【解析】

求得定點M的軌跡方程—+>2=?可得工x2ax3a=8,Lx2b><La=l,解得a,b即可.

3J92323

【詳解】

MA\

設A(-a,0),B(a,0),M(x,y).?動點M滿足三景=2,

MB\

則J(x+a『+y2=2"a『+y2=2,化簡得(x—?了+y2二牛.

AMAB面積的最大值為8,△MCD面積的最小值為1,

—x2ax—<2=8,—x2/?x—a=1,解得a=b=,

23232

.?.橢圓的離心率為Jl一與=走.

\a22

故選D.

【點睛】

本題考查了橢圓離心率，動點軌跡，屬于中檔題.

12、B

【解析】

根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)，可求得〃，再通過賦值求得小以及結(jié)果即可.

【詳解】

因為(i+Axy展開式中第三項的二項式系數(shù)與第四項的二項式系數(shù)相等，

故可得〃=5,

令x=0,故可得1=%,

又因為+g++。5=242,

令x=\9則(1+4)=%+q+%++%=243,

解得4=2

令l=-1,則(1-2)5=CIQ—q+%—+(-1)%=-]■

故選:B.

【點睛】

本題考查二項式系數(shù)的性質(zhì)，以及通過賦值法求系數(shù)之和，屬綜合基礎題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

2公

13、e'5)

【解析】

作出“X)圖象，求出方程的根，分類討論了(X)的正負，數(shù)形結(jié)合即可.

【詳解】

當用,2時，令r(x)=￡_l=O,解得x=l,

e

所以當％,1時,f'(x)>o,則"X)單調(diào)遞增,當掇k2時,m<0,則f(x)單調(diào)遞減,

當x>2時，〃工)=4±r-^8=三4一?8單調(diào)遞減，且/(x)e[O,4-)

5x5JX5

(1)當。=0時，方程整理得尸(x)=o,只有2個根，不滿足條件；

(2)若a>0,則當/'(x)<0時，方程整理得產(chǎn)(幻+3叭尤)+21="(無)+2a]"(x)+a]=0,

貝(I/(x)=-2。<0,/(x)=-a<0,此時各有1解，

故當/(%)>0時，方程整理得尸(無)-3叭尤)+2/=[/(%)-2?][/(x)-a]=0,

/(%)=24有1解同時/(乃=。有2解，即需2a=1,因為/(2)=4=2>]，故此時滿足題意;

或/(x)=2a有2解同時〃x)=a有1解，則需。=0,由(1)可知不成立；

或/(x)=2a有3解同時/(x)=。有。解，根據(jù)圖象不存在此種情況，

2a>1

24

或/(x)=2a有0解同時/(x)=a有3解，貝！)24,解得士

-,a<-e5

〔e5

故?！闧一，—)

e5

⑶若a<0,顯然當"x)>0時，/。)=2〃和/(尤)二〃均無解，

當/(幻<。時，/(%)=—2。和/(x)=—a無解，不符合題意.

綜上：。的范圍是廣2，一4）“一1}

e52

241

故答案為：止，-）u{-}

e52

【點睛】

本題主要考查了函數(shù)零點與函數(shù)圖象的關(guān)系，考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，意在考查學生對這些知識的理解掌握

水平和分析推理能力，屬于中檔題.

14、In6

【解析】

對丁=/求導，再根據(jù)點P的坐標可得切線方程，令丁=0,可得點4橫坐標，由AB鉆的面積為3,求解即得.

【詳解】

由題，y'=ex,.,.切線斜率左=小，則切線方程為丁―泊=*（x—%），令y=0,解得1,又AR鉆的

面積為3,=3義1義*=3,解得Xo=ln6.

故答案為：In6

【點睛】

本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的切線，難度不大.

15、-1

【解析】

根據(jù)切線的斜率為e,利用導數(shù)列方程，由此求得切點的坐標，進而求得切線方程，通過對比系數(shù)求得沙的值.

【詳解】

y'=：=e,則％=,，所以切點為B，—11,故切線為y+l=e]x—（；

即y=ex-2,故Z>=_1.

故答案為：-1

【點睛】

本小題主要考查利用導數(shù)求解曲線的切線方程有關(guān)問題，屬于基礎題.

16、5

【解析】

分析：畫出可行域，平移直線y=2x+z,當直線y=2x+z經(jīng)過A（—2,1）時，可得z=—2%+y有最大值4+1=5.

-i—

456X

x-l＜0

畫出束條件＜x+y+120表示的可行性，如圖,

x-y+3＞Q

x+y+1=0x=-2

由＜可得＜,

x-y+3=0y=1

可得A（-2,1）,

目標函數(shù)z=-2x+y變形為y=2x+z,

平移直線y=2x+2,

當直線y=2x+z經(jīng)過A(-2,l)時，

可得z=-2x+y有最大值4+1=5,

故答案為5.

點睛：本題主要考查線性規(guī)劃中利用可行域求目標函數(shù)的最值，屬簡單題.求目標函數(shù)最值的一般步驟是“一畫、二移、

三求”：(1)作出可行域(一定要注意是實線還是虛線)；(2)找到目標函數(shù)對應的最優(yōu)解對應點(在可行域內(nèi)平移變

形后的目標函數(shù)，最先通過或最后通過的定點就是最優(yōu)解)；(3)將最優(yōu)解坐標代入目標函數(shù)求出最值.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(I)=1；(II)AABC面積的最小值為9,x=±JLy+2.

【解析】

（I）由已知求出拋物線的焦點坐標即得橢圓中的。，再由離心率可求得C,從而得b值，得標準方程;

（II）設直線/方程為％=沖+2,設4（%,％）,3（々,當）,把直線方程代入拋物線方程，化為y的一元二次方程，由

韋達定理得M+%，%%，由弦長公式得|人即，同理求得C點的橫坐標，于是可得|歹。|,將面積表示為參數(shù)的函數(shù),

利用導數(shù)可求得最大值.

【詳解】

22

（I）?.?橢圓G：二+2=1（?！等恕?），

ab

長軸的右端點與拋物線G：>2=8x的焦點斤重合，

:?a=2,

又?.?橢圓G的離心率是且，，c=百，b=l,

二橢圓G的標準方程為'+丁=1.

（II）過點/（2,0）的直線/的方程設為x=my+2,設4（%,%）,5（%,%），

x=my+2c

聯(lián)立、2得y-Smy-16=0,

[y=8%

，%+%=斷，%丁2=一16,

|AB|=Jl+及%+4%%=8（l+m2）.

過F且與直線I垂直的直線設為y=-m（x-2）,

y=-myx-2）

22

聯(lián)立2得（1+4加2）12-i6mx+16m-4=0,

—+y2=1

4-

22（4m2-l）

?c16m44r

XC+2=,

-T7W故全4m2+1

---y----J1+租2

4m+1

16^1+m2

AABC面積s=^\AB\-\CF\=?VI+m2?

4m2+1

令A/W=/，貝！IS=/(，)=二，/⑺；)，

令/'")=0,則/=(,即1+加2=*時，AABC面積最小，

即當機=±Y5時，AABC面積的最小值為9,

2

此時直線/的方程為x=土當y+2.

【點睛】

本題考查橢圓方程的求解，拋物線中弦長的求解，涉及三角形面積范圍問題，利用導數(shù)求函數(shù)的最值問題，屬綜合困

難題.

2

18、(1)點M的軌跡C的方程為亍+V=1,軌跡C是以(-省,0),(3,0)為焦點，長軸長為4的橢圓(2)

x2+4y2-6x=010<x<g]

【解析】

(1)設M(x,y),根據(jù)可求得P(x,2y),代入圓的方程可得所求軌跡方程；根據(jù)軌跡方程可知軌跡是

以卜6,0),(6,0)為焦點，長軸長為4的橢圓；

(2)設/:丁=左(％—3),與橢圓方程聯(lián)立，利用/>0求得左2<g利用韋達定理表示出西+X2與%+%，根據(jù)平

行四邊形和向量的坐標運算求得OE，消去左后得到軌跡方程；根據(jù)/<二求得x的取值范圍，進而得到最終結(jié)果.

【詳解】

(1)設A/(%y),則。(羽0)

由知：P(x,2y)

點P在圓/+/=4上%2+4y2=4

2

，點〃的軌跡C的方程為：—+/=1

4-

軌跡C是以卜6,0),(6,0)為焦點，長軸長為4的橢圓

(2)設E(x,y),由題意知/的斜率存在

設/:y=k(x—3),代入寧+/=i得：(1+4左2)/—24/尤+36左2—4=0

21

貝!|A=(—24用一4(1+4公)(36左2—4)>0,解得：k2<-

/、/、94^2

設A(%，x),W9,%),則

24k3「-6k

%+y=%(%-3)+左—3)=左(為+—64=--------6k=-----7

21+44271+442

四邊形Q4EB為平行四邊形

"24k2—6k、

OE=OA+OB=(玉+/,%+%，)=

J+4左2'1+4左2,

24k2

X-Q

1+",消去左得：2J2X

又OE=(x,y)X+4-6=0

-6k

2

24k6(1+4左2)

z￡=fi__L_e。，|

二.x=61+4公

1+4左21+442

二頂點￡的軌跡方程為好+4V-6x=ofo<x<j

【點睛】

本題考查圓錐曲線中的軌跡方程的求解問題，關(guān)鍵是能夠利用已知中所給的等量關(guān)系建立起動點橫縱坐標滿足的關(guān)系

式，進而通過化簡整理得到結(jié)果；易錯點是求得軌跡方程后，忽略X的取值范圍.

19、(1)見解析；(2)(-oo,0]

【解析】

「2、412^3x-3r-2lnx-1

(1)利用導數(shù)求x<0時，f(x)的極大值為/[-§)=文，即證f(x)<§；(2)等價于七X二一9j'

x?/"—3x—21nx—1

x>0,令g(x)=——?j"1,x>0,再求函數(shù)g(x)的最小值得解.

X

【詳解】

(1)?.?函數(shù)f(x)=x2e3x,/.fr(x)=2xe3x+3x2e3x=x(3x+2)e3x.

22

由fr(x)>0,得xV-—或x>0；由fr(x)<0,得一一<%<0,

33

22

???f（x）在（-8,--）內(nèi)遞增，在（-一，0）內(nèi)遞減，在（0,+oo）內(nèi)遞增,

33

???f（X）的極大值為了

41

???當xVO時，f(x)<f<---——

9x49

23x

/?、..,人、八?、一...xe-3x-21nx-l

(2).x2e3x>(k+3)x+21nx+l,..k<----------------------------，x>0,

X

23?:—o—2]nx—123x

令g(x)~~J,x>0,則g，(x)x(l+3x)e+2Inx-1

2

Xx

令h(x)=x2(l+3x)e3x+21nx-1,則h(x)在(0,+co)上單調(diào)遞增,

且x―0+時，h(x)--oo,h(1)=4e3-1>0,

J存在xo￡(0,1),使得h(xo)=0,

???當(0,xo)時，gr(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,

當x￡(xo,+co)時，gr(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,

_21nxe—1

**.g(x)在(0,+oo)上的最小值是g(xo)=--------------------------------

%。

3

Vh(xo)=^(l+3Xo)e^+21nxo-l=O,所以

令焉/0=1,.?.21nx0+3x0=0,

l-21nxn1clc八

令^----=1,21nx0+3x0=0

所以JJ?%)=1,21nx0=-3x0,

x；/"—3XQ—21nx0—11—3XQ+3XQ—1

Ag(xo)=--------------------------------=----------------------=。

???實數(shù)k的取值范圍是（-8,0].

【點睛】

本題主要考查利用證明不等式，考查利用導數(shù)求最值和解答不等式的恒成立問題，意在考查學生對這些知識的理解掌

握水平和分析推理能力.

22i9

20、(1)——=1；(2)存在，y=---x—

1612105

【解析】

(1)把點「(2,3)代入橢圓C的方程，再結(jié)合離心率，可得a,b,c的關(guān)系，可得橢圓的方程;

(2)設出直線/的方程，代入橢圓，運用韋達定理可求得點3的坐標，再由=可求得直線的方程,要注意

檢驗直線是否和橢圓有兩個交點.

【詳解】

[±+2=1k=i6

2r222

(1)由題可得",...從=12,所以橢圓C的方程土+匕=1

c12,1612

—c=4

、a21

(2)由題知A(T,0),設8(%,%)，直線/的斜率存在設為3

22

2

貝！|:y=左(1+4)與橢圓%+卷=1聯(lián)立得(3+4左2)爐+32k+64Zr-48=0

2

64左2—48-16^+1224k‘—16左2+1224k

y=,:.B

/〉0,—4%0=%=3+442，°Mie

3+442、3+4左2'3+4左2

若以AB為直徑的圓經(jīng)過點尸,

(6-24F-12F+24^-9^

則PAP3=0，二(-6,-3>=0,

13+4左23+4k2

7

解得左或左=—1

化簡得20左2—8左一1=0，???(2左一1)?(10k+1)=0,

210

因為3與尸不重合，所以左=工舍.

2

17

所以直線/的方