3.6直線和圓的位置關(guān)系導(dǎo)學(xué)案（第2課時(shí)）學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能判定一條直線是否為圓的切線．2.會(huì)過圓上一點(diǎn)畫圓的切線．3.會(huì)作三角形的內(nèi)切圓．學(xué)習(xí)策略1.通過判定一條直線是否為圓的切線，訓(xùn)練學(xué)生的推理判斷能力．2.會(huì)過圓上一點(diǎn)畫圓的切線，訓(xùn)練學(xué)生的作圖能力．3.經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動(dòng)過程，發(fā)展合情推理能力和初步演繹推理能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點(diǎn)．4.經(jīng)歷探究圓與直線的位置關(guān)系的過程，掌握?qǐng)D形的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，并能解決簡(jiǎn)單的問題．學(xué)習(xí)過程 一.復(fù)習(xí)回顧：上節(jié)課我們學(xué)習(xí)直線和圓的位置關(guān)系，你知道怎么判定直線和圓位置關(guān)系嗎？方法1：看直線與圓交點(diǎn)的個(gè)數(shù)方法2：看直線到圓的距離d與圓的半徑r的大小關(guān)系二.新課學(xué)習(xí)：1.如下圖，AB是⊙O的直徑，直線l經(jīng)過點(diǎn)A，l與AB的夾角為∠α，當(dāng)l繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn).（1）隨著∠α的變化，點(diǎn)O到l的距離d如何變化?（2）直線l與⊙O的位置關(guān)系如何變化?（3）當(dāng)∠α等于多少度時(shí)，點(diǎn)O到l的距離d等于半徑r?（4）此時(shí)，直線l與⊙O有怎樣的位置關(guān)系?為什么?圓的切線的判定定理：經(jīng)過直徑的一端，并且垂直于這條直徑的直線是圓的切線．2．做一做：已知⊙O上有一點(diǎn)A，過A作出⊙O的切線．（1）過A點(diǎn)的切線需要滿足幾個(gè)條件？（2）你能找到這幾個(gè)條件嗎？（3）你能根據(jù)條件作圖嗎？3.作三角形的內(nèi)切圓．如下圖，從一塊三角形材料中，能否剪下一個(gè)圓使其與各邊都相切．（1）假設(shè)符號(hào)條件的圓已作出，則它的圓心到三角形三邊的距離有什么關(guān)系？（2）那么圓心在這個(gè)三角形的什么位置上？（3）半徑是什么？（4）和三角形三邊都相切的圓可以作出幾個(gè)？像這樣和三角形三邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓.內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，是三角形三條角平分線的交點(diǎn).三.嘗試應(yīng)用：1、下列說法中，正確的是（）。A垂直于半徑的直線一定是這個(gè)圓的切線B圓有且只有一個(gè)外切三角形C三角形有且只有一個(gè)內(nèi)切圓，D三角形的內(nèi)心到三角形的3個(gè)頂點(diǎn)的距離相等2、直角三角形兩直角邊長(zhǎng)是5cm、12cm，則它的外接圓半徑R=________,內(nèi)切圓半徑r=___________.3、已知：在△ABC中，∠A=68°，點(diǎn)I是內(nèi)心，求：∠BIC的度數(shù).四.自主總結(jié)：1.切線的判定定理:過半徑且于半徑的是圓的切線．2.像這樣和三角形三邊都的圓叫做三角形的內(nèi)切圓.內(nèi)切圓的叫做三角形的內(nèi)心，是三角形三條的交點(diǎn).五.達(dá)標(biāo)測(cè)試一、選擇題1.下列命題中正確的是（）A．垂直于半徑的直線是圓的切線B．經(jīng)過半徑外端的直線是圓的切線C．經(jīng)過切點(diǎn)的直線是圓的切線D．圓心到某直線的距離等于半徑，那么這條直線是圓的切線2.如圖，Rt△ABC中，AB=10cm，BC=8cm，若點(diǎn)C在⊙A上，則⊙A的半徑是（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm3．如圖，在△ABC中，∠BAC=28°，以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)D，DE∥CB，連接BD，若添加一個(gè)條件，使BC是⊙O的切線，則下列四個(gè)條件中不符合的是（）A．DE⊥AB B．∠EDB=28° C．∠ADE=∠ABD D．OB=BC二、填空題4.如圖，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，以點(diǎn)A為圓心，以3cm為半徑作⊙A，當(dāng)AB=cm時(shí)，BC與⊙A相切．5．如圖，△ABC的一邊AB是⊙O的直徑，請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使BC是⊙O的切線，你所添加的條件為．6．已知Rt△ABC的斜邊AB=8，AC=4，以點(diǎn)C為圓心作圓，當(dāng)半徑R等于時(shí)，AB與⊙O相切．三、解答題7．如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為6．（1）作正△ABC的內(nèi)切圓；（2）求內(nèi)切圓的半徑．8.如圖，△ABC的內(nèi)心為點(diǎn)I，外心為點(diǎn)O，且∠BIC=115°，求∠BOC的度數(shù)．9.（1）如圖（1），△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為直徑，∠CAE=∠B，試說明AE與⊙O相切于點(diǎn)A．（2）在圖（2）中，若AB為非直徑的弦，∠CAE=∠B，AE還與⊙O相切于點(diǎn)A嗎？請(qǐng)說明理由．10．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D在⊙O上，OC∥AD交⊙O于E，點(diǎn)F在CD延長(zhǎng)線上，且∠BOC+∠ADF=90°．（1）求證：；（2）求證：CD是⊙O的切線．3.6直線和圓的位置關(guān)系達(dá)標(biāo)測(cè)試答案（第2課時(shí)）一、選擇題1．【解析】由切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；與切線的定義：圓心到某直線的距離等于半徑，那么這條直線是圓的切線，即可求得答案．注意排除法在解選擇題中的應(yīng)用．【解答】解：由經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線，故A，B，C錯(cuò)誤；由圓心到某直線的距離等于半徑，那么這條直線是圓的切線，故D正確．故選D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了切線的判定與定義．此題比較簡(jiǎn)單，注意熟記定理與定義是解此題的關(guān)鍵．2．【解析】先利用勾股定理計(jì)算出AC=6cm，然后根據(jù)圓的半徑的定義求解．【解答】解：∵∠ACB=90°，∴AC===6（cm），∵點(diǎn)C在⊙A上，∴⊙A的半徑為6cm．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．也考查了垂徑定理．3．【解析】利用切線的判定方法，結(jié)合平行線的性質(zhì)以及圓周角定理得出∠ABC=90°即可．【解答】解：A、∵DE⊥AB，DE∥CB，∴∠ABC=90°，∵AB為直徑，∴BC是⊙O的切線，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、∵∠EDB=28°，以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)D，∴∠BDE+∠ADE=90°，∵∠BAD=28°，∴∠BAD+∠ADE=90°，∴DE⊥AB，∵DE∥CB，∴∠ABC=90°，∵AB為直徑，∴BC是⊙O的切線，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、∵以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)D，∴∠BDE+∠ADE=90°，∵∠ADE=∠ABD，∴∠BDE+∠ABD=90°，∴DE⊥AB，∵DE∥CB，∴∠ABC=90°，∵AB為直徑，∴BC是⊙O的切線，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、OB=BC，無法得出，AB⊥BC，故符合題意．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了切線的判定以及圓周角定理和平行線的性質(zhì)等知識(shí)，正確應(yīng)用圓周角定理是解題關(guān)鍵．二、填空題4．【解析】當(dāng)BC與⊙A相切，點(diǎn)A到BC的距離等于半徑即可．【解答】解：如圖，過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D．∵AB=AC，∠B=30°，∴AD=AB，即AB=2AD．又∵BC與⊙A相切，∴AD就是圓A的半徑，∴AD=3cm，則AB=2AD=6cm．故答案是：6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定．此題利用了切線的定義和含30度角的直角三角形的性質(zhì)得到AB的長(zhǎng)度的．5.【解析】根據(jù)切線的判定方法知，能使BC成為切線的條件就是能使AB垂直于BC的條件，進(jìn)而得出答案即可．【解答】解：當(dāng)△ABC為直角三角形時(shí)，即∠ABC=90°時(shí)，BC與圓相切，∵AB是⊙O的直徑，∠ABC=90°，∴BC是⊙O的切線，（經(jīng)過半徑外端，與半徑垂直的直線是圓的切線）．故答案為：∠ABC=90°．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了切線的判定，本題是一道典型的條件開放題，解決本類題目可以是將最終的結(jié)論當(dāng)做條件，而答案就是使得條件成立的結(jié)論．6．【解析】首先根據(jù)題意畫出圖形，再過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，由Rt△ABC的斜邊AB=8，AC=4，可求得BC的長(zhǎng)，然后由三角形面積可得CD==2，即可求得答案．【解答】解：過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，∵Rt△ABC的斜邊AB=8，AC=4，∴CB==4，∵S△ABC=AC?BC=AB?CD，∴CD==2，∴當(dāng)半徑R等于2時(shí)，AB與⊙O相切．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了切線的判定、勾股定理以及三角形面積問題．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．三、解答題7．【解析】（1）分別作∠BAC、∠ABC的角平分線AE、BF，二者交于點(diǎn)O，以點(diǎn)O為圓心、OE為半徑作圓O，圓O即是所求；（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)以及角平分線的定義即可得出∠OBE=30°、∠OEB=90°、BE=3，再根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可求出OE的長(zhǎng)度，此題得解．【解答】解：（1）分別作∠BAC、∠ABC的角平分線AE、BF，二者交于點(diǎn)O，以點(diǎn)O為圓心、OE為半徑作圓O（如圖所示），圓O即是正△ABC的內(nèi)切圓．（2）∵△ABC為等邊三角形，AE平分∠BAC，BF平分∠ABC，∴AE垂直平分BC，∠OBE=∠ABC=30°，∴BE=BC=3，∠OEB=90°．在Rt△OBE中，∠OBE=30°，∠OEB=90°，BE=3，∴OE=BE?tan∠OBE=3×=．∴內(nèi)切圓的半徑為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心、角平分線的定義以及等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握三角形內(nèi)心的找法是解題的關(guān)鍵．8.【解析】如圖，證明∠ABI=∠CBI（設(shè)為α），∠ACI=∠BCI（設(shè)為β）；求出α+β=65°，進(jìn)而求出∠A即可解決問題．【解答】解：如圖，∵△ABC的內(nèi)心為點(diǎn)I，∴∠ABI=∠CBI（設(shè)為α），∠ACI=∠BCI（設(shè)為β），∵∠BIC=115°，∴α+β=180°﹣115°=65°，∴∠A=180°﹣2（α+β）=180°﹣130°=50°，∴∠BOC=2∠A=100°．【點(diǎn)評(píng)】該題主要考查了三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)及其應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用有關(guān)定理來解析、解答；對(duì)綜合的解析問題、解決問題的能力提出了一定的要求．9．【解析】（1）根據(jù)圓周角定理由AB為直徑得∠ACB=90°，所以∠B+∠BAC=90°，由于∠CAE=∠B，則∠CAE+∠BAC=90°，所以O(shè)A⊥AE，則可根據(jù)切線的判定定理得到AE與⊙O相切于點(diǎn)A；（2）作直徑AD，根據(jù)圓周角定理得到∠B=∠D，則可與（1）中的證明方法一樣得到AE與⊙O相切于點(diǎn)A．【解答】證明：（1）∵AB為直徑，∴∠ACB=90°，∴∠B+∠BAC=90°，而∠CAE=∠B，∴∠CAE+∠BAC=90°，即∠BAE=90°，∴OA⊥AE，∴AE與⊙O相切于點(diǎn)A；（2）AE還與⊙O相切于點(diǎn)A．理由如下：作直徑AD，如圖2，∴∠D+∠DAC=90°，∵∠B=∠D，而∠CAE=∠B，∴∠CAE+∠DAC=90°，即∠DAE=90°，∴OA⊥AE，∴AE與⊙O相切于點(diǎn)A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了圓周角定理．10.【解析】（1）證明弧相等可轉(zhuǎn)化為證明弧所對(duì)的圓心角相等即證明∠BOC=∠COD即可；（2）由（1）可得∠BOC=∠OAD，∠OAD=∠ODA，再由已知條件證明∠ODF=90