對角互補模型綜合應(yīng)用（專項訓(xùn)練）

1.如圖，將5個邊長為1。"的正方形按如圖所示擺放，點Ai,A2,…，4分別是正方形

的中心，則5個正方形重疊形成的重疊部分的面積和為

2.如圖，在和RtZVBCD中，ZBAC^ZBDC^90°，BC=4,AB^AC,ZCBD

=30°,M,N分別在8。，C￡）上，ZMAN=45°,則△OMN的周長為

3.（袁州區(qū)校級期中）如圖，ZAOB=9Q°,0M是NAOB的平分線，將三角尺的直角頂點

P在射線OM上滑動，兩直角邊分別與OA,08交于點C和。，證明：PC=PD.

4.（2023秋?泉港區(qū)期末）如圖，在正方形A8CQ中，AC交8。于O,尸在AC上，連線

DF,過/作PE_L￡）尸交2。于G,交AB于E.

(1)求證：DF=EF；

(2)若尸為0C中點，求證：FG=EG.

5.(2023?呼倫貝爾)已知：如圖，在正方形ABC。中，對角線AC,BZ)相交于點。，點E,

E分別是邊BC,C。上的點，且/成m=90°.

求證：CE=DF.

6.(2023春?滿城區(qū)期末)如圖，正方形A3C。中，點。為對角線AC的中點，點尸為平面

內(nèi)外一點，且BPLCP.過點。作尸交尸8的延長線于E.

(1)探究8E與PC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

(2)BP、CP、0P三者之間存在怎樣的關(guān)系？并說明理由.

7.(1)如圖1,在四邊形A8CD中，AB=AD,NB=/D=90°,E、尸分別是邊8C、CD

上的點，若EF=BE+FD.

求證：NEAF=LNBAD

2

(2)如圖2,在四邊形A8CD中，AB=AD,ZB+ZA￡?C=180°,E、尸分別是邊8C、

CD延長線上的點，且試探究線段EABE、FD之間的數(shù)量關(guān)系，證

2

明你的結(jié)論.

8.問題背景：

(1)如圖1：在四邊形A8CD中，AB^AD,ZBA￡>=120°,ZB=ZADC=90°.E,

F分別是BC,C￡)上的點.且/EAF=60°.探究圖中線段BE,EF,陽之間的數(shù)量關(guān)

系.小王同學(xué)探究此問題的方法是，延長ED到點G.使DG=BE.連接AG,先證明△

ABE^AADG,再證明絲ZVIGR可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是.

探索延伸：

(2)如圖2,若在四邊形ABC。中，AB=AD,ZB+ZD=180°.E,尸分別是BC,CD

上的點，且上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由.

2

9.(1)如圖(1),在△ABC中，。是BC邊上的中點，DELDF,DE交AB于點、E,DF

交AC于點八連接ER若/A=90°,探索線段BE、CF、跖之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證

明；

(2)如圖(2),在四邊形ABOC中，ZB+ZC=180°,DB=DC,ZB￡)C=120°,以

。為頂點作一個60°角，角的兩邊分別交A3、AC于E、尸兩點，連接ER探索線段

BE、CF、EF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

對角互補模型綜合應(yīng)用（專項訓(xùn)練）

1.如圖，將5個邊長為1。"的正方形按如圖所示擺放，點Ai,A2,…，4分別是正方形

的中心，則5個正方形重疊形成的重疊部分的面積和為.

【解答】解：如圖，過正方形4BCD的中心。作于作ONJ_8C于M

則/EOM=/FON,OM=ON,

在△OEM和△（?四中，

'/OME=/ONF

-OM=ON，

ZEOM=ZFON

:.4OEM且LOFNCASA）,

則四邊形OECF的面積就等于正方形OMCN的面積，

如正方形ABCD的邊長是1,則OMCN的面積是工cm2,

4

...得陰影部分面積等于正方形面積的工。層，即是工。病，

44

???5個這樣的正方形重疊部分（陰影部分）的面積和為1X4=1cm2,

4

2.如圖，在RtzXABC和RtZ\BO)中，NBAC=/BDC=90°,BC=4,AB^AC,ZCBD

=30°,M,N分別在2D,CO上，ZMAN=45a,則△￡)■的周長為2J]+2.

B.W'D

【解答】解：將△ACN繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到△ABE,如圖:

由旋轉(zhuǎn)得：NNAE=90°,AN=AE,NABE=NACD,NEAB=NCAN,

ZBAC=ZD=90a,

AZABD+ZACD=360°-90°-90°=180°,

AZABD+ZABE=1SQ°,

：.E,B,M三點共線,

VZWW=45°,ZBAC=90°,

：.ZEAM=ZEAB+ZBAM=ZCAN+ZBAM=ABAC-ZMAN=9Q°-45°=45°,

ZEAM=/MAN,

在△AEM和△AMW中，

，AE=AN

-ZEAM=ZNAM>

AM=AM

:.AAEM咨AANM(SAS),

：.MN=ME,

：.MN=CN+BM,

:在Rtz^BC。中，ZBDC=90°,NCBD=30°,BC=4,

'-CD=^BC=2,^=VBC2-CD2=^42-22=2^3>

:.ADMN的周長為DM+DN+MN=DM+DN+BM+CN=BD+DC=2y[^+2,

故答案為：2我+2.

3.（袁州區(qū)校級期中）如圖，ZAOB=9Q°,0M是/AOB的平分線，將三角尺的直角頂點

P在射線上滑動，兩直角邊分別與。4,。2交于點C和。，證明：PC=PD.

【答案】略

【解答】證明：過點尸點作PELOA于E,尸尸，。2于尸，如圖,

:.NPEC=NPFD=90°,

是NAOB的平分線，

：.PE=PF,

VZAOB=90°,ZCPD=90°,

.,.ZPCE+ZPDO=360°-90°-90°=180°,

而NP￡)O+NP￡)P=180°,

：.NPCE=/PDF,

在和△PDF中，

:.APCE烏APDF(AAS),

：.PC=PD.

4.（2023秋?泉港區(qū)期末）如圖，在正方形ABCQ中，AC交BD于O,尸在AC上，連線

DF,過尸作FE_L￡）B交2。于G,交AB于E.

（1）求證：DF=EF；

（2）若尸為0c中點，求證：FG=EG.

【解答】證明：（1）如圖1,連接3尸,

???四邊形ABC。是正方形，

：.DC=BC,ZDAC=ZBAC=45°,AC±BD,

在和△氏!/中，

'DA=BA

<NDAF=NBAF，

AF=AF

:?△DAFmABAF(SAS),

:?DF=BF,ZADF=AABF,

VZDAE=ZDFE=90°,

AZADF+ZAEF=1SO°,

VZAEF+ZBEF=1SO°,

???/ADF=/BEF,

：.ZABF=NBEF,

：.BF=EF=DF；

(2)如圖2,過點石作即J_AC于H,

AZEHF=ZDOF=90°,

：.NDF0+NFD0=9U0=ZDFO+ZEFH,

：.ZFDO=ZEFHf

在△。/O和△尸EH中，

AADFO^AFEH(AAS),

：.DO=FH,

??,尸為OC中點，

：.FO=CF,

：?OH=OF,

■:BD〃HE,

?FOFG

??—=1,

OHGE

:.FG=GE.

5.(2023?呼倫貝爾)己知：如圖，在正方形ABC。中，對角線AC,3。相交于點。，點、E,

廠分別是邊BC,CD上的點，且NEOF=90°.

求證：CE=DF.

【答案】略

【解答】證明：：四邊形ABC。為正方形，

：.OD=OC,ZODF^ZOCE^45°,ZCOD^9Q°,

：.ZDOF+ZCOF=90°,

VZEOF=90°,即/。。￡+/(7。/=90°,

：.ZCOE=ZDOF,

：./\COE^/\DOF(ASA),

：.CE=DF.

6.(2023春?滿城區(qū)期末)如圖，正方形中，點。為對角線AC的中點，點尸為平面

內(nèi)外一點，且BPLCP過點。作。E_LOP交尸8的延長線于E.

(1)探究8E與PC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

(2)BP、CP、。產(chǎn)三者之間存在怎樣的關(guān)系？并說明理由.

【答案】(1)BE=PC(2)BP+CP=6pP

【解答】解：(1)BE=PC,理由如下：

:四邊形ABC。是正方形,

J.OB^OC,OBLOC,

?：OELOP,

：.ZEOP=ZBOC=90°,

JZEOB+ZBOP=/POC+NBOP,BPZEOB=NPOC,

*：OELOP,BPLCP,

：.ZE+ZOPE=ZOPC^ZOPE=90°,

???NE=NOPC,

在△3。石與△CO尸中，

:.ABOE鑒ACOP(AAS),

：.BE=PC；

(2)BP+CP=M()P,理由如下：

由(1)知，ABOE/ACOP,

：.BE=CP,OE=OP,

???RtAEOP是等腰直角三角形，

EP=I/QE24OP2=MOP'

EP=BP+BE=BP+CP,

：.BP+CP=42OP.

7.(1)如圖1,在四邊形ABC。中，AB=AD,ZB=ZZ)=90°,E、F分別是邊BC、CD

上的點，若EF=BE+FD.

求證：ZEAF^—ZBAD

2

(2)如圖2,在四邊形ABC。中，AB=AD,ZB+ZADC=1SO°,E、尸分別是邊BC、

CD延長線上的點，且試探究線段ERBE、即之間的數(shù)量關(guān)系，證

2

明你的結(jié)論.

【解答】證明：(1)延長C8至使得BM=DF,連接AM,

VZB=ZD=90°,AB=AD,

在△ABM與中

AABM^AADF(SAS),

：.AM=AF,ZDAF=ZBAMf

?IEF=BE+DF=BE+BM=ME,

在△AME與△AFE中

fAE=AE

<EF=ME，

AM=AF

AAAME^AAFE(SSS),

ZMAE=ZEAF,

：.ZBAE+ZDAF=ZEAF,

即NEAP=l/BAr)；

2

(2)線段所、BE、尸。之間的數(shù)量關(guān)系是EF+Z)/=BE,

在BE上截取8M=￡>/，連接AM,

,：AB=AD,ZB+ZADC=180c,ZADC+ZADF=180

???ZABM=ZADF,

在△ABM與△AO/中

AAABM^AADF(SAS),

：.AM=AF,ZBAM=ZDAF,ZEAF=^ZBAD,

2

：.ZEAF=ZEAM,

在△AEM與△AEF中

'AM=AF

-ZEAF=ZEAM>

AE=AE

:.AAEM2AAEF(SAS),

；.EM=EF,

BPBE-BM=EF,

即BE-DF=EF.

]

J

E

圖1圖2

8.問題背景:

(1)如圖1：在四邊形ABC。中，AB=AD,ZBAD=120°,/B=NA￡)C=90°.E,

廠分別是2C,C。上的點.且NEA尸=60°.探究圖中線段BE,EF,陽之間的數(shù)量關(guān)

系.小王同學(xué)探究此問題的方法是，延長見到點G.使Z)G=8E.連接AG,先證明△

ABE^AADG,再證明△AEFgZXAGF,可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是.

探索延伸：

(2)如圖2,若在四邊形ABC。中，AB=AD,ZB+ZD=180°.E,尸分別是8C,CD

上的點，且上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由.

2

【解答】證明：(1)在△48E和△AQG中，

rDG=BE

<ZB=ZADG-

AB=AD

:.AABE2AADG(SAS),

：.AE=AG,ZBAE=ZDAG,

'：ZEAF=^ZBAD,

2

ZGAF=ZDAG+ZDAF=ZBAE+ZDAF=/BAD-ZEAF=ZEAF,

：.ZEAF=ZGAF,

在△AEP和△G4F中，

'AE=AG

<ZEAF=ZGAF>

AF=AF

AAAEF^/XAGF(SAS),

：.EF=FG,

'：FG=DG+DF=BE+DF,

：.EF=BE+DF-,

故答案為EF=BE+DF.

(2)結(jié)論EF=BE+O尸仍然成立；

理由：如圖2,延長尸。到點G.使。G=BE.連接AG,

在△ABE和△4OG中，

'DG=BE

<ZB=ZADG>

AB=AD

AAABE^AADG(SAS),

：.AE=AG,ZBAE=ZDAG,

'：ZEAF=^ZBAD,

2

Z.ZGAF=ZDAG+ZDAF=NBAE+NDAF=ZBAD-NEAF=ZEAF,

：.ZEAF=ZGAF,

在和△GAP中，

，AE=AG

，ZEAF=ZGAF,

AF=AF

AAAEF^AAGF(SAS),

：.EF=FG,

'：FG=DG+DF=BE+DF,

；.EF=BE+DF；

9.(1)如圖(1),在△ABC中，。是BC邊上的中點，DELDF,DE交AB于點、E,DF

交AC于點R連接EE若NA=90°