12.5三角形全等的判定

知識回顧ABCDEF1、

什么叫全等三角形？能夠重合的兩個三角形叫全等三角形.2、

已知△ABC≌△

DEF，找出其中相等的邊與角①AB=DE③

CA=FD②

BC=EF④∠A=∠D⑤

∠B=∠E⑥∠C=∠FABCDEF①AB=DE③

CA=FD②

BC=EF④∠A=∠D⑤∠B=∠E⑥∠C=∠F1.滿足這六個條件可以保證△ABC≌△

DEF嗎？2.如果只滿足這些條件中的一部分，那么能保證△ABC≌△

DEF嗎？思考：

探索：如圖，已知兩個角和一條線段，以這兩個角為內(nèi)角，以這條線段為這兩個角的夾邊，畫一個三角形．把你畫的三角形與其他同學畫的三角形進行比較，所有的三角形都全等嗎？換兩個角和一條線段，試試看，是否有同樣的結(jié)論．都全等定理：如果兩個三角形有兩個角及其夾邊分別對應相等，那么這兩個三角形全等．簡記為ASA.(或角邊角)．

在△ABC和△DEF中，△ABC≌△DEF∴用符號語言表達為：DEFABC\\例1已知∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC，

求證：△ABC≌△DCB．∠ABC＝∠DCBBC＝CB∠ACB＝∠DBC證明：在△ABC和△DCB中，∵∴△ABC≌△DCB(

)ASA探索：先任意畫出一個△ABC，再畫出一個△A1B1C1，使A1B1=AB，A1C1=AC，∠A1=∠A(即有兩邊和它們的夾角對應相等)把畫好的△A1B1C1剪下，放到△ABC上，它們?nèi)葐幔?簡記為SAS.或邊角邊)ABCA1B1C1定理：如果兩個三角形的兩邊及夾角分別對應相等，那么這兩個三角形全等．證明：在△ABC和△DEC中，ABCDE12∴

△ABC≌△DEC(SAS)∴

AB

=DE(全等三角形的對應邊相等)AC=DC(已知)，∠1=∠2(對頂角相等)，BC

=EC(已知)

，例2如圖，有一池塘，要測池塘兩端A、B的距離，可先

在平地上取一個不經(jīng)過池塘可以直接到達點A和B的點C，連接AC并延長至D，使CD=CA，連接BC并延長至E，使CE=CB，連接ED，那么量出DE的長就是A，B的距離．為什么？Ⅰ8930oⅤ8530oⅥ8830o8930oⅦ8830oⅢⅣ85Ⅷ855Ⅱ30o8練一練：找全等．探究：如圖，已知三條線段，以這三條線段為邊，畫一個三角形．完成作圖后，請把你畫的三角形剪下，并與周圍同學的三角形作比較，你有什么發(fā)現(xiàn)？發(fā)現(xiàn)：給定三條線段，如果它們能組成三角形，那么所畫的三角形都是全等的．定理：

三邊對應

相等的兩個三角形全等．(簡記為：邊邊邊或SSS)ABCDEF證明：∵

D是BC中點，∴

BD=DC．

在△ABD與△ACD中，∴△ABD≌△ACD(

SSS)．例3如圖，有一個三角形鋼架，AB=AC，AD是連接點A與BC中點D的支架.求證：△ABD≌△ACD．CBDAAB=AC，BD=CD，AD=AD，∵

探究：如圖，如果兩個三角形有兩個角及其中一個角的對邊分別對應相等，那么這兩個三角形是否一定全等？已知：∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，AC＝A′C′求證：△ABC≌△A′B′C′證明∵

∠A＝∠A′，∠B＝∠B′又∠A＋∠B＋∠C＝180°(三角形的內(nèi)角和等于180°)同理∠A′＋∠B′＋∠C′＝180°∴

∠C＝∠C′．在△ABC和△A′B′C′中∵

∠A＝∠A′AC＝A′C′∠C＝∠C′∴△ABC≌△A′B′C′(AAS)定理：

如果兩個三角形有兩個角和其中一個角的對邊分別對應相等，那么這兩個三角形全等．(簡記為AAS或角角邊)．DEFABC證明：∵

AB平分∠CAD

，∴

∠1=∠2.

在△CAB與△DAB中，∴△CAB≌△DAB(

AAS)．∴AC=AD(全等三角形對應邊相等).

例4已知如圖，∠C=∠D=90°，AB平分∠CAD.

求證：AC=AD．∠C=∠D，∠1=∠2，AB=AB，∵

ABCDEF例5

如圖，AB∥CD，AE∥CF，BF=DE．試找

出圖中其他的相等關(guān)系，并給出證明．解：∵AB∥CD，AE∥CF，∴∠B=∠D，∠AEB=∠CFD．在△ABE和△CDF中∠B=∠D，∠AEB=∠CFD，BE=DF，∴△ABE≌△CDF．(ASA)∵BF=DE，∴BE=DF．∴∠A=∠C，AB=CD，AE=CF.對應相等的元素兩邊一角兩角一邊

三角三邊兩邊及其夾角兩邊及其中一邊的對角兩角及其夾邊

兩角及其中一角的對邊

三角形是否全等

一定(S.A.S)不一定一定