高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2河北省九校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知，則的虛部為（）A.2 B.4 C.-2 D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，所以，則z的虛部為2.故選：A.2.若向量，則的取值集合為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)椋?，所以，解得?，即x取值集合為.故選：C.3.如圖，這是一個(gè)正方體的平面展開圖，若將其還原成正方體，下列直線中，與直線是異面直線的是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由平面展開圖得到該正方體的直觀圖如圖所示，與直線是異面直線的是，其中，所以與共面、與共面、與共面．故選：C.4.如圖，的斜二測(cè)直觀圖為等腰直角三角形，其中，則的面積為（）A. B. C.6 D.〖答案〗D〖解析〗將直觀圖還原為原圖，如圖，由，，所以，所以，則，即原平面圖形的面積是．故選：D.5.向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，則向量（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如圖，設(shè)，則．故選：D.6.在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．若，則的形狀一定是（）A.等腰三角形 B.銳角三角形C.直角三角形 D.鈍角三角形〖答案〗A〖解析〗在中，由及正弦定理，得，于是，而，則，所以是等腰三角形.故選：A.7.已知正方形邊長(zhǎng)為，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗方法一：如圖所示，建立以為原點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)系，得，則，故．方法二：，故．故選：A.8.財(cái)富匯大廈坐落在廣東省湛江市經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)，是湛江經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)的標(biāo)志性建筑，同時(shí)也是已建成的粵西第一高樓.為測(cè)量財(cái)富匯大廈的高度，小張選取了大廈的一個(gè)最高點(diǎn)，點(diǎn)在大廈底部的射影為點(diǎn)，兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)B，C與在同一水平面上，他測(cè)得米，，在點(diǎn)處測(cè)得點(diǎn)的仰角為，在點(diǎn)處測(cè)得點(diǎn)的仰角為，則財(cái)富匯大廈的高度（）A.200米 B.202米 C.204米 D.206米〖答案〗C〖解析〗設(shè)米，因?yàn)樵邳c(diǎn)處測(cè)得點(diǎn)的仰角為，所以，則米，因?yàn)樵邳c(diǎn)處測(cè)得點(diǎn)的仰角為，所以米，由余弦定理得，即，解得．故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的行6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列命題正確的是（）A.若直線與平面平行，則平面內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與直線平行B.若直線與平面相交，則平面內(nèi)沒有直線與直線平行C.已知兩條相交直線，若平面，則平面D.已知直線，平面，若，則〖答案〗AB〖解析〗A：若平面，則直線與平面的無(wú)數(shù)條直線平行，故A正確；B：直線與平面相交，則直線與平面的任意直線不平行，故B正確；C：若兩條相交直線，平面，則與平面的位置關(guān)系不確定，故C錯(cuò)誤；D：若直線，平面，，則與平行或異面，故D錯(cuò)誤．故選：AB.10.若，則（）A. B. C. D.〖答案〗AD〖解析〗由題意得，，所以，解得.故選：AD.11.已知圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為，半徑為2的扇形，是兩條母線，是的中點(diǎn)，則（）A.圓錐的體積為B.面積的最大值為C.當(dāng)為軸截面時(shí)，圓錐表面上點(diǎn)到點(diǎn)的最短距離為D.圓錐的內(nèi)切球的表面積為〖答案〗ACD〖解析〗A：因?yàn)閳A錐SO的側(cè)面展開圖是圓心角為，半徑為2的扇形，所以扇形的弧長(zhǎng)為，即圓錐的底面周長(zhǎng)為，設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，則，解得，又，所以圓錐的高，所以圓錐的體積，故A正確；B：當(dāng)軸截面時(shí)，在中，，因?yàn)椋源藭r(shí)為鈍角，又，當(dāng)時(shí)，的面積最大，且最大值為2，故B錯(cuò)誤；C：當(dāng)為軸截面時(shí)，將圓錐側(cè)面展開可知，點(diǎn)A到點(diǎn)P的最小距離為，如圖，在中，，由余弦定理得，故C正確；D：當(dāng)為軸截面時(shí)，的內(nèi)切圓半徑即圓錐SO的內(nèi)切球半徑，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，則，所以，所以內(nèi)切球的表面積為，故D正確．故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.把〖答案〗填在答題卡中的橫線上.12.若，則______.〖答案〗2〖解析〗由題意得，，則，解得．故〖答案〗為：2.13.如圖，這是一件古代的青銅器，其盛酒部分可近似地視為一個(gè)圓臺(tái)，該圓臺(tái)的上底面、下底面的半徑分別為，高為，則該青銅器的容積約為______．〖答案〗〖解析〗該青銅器的容積約為．故〖答案〗為：.14.若均為單位向量，且的取值范圍是，則的取值范圍是______.〖答案〗〖解析〗依題意，不妨設(shè)，則，，因?yàn)榈娜≈捣秶?，得，所以的取值范圍是，又因?yàn)?，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，綜上，的取值范圍是.故〖答案〗為：.四、解答顆：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知，其中．（1）若為純虛數(shù)，求共軛復(fù)數(shù)；（2）若在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，求的取值范圍．解：（1）由題意可得，解得，則，所以的共軛復(fù)數(shù)為．（2）由題意可得，即，解得，即的取值范圍是．16.已知向量滿足．（1）若向量的夾角為，求的值；（2）若，求的值；（3）若，求向量的夾角.解：（1）．（2）由，得，所以，故．（3）由題意得，即，得，所以，因?yàn)椋?，即向量的夾角為．17.已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．（1）若，求外接圓的半徑，（2）若的面積為，求的大小及的周長(zhǎng)．解：（1）因?yàn)?，所以，即，又，所以．又，所以．?）的面積，則，因?yàn)?，所以或，?dāng)時(shí)，，得的周長(zhǎng)為，當(dāng)時(shí)，，得的周長(zhǎng)為，綜上，的周長(zhǎng)為或.18.如圖，在長(zhǎng)方體中，E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)．（1）證明：平面．（2）證明：平面．（3）已知，以為直徑的球的表面積為，設(shè)三點(diǎn)確定平面，在答題卡的圖中作出平面截四棱柱所得的截面（寫出作法），并求截面的周長(zhǎng)．解：（1）在長(zhǎng)方體中，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面平面，所以平面．（2）取BC的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)，所以，又平面平面，所以平面，由（1）知平面，得平面，又，平面EFG，所以平面平面，又平面，所以平面．（3）取的中點(diǎn)，連接，則要求作的截面為四邊形，在矩形中，，所以，解得，所以截面的周長(zhǎng)為.19.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且．（1）求角的大??；（2）若為銳角三角形，點(diǎn)為的垂心，，求的取值范圍．解：（1）因?yàn)?，所以，由正弦定理得，則，因?yàn)椋?（2）延長(zhǎng)交于，延長(zhǎng)交于，根據(jù)題意可得．因?yàn)?，所以，設(shè)，且，則，同理可得，則，因?yàn)?，所以，又，，所以，所以的取值范圍是．河北省九校?lián)盟2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知，則的虛部為（）A.2 B.4 C.-2 D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，所以，則z的虛部為2.故選：A.2.若向量，則的取值集合為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，，所以，解得?，即x取值集合為.故選：C.3.如圖，這是一個(gè)正方體的平面展開圖，若將其還原成正方體，下列直線中，與直線是異面直線的是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由平面展開圖得到該正方體的直觀圖如圖所示，與直線是異面直線的是，其中，所以與共面、與共面、與共面．故選：C.4.如圖，的斜二測(cè)直觀圖為等腰直角三角形，其中，則的面積為（）A. B. C.6 D.〖答案〗D〖解析〗將直觀圖還原為原圖，如圖，由，，所以，所以，則，即原平面圖形的面積是．故選：D.5.向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，則向量（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如圖，設(shè)，則．故選：D.6.在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．若，則的形狀一定是（）A.等腰三角形 B.銳角三角形C.直角三角形 D.鈍角三角形〖答案〗A〖解析〗在中，由及正弦定理，得，于是，而，則，所以是等腰三角形.故選：A.7.已知正方形邊長(zhǎng)為，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗方法一：如圖所示，建立以為原點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)系，得，則，故．方法二：，故．故選：A.8.財(cái)富匯大廈坐落在廣東省湛江市經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)，是湛江經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)的標(biāo)志性建筑，同時(shí)也是已建成的粵西第一高樓.為測(cè)量財(cái)富匯大廈的高度，小張選取了大廈的一個(gè)最高點(diǎn)，點(diǎn)在大廈底部的射影為點(diǎn)，兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)B，C與在同一水平面上，他測(cè)得米，，在點(diǎn)處測(cè)得點(diǎn)的仰角為，在點(diǎn)處測(cè)得點(diǎn)的仰角為，則財(cái)富匯大廈的高度（）A.200米 B.202米 C.204米 D.206米〖答案〗C〖解析〗設(shè)米，因?yàn)樵邳c(diǎn)處測(cè)得點(diǎn)的仰角為，所以，則米，因?yàn)樵邳c(diǎn)處測(cè)得點(diǎn)的仰角為，所以米，由余弦定理得，即，解得．故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的行6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列命題正確的是（）A.若直線與平面平行，則平面內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與直線平行B.若直線與平面相交，則平面內(nèi)沒有直線與直線平行C.已知兩條相交直線，若平面，則平面D.已知直線，平面，若，則〖答案〗AB〖解析〗A：若平面，則直線與平面的無(wú)數(shù)條直線平行，故A正確；B：直線與平面相交，則直線與平面的任意直線不平行，故B正確；C：若兩條相交直線，平面，則與平面的位置關(guān)系不確定，故C錯(cuò)誤；D：若直線，平面，，則與平行或異面，故D錯(cuò)誤．故選：AB.10.若，則（）A. B. C. D.〖答案〗AD〖解析〗由題意得，，所以，解得.故選：AD.11.已知圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為，半徑為2的扇形，是兩條母線，是的中點(diǎn)，則（）A.圓錐的體積為B.面積的最大值為C.當(dāng)為軸截面時(shí)，圓錐表面上點(diǎn)到點(diǎn)的最短距離為D.圓錐的內(nèi)切球的表面積為〖答案〗ACD〖解析〗A：因?yàn)閳A錐SO的側(cè)面展開圖是圓心角為，半徑為2的扇形，所以扇形的弧長(zhǎng)為，即圓錐的底面周長(zhǎng)為，設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，則，解得，又，所以圓錐的高，所以圓錐的體積，故A正確；B：當(dāng)軸截面時(shí)，在中，，因?yàn)?，所以此時(shí)為鈍角，又，當(dāng)時(shí)，的面積最大，且最大值為2，故B錯(cuò)誤；C：當(dāng)為軸截面時(shí)，將圓錐側(cè)面展開可知，點(diǎn)A到點(diǎn)P的最小距離為，如圖，在中，，由余弦定理得，故C正確；D：當(dāng)為軸截面時(shí)，的內(nèi)切圓半徑即圓錐SO的內(nèi)切球半徑，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，則，所以，所以內(nèi)切球的表面積為，故D正確．故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.把〖答案〗填在答題卡中的橫線上.12.若，則______.〖答案〗2〖解析〗由題意得，，則，解得．故〖答案〗為：2.13.如圖，這是一件古代的青銅器，其盛酒部分可近似地視為一個(gè)圓臺(tái)，該圓臺(tái)的上底面、下底面的半徑分別為，高為，則該青銅器的容積約為______．〖答案〗〖解析〗該青銅器的容積約為．故〖答案〗為：.14.若均為單位向量，且的取值范圍是，則的取值范圍是______.〖答案〗〖解析〗依題意，不妨設(shè)，則，，因?yàn)榈娜≈捣秶?，得，所以的取值范圍是，又因?yàn)?，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，綜上，的取值范圍是.故〖答案〗為：.四、解答顆：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知，其中．（1）若為純虛數(shù)，求共軛復(fù)數(shù)；（2）若在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，求的取值范圍．解：（1）由題意可得，解得，則，所以的共軛復(fù)數(shù)為．（2）由題意可得，即，解得，即的取值范圍是．16.已知向量滿足．（1）若向量的夾角為，求的值；（2）若，求的值；（3）若，求向量的夾角.解：（1）．（2）由，得，所以，故．（3）由題意得，即，得，所以，因?yàn)?，所以，即向量的夾角為．17.已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．（1）若，求外接圓的半徑，（2）若的面積為，求的大小及的周長(zhǎng)．解：（1）因?yàn)?，所以，即，又，所以．又，所以．?）的面積，則，因?yàn)?，所以或，?dāng)時(shí)，，得的周長(zhǎng)為，當(dāng)時(shí)，，得的周長(zhǎng)為，綜上，的周長(zhǎng)為或.18.如圖，在長(zhǎng)方體中，E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)．（1）證明：平面．（2）證明：平面．（3）已知，以為直徑的球的表面積為，設(shè)三點(diǎn)確定平面，在答題卡的圖中作出平面截四棱柱所得的截面（寫出作法），并求截面的周長(zhǎng)．解：（1）在長(zhǎng)方體中，，所以四邊形為平行