第22課等差數(shù)列與等比數(shù)列●考試目標(biāo)主詞填空1.數(shù)列的定義用自然語(yǔ)言可敘述為依一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列，{an}與an是不同的概念，前者表示數(shù)列，后者表示數(shù)列的第n項(xiàng).2.數(shù)列的通項(xiàng)公式一般形式為：an=f(n)(n∈N*)，數(shù)列通項(xiàng)公式的形式有時(shí)并不惟一.3.數(shù)列的表示有三種方法.即：解析法，列表法和圖像法.4.數(shù)列的分類，①按項(xiàng)數(shù)分類可分為有窮數(shù)列與無(wú)窮數(shù)列；②按前后項(xiàng)之間的大小關(guān)系可分為遞增數(shù)列，遞減數(shù)列，擺動(dòng)數(shù)列以及常數(shù)列；③按數(shù)列中任何一項(xiàng)的絕對(duì)值是否都小于某一正數(shù)，可分為有界數(shù)列與無(wú)界數(shù)列.5.等差數(shù)列與等比數(shù)列(1)其通項(xiàng)公式分別是an=a1+(n-1)d及an=a1qn-1；(2)其中項(xiàng)公式分別是；(3)其前n項(xiàng)和分別為●題型示例點(diǎn)津歸納【例1】寫出下列各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.(1)1，9，1，9，1，9，…(2)a，b，a，b，a，b，…(3)1，0，，0，，0，，0，…【解前點(diǎn)津】(1)相鄰兩項(xiàng)之間的“中間數(shù)”為5，每一項(xiàng)可表為5±4型.(3)該數(shù)列可重排為：，，，，…其分子的規(guī)律是1，0，-1，0，1，0，-1，0周期出現(xiàn)，故可考慮三角函數(shù)的周期性.【規(guī)范解答】(1)an=5+4·(-1)n；(2)an=+(-1)n·；(3)an=.【解后歸納】寫數(shù)列的通項(xiàng)公式，要善于從各種不同的角度去觀察數(shù)列的規(guī)律，如，分別觀察數(shù)列各項(xiàng)的“符號(hào)”規(guī)律，每項(xiàng)與n的運(yùn)算規(guī)律，分子的規(guī)律，分母的規(guī)律等等.【例2】設(shè){an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列.(1)若a21=103，a29=-53，求a2004；(2)若bn>0且b6b8+2b6b10+b8b10=36，求b7+b9之值.【解前點(diǎn)津】確定等差數(shù)列就是要確定首項(xiàng)與公差，確定等比數(shù)列就是要確定首項(xiàng)與公比，可通過(guò)列方程組和解方程組求解.【規(guī)范解答】(1)設(shè)公差為d，由條件得：a2004=a1+2003d=493-19.5×2003=-38565.5.(2)設(shè)公比為q，則(b1·q5)·(b1q7)+2(b1q5)·(b1q9)+(b1q7)·(b1q9)=36bq12·(1+2q2+q4)=36b1q6(1+q2)=6b7+b9=b1q6+b1q8=b1q6(1+q2)=6.【解后歸納】確定等差數(shù)列，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，關(guān)鍵是確定“基本量”，首項(xiàng)與公差是等差數(shù)列的基本量，而首項(xiàng)與公比是等比數(shù)列的兩個(gè)基本量.【例3】記等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)之和為Sn且S4=-62，S6=-75.(1)求通項(xiàng)an及前n項(xiàng)和Sn；(2)求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a14|的值.【解前點(diǎn)津】(1)列方程組，求首項(xiàng)與公差；(2)討論ak的正負(fù)，從而去掉絕對(duì)值求和.【規(guī)范解答】(1)設(shè)公差為d，則解得：故an=3n-23，Sn=n2-n.(2)由≤k≤k=7故前7項(xiàng)為負(fù)，∴|a1|+|a2|+|a3|+…+|a14|=-(a0+a2+a3+…+a7)+(a8+a9+…+a14)=S14-2S7=147.【解后歸納】確定等差數(shù)列各項(xiàng)的正負(fù)，是去掉絕對(duì)值符號(hào)的常規(guī)方法.【例4】在某廠的三年生產(chǎn)計(jì)劃中，每年比上年增長(zhǎng)的電腦臺(tái)數(shù)相同，而實(shí)際生產(chǎn)時(shí)第三年比原計(jì)劃多生產(chǎn)了1000臺(tái)，且使每年生產(chǎn)的臺(tái)數(shù)恰好成等比數(shù)列，第三年生產(chǎn)的臺(tái)數(shù)是原計(jì)劃三年生產(chǎn)臺(tái)數(shù)總和的2倍，如果按照這樣的增產(chǎn)幅度生產(chǎn)，并使生產(chǎn)的臺(tái)數(shù)超過(guò)36萬(wàn)臺(tái)，問(wèn)至少需要多少年?【解前點(diǎn)津】先確定原計(jì)劃第一年生產(chǎn)的臺(tái)數(shù)以及每年增產(chǎn)的臺(tái)數(shù)，最后列不等式求解.【規(guī)范解答】設(shè)原計(jì)劃第一年生產(chǎn)a1臺(tái)，每年增加d臺(tái)，則由條件知a1=40，d=200由此可得公比為6，經(jīng)n年后生產(chǎn)臺(tái)數(shù)總和為：Sn=8(6n+1)令8(6n-1)>3600006n>45000n≥6，即至少需要6年.【解后歸納】解形如6n>45000的不等式，常將45000寫成與6m接近的數(shù)即6m≤45000<6m+1從而確定n值.●對(duì)應(yīng)訓(xùn)練分階提升一、基礎(chǔ)夯實(shí)1.已知等差數(shù)列{an}，a1=-5，d=7，an≤695，則這個(gè)等差數(shù)列至多有()A.98項(xiàng)B.99項(xiàng)C.100項(xiàng)D.101項(xiàng)2.已知lga，lgb，lgc成等差數(shù)列，且公差d<0，a，b，c分別是Rt△ABC的∠A，∠B，∠C的對(duì)邊，則：的值是()A.B.C.不存在D.3.已知{an}為等差數(shù)列，且有a2+a3+a10+a11=48，則a6+a7等于()A.12B.16C.20D.244.等差數(shù)列{an}中，d=-2，a1+a4+a7+…+a31=50，那么a2+a6+a10+…+a42的值等于()A.60B.-82C.182D.-965.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=lg1536-(n-1)lg2，則使得an<0的最小正整數(shù)n的值為()A.11B.12C.13D.146.等差數(shù)列{an}中，a1>0，S20=S30，則Sn取得最大值時(shí)n的值為()A.23B.24C.25D.267.設(shè)M=(n∈N),則()A.M為無(wú)理數(shù)B.M=C.M=D.M=8.小王從1983年起，每年9月3日在銀行新存入a元一年定期，若年利率r保持不變，且每年到期存款均自動(dòng)轉(zhuǎn)為新的一年定期，到2000年9月3日將所有存款及利息取回，她可取回的錢數(shù)(元)為()A.a(1+r)17B.a(1+r)18C.[(1+r)17-(1+r)]D.［(1+r)18-(1+r)］9.某超市去年的銷售額為a萬(wàn)元，計(jì)劃在后10年內(nèi)每年比上一年增加10%，從今年起10年內(nèi)這家超市總銷售額為()A.(1.1)9aB.(1.1)5aC.[(1.1)10-1]aD.11·[(1.1)10-110.已知線段PQ=a，A1是線段PQ的中點(diǎn)，A2是QA1的中點(diǎn)，A3是A1A2的中點(diǎn)，A4是A3A2的中點(diǎn)，…，An是An-2An-1的中點(diǎn)，則PAA.a·B.C.a·D.二、思維激活11.已知一個(gè)等差數(shù)列共有1999項(xiàng)，那么它的偶數(shù)項(xiàng)之和與奇數(shù)項(xiàng)之和的比值是.12.有濃度為P的酒精一滿瓶A升，每次倒出B升后，再用水加滿，一共倒了n次，加了n次后瓶?jī)?nèi)酒精濃度為.13.在10到2000之間，形如2n(n∈N*)的數(shù)之和為.14.a≠1時(shí)1+2a+3a2+…+nan-1=三、能力提高15.已知等差數(shù)列{an}，an=21-2n，又知bn=|an|，求數(shù)列{bn}的前30項(xiàng)之和.16.一個(gè)首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列{an}，如果它的前3項(xiàng)之和與前11項(xiàng)之和相等，那么此數(shù)列前多少項(xiàng)之和最大?17.在直線y=2x上分別取橫坐標(biāo)為a1的點(diǎn)A1，以A1的縱坐標(biāo)為橫坐標(biāo)取點(diǎn)A2，以A2的縱坐標(biāo)為橫坐標(biāo)取點(diǎn)A3，這樣一直下去.分別由A1，A2，A3，…，An引x軸的垂線，垂足分別為B1，B2，B3，…，Bn.(1)求A1，A2，A3，…，An的縱坐標(biāo)所成數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若點(diǎn)A6的縱坐標(biāo)為192，求△OAnBn的面積所成數(shù)列前5項(xiàng)的和.18.某企業(yè)年初有資金1000萬(wàn)元，如果該企業(yè)經(jīng)過(guò)生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)能使年資金平均增長(zhǎng)率達(dá)到50%，但每年年度都要扣除消費(fèi)基金x萬(wàn)元，余下的基金投入再生產(chǎn)，為實(shí)現(xiàn)經(jīng)過(guò)5年資金達(dá)到2000萬(wàn)元(扣除消費(fèi)基金后)，那么每年應(yīng)扣除消費(fèi)基金多少萬(wàn)元?第1課等差數(shù)列與等比數(shù)列習(xí)題解答1.D由an≤695得(-5)+7(n-1)≤695解之即得.2.A由2lgc＝lga+lgb得：c2=ab，因d<0故a2=b2+c2a2=b2+ab()2＋－1=0解之==.3.D注意到a6+a7=a2+a11=a3+a10.4.B令t=a2+a6+a10+…+a42又50=a1+a4+a7+…+a31兩式相減：t-50=d+2d+…+11d=66d又d=-2，∴t=-82.5.B可驗(yàn)證n=11，n=12.6.C用n表示Sn.7.DM===(10n-1)=.8.A存入的時(shí)間為17年，最后求本息和.9.D首項(xiàng)為1.1a，公比為1.1的等比數(shù)列前10項(xiàng)和S10==11·（1.110-1)a.10.BPQ-QA1+A1A2-A2A3+…+(-1)nPn-1Pn=a-+-+…+(-1)n=a［1+］.11.0.998求和公式.12.設(shè)第n次濃度為an，a1=P=(1-)·P，a2=a1=(1-)2·P，依次類推：an=(1-)n·P.13.2032n=4，5，……10時(shí)，2n在10到2000之間，其和為S==2032.14..15.若21-2n>0即n<.當(dāng)1≤n≤10時(shí)，an>0由bn=|an|得bn=2-2n；當(dāng)11≤n≤30時(shí)，an<0由bn=|an|得bn=-an=2n-21.又∵b10=a10=1，b11=-a11=1，b30=-a30=39，∴S30=S10+S′20=+=500.16.∵S3=S11，∴d=-a1，∴Sn=-a1n2+a1n=-a1(n-7)2+a1，故當(dāng)n=7時(shí)，Sn最大，即此數(shù)列前7項(xiàng)和最大.17.(1)yn=2na1.(2)由y6=26a1得26a1=192，a1=3，S=×2n-1a1×2