遼寧省清原中學(xué)2024屆高三二診模擬考試數(shù)學(xué)試卷

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。

2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。

3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.若直線2x+4y+m=0經(jīng)過拋物線丁=2必的焦點(diǎn)，貝！|切=()

11

A.—B.-----C.2D.—2

22

2.設(shè)函數(shù)g(x)="+(l—G)x—a(aeR,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，定義在R上的函數(shù)/Xx)滿足/(—x)+/(x)=x2,

且當(dāng)無<0時(shí)，f\x)<x.若存在/e]x|/(x)+g2/(l-x)+x|>,且不為函數(shù)y=g(x)—x的一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)

a的取值范圍為、()

A.,+00B.(Ve,+oo)

T7

3.設(shè)全集U=R,集合A={x|x<2},B={X|X2-3X<0},貝M外人)B=()

A.(0,3)B.[2,3)C.(0,2)D.(O,+“)

4.馬林?梅森是17世紀(jì)法國(guó)著名的數(shù)學(xué)家和修道士，也是當(dāng)時(shí)歐洲科學(xué)界一位獨(dú)特的中心人物，梅森在歐幾里得、費(fèi)

馬等人研究的基礎(chǔ)上對(duì)4-1作了大量的計(jì)算、驗(yàn)證工作，人們?yōu)榱思o(jì)念梅森在數(shù)論方面的這一貢獻(xiàn)，將形如2P-1

(其中。是素?cái)?shù))的素?cái)?shù)，稱為梅森素?cái)?shù).若執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的梅森素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)是()

A.3B.4C.5D.6

5.已知向量/=(2cos2%百)，n=(l,sin2x),設(shè)函數(shù)/(x)=/〃?〃，則下列關(guān)于函數(shù)y=/(力的性質(zhì)的描述正確

的是(

A.關(guān)于直線x=2對(duì)稱B.關(guān)于點(diǎn)二,0對(duì)稱

12U2)

C.周期為2?D.y=/(x)在1—g,oj上是增函數(shù)

6.下圖為一個(gè)正四面體的側(cè)面展開圖，G為5尸的中點(diǎn)，則在原正四面體中，直線EG與直線所成角的余弦值為

()

FED

A.正B.—

33

c昱

°~6~。?答

7.復(fù)數(shù)Z的共相復(fù)數(shù)記作口已知復(fù)數(shù)4對(duì)應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn)復(fù)數(shù)Z2：滿足)/2=-2.則上2|等于()

A.0B.2C.V10D.10

8.已知函數(shù)/(x)=a(e2x—21nx)(a>0),D=1,1若所有點(diǎn)(s,/⑺)，(s/e。)所構(gòu)成的平面區(qū)域面積為

。2一1,則。=()

1e

A.eB.-------C.1D.--------

e-2e-2

2

9.函數(shù)〃x)=2*---。的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

X

A.(1,3)B.(1,2)C.(0,3)D.(0,2)

(3A

10.已知函數(shù)/(x)=nf—根(/〃>0,且m/I)的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，則a=1/(、歷)|,6=f4G,c=1/(0)I

I7

的大小關(guān)系為()

A.c<b<aB.c<a<b

C.a<b<cD.b<a<c

11.直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線1-二=1（a,/?>0）與拋物線V=2"湘交于A、8兩點(diǎn)，若AOAB是等

a~b"

邊三角形，則該雙曲線的離心率e=（）

4567

A.—B.—C.—D.一

3456

12.在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點(diǎn)P（2應(yīng),-應(yīng)），漸近線方程為y=±J5x的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

22222222

A.工-乙=1B.土-乙=1C.土-乙=1D.匕-土=1

4271436147

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.割圓術(shù)是估算圓周率的科學(xué)方法，由三國(guó)時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立，他用圓內(nèi)接正多邊形面積無限逼近圓面積，從而

得出圓周率.現(xiàn)在半徑為1的圓內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自其內(nèi)接正十二邊形內(nèi)部的概率為.

14.給出下列等式：A/2=2COS-,也+&=2COS2,,2+，2+0=2cos1,…請(qǐng)從中歸納出第九個(gè)等式：

4816

J2+…+^2+^2二

〃不2

2

15.已知橢圓。：必+上=1,M（、歷,0）,若橢圓C上存在點(diǎn)N使得AQWN為等邊三角形（。為原點(diǎn)），則橢圓C

m

的離心率為.

16.在△ABC中，a=3,b=2癡，B=2A,則cosA=.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

114

17.（12分）在①&=々，②------③&=35這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并解答.

dyCl?

已知等差數(shù)列｛??｝的公差為d（d>0）,等差數(shù)列也｝的公差為2d.設(shè)4,紇分別是數(shù)列｛%｝,也｝的前〃項(xiàng)和，且

&=3,4=3,,

（1）求數(shù)列｛4｝,也｝的通項(xiàng)公式；

3

（2）設(shè)c.=2°”+乃一，求數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和S“.

unun+\

18.（12分）已知各項(xiàng)均不相等的等差數(shù)列｛?！埃那?項(xiàng)和為S4=14,且％,%,%成等比數(shù)列.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列」一|的前〃項(xiàng)和7；.

[44+1J

尤=2cosa

19.(12分)在直角坐標(biāo)系xQy中，曲線G的參數(shù)方程為1°°.(a為參數(shù)，以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸

y=2+2sina

的正半軸為極軸，取相同長(zhǎng)度單位建立極坐標(biāo)系，曲線G的極坐標(biāo)方程為夕=4cosd.

(1)求曲線G的極坐標(biāo)方程和曲線G的普通方程；

JT

(2)設(shè)射線OP：e=—與曲線G交于不同于極點(diǎn)的點(diǎn)A，與曲線C交于不同于極點(diǎn)的點(diǎn)3,求線段的長(zhǎng).

6

20.(12分)如圖，在四棱錐ABCD中，底面ABC。是直角梯形且AD〃3C,AB±BC,AB=BC=2AD=2,

側(cè)面為等邊三角形，且平面平面ABCD.

(1)求平面FA5與平面PDC所成的銳二面角的大??；

7F

(2)若CQ=4CP(噫吃1),且直線5。與平面所成角為求2的值.

x=tcosa

21.(12分)在直角坐標(biāo)系xQy中，曲線G的參數(shù)方程為1°.。為參數(shù)，0<a<?),點(diǎn)M(O,—2).

y=—2+/sin。

以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，》軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線。2的極坐標(biāo)方程為夕=4&cos6+?

(1)求曲線。2的直角坐標(biāo)方程，并指出其形狀；

(2)曲線G與曲線C交于A，B兩點(diǎn),若^―+」一=姮，求sina的值.

\MA\\MB\4

22.(10分)設(shè)函數(shù)/(x)=|x+a],a>0.

(I)當(dāng)a=2時(shí)，求不等式〃無)<三的解集；

(II)若函數(shù)g(x)=/(x)+/(1—力的圖象與直線y=11所圍成的四邊形面積大于20,求a的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、B

【解析】

計(jì)算拋物線的交點(diǎn)為,代入計(jì)算得到答案.

【詳解】

y=2必可化為爐焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,：],故根=一：1.

2\o8J2

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了拋物線的焦點(diǎn)，屬于簡(jiǎn)單題.

2、D

【解析】

先構(gòu)造函數(shù)T(x)=/(x)-gf,由題意判斷出函數(shù)T")的奇偶性，再對(duì)函數(shù)T(x)求導(dǎo)，判斷其單調(diào)性，進(jìn)而可求

出結(jié)果.

【詳解】

構(gòu)造函數(shù)T(x)=〃x)—gd,

因?yàn)?/(%)=d，

11

所以T(x)+T(—x)=f(x)—+/(—%)—](—x)9=f(x)+/(—x)—廠=0,

所以T(x)為奇函數(shù)，

當(dāng)xWO時(shí)，T'(x)=/'(x)-x<0,所以T(x)在(—8,0］上單調(diào)遞減,

所以T(x)在R上單調(diào)遞減.

因?yàn)榇嬖?x/(%)+^>/(l-x)+x>,

所以/'(%))+：2/(1_玉))+玉)，

1119

所以『（xoH]x；+527（1一%）+5（1-%0）+X0,

化簡(jiǎn)得T（/）2T（l_Xo），

所以x0<l—%,即

令h（x）=g（x）-x=ex-y[ex-tz|x—|,

I2

因?yàn)?為函數(shù)y=g(x)-x的一個(gè)零點(diǎn)，

所以力⑴在x<g時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)

11

因?yàn)楫?dāng)*V5時(shí)，"(九)=ex-y/e</-y[e=0，

所以函數(shù)/i(x)在Xv1時(shí)單調(diào)遞減，

,一〃八1

由選項(xiàng)知。>0,—<^<^29

所以要使h(x)在xV1時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)，

只需使丸[；]=右_；五一°<0，解得a?*，

一一4}

所以。的取值范圍為5-,+°0,故選D.

_7

【點(diǎn)睛】

本題主要考查函數(shù)與方程的綜合問題，難度較大.

3、B

【解析】

可解出集合8,然后進(jìn)行補(bǔ)集、交集的運(yùn)算即可.

【詳解】

B={X|X2-3X<0)=(0,3),A=[X\X<2],則令人=[2,+<?),因此，⑹為5=[2,3).

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查補(bǔ)集和交集的運(yùn)算，涉及一元二次不等式的求解，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

4、C

【解析】

模擬程序的運(yùn)行即可求出答案.

【詳解】

解：模擬程序的運(yùn)行，可得:

P=l，

S=L輸出S的值為1,

滿足條件PW7,執(zhí)行循環(huán)體，p=3,5=7,輸出S的值為7,

滿足條件PW7,執(zhí)行循環(huán)體，p=5,5=31,輸出S的值為31,

滿足條件PW7,執(zhí)行循環(huán)體，p=7,5=127,輸出S的值為127,

滿足條件PW7,執(zhí)行循環(huán)體，0=9,5=511,輸出S的值為511,

此時(shí)，不滿足條件pW7,退出循環(huán)，結(jié)束,

故若執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的梅森素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)是5,

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查程序框圖，屬于基礎(chǔ)題.

5、D

【解析】

2

/(%)=2cosx+A/3sin2%=cos2x+^3sin2x+1=2sin(2x+?)+1,當(dāng)x=時(shí),sin(2x+彳)=sin三/±1,.'.fix)

IT

不關(guān)于直線％=二對(duì)稱；

12

STTTT5TT

當(dāng)％='時(shí),2sin(2x+-)+1=1,???/(x)關(guān)于點(diǎn)(二,1)對(duì)稱;

12612

式幻得周期丁二年=4，

當(dāng)九￡(——,0)時(shí),2%：G(一7,丁)，?7/(x)在(一；,0)上是增函數(shù).

36263

本題選擇D選項(xiàng).

6、C

【解析】

將正四面體的展開圖還原為空間幾何體，廠三點(diǎn)重合，記作。，取OC中點(diǎn)“，連接￡G,EH,G",/EGH即

為EG與直線所成的角，表示出三角形EGH的三條邊長(zhǎng)，用余弦定理即可求得cosNEGW.

【詳解】

將展開的正四面體折疊，可得原正四面體如下圖所示，其中AQ,歹三點(diǎn)重合，記作。：

?、?/p>

則G為中點(diǎn)，取。。中點(diǎn)”，連接EG,EH,GH,設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)均為。，

由中位線定理可得GH//BC^GH=LBC=La,

22

所以ZEGH即為EG與直線BC所成的角,

EG=EH=

由余弦定理可得COSZEGH=EG'GH—EM

2EGGH

321232_

-6/H—ci—cirz

444_W

2、x-6--—a?—i一a二

22

所以直線EG與直線BC所成角的余弦值為立

6

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了空間幾何體中異面直線的夾角，將展開圖折疊成空間幾何體，余弦定理解三角形的應(yīng)用，屬于中檔題.

7、A

【解析】

__2

根據(jù)復(fù)數(shù)4的幾何意義得出復(fù)數(shù)4,進(jìn)而得出4,由zjz,=-2得出Z2=-=可計(jì)算出Z2,由此可計(jì)算出匕21

Z1

【詳解】

由于復(fù)數(shù)4對(duì)應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn)(―1,—1),，，則)=—1+九

—222(1+，)),1---------「

\-zrz2=-2,~；=-----v=l+z,因此，z2=V1+1=V2.

4l-i+121

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)模的計(jì)算，考查了復(fù)數(shù)的坐標(biāo)表示、共飄復(fù)數(shù)以及復(fù)數(shù)的除法，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

8、D

【解析】

依題意，可得((幻>0,在1,1上單調(diào)遞增，于是可得/Xx)在1,1上的值域?yàn)閇a(e+2),e2a],繼而可得

a(e2-e-2)=解之即可.

【詳解】

2

“(c2、a(ex-2\mr「1J

解：f\x)=a\e2---=----------，因?yàn)閄*—J,a>Of

\xjXLe.

所以ra)>o,y(x)在-,i上單調(diào)遞增，

e

則/(元)在1,1上的值域?yàn)閇a(e+2),e2a],

因?yàn)樗悬c(diǎn)(s,/⑺)(取eD)所構(gòu)成的平面區(qū)域面積為e2-l,

所以a(/-e-2)^1--=e2-1,

解得。=三，

e-2

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，理解題意，得到a(e2-e-2)(l-』)=e2-1是關(guān)鍵，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題.

e

9、C

【解析】

2

顯然函數(shù)f(x)=2'——a在區(qū)間(1,2)內(nèi)連續(xù)，由〃龍)的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則/⑴/■⑵<0,即可求解.

【詳解】

由題，顯然函數(shù)/'(X)=2工——a在區(qū)間(1,2)內(nèi)連續(xù)，因?yàn)?(無)的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi)斯以/(1)/(2)<0,即

(2-2-a)(4-1-a)<0,解得0<a<3,

故選:C

【點(diǎn)睛】

本題考查零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.

10、C

【解析】

根據(jù)題意，得0<加<1,/(1)=0,則/(尤)為減函數(shù)，從而得出函數(shù)17(x)1的單調(diào)性，可比較。和沙，而

c=|/(0)|=l-m,比較/(0),/(2),即可比較a,4c.

【詳解】

因?yàn)?(根>0,且“2W1)的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，

所以。(加<1,/⑴=。，

所以函數(shù)f(x)為減函數(shù)，函數(shù)1/(%)I在(-8,1)上單調(diào)遞減，在(l,y)上單調(diào)遞增，

133

又因?yàn)?<0=25<4,=24<2，

所以a<b,

又c=1/(。)1=1一m，1/(2)|=nr-m,

則I"⑵I-"(0)1="-1<0,

即"(2)|<|/(0)|,

所以a<b<c.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，還考查化簡(jiǎn)能力和轉(zhuǎn)化思想.

11、D

【解析】

根據(jù)題干得到點(diǎn)A坐標(biāo)為（3%,后），代入拋物線得到坐標(biāo)為（6仇2啊,再將點(diǎn)代入雙曲線得到離心率.

【詳解】

因?yàn)槿切蜲AB是等邊三角形，設(shè)直線。人為丫二】，》,設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為伊,氐），代入拋物線得到x=2b,故點(diǎn)A

的坐標(biāo)為（6b,2回），代入雙曲線得到4=—^e=Jl+^=-

a~36ya~6

故答案為：D.

【點(diǎn)睛】

求雙曲線的離心率（或離心率的取值范圍），常見有兩種方法：①求出。，。，代入公式6=￡；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得

a

到關(guān)于a,b,c的齊次式,結(jié)合b2=c2-/轉(zhuǎn)化為a,c的齊次式,然后等式（不等式）兩邊分別除以a或1轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的

方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范圍）.

12、B

【解析】

根據(jù)所求雙曲線的漸近線方程為y=±0x,可設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為2x2-y2=k.再把點(diǎn)（2底,-J5）代入，

求得k的值，可得要求的雙曲線的方程.

【詳解】

?.?雙曲線的漸近線方程為y=±0x,.?.設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為2x2-y2=k.又（2行,-J5）在雙曲線上，則

22

k=16-2=14,即雙曲線的方程為2x22=14,雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為乙=1

714

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查用待定系數(shù)法求雙曲線的方程，雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

3

13、一

兀

【解析】

求出圓內(nèi)接正十二邊形的面積和圓的面積，再用幾何概型公式求出即可.

【詳解】

半徑為1的圓內(nèi)接正十二邊形，可分割為12個(gè)頂角為丁，腰為1的等腰三角形,

O

171

...該正十二邊形的面積為S=12x—xlxlxsin—=3,

26

33

根據(jù)幾何概型公式，該點(diǎn)取自其內(nèi)接正十二邊形的概率為一T=-

開X171

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查面積型幾何概型的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

c乃

14、2cos

【解析】

通過已知的三個(gè)等式，找出規(guī)律，歸納出第九個(gè)等式即可.

【詳解】

解：因?yàn)椋篤2=2cos-,,2+0=2cos工,^2+J2+V2=2cos—,

4816

1n

等式的右邊系數(shù)是2,且角是等比數(shù)列，公比為不，則角滿足：第九個(gè)等式中的角中，

22

所以』2+…+/2+"=23木；

〃個(gè)2

TT

故答案為：2cos--.

2

【點(diǎn)睛】

本題主要考查歸納推理，注意已知表達(dá)式的特征是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.

15、亞

3

【解析】

根據(jù)題意求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，將其代入橢圓的方程，求出參數(shù)機(jī)的值，再根據(jù)離心率的定義求值.

【詳解】

由題意得N(孝，土半)，

將其代入橢圓方程得加=3,

所以e=*=亞

V33

故答案為：逅.

3

【點(diǎn)睛】

本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)，屬于中檔題.

V6

3

【解析】

由已知利用正弦定理，二倍角的正弦函數(shù)公式即可計(jì)算求值得解.

【詳解】

解：'."a—3,b=2瓜,5=24,

...由正弦定理可得：三/7=——h=——h--

sinAsinB2sinAcosA

.Ab2瓜瓜

??cosA———--------?

2a2x33

故答案為逅.

3

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了正弦定理，二倍角的正弦函數(shù)公式在解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)4=應(yīng)2=2鼠+1；(2)2"+1-3(〃+2)

2n+3

【解析】

方案一：⑴根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前"項(xiàng)和公式列方程組，求出內(nèi)和d,從而寫出數(shù)列｛4｝,也｝的通項(xiàng)公式;

(2)由第(1)題的結(jié)論，寫出數(shù)列｛g｝的通項(xiàng)%=2"+】(3；-7工],采用分組求和、等比求和公式以及裂

212〃+12〃+3J

項(xiàng)相消法，求出數(shù)列｛%｝的前幾項(xiàng)和s“.

其余兩個(gè)方案與方案一的解法相近似.

【詳解】

解：方案一：

(1)?.?數(shù)列｛4｝，｛d｝都是等差數(shù)列，且4=3,2=&，

2a+d=3fa,=1

??.〈＜｝八一，解得L1

5q+l0d=9+6d[d=l

an=ai+(n-l)d=n,

bn=bx+(n-l)2J=2n+l

綜上%=n,b〃=2〃+l

(2)由(1)得:

c〃3c〃3/111

2H---------------2H--------------

(2〃+l)(2〃+3)2⑵+12〃+3)

2

:.Sn=(2+2++(-----------)]

2n+l2n+3

21—

1-22(32n+3)

=2,+i35+2)

2"+3

方案二：

114

(1)???數(shù)列｛%｝，也｝都是等差數(shù)列,且4=3,-.....,

CLyCl2^^2

2CL+d—3fa,=1

-.J解得)

4q(q+d)=d(6+2d)[d=1

〃〃=〃]+(〃-l)d=n,

bn=bx+(n-l)2J=2n+l.

綜上，%=〃，d=2〃+1

（2）同方案一

方案三:

（1）???數(shù)列｛%｝，｛%｝都是等差數(shù)列，且&=3,風(fēng)=35.

2al+d=3

ax—\

.u5x4-.J解得'

3x5■)-----x2d=35d=1

2

a“-at+(n-l)d-n,

bn-bx+(n-l)2d=2n+1.

綜上，?！?哂=2〃+1

（2）同方案一

【點(diǎn)睛】

本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前〃項(xiàng)和公式的應(yīng)用，考查了分組求和、等比求和及裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前〃項(xiàng)和,

屬于中檔題.

n

18、(1)=〃+1；(2)T”=

2(n+2),

【解析】

試題分析：（1）設(shè)公差為d,列出關(guān)于的方程組，求解q,d的值，即可得到數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得

111

-----=-7——",即可利用裂項(xiàng)相消求解數(shù)列的和.

44+1------"+1〃+2

4〃]+6d=14

試題解析：（1）設(shè)公差為d.由已知得｛/「/,解得d=l或4=0（舍去），所以％=2,故%=〃+1.

（q+2d）=ax（q+6d）

1111

(2)-----

(“+1)(“+2)77+1〃+2,

111111n

--------1---------1+

2334?+1〃+22(〃+2)

考點(diǎn)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；數(shù)列的求和.

2

19、(1)夕=4sin。；(%-2)+/=4(2)26一2

【解析】

(1)曲線G的參數(shù)方程轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為f+(y-2)2=4.再用極直互化公式求解，曲線的極坐標(biāo)方程用極

直互化公式轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程(x-2)2+V=4.

(2)射線0尸與曲線G的極坐標(biāo)方程聯(lián)解求出。i=2,射線0尸與曲線的極坐標(biāo)方程聯(lián)解求出夕2=26，再用

|的|=|2一聞得解

【詳解】

/、fx=2COSdfrr

解：(1)曲線C]的參數(shù)方程為cc.為參數(shù)，轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為九2+?！?)2=4.把％二夕。。$8,

[y=2+2sma

x二夕sin?代入得：/7=4sin<9

曲線C2的極坐標(biāo)方程為夕=4COS6?.轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為(x-2>+/=4.

(2)設(shè)射線OP：9=￡與曲線G交于不同于極點(diǎn)的點(diǎn)A,

6

所以6,解得乃=2.

夕=4sin。

與曲線C2交于不同于極點(diǎn)的點(diǎn)B,

所以彳6,解得夕2=26，

夕=4cos6

所以=闖=26-2

【點(diǎn)睛】

本題考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程直角坐標(biāo)方程相互轉(zhuǎn)換及極坐標(biāo)下利用夕和。的幾何意義求線段的長(zhǎng).(1)直角坐標(biāo)

方程化為極坐標(biāo)方程只需將直角坐標(biāo)方程中的羽V分別用Qcos。，夕sin，代替即可得到相應(yīng)極坐標(biāo)方程.參數(shù)方程

化為極坐標(biāo)方程必須先化成直角坐標(biāo)方程再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程.(2)直接求解，能達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的解題目的；如果幾

何關(guān)系不容易通過極坐標(biāo)表示時(shí)，可以先化為直角坐標(biāo)方程，將不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題加以解決.

20、(1)-；(2)

46

【解析】

(1)分別取AB,CD的中點(diǎn)為O,E,易得OP,OE,05兩兩垂直，以O(shè)E,OB,O尸所在直線為劉y,z軸建立空

間直角坐標(biāo)系，易得AD=(1,0,0)為平面上鉆的法向量，只需求出平面PDC的法向量為〃，再利用

In.AZ)I

cose=|cos<n-AD>|=-----'計(jì)算即可；

In||AD|

JT

(2)求出BQ,利用|cos<〃,BQ>|=sin§計(jì)算即可.

【詳解】

(1)分別取ABCD的中點(diǎn)為。E,連結(jié)。QEO.

因?yàn)锳O〃8C,所以0E〃8C.

因?yàn)樗訟BLOE.

因?yàn)閭?cè)面？A3為等邊三角形，

所以ABLOP

又因?yàn)槠矫鍾IB_L平面ABCD,

平面QABc平面A5CD=AB,OPu平面

所以O(shè)尸，平面ABC。，

所以O(shè)P,OE,OB兩兩垂直.

以。為空間坐標(biāo)系的原點(diǎn)，分別以O(shè)E,OB,O尸所在直線為X,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

因?yàn)锳B=3C=2AD=2,則0(0,0,0),A(0,-l,0),8(0,1,0),C(2,l,0),0),P(0,0,回

DC=(1,2,0),PC=(2,1,-?

上,,[n-DC=Qx+2y-0

設(shè)平面PDC的法向量為n=(x,y,z),貝明，即<

n-PC=02x+y-Qz=0

取y=l,則x=—2,z=-6,所以：=(—2,1,—百).

又AD=(1,0,0)為平面R鉆的法向量，設(shè)平面R43與平面PDC所成的銳二面角的大小為。，則

八，,\n-AD\2A/2

cos6=|cos<n?AD>|=-------=<=—.

\n\\AD\J(_2y+F+(-后2

JT

所以平面PAB與平面PDC所成的銳二面角的大小為了.

4

(2)由(1)得，平面PDC的法向量為〃=(-2,1,-6),PC=(2,1,-G),

所以成8。=BC+2CP=(-22+2,-2,后)(0張收1).

又直線BQ與平面PDC所成角為3,

jrBn\n-BQ\_y/3

所以|cos<n,BQ>\=sin—即-------=---

1例時(shí)|2

|42