數(shù)學(xué)

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂

黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在

答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的。

1.樣本數(shù)據(jù)16,24,14,10,20,30,12,14,40的中位數(shù)為

A.14B.16C.18D.20

V-21

2.橢圓［+y=l(a>l)的離心率為:，貝1］。=

a2

A.￥B.V2C.V3D.2

3.記等差數(shù)列｛4｝的前”項和為，a3+a7=6,al2=17,貝!ISy

A.120B.140C.160D.180

4.設(shè)a,夕是兩個平面，加，/是兩條直線，則下列命題為真命題的是

A.若a上。，m//a,I///3,則加_L/

B.若冽ua,IuB,m//1,則a〃,

C.若=I//a,I///3,則加〃/

D.若加_La,11/3,m//1,則a_L/7

5.甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在兩端，乙和丙之間恰有2人，則不同排法共有

A.20種B.16種C.12種D.8種

6.已知。為直線？：無+2y+l=。上的動點(diǎn)，點(diǎn)尸滿足聲=。,-3),記尸的軌跡為E,則

A.E是一個半徑為百的圓B.石是一條與/相交的直線

C.石上的點(diǎn)到/的距離均為逐D.石是兩條平行直線

數(shù)學(xué)試題第1頁(共4頁)

冗1+sin20

7.已知ew(今,兀)tan23=—^tan(^+—),貝?。?/p>

2cos23+sin2,

133

A.-B.-C.1D.-

442

22

8.設(shè)雙曲線C：A-==l(a>0,3>0)的左、右焦點(diǎn)分別為招，工，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直

ab

線與。交于/,4兩點(diǎn)，國網(wǎng)=2|片N|,F^A-F^B=4a2,則。的離心率為

A.V2B.2C.75D.77

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項

符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分。

37c37r

9.已知函數(shù)/(%)=5吊(2%+—)+以^(2%+—)，貝!J

44

A.函數(shù)/(x-與JT為偶函數(shù)

4

B.曲線歹=/(%)的對稱軸為x=?,keZ

C./(x)在區(qū)間仔今單調(diào)遞增

D.，(x)的最小值為-2

10.己知復(fù)數(shù)z,w均不為0,則

zZ2

A.z2=|z|2B.二=下

z⑶

_____—,z.\z\

C.z-w=z-wD.I-1=::

wIw\

11.已知函數(shù)/(x)的定義域為R,K/(1)^0,若/(x+y)+/(x)/O)=4^,貝！J

A./(-g)=0B./(1)=-2

C.函數(shù)，(x-工)是偶函數(shù)D.函數(shù)/(x+±)是減函數(shù)

22

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知集合N={—2,0,2,4},B={x\\x-3\^m},若=則冽的最小值

為?

數(shù)學(xué)試題第2頁(共4頁)

13.已知軸截面為正三角形的圓錐W的高與球0的直徑相等，則圓錐的體積與

球O的體積的比值是,圓錐跖1夕的表面積與球0的表面積的比值

是.

14.以maxM表示數(shù)集M中最大的數(shù).設(shè)0<a<Z><c<l,已知822a或a+6W1,則

max\b-a,c-b,\-c｝的最小值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.(13分)

已知函數(shù)/(xLlnx+xZ+ox+z在點(diǎn)(2,7(2))處的切線與直線2x+3y=0垂直.

(1)求。；

(2)求/(x)的單調(diào)區(qū)間和極值.

16.(15分)

盒中有標(biāo)記數(shù)字1,2,3,4的小球各2個，隨機(jī)一次取出3個小球.

(1)求取出的3個小球上的數(shù)字兩兩不同的概率；

(2)記取出的3個小球上的最小數(shù)字為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望樂X).

17.(15分)

如圖，平行六面體幺88-44。]。1中，底面N58是邊長為2的正方形，0為AC

與BD的交點(diǎn)，Z4=2，/C[CB=ZC,CD,ZC,CO=45°.

(1)證明：CQJL平面45cO；

(2)求二面角。的正弦值.

18.（17分）

已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為R,過廠的直線/交。于4,B兩點(diǎn)，過下與/垂

直的直線交。于。，N兩點(diǎn)，其中。在x軸上方，M,N分別為AB,DE的

中點(diǎn).

(1)證明：直線過定點(diǎn)；

(2)設(shè)G為直線4E與直線3。的交點(diǎn)，求△GMN面積的最小值.

數(shù)學(xué)試題第3頁(共4頁)

19.(17分)

離散對數(shù)在密碼學(xué)中有重要的應(yīng)用.設(shè)0是素數(shù)，集合X={1,2,…,p-1},若

u,v&X,加eN,記〃0v為wv除以夕的余數(shù)，“也?為〃"'除以'的余數(shù)；設(shè)aeX,

…,“一2,?兩兩不同,若優(yōu)，?=Z,(〃e{O,l，…,p—2}),則稱〃是以a為底6的離散

對數(shù)，記為n=log(p)ab.

(1)若夕=11,a=2,求；

(2)對嗎，加2G{0,1,…，?一2},記/十%為〃2]+帆2除以0一1的余數(shù)(當(dāng)人+啊能

被0一1整除時,ml?m2=0).證明：log(0)aS?c)=logO)aZ>?log(p)ac,