2022北京東城高一（上）期末

數(shù)學(xué)

一、選擇題共10小題，每小題3分，共30分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)備選答案中，只有一個(gè)是符合題目要求的.

1.(3分)已知全集。={1,2,3,4},A=[1,3],則QA=()

A.{1,2}B.{2,3}C.{2,4}D.{3,4}

一4q

2.（3分）在直角坐標(biāo)系中，已知sina=-g,cosa=《，那么角a的終邊與單位圓O坐標(biāo)為（）

A.B.C.(一|卓D.

3.（3分）已知實(shí)數(shù)x,y滿足苫2+丁=2,那么孫的最大值為（)

A.-B.-C.1D.2

42

(工)*-1,尤.0

4.(3分)函數(shù)/。)=2的圖象大致為()

y[x,x>0

6.（3分）函數(shù)/（乃="1■-配c的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（）

A.(0,1)B.(1,2)C.(2.3)D.(3,4)

7.(3分)設(shè)〃=1嗚4,Z?=33，c=log33-1,則（)

A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a

8.（3分）“孫=0”是“尤2+y2=0,,的（

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

9.（3分）某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫(huà)函數(shù)/（x）=Asin（0x+9）（A>O,。>0）在一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖時(shí)，列表如下:

a)x+(p0n713%2〃

~2~2

Xn7C57r7〃371

12412124

y020-20

則f(x)的解析式為()

TTJT

A?/(x)=2sin(x-----)B./(x)=2sin(3xH----)

■JTTT

C.f(x)=sin(2x----)D./(%)=2sin(3x----)

124

10.(3分)已知函數(shù)/(%)=歷3-為)的定義域是(l,+8),那么函數(shù)g(x)=3+6)(x-D在區(qū)間(-1,1)上()

A.有最小值無(wú)最大值B.有最大值無(wú)最小值

C.既有最小值也有最大值D.沒(méi)有最小值也沒(méi)有最大值

二、填空題共5小題，每小題3分，共15分.

11.(3分)函數(shù)y=sin2x的最小值為.

12.(3分)已知累函數(shù)/(尤)=苫。(戊是常數(shù))的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,4),那么/(-2)=.

13.(3分)已知函數(shù)y=/(x)是定義在火上的增函數(shù)，且/(3+2a)</(2)，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

14.(3分)已知函數(shù)+且關(guān)于x的方程/(幻=/有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，那么實(shí)數(shù)r的取值范圍

log2x,x2

為—.

15.(3分)設(shè)函數(shù)〃x)=log“(|x|+l)(a>l),則/(x)是(填“奇函數(shù)”或“偶函數(shù)”)；對(duì)于一定的正數(shù)T,定義

貝當(dāng)7J時(shí)，函數(shù)方⑺的值域?yàn)椤?

三、解答題共6小題，共55分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

16.(8分)已知集合4={芯|苫4},集合B=x-m+1,R}.

(I)當(dāng)機(jī)=4時(shí)，求AB；

(II)當(dāng)Af、8=0時(shí)，求根的取值范圍.

17.(10分)已知函數(shù)/(%)=尤2+辦+4(aeR).

(I)若/(1)=0,求不等式/(辦0的解集；

(II)若/(1)=2,求/(無(wú))在區(qū)間［-2,2］上的最大值和最小值，并分別寫(xiě)出取得最大值和最小值時(shí)的x值；

(III)若對(duì)任意xe(0,+oo),不等式/(x)>0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

18.(10分)已知函數(shù)/(x)=2sin(fizx+0)(0>O,-：<s<t)的最小正周期為萬(wàn)，再?gòu)南铝袃蓚€(gè)條件中選擇一個(gè)作

為已知條件：

條件①：/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)g,0)對(duì)稱；

條件②：/(x)的圖象關(guān)于直線了吒對(duì)稱.

(D請(qǐng)寫(xiě)出你選擇的條件，并求/(x)的解析式；

(II)在(D的條件下，求/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.

19.(10分)已知函數(shù)/(工)="一,

x+1

(I)判斷〃尤)在區(qū)間[0,+O0)上的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性的定義給出證明；

(II)設(shè)g(x)=/(x)-左(左為常數(shù))有兩個(gè)零點(diǎn)為，%,且占<%,當(dāng)X]<-g時(shí)，求左的取值范圍.

20.(8分)人口問(wèn)題是世界普遍關(guān)注的問(wèn)題，通過(guò)對(duì)若干個(gè)大城市的統(tǒng)計(jì)分析，針對(duì)人口密度分布進(jìn)行模擬研究，

發(fā)現(xiàn)人口密度與到城市中心的距離之間呈現(xiàn)負(fù)指數(shù)關(guān)系.指數(shù)模型是經(jīng)典的城市人口密度空間分布的模

型之一，該模型的計(jì)算是基于圈層距離法獲取距城市中心距離和人口密度數(shù)據(jù)的，具體而言就是以某市中心位置為

圓心，以不同的距離為半徑劃分圈層，測(cè)量和分析不同圈層中的人口狀況.其中x是圈層序號(hào)，將圈層序號(hào)是x的

區(qū)域稱為“無(wú)環(huán)"(x=l時(shí)，1環(huán)表示距離城市中心0?3公里的圈層；x=2時(shí)，2環(huán)表示距離城市中心3?6公里的圈

層；以此類推)；兒是城市中心的人口密度(單位：萬(wàn)人/平方公里)，為尤環(huán)的人口密度(單位：萬(wàn)人/平方公

里)；6為常數(shù)；e=2.71828….

下表為某市2006年和2016年人口分布的相關(guān)數(shù)據(jù)：

年份b

20062.20.13

20162.30.10

(D求該市2006年2環(huán)處的人口密度(參考數(shù)據(jù)：g-026?0.77,結(jié)果保留一位小數(shù))；

(II)2016年該市某環(huán)處的人口密度為市中心人口密度的-，求該環(huán)是這個(gè)城市的多少環(huán).

3

(參考數(shù)據(jù)：ln2?0.7,Zn3?l.l)

21.(9分)已知定義在R上的函數(shù)/(x)滿足：

①對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y,都有/(x+-y)+/(x-y)=2/(x)/(y)；②對(duì)任意xe[0,1),f(x)>0.

(I)求/(0)；

(ID判斷并證明函數(shù)f(x)的奇偶性；

(III)若/(1)=0,直接寫(xiě)出的所有零點(diǎn)(不需要證明).

參考答案

一、選擇題共10小題，每小題3分，共30分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)備選答案中，只有一個(gè)是符合題目要求的.

1.【分析】利用補(bǔ)集的定義直接求解即可.

【解答】解：,全集U={1,2,3,4},A={1,3},

uA={2，4},

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查集合的基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2?【分析】由已知利用任意角的三角函數(shù)的定義即可求解.

【解答】解：在直角坐標(biāo)系xOy中，已知sina=-：,cosc=1,

那么角a的終邊與單位圓坐標(biāo)為(|,-：).

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了任意角的三角函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.

3?【分析】利用基本不等式即可求出結(jié)果.

【解答】解:因?yàn)?+9=2,

則2=/+y2；.2|町|,當(dāng)且僅當(dāng)|x|=|y|時(shí)取等號(hào)，

即|町|1,故最大值為1.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了基本不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

4?【分析】討論x>0時(shí)，的值域；以及無(wú)0時(shí)，/(x)的單調(diào)性和函數(shù)值的變化趨勢(shì)，運(yùn)用排除法可得結(jié)論.

【解答】解：當(dāng)無(wú)>0時(shí)，f(x)=?,/(x)的值域?yàn)?0,+⑹，排除選項(xiàng)C；

當(dāng)x0時(shí)，/(x)=(；)*-1遞減，排除選項(xiàng)。；

當(dāng)上0時(shí)，f(x)0,且xf-oo,f(x)->+co,排除選項(xiàng)A.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的圖象的判斷，考查數(shù)形結(jié)合思想和推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.【分析】由已知利用誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可化簡(jiǎn)求解.

【解答】解：因?yàn)閏os28o=a,

貝cos62°=cos(90°-28°)=sin28°=41-cos?28。=y]l-a2.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在三角函數(shù)求值中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基

礎(chǔ)題.

6.【分析】/(x)=工-阮C在(0,+⑹為減函數(shù)，結(jié)合/(1)>0,f(2)<0,可得答案.

【解答】解：函數(shù)的定義域?yàn)?0,+8),而y=L在(0,+oo)為減函數(shù)，y=在(0,+oo)為增函數(shù)，

X

/(X)=!一歷X在(0,+oo)為減函數(shù)，

X

又/(I)=1>0,/(2)=--ln2=In-Je-加"<0,

所以由零點(diǎn)存在性定理可知，函數(shù)/(%)在區(qū)間(1,2)有零點(diǎn).

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)存在性定理的運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

7?【分析】利用指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，再借助中間量1和0求解即可.

【解答】解：a=log34>log33=1,

0<3^<3°,/.0<Z?<1,

-1

c=log33=-1,

c<b<a,

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)數(shù)的計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題.

8.【分析】孫=0=兄=0或y=0,X2+y2==以止匕可角軍決止匕題.

【解答】角麻孫=0=%=0或y=0,x2+y2==

二.“孫=0”是“犬+y=0”的必要不充分條件.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查充分、必要條件的判定，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力及推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

9.【分析】由最小正周期可得o的值，由最大值、最小值可確定4的值，再代入點(diǎn)(工，2),進(jìn)行運(yùn)算，即可得

4

解.

【解答】解：由表知，最小正周期7=四-二=2，

4123

所以g=——=3，

T

最大值為2,最小值為-1,所以A=2,

所以f(x)=2sin(3x+0),

將點(diǎn)(工，2)代入得，2=2sin(3?生+夕)，所以°=2版■—工，k^Z,

444

因?yàn)閨夕|〈乃，所以。二-二，

4

TT

所以/(x)=2sin(3尤-—).

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)解析式的求法，理解函數(shù)〉=/皿0天+夕)中每個(gè)參數(shù)的含義是解題的關(guān)鍵，考查邏輯

推理能力和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

10.【分析】依題意不等式辦-6>0的解集為(1,+00),即可得到〃>0且。-6=0,再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算g(x)

在區(qū)間(-1,1)上的單調(diào)性，即可得到函數(shù)的最值.

【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)/(盼=歷(國(guó)-6)的定義域是(1,+8),

即不等式辦-6>0的解集為(1,+co),

所以a>0且a-b=O,即a=b>0,

所以g(x)={ax+b)(x-1)=a(x-l)(x+1),

函數(shù)開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為x=0,在(-1,0)上單調(diào)遞減，在(0,1)上單調(diào)遞增，

所以g。)*=g(0)=-a,沒(méi)有最大值，

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的最值，考查學(xué)生的邏輯思維能力，屬中檔題.

二、填空題共5小題，每小題3分，共15分.

11?【分析】利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【解答】解：y=sin2%--1,當(dāng)2x=2k兀-巴,ZwZ時(shí)，x=kjr--,左eZ時(shí)取等號(hào).

24

故答案為：-1.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

12?【分析】利用事函數(shù)的定義即可求出.

【解答】解：設(shè)幕函數(shù)/。)=尤"，

?.?塞函數(shù)y=/(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(2,4),

4=2°,

解得a=2,

.?.f(-2)=(-2)2=4.

故答案為：4.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了幕函數(shù)的定義與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，熟練掌握幕函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

13.【分析】由函數(shù)的單調(diào)性比較大小即可.

【解答】解：,函數(shù)y=/(x)是定義在R上的增函數(shù)，且/(3+2a)</(2),

3+2Qv2,

解得a<--,

2

故答案為：(-

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

14.【分析】利用數(shù)形結(jié)合的方法，將方程根的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點(diǎn)的問(wèn)題，觀察圖象即可得到結(jié)果.

【解答】解：作出y=f(犬)的圖象，如下圖所示：

，?關(guān)于X的方程f(x)=t有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，

，函數(shù)y=/(x)的圖象與y=f有且只有一個(gè)交點(diǎn),

由圖可知1t<2,

則實(shí)數(shù)f的取值范圍是［1,2).

故答案為：［1,2).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)形結(jié)合思想及作圖能力，難點(diǎn)在于作出函數(shù)的圖象，屬于基礎(chǔ)題.

15?【分析】利用奇函數(shù)與偶函數(shù)的定義即可判斷；然后對(duì)/(尤)〈,與/(x)工討論，分別求出函數(shù)方(x)的范圍,

aa

由此即可求解.

【解答】解：因?yàn)閨x|+l1>0恒成立，所以/(無(wú))的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

且/(—尤)=log“(|-x|+l)=log。(|x|+l)=f{x},所以函數(shù)/(x)為偶函數(shù)；

因?yàn)閨x|+l1,a>l,所以/(x)=log“(|x|+l)0,

若7=工，則由題意可得當(dāng)/(x)〈工時(shí)，fT(x)=f(x)<~,故0fT(x)<~,

aaaa

當(dāng)時(shí)，方(x)=-/(x)-；一L

aa

綜上，函數(shù)人(x)的值域?yàn)?-00,-匕［0,-).

aa

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)值域問(wèn)題，涉及到分類討論思想的應(yīng)用，考查了學(xué)生的運(yùn)算轉(zhuǎn)化能力,

屬于中檔題.

三、解答題共6小題，共55分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

16?【分析】(1)求出8集合，然后再求交集即可；(2)利用集合的運(yùn)算，列出不等式即可求得機(jī)的取值范圍.

【解答】解：(I)當(dāng)m=4時(shí)，集合B={%|加一1xm+1,R}=［x\3x5),

又A=4},

所以Ap3={x|3x4}=[3,4].

(II)若限5=0,

則AH-1>4,

解得m>5,

實(shí)數(shù)根的取值范圍(5,+oo).

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了集合交集的運(yùn)算，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

17?【分析】(I)根據(jù)/(1)=0,代入求出參數(shù)a的值，再解一元二次不等式即可；

(II)首先由/(1)=2求出a的值，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)在給定區(qū)間上的最值；

(III)參變分離可得-a<尤+士對(duì)任意xe(0,+oo)恒成立，再利用基本不等式求出x+色的最小值，即可得解；

XX

【解答】解：(I)因?yàn)?(x)=x?+ax+4且/(1)=0,所以a+5=0,解得a=-5,

所以/(x)=X?-5尤+4,

由/(x>0,W/(X)=X2-5X+40,BP(x-4)(x-l)0,解得1尤,4,

即原不等式的解集為[1,4]:

(II)因?yàn)?(1)=2,所以。+5=2,所以〃=一3,

37

所以于(x)=x2-3x+4=(x--)2+—,

因?yàn)闊o(wú)€[-2,2],

所以函數(shù)在[-2,}上單調(diào)遞減，在(|,2]上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x=|時(shí)函數(shù)取得最小值f{x)min=/(|)=:；當(dāng)x=-2時(shí)函數(shù)取得最大值f(x)max=/(-2)=14；

(III)因?yàn)閷?duì)任意九￡(0,+8),不等式/(九)〉0恒成立，

即對(duì)任意(0,+8),不等式工2+〃元+4>0恒成立，

即-〃<%+色對(duì)任意元￡(0,+8)恒成立，

X

因?yàn)閤+±2”=4,當(dāng)且僅當(dāng)左=百，即x=2時(shí)取等號(hào)；

X\XX

以—a<4,即a>—4,

所以?！?一4,+8).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次不等式的解法及二次函數(shù)的最值，難點(diǎn)在于第(III)問(wèn)中將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求X+&的最

X

值.

18?【分析】由最小正周期為左，可得。=2,

選擇條件①：

(I)由2?2+9=左萬(wàn)，keZ,結(jié)合一工<工，即可得解；

322

選擇條件②：

(I)由2,2+0=2+2左萬(wàn)，keZ,<cp<—,即可得解；

12222

(II)結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性，即可得解.

【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)/（%）=2sin（s+0）（口〉（）,-（■＜夕＜，的最小正周期為萬(wàn)，

所以0衛(wèi)=2,

71

選擇條件①：

（I）因?yàn)榱耍╔）的圖象關(guān)于點(diǎn)（三,0）對(duì)稱，

JT2冗

所以2?§+9=左》,keZ,所以夕=一-—+左;r,keZ,

因?yàn)樗詄=g,

故/（x）的解析式為/（%）=2sin（2%+y）.

選擇條件②：

（I）因?yàn)?（x）的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱,

所以2?2+0=2+2kji，k^Z,所以夕=乙+2kjr，k&Z,

1223

因?yàn)開(kāi)]＜夕＜],所以夕=5

故了(%)的解析式為/(x)=2sin(2x+y).

(II)2x+—G[2kyr--,2k7T+—],keZ,

322

5/TL

所以工￡[kjr----，2k7T+—]，keZ,

1212

故〃x）的單調(diào)遞增區(qū)間為加"-二，2^+—],keZ.

1212

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性和對(duì)稱性是解題的關(guān)鍵，考查邏輯

推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

19?【分析】（D由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可判斷了5）在區(qū)間[0,+與上單調(diào)遞減，再利用定義證明即可；

（II）函數(shù)g（x）=/（x）-%（左為常數(shù)）的零點(diǎn)即方程/（X）-左=0（左為常數(shù)）的解，從而解方程，根據(jù)方程的解確定左

的取值范圍即可.

【解答】解：（I）/（x）在區(qū)間[0,+00）上單調(diào)遞減，證明如下，

任取再，x2e[0,+co）,且占＜%，

22

則/（^）-/U）=-7——一「

2X；+1芯+1

=2（無(wú)2一苔）（々+尤1）

（才+1）（月+1）'

1,0xx<x2,

x2—\>0,x2+Xy>0,x；+l>0,焉+l>0,

fix^-f(x2)>0,即/(網(wǎng))>/(%)，

故f(x)在區(qū)間[0,+8)上單調(diào)遞減；

(ID函數(shù)g(x)=/(x)--左為常數(shù))的零點(diǎn)即方程/(x)-左=0(左為常數(shù))的解,

解方程——左=0得，x=±J--l(0<k<2),

x2+lU

'x{<x2,Xj<-A/3,

,故?！醋?lt;L

以2

故女的取值范圍為(0,g).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)性質(zhì)的判斷與證明及函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系應(yīng)用，屬于中檔題.

20.【分析】(/)結(jié)合么公式，以及2006年4=2.2,b=0.13,可求