(以2010年重慶市《高等數(shù)學》專升本考試大綱中內(nèi)容、順序進行復習)

第一章一元函數(shù)微分學

1.理解函數(shù)概念，知道函數(shù)的表示法；理解函數(shù)的兩要素，會求函數(shù)的定義域.

①定義：設x和y是兩個變量，DqR,假設X/xeO,變量y按一定的規(guī)那么有一個確定的值與

之對應，那么稱y是x的函數(shù)，記為y=/(x).

②表示法：1)顯式表示＞=/*)：2)隱式表示尸(x,y)=0：3)分段函數(shù)表示；4)參數(shù)方程表

示；5)表格表示法或圖形表示法.

③兩要素：對應規(guī)那么和定義域，只有這兩者都相同才是同一函數(shù).

④定義域：x的允許取值范圍即自然定義域.

⑤特殊函數(shù)：1)絕對值函數(shù)丁=兇=＞/7；2)符號函數(shù)丁=$811%；3)取整函數(shù)y=[x].

2.了解函數(shù)的奇偶性'單調(diào)性、周期性、有界性等定義.

①奇偶性：設函數(shù)y=f(x)的定義域D是關于原點對稱的，假設Vxe。，都有/(—幻=一/*)

(/(-%)=/(%)),那么稱函數(shù)/(x)為奇函數(shù)(偶函數(shù)).

偶函數(shù)的圖形是關于y軸對稱的；奇函數(shù)的圖形是關于原點對稱的.

②單調(diào)性：設函數(shù)y=/(x)在區(qū)間I上有定義(I是函數(shù)的定義域或者是定義域的一局部).如果

對于任意的e/,當％＜當時，都有/"(石)/(￡)]，那么稱函數(shù)y=/(x)在區(qū)間I

上單調(diào)增加(單調(diào)減少).

③周期性：對于函數(shù)/(x),如果存在一個非零正常數(shù)T,對定義域內(nèi)的一切x均有

/(x+T)=/(x),那么稱函數(shù)/(x)為周期函數(shù).并把T稱為/(x)的周期.應當指出的是，通常講的

周期函數(shù)的周期是指最小的正周期.

④有界性：假設有正數(shù)M存在，使函數(shù)/(幻在區(qū)間/上恒有例，那么稱/(幻在區(qū)間/上

是有界函數(shù)；否那么，稱/(x)在區(qū)間/上是無界函數(shù).

3.了解復合函數(shù)與反函數(shù)的定義.

①復合函數(shù):假設y=/(?)”=e(x),當e(x)的值域落在了(〃)的定義域內(nèi)時稱函數(shù)y=/["(x)]

是由中間變量u復合而成的復合函數(shù).

②反函數(shù)：設函數(shù)的定義域為值域為匕..對于任意的yeM/,在。/上至少可以確定一個x

與y對應，且滿足y=/(x).如果把y看作自變量，x看作因變量，就可以得到一個新的函數(shù)：

X=/-'(>)?我們稱這個新的函數(shù)X=/T(y)為函數(shù)y=/(x)的反函數(shù),而把函數(shù)^=/(X)稱為直接

函數(shù).直接函數(shù)丁=/(x)與反函數(shù)^="。)的圖形是關于直線y=x對稱的.

4.知道根本初等函數(shù)的性質(zhì)與圖象.

①募函數(shù)y=x"(aeR)

它的定義域和值域依。的取值不同而不同，但是無論。取何值，幕函數(shù)在xe(O,四)內(nèi)總有定義.當

。€7或4=---，〃wN時，定義域為H.

2n-\

②指數(shù)函數(shù)y=a'(a>0,a/1)

它的定義域為(-8,+8),值域為(0,+8).指數(shù)函數(shù)的圖形如圖1-2所示.

③對數(shù)函數(shù)y=log“x(a>0,awl).對數(shù)函數(shù)y=logax是指數(shù)函數(shù)y=a，的反函數(shù).其圖

形見圖1-3.定義域為(0,+8),值域為(一8,+8).

在工程中，常以無理數(shù)e=2.718281828…作為指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的底，并且記

e*=expx,logex=Inx,而后者稱為自然對數(shù)函數(shù).

④三角函數(shù)：

sinx、余弦函

cosx、正切函

圖1-2

y=tanx、余切函

y=cotx、正割函數(shù)y=secx和余割函數(shù)y=cscx.

⑤反三角函數(shù)：反三角函數(shù)主要包括反正弦函數(shù)),=arcsinx、反余弦函數(shù)y=arccosx、反正切

函數(shù)y=arctanx和反余切函數(shù)y=awcotx等.

幕函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)和常數(shù)這六類函數(shù)叫做根本初等函數(shù).這些

函數(shù)在中學的數(shù)學課程里已經(jīng)學過.

通常把由根本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四那么運算和有限次的復合步驟所構成的并用一個解析式表

達的函數(shù)，稱為初等函數(shù).

例如，y=ln(sin無+4>y=e"sin(3x+1)y=Vsinx,…都是初等函數(shù).初等函數(shù)雖然是常見

的重要函數(shù)，但是在工程技術中，非初等函數(shù)也會經(jīng)常遇到.例如符號函數(shù)〉=5即》,取整函數(shù)丁=卜］

等分段函數(shù)就是非初等函數(shù).

在微積分運算中，常把一個初等函數(shù)分解為根本初等函數(shù)來研究，學會分析初等函數(shù)的結構是十分

重要的.

例1-1把以下復合函數(shù)分解為根本初等函數(shù)：

1)y=Jcot'=y=VM,U=cotv,v=^.

2)y-2sin2<v+b1v)=>y-2",u-v2,v=sinw,w-x+lnx.

3)y=3s,nj=>y-3",u=sin-x2.

4)y=cos|x|=>y=cosu,u=Vv,v=x2.

5)y-arcsiny-arcsinu,u=ev,v=3\[x.

5.了解各類極限概念，熟練掌握求各類極限的方法.

①定義1limf(x)=A<^>\/s>0,3<^>0,當0<|x-x()|<3時，有忱⑴一A|<￡.

左極限:1加/(力=4=7￡>0月5>0,當/一6<%</時，有

XT%

右極限:liq/(x)=A=V￡>0H3>0,當Xo<x</+S時，有|/(x)—川<￡.

xf%

當x->Xo時極限存在的充分必要條件是左極限及右極限各自存在并且相等.

②定義21吧/(x)=AoV￡>O0X>O^W>XBt,有\(zhòng)f(x)-^<￡.

③函數(shù)極限的性質(zhì)

1)唯一性：如果limf(x)=A存在，那么這極限唯一.

2)局部有界性：如果Hm/(x)=A存在，那么存在常數(shù)M>0和b>0,使得當0<,一天|<5時,

W|/(x)|<M.

3)局部保號性：如果lim/(x)=A,而且A>0(或A<0),那么就存在著點與的某一去心鄰

工一>々)

域，當x在該鄰域內(nèi)時，就有/(x)>o(或y(x)<o).

4)函數(shù)極限與數(shù)列極限的關系：如果lim/(x)存在，｛%｝為函數(shù)/(x)的定義域內(nèi)任一收斂于4

x->x0

的數(shù)列，且滿足：X產(chǎn)尤0(〃eN+),那么相應的函數(shù)值數(shù)列｛/(x“)｝必收斂，且=limf(x).

④極限運算法那么和準那么

1)四那么運算法那么：如果lim/(x)=A,limg(x)=B,那么lim[/(x)±g(x)]、lim/(x)g(x),

存在且lim[/(x)±g(x)]=lim/(x)±limg(x)=A±8

g(x)

limf(x)g(x)=lim/(%)?limg(x)=AB；

lim7(f)=S)=^(fi'0b

2)夾逼準那么：如果數(shù)列｛x,J、｛%｝及｛z“｝滿足以下條件：(1)y?<x?<z?(〃=1,2,3...),⑵

limyn=a,limz“=a,那么數(shù)列｛x“｝的極限存在，且lim=a.

n—>00H—>30M—>00

3)單調(diào)有界準那么：單調(diào)有界數(shù)列必有極限.

⑤無窮小及階的比擬：

1)定義：當在給定的xf*下，/(x)以零為極限，那么稱/(尤)是xf*下的無窮小量；

2)無窮小量的性質(zhì)

性質(zhì)1兩個無窮小量之和仍為無窮小量.

性質(zhì)2有界函數(shù)與無窮小量之積仍為無窮小量.(注：常用此性質(zhì)求極限)

性質(zhì)3兩個無窮小量之積仍為無窮小量.

性質(zhì)4假設/(X)為無窮大量，那么其倒數(shù)」一為無窮小量；假設/(均為無窮小量，且

f(x)

/(X)HO,那么其倒數(shù)」一為無窮大量.

/(x)

性質(zhì)5lim/(x)=Aof(x)=A+a,其中。為當x->/時的無窮小量.

3)無窮小量階的比擬：設變量a、4都是自變量光在同一變化過程中的兩個無窮小量，

如果lim,=0,就說/是比a高階的無窮小，記作力=o(a)；

如果lim2=8,就說/是比a低階的無窮??；

a

如果lim2=cw(),就說夕是和a同階無窮??；

a

如果1皿4=。聲0,左>0,就說夕是關于a的左階無窮?。?/p>

ak

如果lim2=l,就說夕與a是等價無窮小，記作

a

x9

(幾個常用等價關系式：X-0時①sinxsx；②tanxsx;③1—COSXs—;④arcsinxsx;⑤arctanx

2

sx；⑥e*-Isx；⑦in(l+x)sx；⑧(1+無尸一1sax.一定要記住這幾個無窮小等價關系式)

例1-2(1)x-0時，與x等價的無窮小量是(C).(A)xsin-(B)sinx2(C)71+x-71-%(￡))ln(l+3x)

x

(2)a=1—cosx,#=2，,貝卜一?00寸⑻.

(A)asB(B)a與B為同階無窮小(C)夕=o(a)(D)a=o"?)

(3)以下無窮小中，在x-0時是同階無窮小的是(B).

(4)在x-0時，以下函數(shù)與x相比是高階無窮小的是(D).

(5)在x-0時，/(幻=1"'飛11戶力與8(幻=/+/比擬是⑻的無窮小.

(A)等價(B)同階非等價(C)高階(D)低階

(6)當x~*0時，/(x)=x-sin。％與g(x)=x?In(l-Zzr)是等價無窮小，那么。=1,〃=一,.

6

⑥求極限的方法(※為重點考試方法)

1〕代入法〔用極限法那么或連續(xù)函數(shù)的定義〕：

例1-3?lim(2x-1)=2x3-1=5.

x13

?24.1--

2v-2V-__/十2

2〕化無窮大為無窮小法：②lim―z-----------------=lim---~與■=1?

xfco2廠一x+4XT0014

——9/\

3〕消去零因子法：③lim——-=lim(x+3)=6.

xf3x—3工-*3

4〕分子〔或分母〕有理化法：

④lim+1-xJ=lim——:----=0.

⑤.&+5-3=+5-3抽2+5+電？+1+⑸

tV2x+1-V5t()2x+1—總以；1+/吊犬2+5+：)

..(X2-4)(V2X+1+A/5)(X+2)“2X+1+826

=lim---------]---------=lim------『----------=----

2

X—2(2X-4)(VX+5+3)222(Jf+5+3)3

cinxj

派5〕用無窮小性質(zhì)求：⑥lim^—-=lim—sinx=0(無窮小量乘有界量為無窮小).

X—>00XX—?ao%

xarctan(x+1)X

⑦lim-lim—三------arctan(x+1)=0.

X—>83尤2+X+1183廠+%+1

派6〕用重要極限：⑧l(xiāng)imj生=1加一孕

(詳細內(nèi)容見下面第6點)

X->°°V2X-3)is]3

nn

7〕用極限準那么：⑨lim=1,：<xn<-^=.

“TOOyjn2+nV?2+1

8〕變量代換法：⑩lim'i_g(令，=M^)=lim^―*=lim—匕工~=2.

1—Jx71—廣f1+Z+廠3

7T\7171\71U7T2

(ll)lim(l-x)tan—x(令1一1=〃)=lim〃tan----u=limwcot—w=lim------cos—M=—.

XTI2?->oI22/°2”T°.乃27c

\7sin—M

2

※鄉(xiāng)〕等價無窮小代換法：(12)limln(1+2x)=lim—^-；

iosin3x203x3

.?.2,x'—

/c、「2sinx-sin2x「2sinx(l-cosx)一o,

(13)lim----------=lim------------=lim—=1.

x->o￡.10￡x->o￡

代換原那么：乘除可換，加減忌換.

派10〕洛必達法那么：詳細內(nèi)容見后面15頁.

6.掌握應用兩個重要極限求極限的方法.

g,.sinx,11

①hm----=1lim=］或lims,?=］；兩個〃(x)(或A)應該是一模一樣的無窮小量.

.10X〃(*)?ATOA

加1-l-cos2x..2sin2x2(sinx3xy2

例1-41)hm-------=hm——-——=-lim----

*->。sin~3xx^°sin_3x9v^0I%sin3x)9

..sin23x_sin23x_

2)hm------=9lim-----=9；

.10%2-o(3%).

sin(x-l)sin(x-l)1

3)lim——----=lim--------------

xfx-1—x-1x+12

②Um1+—=e；lim(l+x)x=e；lim1+—=e；lim(1+Z/(X))AU)=e；

〃1A—>0XJ〃(x)^0

成立的條件是在給定趨勢下，兩個〃（X）〔或△〕是一模一樣的無窮小量；。是是一模一樣的無窮大量.

用此公式的步驟：①r識別；②先得內(nèi)，再得外；③內(nèi)一翻，再復原.

9ln(l+x)-

例1-5①lim4l-2x=lime2；②lim--------=limln(l+x)x=Ine?=1；

XfOA->0xf°Xx->0

練習1-1

1、求以下極限

已+4/_________

―一+1ln(2x+l).,(x-1^2+Jl+tanx-Jl+sinx

(1)lim———(3+cosx)；⑵lim-------；(3)lrim----；⑷hm------------------；

sinx+x->ox(l-cosx)

yj4x^+X—1+x+l2

⑸hm----/---1一一(/IwO,左為常數(shù));⑺lim

if\lx2+sinx(xJx->r

,、「11戶,、「12+九

⑻limxsinInId■—-sinInId■一⑼lim----；(10)lim----

ELIxjIxjx->ol2-X

2、設lim^———=5,求凡。.(參考答案：。=-7]=6)

—\~X

參考答案:

k(1)0.(2)2.(3)e-1.(4)(5)1.(6)e~A.(7)2.(8)2.(9)一.(10)e.

2

7.理解函數(shù)連續(xù)與間斷的定義；知道間斷點的分類；會利用連續(xù)性求極限；會判別間斷點

的類型.

①連續(xù)的定義：limAy=0或lim/(x)=/(/).連續(xù)的三個條件：有定義；極限存在；極限值

Axf0*o

等于函數(shù)值.f(x)在點X。處左連續(xù)且右連續(xù)。f(x)在點X。處連續(xù).不連續(xù)點稱為間斷點.

給來門甌七上七也陽切右五]可去間斷點：左右極限相等。

②間斷點：第一類間斷點：左右極限都存在I跳躍間斷點：左右極限不相等。

第二類間斷點：左右極限中至少有一個不存在：無窮與振蕩間斷點。

③判斷f(x)在點X。處連續(xù)的方法：先考查f(x)是否為根本初等函數(shù)，X。點是否為f(x)定義域內(nèi)的

點.如果給定函數(shù)為分段函數(shù)，且X0點又是分段點，那么需利用連續(xù)的定義來判定.特別是在分段點兩

側函數(shù)表達式不同的時候，函數(shù)在該點處的連續(xù)性應該用左連續(xù)、右連續(xù)判定.由于初等函數(shù)在其定義

域內(nèi)都是連續(xù)的，所以求函數(shù)間斷點一般是考查不在函數(shù)定義域中的點，對于分段函數(shù)，那么考查分段

點的連續(xù)性.

④如何判斷間斷點：

1〕考察f(x)在X。處有無定義，假設f(xo)無意義，那么X。為間斷點；

2〕如f(xo)存在，再考察lim/(x)是否存在？假設lim/(x)不存在，那么xo為間斷點；

XT的XT殉

3〕如lim/(x)存在，最后考察其值是否等于千(x。)？假設不等，那么X。為間斷點.

初等函數(shù)在沒有定義的孤立點是間斷點，分段函數(shù)的分段點可能是間斷點，也可能是連續(xù)點，要具

體判斷，要用左右極限判定.

arctan—,xw0

例1-6①/(x)=x，左極限是-工，右極限是三,.?.x=0是跳躍間斷點；

7122

—,x=0

12

sinx八

----xw0

②/(x)=<jx'，limy(x)=lw/(O).，.x=O是可去間斷點.

XTO

O,x=O

8.了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的有界性定理、最值定理、介值定理、零點存在定理，會應用零

點存在定理證明某些具體方程有實根.

①有界性定理：在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界.

②最值定理：在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定有最大值和最小值.

③介值定理：設函數(shù)/(幻在閉區(qū)間他,可上連續(xù)，且在這區(qū)間的端點取不同的函數(shù)值/(a)=A及

于(b)=B,那么，對于A與B之間的任意一個數(shù)C,在開區(qū)間(。涉)內(nèi)至少有一點J,使得

f化)=C(。<9).

④零點存在定理：設函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a,加上連續(xù)，且/(a)與/(。)異號(BP/(a).

那么在開區(qū)間(a,刀內(nèi)至少有函數(shù)f(x)的一個零點，即至少有一點<自<勸使/?)=0.

零點定理常常用來判定方程/(x)=O根的存在性與根的范圍.

應用此定理應注意以下幾點：1)可區(qū)間的選擇，在證明過程中有明確的提示；2)驗證/(x)在

［a,。］上的連續(xù)性；3)驗證/(處在兩端的符號；4)此定理不能確定/(x)是否具有唯一零點，但有唯

一性要求時，應驗證/(幻的單調(diào)性.

例1-7證明方程e*=3x至少存在一個小于1的正根.

證明：令/(x)="-3x,它在［0,1］上為連續(xù)函數(shù)，且f(0)=l>0,f(l)=e-3<0.

由零點定理，至少存在一點gG(0,1),使f(&)=0.

即g是方程e，=3x的一個根，且為小于1的正根.

例1-8設f(x)在［0,2a］上連續(xù)，且f(0)=f(2a),證明三〃e［O,a］,使/⑺=.

證明：設e(x)=/(a+幻二/Xx).因為f(x)在［0,2a］上連續(xù)，所以°(x)在［0,a］上連續(xù)，且

0(0)=f(a)-f(O),叭a)=/(2a)-/(a)=/(O)-f(a)=—奴0).

假設w(O)=0,則7=0或〃=a,結論成立.

假設以0)力0,貝！|°(0)?e(a)<0,由零點定理知，存在m〃e(O,a),使0S)=0,即/(〃)=./Xa+z/).

綜上，m〃e[O,a],%(77)=/(a+77).

練習1-2

1、證明：xe'=2在（0,1）內(nèi)有一實根.2、證明：％3-2/+%=1至少有一正根.

3、證明：d—3d—x=l至少有一正根，有一負根.4、證明：ln（x+l）=3至少有一正根.

9.理解導數(shù)的定義，會根據(jù)定義求函數(shù)的導數(shù).

①定義："=lim包=lim"勺）；/&）="（/+同一*"。）；

b=皿也一>0Ax板-0Axz/ioh

/Olim/（*/（x。）.

XT與X-Xo

ZKl1C\￡（\V￡t（\Vf〈X+h]-f（x\x.—IXI

例「9f（x）-a,f（x）=lim--------匕3=lim--------=tzlim------aInQ.

力一>oh/?->oh/,->oh

例1-10f'(x0)=A,求lim+

xh

齷f[.x0+h)-f(x0-h)[/(x0+h)~f(x0)]-[/(x0-h)-/(x0)]

腫：urn--------------------=inn---------------------------------------

力—ohif。h

M/(1+力)一/(二)I/(%一〃)—/(Xo)

=2/'(%)=2A.

Dh-h

例1-11/(。)=1，lim/'.-I=4,求/，(0).

…3x

Hm小生l=Hm7(2x)一八嘰.”NT⑼7

解:=-r(0)=4..-./，(O)=6.

x-03x一03x32x

例1-12lim~~~~-lim~~——于（）■

A—>oh/：—>o—h

例l-131im~~~~~~—3lim~~~1~~~—-3/'（x。）■

zh53ho

②函數(shù)在點x0處可導的充分必要條件是左導數(shù)￡（/）和右導數(shù)方（九0）都存在且相等.

左導數(shù)：尸（%）=前—+'）一”"。）,右導數(shù)：覃%）=1加小。+用）一小。）.

\720-h2。+h

丫2_1_1y-<1

例1-14討論'在點x=i處的連續(xù)性與可導性.

2x,x>1

c，/i\r/(x)——⑴vX~+l—2c，/i\v/(*)-/⑴v21-2.

解：???《⑴=hmJ\"J'/=lim---------=2,=lim，-八，=lim------=2.

XTRx-\x-\x->rx-1xf+x-1

.1./,(1)=2,/(x)在x=l可導，當然在x=l點連續(xù).

注意：分段函數(shù)求導時，對于分段點一定要用導數(shù)定義來求.

③導數(shù)的幾何意義：尸f(x)在X。的導數(shù)/(%)是曲線y=/(九)在點(%,/(%))處的切線的斜率.

10.知道可導與連續(xù)的關系.可導必連續(xù)，反之不成立.

11.熟練掌握根本初等函數(shù)的導數(shù)公式、導數(shù)的四那么運算法那么、復合函數(shù)求導法那么、

隱函數(shù)求導法、對數(shù)求導法及參數(shù)方程求導法〔限于一階〕.

①16個根本求導公式：

(1)(C)=0,(2)Q")=被"一1(3)(sinx)=cosx,(4)(cosx)=-sinx,

(5)(tanx)=sec2x,(6)(cotx)=-esc2x,(7)(secx)=seextanx,

(8)(esex)=-cscxcotx,⑼(優(yōu))=axIna,(10)(eA)=ex,

(11)(logf/x)=---,(12)(inx)=—,U3)

xlnax

(14)(arccosx)=——/，(15)(arctanx)=-----,(16)(arccotx)----7

Vl-X21+x1+x

②求導法那么：1)(u±v)=〃'土/,(Cw)=C〃'(C是常數(shù))，(wv)=〃、+〃/,

u'uv-uv'("0)；2)［尸同”

vjy-

③復合函數(shù)求導法那么：設y=/(〃)，而〃二夕(光)且/(〃)及夕⑴都可導，那么復合函數(shù)

y=/[0(刈的導數(shù)為處=也也或'，⑴_/Q)."(x).如y=arctan(sin2x).

dxdudx

例IT5y=lnsinx,求心.

dx

解：-=(insinx)=—5—(sinx)=C°SA=cotx.

dxsinxsinx

例l-16y=Jl—2x?,求心.

dx

例IT7y=lncos(e"),求上.

dx

解：所給函數(shù)可分解為y=ln〃，u=cosv,v=ex.因包=,，—=-sinv,包=",故

duudvdx

—=—?(-sinv)-ex=一S.=一/tan(e)

dxuco夕*，)

不寫出中間變量，此例可這樣寫:

練習1-3

1、填空題

(1)設函數(shù)/(x)在x=2處可導，且/"(2)=1,那么+-

32h

(2)假設/(小)=1，/(/)=0,那么

/TooIh)

(3)設尸⑴=1,那么1加八2—"1)=.

.v-?lX—I

(4)設lim”2止A。)」,那么/(O)=.

x2

2、求以下各函數(shù)的導數(shù)

xx+

(1)c°s：r；〔2〕In—；(3]y=arcsin?；〔4〕y=sine+；〔5〕y=(+^?L

x2+xJx+3(x+4)

參考答案：

1、m1.(2)-1.(3)-.(4)-

24

2、⑴_(l+sinA-).x-+2cosx-2x；⑵―；⑶⑷一Jocose；

x3X2-42^/^7.v2

(X+1)2(X+2)3「2311

Jx+3(x+4)|_x+lx+22(x+3)x+4

④隱函數(shù)求導法：方程兩邊同時對x求導，用復合函數(shù)求導法那么.

隱函數(shù)求導方法小結:

〔1〕方程兩端同時對x求導數(shù)，注意把y當作復合函數(shù)求導的中間變量來看待,

[2)從求導后的方程中解出y'來.

〔3〕隱函數(shù)求導允許其結果中含有y.但求一點的導數(shù)時不但要把x值代進去，還要把對應的y值代

進去.

例1-18求由方程"+盯一e=0所確定的隱函數(shù)y的導數(shù)電.

dx

解：我們把方程兩邊分別對X求導數(shù)，注意y是X的函數(shù).方程左邊對X求導得

—(ey+xy-e)=ey—+y+x—,

dx''dxdx

方程右邊對求導得(o/=0.

由于等式兩邊對x的導數(shù)相等，所以+y+x包=0,

dxdx

從而立=----—(x+e，wO).

dxx+ey

在這個結果中，分式中的y是由方程"'+孫-e=0所確定的隱函數(shù).

⑤對數(shù)求導法：先取自然對數(shù)，然后求導，用隱函數(shù)求導法.辱指函數(shù))/=〃(6"⑴和連乘積函數(shù)

適宜用此法.

例1-19求y=(x>0)的導數(shù).

解：這函數(shù)既不是暴函數(shù)也不是指數(shù)函數(shù)，通常稱為基指函數(shù).為了求這函數(shù)的導數(shù)，可以先在兩

邊取對數(shù)，得Iny=sinx,lnx；

上式兩邊對x求導，注意到y(tǒng)是x的函數(shù)，得'y'=cosx?lnx+sinx?L

工曰,(]sinx[疝/]sinx^l

于是y=cosx-lnx+------\=x'Icosx-lnx+-------I.

崎舄的導數(shù).

例1-20求y=

解：先在兩邊取對數(shù)(假定x>4),得

Iny=^[ln(x-l)+ln(x-2)-ln(x-3)-ln(x-4)],

上式兩邊對x求導，注意到y(tǒng)是x的函數(shù)，得=------[......-

y2kx-1x—2x—3x—4

1

于是+-----

x—2,

[(17)(27)

當X<1時,當2cx<3時,

y(3—雙4-x)

用同樣方法可得與上面相同的結果.

⑥參數(shù)方程求導法(限于一階)：=半=幺*.

dx(p[t}

x=costdv

例1-21設函數(shù)y=/(幻由參數(shù)方程1確定，求工.

y=sint-tcostdx

解：蟲=4=a一.

dxxt-sinr

練習1-4求以下各函數(shù)的導數(shù)

3、求由方程》+01直211y=丁所確定的隱函數(shù)y的導數(shù)電,

dxdx

參考答案：1、/=爐皿(_^+止］+；/「*1+爐(1+1116111%

(COSXX)1-

dy1d2y_2(1+/)

瓦=1+產(chǎn)芯=一-7-

12.熟練掌握初等函數(shù)的一階和二階導數(shù)的求法，會求某些簡單函數(shù)的高階導數(shù)，會求曲

線上指定點的切線方程和法線方程.

①二階導數(shù)：求高階導數(shù)就是屢次接連地求導數(shù).

②切線方程：y-/(xo)=/'(xo)(x—x°),法線方程：y-/U0)=-—1--(%-%0).

fM

13.了解微分的定義、可微與可導的關系，以及一階微分形式的不變性；掌握微分運算與

求導運算的關系；會求函數(shù)的微分.

①定義：4=4刈+0(41),其中A是不依賴于?的常數(shù)，而0(醺)是比Ar高階的無窮小，那

么稱函數(shù)丁=/(x)在點/是可微的，而心叫做函數(shù)y=/(x)在點X。相應于自變量增量Ar的微分，

記作dy,即dy=AAx.

②可微與可導的關系：函數(shù)/(X)在點與可微的充分必要條件是函數(shù)/(X)在點X?？蓪?

③一階微分形式的不變性：dy^y'xdx^y'udu.無論“是自變量還是另一個變量的可微函數(shù)，微分

形式辦=f'(it)du保持不變.這一性質(zhì)稱為微分形式不變性.

④微分運算與求導運算的關系：dy=y'dx.

⑤函數(shù)的微分的求法：dy=y'dx,如丁=6.叫3/=6"'(《11%+》85。:.辦=.

練習1-5求以下函數(shù)的微分

(1)y=secx-tanx；(2)y=xlnsinx；⑶y-e2<cos3x；(4)y-exarctanx.

參考答案：

(1)dy=sec%(tanx-secx)dx；(2)辦=(lnsinx+xcotx)公：(3)dy=e2x(2cos3x-3sin3x)dx；

(4)dy=ex|arctanx+-二|dx.

Ii+x-J

14.了解羅爾(R。IIe)定理、拉格朗日(Lagrange)定理的內(nèi)容.

①羅爾(Rolle)定理：如果函數(shù)/(x)滿足：(1)在閉區(qū)間口切上連續(xù)，(2)在開區(qū)間(a,。)內(nèi)可導,

(3)在區(qū)間端點處的函數(shù)值相等，即/(4)=/(}),那么在(a力)內(nèi)至少存在一點以(份，使得函數(shù)

/(x)在該點的導數(shù)等于零，即_fc)=o.

例1-22證明方程--5x+l=0有且僅有一個小于1的正實根.

證明：設/(幻=/-5》+1,那么/(x)在［0,1］上連續(xù)，且/(0)=1,3)=-3.

由零點定理得存在尤°e(0,1)使/(x0)=0,即與為方程的小于1的正實根.

設另有%1e(0,1),x產(chǎn)%,使/(x,)=0.因為/(%)在/,西之間滿足羅爾定理的條件，所以至少存

在一個歲(在馬山之間)使得/'?=().

但/(%)=5(-l)<o,(xu(O,l)),矛盾.所以/為方程的唯一實根.

②拉格朗日(Lagrange)定理：如果函數(shù)/(x)滿足⑴在閉區(qū)間［出田上連續(xù)，⑵在開區(qū)間(a,份內(nèi)

可導，那么在(a,b)內(nèi)至少有一點夕〃<<<份，使得等式/3)一/(。)=一。)成立.

拉格朗日中值定理可用于1)證明等式；2)證明不等式.

例1-23證明arcsinx+arccosx=—(-1<x<1).

證明：設/'(x)=arcsinx+arccosx,

由于/—+(--2-——)=0,所以/(x)三C,XG［-1,1］.

71Vl-r

又/(O)=arcsinO+arccosO=0+—=—,EPC=—?故arcsinx+arccosx=—.

2222

x

例1-24證明：當x>0時，——<ln(l+x)<x.

1+x

證明：設/(x)=ln(l+x),那么/(x)在［0,幻上滿足拉氏定理的條件.

于是/(x)-/(0)=rGXx—0),(0<J<x).又“0)=0，r(x)=-L,于是1n(1+尤)=上.

1+x1+<

而()<J<X,所以1<1+€<1+X,故—<1.

1+X1+4

從而上<上<x,即—^-<ln(l+x)<x.

1+x1+J1+x

15.熟練掌握用洛必達(L'Hospital)法那么求不定式的極限的方法.

①洛必達「Hospital)法那么(求9或2型極限常用的有效方法)

000

定理設⑴當x—。時，函數(shù)/（x）和尸（X）都趨于零；（2）在a點的某去心鄰域內(nèi)，/。）和尸'（x）

都存在且F（x）wO；（3）lim?2存在（或無窮大），那么lim1^=lim0^.

XfaF（x）XT"F（x）"F（X）

這種在一定條件下通過分子分母分別求導再求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達法那么.

將工一>。改為xf->->oo,xf+oo,x->-oo也有相應的洛必達法那么.

②類型：受（根本類型）；0?8,8—8,0°,r°,8°.

08

③使用洛必達法那么時需注意以下幾個問題：

1）在用洛必達法那么時必須驗證條件；2）如果使用洛必達法那么之后，問題仍是未定型極限，且仍符

合洛必達法那么的條件，可以再次使用洛必達法那么；3）如果“9”型或“藝”型極限中含有非零因

000

子，該非零因子可以單獨求極限，不必參與洛必達法那么運算，以簡化運算；4）使用洛必達法那么要

注意運用一些技巧：變量替換、等價無窮小因子替換、恒等變形等.

2

例1-25求lim里吧.（2.型）11secx1

解:原式=lim儂?—]而---------=1.

Xo%-M(x)XT。

3尤+2盾#3x2—3_6x3

例1-26求---3--------(--2--型)解:原式一lim——------------lrim---------=—

7x-x-x+1o73r-2x-l=6x—22

7112

----arctanx八----------X

例1-27求limJ一?(導型)解:原式=lim―二lim-------r=l

xx1i切1+x

2