2023-2024學(xué)年廣東省湛江市第二中學(xué)中考四模數(shù)學(xué)試題

注意事項(xiàng)

1.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗.

一、選擇題（每小題只有一個(gè)正確答案，每小題3分，滿分30分）

1.下列計(jì)算正確的是（）

A.a3?a3=a9B.（a+b）2=a2+b2C.a2-i-a2=0D.（a2）3=a6

2.在六張卡片上分別寫有g(shù),n,1.5,5,0,、歷六個(gè)數(shù)，從中任意抽取一張，卡片上的數(shù)為無理數(shù)的概率是（）

1115

A.—B.—C.—D.一

6326

3.如圖，等腰△ABC的底邊BC與底邊上的高相等，高AO在數(shù)軸上，其中點(diǎn)A,。分別對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的實(shí)數(shù)-2,

2,則AC的長(zhǎng)度為（）

A.2B.4C.2辨D.475

4.下列運(yùn)算正確的是（）

A.a3*a2=a6B.（x3）3=x6C.x5+x5=x10D.-a8-j-a4=-a4

5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角三角形ABC的頂點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，ZABC=90°,CA±x

軸，點(diǎn)C在函數(shù)y=&（x>0）的圖象上，若AB=2,則k的值為（）

X

A.4B.272C.2D.V2

6.二次函數(shù)丫=2*2+。的圖象如圖所示，正比例函數(shù)y=ax與反比例函數(shù)y=￡在同一坐標(biāo)系中的圖象可能是（）

7.下面的統(tǒng)計(jì)圖反映了我國(guó)最近十年間核電發(fā)電量的增長(zhǎng)情況，根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息，下列判斷合理的是（）

我乂住電發(fā)電量我MH電震電量占8發(fā)電量的d分比

I54X)*

1000|.

"IlIIIllinil

心*參*HH

A.2011年我國(guó)的核電發(fā)電量占總發(fā)電量的比值約為1.5%

B.2006年我國(guó)的總發(fā)電量約為25000億千瓦時(shí)

C.2013年我國(guó)的核電發(fā)電量占總發(fā)電量的比值是2006年的2倍

D.我國(guó)的核電發(fā)電量從2008年開始突破1000億千瓦時(shí)

8.2017年北京市在經(jīng)濟(jì)發(fā)展、社會(huì)進(jìn)步、城市建設(shè)、民生改善等方面取得新成績(jī)、新面貌.綜合實(shí)力穩(wěn)步提升.全

市地區(qū)生產(chǎn)總值達(dá)到280000億元，將280000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.280X103B.28X104C.2.8X105D.0.28X106

k

9.如圖，4（4,0）,B（1,3）,以。4、05為邊作口。4（%，反比例函數(shù)y=—（際0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)C.則下列結(jié)論

x

不正確的是（）

A.口O/4C5的面積為12

B.若y<3,則x>5

C.將口。4c5向上平移12個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)3落在反比例函數(shù)的圖象上.

D.將口。4。8繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°,點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在反比例函數(shù)圖象的另一分支上.

10.如圖，將邊長(zhǎng)為8cm的正方形A5CZ>折疊，使點(diǎn)。落在3c邊的中點(diǎn)E處，點(diǎn)A落在歹處，折痕為MN,則線

段CN的長(zhǎng)是（）

A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm

二、填空題（共7小題，每小題3分，滿分21分）

11.已知，如圖，△ABC中，DE〃FG〃BC,AD：DF：FB=1：2：3,若EG=3,貝！IAC=

12.若關(guān)于x的分式方程——-2=旦有增根，則m的值為.

x—3x—3

13.如圖，小明想用圖中所示的扇形紙片圍成一個(gè)圓錐，已知扇形的半徑為5cm,弧長(zhǎng)是6兀cm,那么圍成的圓錐的

高度是.cm.

14.用正三角形、正四邊形和正六邊形按如圖所示的規(guī)律拼圖案，即從第二個(gè)圖案開始，每個(gè)圖案中正三角形的個(gè)數(shù)

都比上一個(gè)圖案中正三角形的個(gè)數(shù)多4個(gè)，則第n個(gè)圖案中正三角形的個(gè)數(shù)為（用含n的代數(shù)式表示）.

第1個(gè)圖案第2個(gè)圖案第3個(gè)圖案

15.將一個(gè)含45。角的三角板ABC,如圖擺放在平面直角坐標(biāo)系中，將其繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)75。，點(diǎn)3的對(duì)應(yīng)點(diǎn)8’恰

好落在軸上，若點(diǎn)C的坐標(biāo)為（L0）,則點(diǎn)8'的坐標(biāo)為

16.如圖是一個(gè)立體圖形的三種視圖，則這個(gè)立體圖形的體積（結(jié)果保留兀）為.

17.肥皂泡的泡壁厚度大約是0.0007mm,0.0007"""用科學(xué)記數(shù)法表示為mm.

三、解答題（共7小題，滿分69分）

18.（10分）已知：如圖，AB為。O的直徑，C是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CP切。。于P,弦PDLAB，于E,過點(diǎn)B作

BQLCP于Q,交。O于H,

（1）如圖1,求證:PQ=PE；

（2）如圖2,G是圓上一點(diǎn)，ZGAB=30°,連接AG交PD于F,連接BF,若tanNBFE=3/',求NC的度數(shù)；

（3）如圖3,在（2）的條件下，PD=6出，連接QC交BC于點(diǎn)M,求QM的長(zhǎng).

19.（5分）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)尸是對(duì)角線AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)AC重合），連接尸5過點(diǎn)P作％,

交直線。。于點(diǎn)尸.作PELAC交直線。C于點(diǎn)E,連接AE,3b.

D

(1)由題意易知，AADC且AABC,觀察圖，請(qǐng)猜想另外兩組全等的三角形/____0A_____；A_________________

(2)求證：四邊形AEEB是平行四邊形;

(3)已知Afi=2應(yīng)，APEB的面積是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出這個(gè)最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

2。.(8分)先化簡(jiǎn)：|1一+]+e,再請(qǐng)你選擇一個(gè)合適的數(shù)作為x的值代入求值?

21.(10分)如圖，AD是。O的直徑，AB為。O的弦，OPLAD,OP與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P,過B點(diǎn)的切線交

OP于點(diǎn)C.求證：ZCBP=ZADB.若OA=2,AB=1,求線段BP的長(zhǎng).

22.(10分)如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)y=—的圖象交于A(-2,1),B(1,〃)兩點(diǎn).

X

0

O]求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；根據(jù)圖象寫出一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值的

X的取值范圍.

23.(12分)如圖，拋物線y=-必+打+。與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)5(3,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,3),點(diǎn)。是拋物線的

頂點(diǎn)，過點(diǎn)。作x軸的垂線，垂足為E,連接08.

(1)求此拋物線的解析式及頂點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)M是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為機(jī).

①當(dāng)NMBA=N5OE時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

②過點(diǎn)”作MN〃x軸，與拋物線交于點(diǎn)N,尸為x軸上一點(diǎn)，連接PM,PN,將沿著翻折，得△0MN,

若四邊形MPNQ恰好為正方形，直接寫出m的值.

24.（14分）武漢二中廣雅中學(xué)為了進(jìn)一步改進(jìn)本校九年級(jí)數(shù)學(xué)教學(xué)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.校教務(wù)處在九年級(jí)

所有班級(jí)中，每班隨機(jī)抽取了6名學(xué)生，并對(duì)他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況進(jìn)行了問卷調(diào)查：我們從所調(diào)查的題目中，特別把

學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)喜歡程度的回答（喜歡程度分為：“A-非常喜歡”、“3-比較喜歡”、“C-不太喜歡”、“。-很不

喜歡”，針對(duì)這個(gè)題目，問卷時(shí)要求每位被調(diào)查的學(xué)生必須從中選一項(xiàng)且只能選一項(xiàng)）結(jié)果進(jìn)行了統(tǒng)計(jì).現(xiàn)將統(tǒng)計(jì)結(jié)果

繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.

所抽取學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)喜歡程度的調(diào)查統(tǒng)計(jì)表

請(qǐng)你根據(jù)以上提供的信息，解答下列問題：

（1）補(bǔ)全上面的條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖；

（2）所抽取學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)喜歡程度的眾數(shù)是—，圖②中A所在扇形對(duì)應(yīng)的圓心角是一；

（3）若該校九年級(jí)共有960名學(xué)生，請(qǐng)你估算該年級(jí)學(xué)生中對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)“不太喜歡”的有多少人?

參考答案

一、選擇題（每小題只有一個(gè)正確答案，每小題3分，滿分30分）

1、D.

【解析】

試題分析：A、原式=a。，不符合題意；原式=a?+2ab+b2,不符合題意;

C、原式=1,不符合題意；D、原式=a6,符合題意，

故選D

考點(diǎn)：整式的混合運(yùn)算

2、B

【解析】

無限不循環(huán)小數(shù)叫無理數(shù)，無理數(shù)通常有以下三種形式：一是開方開不盡的數(shù)，二是圓周率7T,三是構(gòu)造的一些不循

環(huán)的數(shù)，如1.010010001……（兩個(gè)I之間0的個(gè)數(shù)一次多一個(gè)）.然后用無理數(shù)的個(gè)數(shù)除以所有書的個(gè)數(shù)，即可求出

從中任意抽取一張，卡片上的數(shù)為無理數(shù)的概率.

【詳解】

?.?這組數(shù)中無理數(shù)有萬，0共2個(gè)，

21

.?.卡片上的數(shù)為無理數(shù)的概率是.

63

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了無理數(shù)的定義及概率的計(jì)算.

3、C

【解析】

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理解答即可.

【詳解】

解：?.?點(diǎn)A,。分別對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的實(shí)數(shù)-2,2,

：.AD=4,

等腰△ABC的底邊BC與底邊上的高相等，

；.BC=4,

:.CD=2,

在RtAACD中,AC=7AD2+CD2=A/42+22=2出，

故選：C.

【點(diǎn)睛】

此題考查等腰三角形的性質(zhì)，注意等腰三角形的三線合一，熟練運(yùn)用勾股定理.

4、D

【解析】

各項(xiàng)計(jì)算得到結(jié)果，即可作出判斷.

【詳解】

A、原式=a，，不符合題意；

B、原式=x3不符合題意；

C、原式=2x，，不符合題意；

D^原式=-a3符合題意，

故選D.

【點(diǎn)睛】

此題考查了整式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

5、A

【解析】

【分析】作BDLAC于D,如圖，先利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到AC=0AB=20,BD=AD=CD=0,再利用

AC，x軸得至UC(0,20),然后根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征計(jì)算k的值.

【詳解】作BDLAC于D,如圖，

VAABC為等腰直角三角形，

，AC=0AB=20,

.?.BD=AD=CD=V2，

；AC_Lx軸，

；.C(a,272)，

把C(0,2V2)代入y=&得k=0x2收=4,

X

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)以及反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟知反比例函數(shù)y=8(k為常數(shù),

X

片0)的圖象是雙曲線，圖象上的點(diǎn)(x,y)的橫縱坐標(biāo)的積是定值k,即乂丫二卜是解題的關(guān)鍵.

6、C

【解析】

根據(jù)二次函數(shù)圖像位置確定a<0,c>0,即可確定正比例函數(shù)和反比例函數(shù)圖像位置.

【詳解】

解：由二次函數(shù)的圖像可知a<0,c>0,

二正比例函數(shù)過二四象限，反比例函數(shù)過一三象限.

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了函數(shù)圖像的性質(zhì)，屬于簡(jiǎn)單題，熟悉系數(shù)與函數(shù)圖像的關(guān)系是解題關(guān)鍵.

7、B

【解析】

由折線統(tǒng)計(jì)圖和條形統(tǒng)計(jì)圖對(duì)各選項(xiàng)逐一判斷即可得.

【詳解】

解：4、2011年我國(guó)的核電發(fā)電量占總發(fā)電量的比值大于1.5%、小于2%,此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、2006年我國(guó)的總發(fā)電量約為500+2.0%=25000億千瓦時(shí)，此選項(xiàng)正確；

C、2013年我國(guó)的核電發(fā)電量占總發(fā)電量的比值是2006年的顯然不到2倍，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、我國(guó)的核電發(fā)電量從2012年開始突破1000億千瓦時(shí)，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是條形統(tǒng)計(jì)圖和折線統(tǒng)計(jì)圖的綜合運(yùn)用.讀懂統(tǒng)計(jì)圖，從不同的統(tǒng)計(jì)圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)

鍵.條形統(tǒng)計(jì)圖能清楚地表示出每個(gè)項(xiàng)目的數(shù)據(jù)；折線統(tǒng)計(jì)圖表示的是事物的變化情況.

8、C

【解析】

科學(xué)記數(shù)法的表示形式為axion的形式，其中iqa|V10,n為整數(shù).確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移

動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值>1時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值<1時(shí)，n是負(fù)

數(shù).

【詳解】

將280000用科學(xué)記數(shù)法表示為2.8x1.故選C.

【點(diǎn)睛】

此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為axion的形式，其中公忸|<10,n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要

正確確定a的值以及n的值.

9、B

【解析】

先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，再代入反比例函數(shù)丁=勺(際0)求出其解析式，再根據(jù)反比例函數(shù)的圖

象與性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行判斷.

【詳解】

解：4(4,0),B(1,3),BC=OA=4,

C(5,3),

反比例函數(shù)y=A(七0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)C,

X

k=5x3=15,

；?反比例函數(shù)解析式為y=

X

nOACB的面積為OAx%=4x3=12,正確；

當(dāng)丁<。時(shí)，x<0,故錯(cuò)誤；

將口O4C5向上平移12個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)3的坐標(biāo)變?yōu)?1,15),在反比例函數(shù)圖象上，故正確；

因?yàn)榉幢壤瘮?shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，故將口0NC5繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)180。，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在反比例函數(shù)圖象的另一

分支上，正確.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題綜合考查了平行四邊形的性質(zhì)和反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，結(jié)合圖形，熟練掌握和運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)定理是解答關(guān)鍵.

10、A

【解析】

分析：根據(jù)折疊的性質(zhì)，只要求出DN就可以求出NE,在直角ACEN中，若設(shè)CN=x,貝!JDN=NE=8-x,CE=4cm,

根據(jù)勾股定理就可以列出方程，從而解出CN的長(zhǎng).

詳解：設(shè)CN=xcm,則DN=(8-x)cm,

由折疊的性質(zhì)知EN=DN=(8-x)cm,

而EC=-BC=4cm,

2

在RtAECN中，由勾股定理可知EN2=EC2+CN2,

即(8-x)2=16+x2,

整理得16x=48,

所以X=l.

故選：A.

點(diǎn)睛：此題主要考查了折疊問題，明確折疊問題其實(shí)質(zhì)是軸對(duì)稱，對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等，通常用勾股定理解決

折疊問題.

二、填空題(共7小題，每小題3分，滿分21分)

11、1

【解析】

試題分析：根據(jù)DE〃FG〃BC可得△ADES^AFGSABC,根據(jù)題意可得EG：AC=DF；AB=2:6=1:3,根據(jù)EG=3,

則AC=1.

考點(diǎn)：三角形相似的應(yīng)用.

12、±73

【解析】

增根是分式方程化為整式方程后產(chǎn)生的使分式方程的分母為0的根.有增根，最簡(jiǎn)公分母x-3=0,所以增根是x=3,把

增根代入化為整式方程的方程即可求出m的值.

【詳解】

方程兩邊都乘x-3,得

x-2(x-3)=m2,

?.?原方程增根為x=3,

.?.把x=3代入整式方程，得m=±VL

【點(diǎn)睛】

解決增根問題的步驟：

①確定增根的值；

②化分式方程為整式方程；

③把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值.

13、4

【解析】

已知弧長(zhǎng)即已知圍成的圓錐的底面半徑的長(zhǎng)是6kcm,這樣就求出底面圓的半徑.扇形的半徑為5cm就是圓錐的母線

長(zhǎng)是5cm.就可以根據(jù)勾股定理求出圓錐的高.

【詳解】

設(shè)底面圓的半徑是r,則2m=6死，

:.r=3cm,

.,.圓錐的高=^52-32=4cm.

故答案為4.

14、4n+l

【解析】

分析可知規(guī)律是每個(gè)圖案中正三角形的個(gè)數(shù)都比上一個(gè)圖案中正三角形的個(gè)數(shù)多4個(gè).

【詳解】

解：第一個(gè)圖案正三角形個(gè)數(shù)為6=1+4；

第二個(gè)圖案正三角形個(gè)數(shù)為l+4+4=l+lx4；

第三個(gè)圖案正三角形個(gè)數(shù)為l+lx4+4=l+3x4；

????

第n個(gè)圖案正三角形個(gè)數(shù)為1+(n-1)x4+4=l+4n=4n+l.

故答案為4n+l.

考點(diǎn)：規(guī)律型：圖形的變化類.

15-,+

【解析】

先求得NACO=60。，得出NOAC=30。，求得AC=2OC=2,解等腰直角三角形求得直角邊為0,從而求出B，的坐標(biāo).

【詳解】

解：VZACB=45°,NBCB，=75。，

NACB'=120。,

.\ZACO=60°,

?,.ZOAC=30°,

.\AC=2OC,

???點(diǎn)c的坐標(biāo)為(1,0),

.\OC=1,

.*.AC=2OC=2,

VAABC是等腰直角三角形，

：.AB=BC=4I

BC=AB=^2

OB=1+72

??.B，點(diǎn)的坐標(biāo)為(1+0,0)

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及坐標(biāo)與圖形變換，同時(shí)也利用了直角三角形性質(zhì)，首先利用直角三角形的性質(zhì)得到有關(guān)

線段的長(zhǎng)度，即可解決問題.

16、250萬

【解析】

從三視圖可以看正視圖以及左視圖為矩形，而俯視圖為圓形，故可以得出該立體圖形為圓柱.由三視圖可得圓柱的半

徑和高，易求體積.

【詳解】

該立體圖形為圓柱，

\?圓柱的底面半徑r=5,高h(yuǎn)=10,

圓柱的體積V=7rr2h=7tx52xi0=25(hr(立方單位).

答：立體圖形的體積為250兀立方單位.

故答案為250TT.

【點(diǎn)睛】

考查學(xué)生對(duì)三視圖掌握程度和靈活運(yùn)用能力，同時(shí)也體現(xiàn)了對(duì)空間想象能力方面的考查；圓柱體積公式=底面積x高.

17、7x10-1.

【解析】

絕對(duì)值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為axlOT與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是

負(fù)指數(shù)塞，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定.

【詳解】

0.0007=7x10」.

故答案為：7x10-1.

【點(diǎn)睛】

本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為axlO-n,其中K|a|<10,n為由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前

面的0的個(gè)數(shù)所決定.

三、解答題(共7小題，滿分69分)

18、(1)證明見解析(2)30°(3)QM=9^I

5

【解析】

試題分析：

(1)連接OP,PB,由已知易證NOBP=NOPB=NQBP,從而可得BP平分NOBQ,結(jié)合BQ_LCP于點(diǎn)Q,PE±AB

于點(diǎn)E即可由角平分線的性質(zhì)得到PQ=PE；

(2)如下圖2,連接OP,則由已知易得NCPO=NPEC=90。，由此可得NC=/OPE,設(shè)EF=x,則由NGAB=30。，

NAEF=90?？傻肁E=A，在RtABEF中，由tan/BFE=3g可得BE=3A/L;,從而可得AB=4后，貝!I

OP=OA=2A/3X,結(jié)合AE=gx可得OE=Gx,這樣即可得到sinZOPE=—=-,由此可得NOPE=30。,貝?。軳C=30。；

(3)如下圖3,連接BG,過點(diǎn)O作OKLHB于點(diǎn)K,結(jié)合BQLCP,ZOPQ=90°,可得四邊形POKQ為矩形.由

此可得QK=PO,OK〃CQ從而可得NKOB=NC=30。；由已知易證PE=36,在RtZkEPO中結(jié)合(2)可解得PO=6,

由此可得OB=QK=6；在RtAKOB中可解得KB=3,由此可得QB=9；在^ABG中由已知條件可得BG=6,NABG=60。；

過點(diǎn)G作GN1QB交QB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,由/ABG=NCBQ=60。,可得NGBN=60。,從而可得解得GN=3A/^，BN=3,

由此可得QN=12,則在RtABGN中可解得QG=3灰§,由NABG=NCBQ=60?？芍狝BQG中BM是角平分線，由此

可得QM：GM=QB：GB=9：6由此即可求得QM的長(zhǎng)了.

試題解析：

(1)如下圖1,連接OP,PB,；CP切。O于P,

...OPLCP于點(diǎn)P,

又???BQLCP于點(diǎn)Q,

，OP〃BQ,

.\ZOPB=ZQBP,

VOP=OB,

.\ZOPB=ZOBP,

.\ZQBP=ZOBP,

又?.?PELAB于點(diǎn)E,

；.PQ=PE；

(2)如下圖2,連接OP,；CP切。。于P,

：.ZOPC=ZOPQ=90°

：.ZC+ZCOP^90°

VPD1AB

ZPEO=ZAEF=ZBEF=90°

:.ZEPO+ZCOP=90°

：./C=ZEPO

在RtAFE4中,NGAB=30。

設(shè)EF=x,則AE=EF+tan300=氐

在RtAFEB中,tanNBFE=373

:.BE=EFtanNBFE=3瓜

:.AB=AE+BE=4%x

?*.AO=PO=2&

:.EO=AO-AE=6X

EO1

.,.在Rt/PEO中，sin/EPO=——=一

PO2

；.NC=NEPO=30°；

(3汝口下圖3,連接BG,過點(diǎn)。作OKLHB于K,又BQLCP,

...NOPQ=NQ=NOKQ=90°,

二四邊形POKQ為矩形，

/.QK=PO,OK//CQ,

.??NC=/K05=30。，

VOO中PDLAB于E,PD=66,AB為。O的直徑，

,\PE=；PD=36，

PE

根據(jù)⑵得NEPO=30°,在Rt/EPO中，cos/EPO=——，

PO

...PO=PE+cosNEPO=36+cos30°=6，

.,.OB=QK=PO=6,

KB

：?在Rt\K0Pi中，sin/KOB=,

OB

：.KB=OBsin300=6x-=3,

2

；.QB=9,

在AABG中，AB為。。的直徑，

:.NAGB=90。，

■:ZBAG=30°,

；.BG=6,NABG=60。，

過點(diǎn)G作GN1QB交QB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,則NN=90。，ZGBN=180°-ZCBQ-ZABG=60°,

/.BN=BQcosZGBQ=3,GN=BQsinZGBQ=373，

，QN=QB+BN=12,

.?.在RtAQGN中，QG=在+(3后=3M，

VZABG=ZCBQ=60°,

ABM是^BQG的角平分線，

AQM：GM=QB：GB=9：6,

QM=2x3M=

155

點(diǎn)睛：解本題第3小題的要點(diǎn)是：（1）作出如圖所示的輔助線，結(jié)合已知條件和（2）先求得BQ、BG的長(zhǎng)及

NCBQ=NABG=60。；（2）再過點(diǎn)G作GN±QB并交QB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,解出BN和GN的長(zhǎng),這樣即可在RtAQGN

中求得QG的長(zhǎng)，最后在△BQG中“由角平分線分線段成比例定理”即可列出比例式求得QM的長(zhǎng)了.

19、（1）PEF,PCB,ADE,BCF.（2）見解析；（3）存在，2

【解析】

（1）利用正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定方法證明全等即可；

（2）由（1）可知AP所名APCfi,則有印=BC,從而得到A5=跖，最后利用一組對(duì)邊平行且相等即可證明；

（3）由（1）可知APEFmAPCB,則Fb=依，從而得到APB廠是等腰直角三角形，則當(dāng)P3最短時(shí)，APBF的

面積最小，再根據(jù)AB的值求出PB的最小值即可得出答案.

【詳解】

解：（1）四邊形A3CD是正方形，

AD=DC=BC,ZACD=ZACB=45°,

.PELAC,PB±PF,

:.NEPC=NBPF=90°，

ZEPF=ZCPB,ZPEC=ZPCE=45°,

:.PE=PC,

在APEF和APCB中,

ZPEF=ZBCP

<PE=PC

ZEPF=ZCPB

"EF②APCB（ASA）

：.EF=BC=DC

.-.DE=CF

在AADE和ABC/中，

AD=BC

<ND=ZBCF=90°,

DE=CF

MDE2MCF(SAS)

故答案為PEF,PCB,ADE,BCF；

(2)證明：由(1)可知AP所之APCB,

:.EF=BC,

■,AB=BC

:.AB=EF

■,■AB//EF

四邊形AEEB是平行四邊形.

(3)解：存在，理由如下：

APEF^APCB

：.PF=PB

ZBPF=90°

APBF是等腰直角三角形，

二.尸5最短時(shí)，APB廠的面積最小，

，當(dāng)P5LAC時(shí)，Pfi最短，此時(shí)尸3=A5-cos45o=20x走=2,

2

/.APBF的面積最小為-x2x2=2.

2

【點(diǎn)睛】

本題主要考查全等三角形的判定及性質(zhì)，平行四邊形的判定，掌握全等三角形的判定方法和平行四邊形的判定方法是

解題的關(guān)鍵.

20、x-1,1.

【解析】

先通分計(jì)算括號(hào)里的，再計(jì)算括號(hào)外的，最后根據(jù)分式性質(zhì)，找一個(gè)恰當(dāng)?shù)臄?shù)2(此數(shù)不唯一)代入化簡(jiǎn)后的式子計(jì)

算即可.

【詳解】

解：原式X曰

=x-1,

x+1X

根據(jù)分式的意義可知，x^O,且討士1,

當(dāng)x=2時(shí)，原式=2-1=1.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查分式的化簡(jiǎn)求值，化簡(jiǎn)過程中要注意運(yùn)算順序，化簡(jiǎn)結(jié)果是最簡(jiǎn)形式，難點(diǎn)在于當(dāng)未知數(shù)的值沒有明確

給出時(shí)，所選取的未知數(shù)的值必須使原式的各分式都有意義，且除數(shù)不能為零.

21、（1）證明見解析；（2）BP=1.

【解析】

分析：（1）連接OB,如圖，根據(jù)圓周角定理得到NABD=90。，再根據(jù)切線的性質(zhì)得到NOBC=90。，然后利用等量代

換進(jìn)行證明；

（2）證明AAOPsaABD,然后利用相似比求BP的長(zhǎng).

詳（1）證明：連接OB,如圖，

；AD是。。的直徑,

...NABD=90°,

:.ZA+ZADB=90°,

VBC為切線，

.\OB1BC,

:.ZOBC=90°,

/.ZOBA+ZCBP=90°,

而OA=OB,

:.ZA=ZOBA,

AZCBP=ZADB；

(2)解：VOP±AD,

.\ZPOA=90°,

.\ZP+ZA=90°,

:.NP=ND,

/.△AOP^AABD,

APAO1+BP2

，——=——，即a------=-,

ADAB41

/.BP=1.

點(diǎn)睛：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑.若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖,

得出垂直關(guān)系.也考查了圓周角定理和相似三角形的判定與性質(zhì).

-2一

22、(l)y=—,y=-x-l；(2)x<-2或0<x<l

x

【解析】

(1)利用點(diǎn)A的坐標(biāo)可求出反比例函數(shù)解析式，再把B(l,n)代入反比例函數(shù)解析式，即可求得n的值,于是得到一次

函數(shù)的解析式；

(2)根據(jù)圖象和A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)即可寫出一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值的x的取值范圍.

【詳解】

(l)vA(-2,l)在反比例函數(shù)y=—的圖象上，

X

mI,d

??1=二>解得m=-2.

-2

反比例函數(shù)解析式為y=—,

???B(l,n)在反比例函數(shù)上，

n=-2,

AB的坐標(biāo)(1,一2),

把A(-2,l),B(l,-2)代入y=kx+b得

l=-2k+b

-2=k+b

"k=一1

解得：八1

b=-l

???一次函數(shù)的解析式為y=-x-l;

(2)由圖像知：當(dāng)x<-2或0<x<l時(shí)，一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值.

【點(diǎn)睛】

本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，屬于簡(jiǎn)單題，熟悉函數(shù)圖像的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

23、(1)(1,4)(2)①點(diǎn)M坐標(biāo)(-工，Z)或(-2,-2).②m的值為匹翅7或上2叵

242422

【解析】

(1)利用待定系數(shù)法即可解決問題;

(2)①根據(jù)tanNMBA=旅=1"'+2"2+3],tan/BDE=g￡=,，由NMBA=NBDE,構(gòu)建方程即可解決問題;

BG3-mDE2

②因?yàn)辄c(diǎn)M、N關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，四邊形MPNQ是正方形，推出點(diǎn)P是拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)，即

OP=1,易證GM=GP,BP|-m2+2m+3|=|l-m|,解方程即可解決問題.

【詳解】

解：(1)把點(diǎn)B(3,0),C(0,3)代入y=-x2+bx+c,

一9+38+c=0Jb=2

得到｛，解得；,

c=3lc=3

???拋物線的解析式為y=-x2+2x+3,

Vy=-x2+2x-1+1+3=-(x-1)2+4,

J頂點(diǎn)D坐標(biāo)(1,4)；

(2)①作MGJ_x軸于G,連接BM.則NMGB=90。，設(shè)M(m,-m2+2m+3),

MG一加2+2機(jī)+3

AtanZMBA=絲i=J____________?

BG3—m

???DEJ_x軸，D(1,4),

AZDEB=90°,DE=4,OE=1,

VB(