控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析第一節(jié)系統(tǒng)穩(wěn)定的基本概念第二節(jié)勞斯穩(wěn)定判據第三節(jié)奈氏穩(wěn)定判據第四節(jié)玻德穩(wěn)定判據控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)的重要性能，是系統(tǒng)正常工作的首要條件。分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并提出保證系統(tǒng)穩(wěn)定的條件，是設計控制系統(tǒng)的基本任務之一。系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據

1)、勞斯判據——是一種代數(shù)判據2)、奈奎斯特判據——用開環(huán)奈氏曲線判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，是一種幾何判據.3)、玻德判據——用開環(huán)玻德圖判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并可判斷穩(wěn)定的程度第一節(jié)系統(tǒng)穩(wěn)定的基本概念一、穩(wěn)定的概念如果系統(tǒng)受到擾動，偏離了原來的平衡狀態(tài)，而當擾動消失后，系統(tǒng)又能夠逐漸恢復原來的平衡狀態(tài)，則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的，或具有穩(wěn)定性。否則，稱系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，或不具有穩(wěn)定性。

a)在外界擾動力作用下，單擺由原來的平衡位置A運動到B、C，擾動消失后，過一段時間，單擺又回到原來的平衡位置A，故是穩(wěn)定的。b)倒立擺在位置A也是平衡的，受擾動后，再也回不到原來的平衡位置，故是不穩(wěn)定的.

系統(tǒng)穩(wěn)定性是表示系統(tǒng)在去掉外在作用后自己恢復到原平衡狀態(tài)的能力，因此，線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性是系統(tǒng)本身的固有屬性。這種固有的穩(wěn)定性，只取決于系統(tǒng)的結構參數(shù)而與初始條件及外作用無關。二、穩(wěn)定的數(shù)學條件線性系統(tǒng)的微分方程

若齊次方程的解是收斂的，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

由于穩(wěn)定性是研究系統(tǒng)在外作用消除以后的動態(tài)過程，故方程右邊為零，就得到齊次微分方程。特征方程若要求系統(tǒng)是穩(wěn)定的，輸出量最終應回到零位，即原平衡點齊次方程的解為

——由初始條件及系統(tǒng)結構決定的常數(shù)

——特征方程的根所以表明系統(tǒng)的穩(wěn)定性僅取決于特征根的性質.上式必須各子項都逐漸為零才能成立.故穩(wěn)定性定義為所以，只有系統(tǒng)的所有實根都為負值，系統(tǒng)才穩(wěn)定。正弦衰減振蕩，系統(tǒng)穩(wěn)定等幅振蕩，系統(tǒng)為臨界狀態(tài)呈發(fā)散振蕩狀態(tài)，系統(tǒng)不穩(wěn)定所以，只有系統(tǒng)的所有復根的實部均為負值，系統(tǒng)才穩(wěn)定。3、特征方程有重根

c(t)中有如下各分量這些分量，當時間t趨于無窮遠時，是否收斂到零，仍取決于特征根特征根的性質。綜上所述，得系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是特征方程所有的根都具有負實部或特征方程的所有根全部位于[s]平面的虛軸左側

很明顯，對于穩(wěn)定的系統(tǒng)在有外作用情況下，由于特征根具有負實部，瞬態(tài)分量隨時間增加而衰減至為零，輸出量將最終趨于外作用引起的穩(wěn)態(tài)分量。第二節(jié)勞斯穩(wěn)定判斷

要判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，必須知道特征根實部的符號。解特征方程，求出全部根，可直接判斷。但對高階系統(tǒng)，求根很困難。因為系統(tǒng)特征方程的根與特征方程的系數(shù)有唯一對應的關系，可根據特征方程的的各項系數(shù)直接判斷其根的穩(wěn)定性。

——代數(shù)判斷，古爾維茨穩(wěn)定判據，勞斯穩(wěn)定判據。一、穩(wěn)定判據的必要條件

系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件特征方程的各項系數(shù)存在并同號特征方程二、勞斯穩(wěn)定判據的充要條件特征方程系數(shù)所組成的勞斯陣列中第一列所有元素的符號一致，則系統(tǒng)穩(wěn)定檢查第一列各元素的符號1）如果第一列各元素符號相同（為正值），系統(tǒng)穩(wěn)定。2）如果第一列各元素符號不全相同（出現(xiàn)負號），系統(tǒng)不穩(wěn)定。符號改變的次數(shù)就等于特征方程右根的數(shù)目。三、二階至四階系統(tǒng)的穩(wěn)定條件二階系統(tǒng)穩(wěn)定的條件：各項系數(shù)大于零三階系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：（1）各項系數(shù)大于零

（2）四階系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件

(1)各項系數(shù)大于零(3)(2)和(3)只要滿足(3)必定滿足(2)(2)得：(1)各項系數(shù)大于零(2)四、特殊情況（1）勞斯陣列中，某一行的第一列為零可用一個很小的正數(shù)ε來代替零元素例：

(2)勞斯陣列中某一行的元素均為零表明存在著一些大小相等，徑向位置相反的根，即存在著一些大小相等、符號相反的實根和（或）共軛虛根。所以，系統(tǒng)要么不穩(wěn)定，要么臨界穩(wěn)定。a、取元素為零的前一行，以其系數(shù)組成輔助多項式。b、輔助多項式對s求導，以其系數(shù)代替全為零值的一行。c、由輔助多項式求取各對稱根。第一列元素值符號有兩次變化，系統(tǒng)不穩(wěn)定特征方程在[s]平面的右半平面內有兩個根第一列的系數(shù)均為正值，表明在S右半平面上沒有特征根令得兩對大小相等的，符號相反的根另外一對根顯然系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。

為保證系統(tǒng)具有良好的動態(tài)響應，常希望系統(tǒng)特征根與S平面上虛軸之間有一定的距離a。

即希望特征根全部位于s平面上s=-a直線的左側設一個新變量，以代入原系統(tǒng)特征方程，得到一個的方程，應用勞斯判據。例要求閉環(huán)系統(tǒng)的特征根全部位于垂線s=-1左側，系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)的特征方程以代入上式，整理得第三節(jié)奈氏穩(wěn)定判據

用解出微分方程的根或者用勞斯判據判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，對復雜的系統(tǒng)都是不方便的。另外，他們雖能判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，卻不能看出穩(wěn)定的程度如何，元件參數(shù)對穩(wěn)定性的影響。

頻率判據是利用系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并可求出穩(wěn)定裕度。

由于開環(huán)頻率特性容易得到，而且它與組成系統(tǒng)的各環(huán)節(jié)有較直接的聯(lián)系，因此，頻率判據在工程實用上有重要的價值。一、奈氏穩(wěn)定判據N(s)——開環(huán)的特征式N(s)+M(s)——閉環(huán)的特征式單位負反饋系統(tǒng)，開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)——閉環(huán)特征根或稱閉環(huán)極點——開環(huán)特征根或稱開環(huán)極點

由于N(s)的階次一般高于M(s)，所以F(s)的分子分母階次相等，n階。若特征根的實部為正（即為不穩(wěn)定根）則子因式的幅角增量平均為若特征根的實部為負（即為穩(wěn)定根）則子因式的幅角增量平均為如果系統(tǒng)開環(huán)有P個不穩(wěn)定特征根，則系統(tǒng)閉環(huán)要穩(wěn)定，即閉環(huán)n個特征根的實部為負即當ω由0→∞時，在其復平面內的幅角增量為，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定若系統(tǒng)開環(huán)是穩(wěn)定的，，則閉環(huán)穩(wěn)定的條件為即當ω由0→∞時，在其復平面內的幅角增量為零

平面的坐標原點相當于平面的點，則向量對其原點的轉角相當于曲線對點的轉角2、若系統(tǒng)開環(huán)穩(wěn)定，P=0

當ω由0→∞時，開環(huán)奈氏曲線繞點轉角為零，不包圍點，則系統(tǒng)穩(wěn)定。結論：1、若系統(tǒng)開環(huán)特征方程具有P個右根當ω由0→∞時，開環(huán)奈氏曲線繞點轉角，即圈，則系統(tǒng)穩(wěn)定。奈氏判據更一般的形式為當ω由0→∞時，P-Z=2N逆時針轉為正，順時針轉為負

P-Z=2NP——開環(huán)右極點數(shù)

Z——閉環(huán)右極點數(shù)

N——開環(huán)奈氏曲線繞點轉過的圈數(shù)在P≠0時，Z為零的充要條件是

——第一條結論第三條結論在已知P和N的條件下，可知可判斷閉環(huán)不穩(wěn)定的極點數(shù)目在P=0時，閉環(huán)穩(wěn)定即Z為零的充要條件是N為零

——第二條結論二、奈氏判據的說明1、奈氏判據無論對單位反饋還是非單位反饋系統(tǒng)都同樣適用2、若開環(huán)傳遞函數(shù)中含有積分環(huán)節(jié)開環(huán)特征方程出現(xiàn)零根，當ω=0時，幅值將趨于∞開環(huán)奈氏曲線是不封閉的。

b)、從正實軸到圖形起點用一個半徑為∞的輔助圓連接起來，從而產生一個封閉圖形。以原點為圓心，以∞為半徑，從處逆時針方向畫個大圓

作一些補充后仍可用奈氏判據

a)、把開環(huán)零根看作穩(wěn)定根三、奈氏判據的應用舉例例1、系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為①

若由奈氏曲線可見，不包圍點故閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定②若當ω=0→∞時，奈氏曲線順時針包圍點一圈，即N=-1故閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定閉環(huán)穩(wěn)定閉環(huán)系統(tǒng)正實部根的個數(shù)

Z=P-2N=0-2(-1)=2

閉環(huán)特征方程例2、單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)開環(huán)特征根K>1時，奈氏曲線逆時針包圍點半圈

P≠0時，閉環(huán)穩(wěn)定的充要條件故閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定K<1時，奈氏曲線不包圍點，故閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定閉環(huán)特征方程穩(wěn)定條件例3、奈氏曲線逆時針包圍點一圈N=1閉環(huán)穩(wěn)定的充要條件故閉環(huán)穩(wěn)定已知P=2可見系統(tǒng)開環(huán)穩(wěn)定，但各個部件及其受控對象的參數(shù)匹配不當，很可能閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。開環(huán)不穩(wěn)定，只要合理地選擇控制裝置，完全能調出穩(wěn)定的閉環(huán)系統(tǒng)。

開環(huán)穩(wěn)定性和閉環(huán)穩(wěn)定性是兩個概念，二者不容混淆。例4、閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定閉環(huán)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定

微分環(huán)節(jié)的時間常數(shù)越大，則在低頻時就開始影響奈氏圖的形狀，可使系統(tǒng)趨于穩(wěn)定。閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定例5、得曲線與負實軸交點-0.378K對所有的K值閉環(huán)系統(tǒng)都穩(wěn)定當K>2.65時，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定令-0.378K=-1得系統(tǒng)穩(wěn)定K的臨界值為2.65令得代入上式奈氏判據：若開環(huán)具有P個右根，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是開環(huán)奈氏曲線包圍點的次數(shù)等于正穿越奈氏曲線逆時針包圍點一圈，奈氏曲線從上到下穿過負實軸隨著正穿越，相位滯后變小第四節(jié)玻德穩(wěn)定判據奈氏判據：若開環(huán)具有P個右根閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：開環(huán)奈氏曲線在負實軸段正、負穿越的次數(shù)差為負實軸——線點就是模為1，幅角為的點在對數(shù)頻率特性中就是分貝，對應于0分貝線與線單位圓——零分貝線單位圓以內對應于負分貝區(qū)單位圓以外對應于正分貝區(qū)正穿越：相位滯后減小，由下向上穿越線負穿越：相位滯后增大，由上向下穿越線2、若P=0，則正、負穿越次數(shù)相等上圖若P=0則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。對數(shù)頻率穩(wěn)定判據為：閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：1、在開環(huán)對數(shù)幅頻特性的范圍內與線的正、負穿越次數(shù)之差為

P——開環(huán)右極限點數(shù)3、若系統(tǒng)開環(huán)不穩(wěn)定，有P個根具有正實部。在范圍內，正、負穿越線的次數(shù)代數(shù)和，那么閉環(huán)系統(tǒng)就不穩(wěn)定。其右極點數(shù)2）在對數(shù)相頻特性曲線處，向上補一個相角。

在應用開環(huán)對數(shù)頻率判據判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性時，如遇到傳遞函數(shù)出現(xiàn)積分環(huán)節(jié)，應該和應用幅相頻率判據時做同樣處理。1）把開環(huán)特征方程式的零根看作是數(shù)值趨于零的負實根；例如有因子這時正好由線開始那么，在補了一個角后就算有一次負穿越。故應在曲線的處向上補這樣就可以用對數(shù)頻率判據判斷其穩(wěn)定性2）由加上虛線后的和可知，在為正值的范圍內，穿越線的次數(shù)為-1

故閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。閉環(huán)特征方程有二個正實部根這與用奈氏判據判斷的結論完全一致

1）開環(huán)特征方程式正實數(shù)根的個數(shù)P=0第五節(jié)控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性

臨界穩(wěn)定是不能工作的，穩(wěn)定性不夠也不行，因為建立系統(tǒng)的數(shù)學模型時，忽略了一些因素的影響，方程線性化處理，計算參數(shù)的選取等都使得理論計算與實際情況有差別，另外，實際系統(tǒng)的參數(shù)在工作過程中會