【贏在高考·黃金8卷】備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)模擬卷（新題型地區(qū)專(zhuān)用）黃金卷05（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿(mǎn)分：150分）第I卷（選擇題）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的。1．某校高一年級(jí)18個(gè)班參加藝術(shù)節(jié)合唱比賽，通過(guò)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，獲得了10個(gè)班的比賽得分如下：91，89，90，92，94，87，93，96，91，85，則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為（

）A．93 B．93.5 C．94 D．94.5【答案】B【解析】將比賽得分從小到大重新排列：85，87，89，90，91，91，92，93，94，96，因?yàn)?，所以這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)第8個(gè)數(shù)與第9個(gè)數(shù)的平均值，即，故選B.2．若，則實(shí)數(shù)（

）A．6 B． C．3 D．【答案】B【解析】因?yàn)椋?，即，所以，即，解得，故選B.3．各項(xiàng)為正的等比數(shù)列中，，則的前4項(xiàng)和（

）A．40 B．121 C．27 D．81【答案】A【解析】設(shè)等比數(shù)列公比為,故選A.4．“函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)”是“，”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】當(dāng)函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)時(shí)，有，，得，，易知，所以“函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)”是“，”的必要不充分條件．故選B．5．某小組兩名男生和兩名女生邀請(qǐng)一名老師排成一排合影留念，要求兩名男生不相鄰，兩名女生也不相鄰，老師不站在兩端，則不同的排法共有（

）A．48種 B．32種 C．24種 D．16種【答案】B【解析】當(dāng)老師從左到右排在第二或第四位時(shí)，共有種排法，當(dāng)老師從左到右排在第三位時(shí)，共有種排法，于是共有種排法.故選：B.6．設(shè)m、n是不同的直線(xiàn)，α、β是不同的平面，以下是真命題的為（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則【答案】B【解析】對(duì)于A,如上圖正方體中，設(shè)平面為，平面為，為，滿(mǎn)足，，此時(shí)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)椋?，α、β是不同的平面，則必有，故B正確；對(duì)于C，如上圖正方體中，設(shè)平面為，平面為，為，滿(mǎn)足，，此時(shí)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，如上圖正方體中，設(shè)平面為，為，為，則滿(mǎn)足，，此時(shí)，故D錯(cuò)誤.故選:B.7．已知函數(shù)，若，是銳角的兩個(gè)內(nèi)角，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，所以，即，所以在上單調(diào)遞減.因?yàn)?，是銳角的兩個(gè)內(nèi)角，所以，則，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，故，故D正確.同理可得，C錯(cuò)誤；而的大小不確定，故與，與的大小關(guān)系均不確定，所以與，與的大小關(guān)系也均不確定，AB不能判斷.故選：D8．已知橢圓：的焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在上，點(diǎn)在軸上，且滿(mǎn)足，，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，：的圖象，則，，其中，設(shè)，，則，，，，因，得，故，得，由得，得即，得由，得，又，，化簡(jiǎn)得，又橢圓離心率，所以，得.故選：D二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9．已知，為復(fù)數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則或【答案】AC【解析】A：根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義，本選項(xiàng)正確；B：取，，滿(mǎn)足，但，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C：設(shè)，，，由，得，即，，所以，即，故本選項(xiàng)正確；D：取，，則，，此時(shí)且，故D不正確．故選：AC10．如圖，點(diǎn)是函數(shù)的圖象與直線(xiàn)相鄰的三個(gè)交點(diǎn)，且，則（

）A．B．C．函數(shù)在上單調(diào)遞減D．若將函數(shù)的圖象沿軸平移個(gè)單位，得到一個(gè)偶函數(shù)的圖像，則的最小值為【答案】ACD【解析】令得，或，，由圖可知：，，，所以，，所以，所以，故A選項(xiàng)正確，所以，由得，所以，，所以，，所以，，故B錯(cuò)誤.當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵跒闇p函數(shù)，故在上單調(diào)遞減，故C正確；將函數(shù)的圖象沿軸平移個(gè)單位得，（時(shí)向右平移，時(shí)向左平移），為偶函數(shù)得，，所以，，則的最小值為，故D正確.故選：ACD.11．已知定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足，且是奇函數(shù).則（

）A． B．C．是與的等差中項(xiàng) D．【答案】ACD【解析】因?yàn)?，所以，兩式相減得，所以的周期為4.因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，所以，即，令，得.因?yàn)?，令，得，所以，?因?yàn)?，令，得，所以，所以，所以，故A正確.因?yàn)?，所以，即，所?因?yàn)?，，所以B錯(cuò)誤.因?yàn)?，，所以，所以是與的等差中項(xiàng)，故C正確.因?yàn)椋?，故D正確.故選：ACD第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知集合，，則【答案】【解析】因?yàn)?，，所?13．已知多項(xiàng)式，則.【答案】74【解析】對(duì)于，其二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，得，故，對(duì)于，其二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，得，故，所以.14．在正三棱臺(tái)中，，，側(cè)棱與底面ABC所成角的正切值為．若該三棱臺(tái)存在內(nèi)切球，則此正三棱臺(tái)的體積為．【答案】【解析】如圖，取BC和的中點(diǎn)分別為P，Q，上、下底面的中心分別為，，設(shè)，內(nèi)切球半徑為r，因?yàn)?，棱臺(tái)的高為2r，所以，，同理．因?yàn)閮?nèi)切球與平面相切，切點(diǎn)在上，所以①，在等腰梯形中，②，由①②得．在梯形中，③，由②③得，代入得，則棱臺(tái)的高，所以棱臺(tái)的體積為．四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及驗(yàn)算步驟。15．（本小題滿(mǎn)分13分）已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間上的最值；(2)若直線(xiàn)是曲線(xiàn)的一條切線(xiàn)，求的值.【解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，又，，.（2）由題意知：，設(shè)直線(xiàn)與相切于點(diǎn)，則，消去得：，解得：，則，解得：.16．（本小題滿(mǎn)分15分）如圖，AB是半球O的直徑，，依次是底面上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，P是半球面上一點(diǎn)，且．(1)證明：；(2)若點(diǎn)在底面圓上的射影為中點(diǎn)，求直線(xiàn)與平面所成的角的正弦值．【解】（1）連接，因?yàn)橐来问堑酌嫔系膬蓚€(gè)三等分點(diǎn)，所以四邊形是菱形，設(shè)，則為中點(diǎn)，且，又因?yàn)?，故是等邊三角形，連接，則，又因?yàn)槊?，，所以面，因?yàn)槊?，所以，因?yàn)橐来问堑酌嫔系膬蓚€(gè)三等分點(diǎn)，所以，所以，又因?yàn)锳B是半球O的直徑，P是半球面上一點(diǎn)，所以，因?yàn)槊?，，所以面，又因?yàn)槊?，所以?）因?yàn)辄c(diǎn)在底面圓上的射影為中點(diǎn)，所以面，因?yàn)槊?，所以，又因?yàn)?，所以以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，所以，所以，設(shè)平面的法向量，則，令，則，設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為，則所以直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為17．（本小題滿(mǎn)分15分）“村BA”后，貴州“村超”又火出圈!所謂“村超”，其實(shí)是目前火爆全網(wǎng)的貴州鄉(xiāng)村體育賽事一一榕江（三寶侗寨）和美鄉(xiāng)村足球超級(jí)聯(lián)賽，被大家簡(jiǎn)稱(chēng)為“村超”.“村超”的民族風(fēng)?鄉(xiāng)土味?歡樂(lè)感，讓每個(gè)人盡情享受著足球帶來(lái)的快樂(lè).某校為了豐富學(xué)生課余生活，組建了足球社團(tuán).足球社團(tuán)為了解學(xué)生喜歡足球是否與性別有關(guān)，隨機(jī)抽取了男?女同學(xué)各50名進(jìn)行調(diào)查，部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示：喜歡足球不喜歡足球合計(jì)男生20女生15合計(jì)100附：.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)完成上表，依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否有的把握認(rèn)為該中學(xué)學(xué)生喜歡足球與性別有關(guān)？(2)社團(tuán)指導(dǎo)老師從喜歡足球的學(xué)生中抽取了2名男生和1名女生示范定點(diǎn)射門(mén).據(jù)統(tǒng)計(jì)，這兩名男生進(jìn)球的概率均為，這名女生進(jìn)球的概率為，每人射門(mén)一次，假設(shè)各人進(jìn)球相互獨(dú)立，求3人進(jìn)球總次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.【解】（1）依題意，列聯(lián)表如下：喜歡足球不喜歡足球合計(jì)男生302050女生153550合計(jì)4555100零假設(shè)：該中學(xué)學(xué)生喜歡足球與性別無(wú)關(guān)，的觀(guān)測(cè)值為，，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，所以有的把握認(rèn)為該中學(xué)學(xué)生喜歡足球與性別有關(guān).（2）依題意，的所有可能取值為，，所以的分布列為：0123數(shù)學(xué)期.18．（本小題滿(mǎn)分17分）已知點(diǎn)P（非原點(diǎn)）在拋物線(xiàn)C：上，點(diǎn)P處的切線(xiàn)分別交x，y軸于點(diǎn)Q，R．(1)若，求實(shí)數(shù)的值．(2)定義：過(guò)拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，且垂直于在該點(diǎn)處切線(xiàn)的直線(xiàn)稱(chēng)為拋物線(xiàn)的法線(xiàn)．若拋物線(xiàn)C在點(diǎn)P處的法線(xiàn)交拋物線(xiàn)C于另一點(diǎn)S，求面積的最小值．【解】（1）不妨設(shè)，，由得，所以點(diǎn)P處的切線(xiàn)方程為．令，得，所以．所以點(diǎn)Q為線(xiàn)段PR的中點(diǎn)．所以．（2）設(shè)，由法線(xiàn)定義得，所以，又，即．因?yàn)?，，所以，．因?yàn)?，，所以．設(shè)，，則．令，得．當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．所以當(dāng)時(shí)，．故面積的最小值為．19．（本小題滿(mǎn)分17分）已知是個(gè)正整數(shù)組成的行列的數(shù)表，當(dāng)時(shí)，記．設(shè)，若滿(mǎn)足如下兩個(gè)性質(zhì)：①；②對(duì)任意，存在，使得，則稱(chēng)為數(shù)表．(1)判斷是否為數(shù)表，并求的值；(2)若數(shù)表滿(mǎn)足，求中各數(shù)之和的最小值；(3)證明：對(duì)任意數(shù)表，存在，使得．【解】（1）是數(shù)表，（2）由題可知.當(dāng)時(shí)，有，所以.當(dāng)時(shí)，有，所以.所以所以或者，或者，或，或，故各數(shù)之和，當(dāng)時(shí)，各數(shù)之和取得最小