拋物線與x軸的交點（2015?蘇州）若二次函數(shù)y=x2+bx的圖象的對稱軸是經(jīng)過點（2，0）且平行于y軸的直線，則關(guān)于x的方程x2+bx=5的解為（）A．x1=0，x2=4 B．x1=1，x2=5 C．x1=1，x2=﹣5 D．x1=﹣1，x2=5【考點】拋物線與x軸的交點．【分析】根據(jù)對稱軸方程﹣=2，得b=﹣4，解x2﹣4x=5即可．【解答】解：∵對稱軸是經(jīng)過點（2，0）且平行于y軸的直線，∴﹣=2，解得：b=﹣4，解方程x2﹣4x=5，解得x1=﹣1，x2=5，故選：D．【點評】本題主要考查二次函數(shù)的對稱軸和二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，難度不大．（2015?濟南）如圖，拋物線y=﹣2x2+8x﹣6與x軸交于點A、B，把拋物線在x軸及其上方的部分記作C1，將C1向右平移得C2，C2與x軸交于點B，D．若直線y=x+m與C1、C2共有3個不同的交點，則m的取值范圍是（）A．﹣2＜m＜ B．﹣3＜m＜﹣ C．﹣3＜m＜﹣2 D．﹣3＜m＜﹣【考點】拋物線與x軸的交點；二次函數(shù)圖象與幾何變換．【專題】壓軸題．【分析】首先求出點A和點B的坐標，然后求出C2解析式，分別求出直線y=x+m與拋物線C2相切時m的值以及直線y=x+m過點B時m的值，結(jié)合圖形即可得到答案．【解答】解：令y=﹣2x2+8x﹣6=0，即x2﹣4x+3=0，解得x=1或3，則點A（1，0），B（3，0），由于將C1向右平移2個長度單位得C2，則C2解析式為y=﹣2（x﹣4）2+2（3≤x≤5），當y=x+m1與C2相切時，令y=x+m1=y=﹣2（x﹣4）2+2，即2x2﹣15x+30+m1=0，△=﹣8m1﹣15=0，解得m1=﹣，當y=x+m2過點B時，即0=3+m2，m2=﹣3，當﹣3＜m＜﹣時直線y=x+m與C1、C2共有3個不同的交點，故選：D．【點評】本題主要考查拋物線與x軸交點以及二次函數(shù)圖象與幾何變換的知識，解答本題的關(guān)鍵是正確地畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合進行解題，此題有一定的難度．（2015?天津）已知拋物線y=﹣x2+x+6與x軸交于點A，點B，與y軸交于點C．若D為AB的中點，則CD的長為（）A． B． C． D．【考點】拋物線與x軸的交點．【專題】壓軸題．【分析】令y=0，則﹣x2+x+6=0，由此得到A、B兩點坐標，由D為AB的中點，知OD的長，x=0時，y=6，所以O(shè)C=6，根據(jù)勾股定理求出CD即可．【解答】解：令y=0，則﹣x2+x+6=0，解得：x1=12，x2=﹣3∴A、B兩點坐標分別為（12，0）（﹣3，0）∵D為AB的中點，∴D（4.5，0），∴OD=4.5，當x=0時，y=6，∴OC=6，∴CD==．故選：D．【點評】本題主要考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系和拋物線的對稱性，求出AB中點D的坐標是解決問題的關(guān)鍵．（2015?陜西）下列關(guān)于二次函數(shù)y=ax2﹣2ax+1（a＞1）的圖象與x軸交點的判斷，正確的是（）A．沒有交點B．只有一個交點，且它位于y軸右側(cè)C．有兩個交點，且它們均位于y軸左側(cè)D．有兩個交點，且它們均位于y軸右側(cè)【考點】拋物線與x軸的交點．【專題】壓軸題．【分析】根據(jù)函數(shù)值為零，可得相應的方程，根據(jù)根的判別式，公式法求方程的根，可得答案．【解答】解：當y=0時，ax2﹣2ax+1=0，∵a＞1∴△=（﹣2a）2﹣4a=4a（a﹣1）＞0，ax2﹣2ax+1=0有兩個根，函數(shù)與有兩個交點，x=＞0，故選：D．【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點，利用了函數(shù)與方程的關(guān)系，方程的求根公式．（2015?寧波）二次函數(shù)y=a（x﹣4）2﹣4（a≠0）的圖象在2＜x＜3這一段位于x軸的下方，在6＜x＜7這一段位于x軸的上方，則a的值為（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【考點】拋物線與x軸的交點．【分析】根據(jù)拋物線頂點式得到對稱軸為直線x=4，利用拋物線對稱性得到拋物線在1＜x＜2這一段位于x軸的上方，而拋物線在2＜x＜3這一段位于x軸的下方，于是可得拋物線過點（2，0），然后把（2，0）代入y=a（x﹣4）2﹣4（a≠0）可求出a的值．【解答】解：∵拋物線y=a（x﹣4）2﹣4（a≠0）的對稱軸為直線x=4，而拋物線在6＜x＜7這一段位于x軸的上方，∴拋物線在1＜x＜2這一段位于x軸的上方，∵拋物線在2＜x＜3這一段位于x軸的下方，∴拋物線過點（2，0），把（2，0）代入y=a（x﹣4）2﹣4（a≠0）得4a﹣4=0，解得a=1．故選A．【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點：求二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標，令y=0，即ax2+bx+c=0，解關(guān)于x的一元二次方程即可求得交點橫坐標．△=b2﹣4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù)：△=b2﹣4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b2﹣4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b2﹣4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．（2015?柳州）如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸相交于（﹣2，0）和（4，0）兩點，當函數(shù)值y＞0時，自變量x的取值范圍是（）A．x＜﹣2 B．﹣2＜x＜4 C．x＞0 D．x＞4【考點】拋物線與x軸的交點．【分析】利用當函數(shù)值y＞0時，即對應圖象在x軸上方部分，得出x的取值范圍即可．【解答】解：如圖所示：當函數(shù)值y＞0時，自變量x的取值范圍是：﹣2＜x＜4．故選：B．【點評】此題主要考查了拋物線與x軸的交點，利用數(shù)形結(jié)合得出是解題關(guān)鍵．（2015?蘭州）二次函數(shù)y=x2+x+c的圖象與x軸的兩個交點A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，點P（m，n）是圖象上一點，那么下列判斷正確的是（）A．當n＜0時，m＜0 B．當n＞0時，m＞x2C．當n＜0時，x1＜m＜x2 D．當n＞0時，m＜x1【考點】拋物線與x軸的交點．【分析】首先根據(jù)a確定開口方向，再確定對稱軸，根據(jù)圖象分析得出結(jié)論．【解答】解：∵a=1＞0，∴開口向上，∵拋物線的對稱軸為：x=﹣=﹣=，二次函數(shù)y=x2+x+c的圖象與x軸的兩個交點A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，無法確定x1與x2的正負情況，∴當n＜0時，x1＜m＜x2，但m的正負無法確定，故A錯誤，C正確；當n＞0時，m＜x1或m＞x2，故B，D錯誤，故選C．【點評】本題考查了二次函數(shù)與x軸的交點問題，熟練掌握二次函數(shù)圖象以及圖象上點的坐標特征是解題的關(guān)鍵．（2015?杭州）設(shè)二次函數(shù)y1=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0，x1≠x2）的圖象與一次函數(shù)y2=dx+e（d≠0）的圖象交于點（x1，0），若函數(shù)y=y1+y2的圖象與x軸僅有一個交點，則（）A．a(chǎn)（x1﹣x2）=d B．a(chǎn)（x2﹣x1）=d C．a(chǎn)（x1﹣x2）2=d D．a(chǎn)（x1+x2）2=d【考點】拋物線與x軸的交點．【專題】壓軸題．【分析】首先根據(jù)一次函數(shù)y2=dx+e（d≠0）的圖象經(jīng)過點（x1，0），可得y2=d（x﹣x1），y=y1+y2=（x﹣x1）[a（x﹣x2）+d]；然后根據(jù)函數(shù)y=y1+y2的圖象與x軸僅有一個交點，可得函數(shù)y=y1+y2是二次函數(shù)，且它的頂點在x軸上，即y=y1+y2=a，推得a（x﹣x2）+d=a（x﹣x1），令x=x2，即可判斷出a（x2﹣x1）=d．【解答】解：∵一次函數(shù)y2=dx+e（d≠0）的圖象經(jīng)過點（x1，0），∴dx1+e=0，∴y2=d（x﹣x1），∴y=y1+y2=a（x﹣x1）（x﹣x2）+d（x﹣x1）=（x﹣x1）[a（x﹣x2）+d]∵函數(shù)y=y1+y2的圖象與x軸僅有一個交點，∴函數(shù)y=y1+y2是二次函數(shù)，且它的頂點在x軸上，即y=y1+y2=a，∴a（x﹣x2）+d=a（x﹣x1），令x=x2，可得a（x2﹣x2）+d=a（x2﹣x1），∴a（x2﹣x1）=d．故選：B．【點評】此題主要考查了拋物線與x軸的交點問題，以及曲線上點的坐標與方程的關(guān)系，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是判斷出：函數(shù)y=y1+y2是二次函數(shù)，且y=y1+y2=a．（2015?達州）若二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸有兩個交點，坐標分別為（x1，0）、（x2，0），且x1＜x2，圖象上有一點M（x0，y0），在x軸下方，則下列判斷正確的是（）A．a(chǎn)（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0 B．a(chǎn)＞0C．b2﹣4ac≥0 D．x1＜x0＜x2【考點】拋物線與x軸的交點．【分析】由于a的符號不能確定，故應分a＞0與a＜0進行分類討論．【解答】解：A、當a＞0時，∵點M（x0，y0），在x軸下方，∴x1＜x0＜x2，∴x0﹣x1＞0，x0﹣x2＜0，∴a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0；當a＜0時，若點M在對稱軸的左側(cè)，則x0＜x1＜x2，∴x0﹣x1＜0，x0﹣x2＜0，∴a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0；若點M在對稱軸的右側(cè)，則x1＜x2＜x0，∴x0﹣x1＞0，x0﹣x2＞0，∴a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0；綜上所述，a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0，故本選項正確；B、a的符號不能確定，故本選項錯誤；C、∵函數(shù)圖象與x軸有兩個交點，∴△＞0，故本選項錯誤；D、x1、x0、x2的大小無法確定，故本選項錯誤．故選A．【點評】本題考查的是拋物線與x軸的交點，在解答此題時要注意進行分類討論．（2014?黔東南州）已知拋物線y=x2﹣x﹣1與x軸的一個交點為（m，0），則代數(shù)式m2﹣m+2014的值為（）A．2012 B．2013 C．2014 D．2015【考點】拋物線與x軸的交點．【分析】把x=m代入方程x2﹣x﹣1=0求得m2﹣m=1，然后將其整體代入代數(shù)式m2﹣m+2014，并求值．【解答】解：∵拋物線y=x2﹣x﹣1與x軸的一個交點為（m，0），∴m2﹣m﹣1=0，解得m2﹣m=1．∴m2﹣m+2014=1+2014=2015．故選：D．【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點．解題時，注意“整體代入”數(shù)學思想的應用，減少了計算量．（2014?濟寧）“如果二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸有兩個公共點，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個不相等的實數(shù)根．”請根據(jù)你對這句話的理解，解決下面問題：若m、n（m＜n）是關(guān)于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0的兩根，且a＜b，則a、b、m、n的大小關(guān)系是（）A．m＜a＜b＜n B．a(chǎn)＜m＜n＜b C．a(chǎn)＜m＜b＜n D．m＜a＜n＜b【考點】拋物線與x軸的交點．【專題】數(shù)形結(jié)合．【分析】依題意畫出函數(shù)y=（x﹣a）（x﹣b）圖象草圖，根據(jù)二次函數(shù)的增減性求解．【解答】解：依題意，畫出函數(shù)y=（x﹣a）（x﹣b）的圖象，如圖所示．函數(shù)圖象為拋物線，開口向上，與x軸兩個交點的橫坐標分別為a，b（a＜b）．方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0轉(zhuǎn)化為（x﹣a）（x﹣b）=1，方程的兩根是拋物線y=（x﹣a）（x﹣b）與直線y=1的兩個交點．由m＜n，可知對稱軸左側(cè)交點橫坐標為m，右側(cè)為n．由拋物線開口向上，則在對稱軸左側(cè)，y隨x增大而減少，則有m＜a；在對稱軸右側(cè)，y隨x增大而增大，則有b＜n．綜上所述，可知m＜a＜b＜n．故選：A．【點評】本題考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想．解題時，畫出函數(shù)草圖，由函數(shù)圖象直觀形象地得出結(jié)論，避免了繁瑣復雜的計算．二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0，a，b，c為常數(shù)）的圖象如圖，ax2+bx+c=m有實數(shù)根的條件是（）A．m≥﹣2 B．m≥5 C．m≥0 D．m＞4【考點】拋物線與x軸的交點．【專題】數(shù)形結(jié)合．【分析】根據(jù)題意利用圖象直接得出m的取值范圍即可．【解答】解：一元二次方程ax2+bx+c=m有實數(shù)根，可以理解為y=ax2+bx+c和y=m有交點，可見，m≥﹣2，故選：A．【點評】此題主要考查了利用圖象觀察方程的解，正確利用數(shù)形結(jié)合得出是解題關(guān)鍵．（2014?東營）若函數(shù)y=mx2+（m+2）x+m+1的圖象與x軸只有一個交點，那么m的值為（）A．0 B．0或2 C．2或﹣2 D．0，2或﹣2【考點】拋物線與x軸的交點．【專題】分類討論．【分析】分為兩種情況：函數(shù)是二次函數(shù)，函數(shù)是一次函數(shù)，求出即可．【解答】解：分為兩種情況：①當函數(shù)是二次函數(shù)時，∵函數(shù)y=mx2+（m+2）x+m+1的圖象與x軸只有一個交點，∴△=（m+2）2﹣4m（m+1）=0且m≠0，解得：m=±2，②當函數(shù)是一次函數(shù)時，m=0，此時函數(shù)解析式是y=2x+1，和x軸只有一個交點，故選：D．【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點，根的判別式的應用，用了分類討論思想，題目比較好，但是也比較容易出錯．（2014?涼山州）下列圖形中陰影部分的面積相等的是（）A．②③ B．③④ C．①② D．①④【考點】拋物線與x軸的交點；正比例函數(shù)的性質(zhì)；一次函數(shù)圖象上點的坐標特征；反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義．【分析】首先根據(jù)各圖形的函數(shù)解析式求出函數(shù)與坐標軸交點的坐標，進而可求得各個陰影部分的面積，進而可比較出個陰影部分面積的大小關(guān)系．【解答】解：①：圖中的函數(shù)為正比例函數(shù)，與坐標軸只有一個交點（0，0），由于缺少條件，無法求出陰影部分的面積；②：直線y=﹣x+2與坐標軸的交點坐標為：（2，0），（0，2），故S陰影=×2×2=2；③：此函數(shù)是反比例函數(shù)，那么陰影部分的面積為：S=xy=×4=2；④：該拋物線與坐標軸交于：（﹣1，0），（1，0），（0，﹣1），故陰影部分的三角形是等腰直角三角形，其面積S=×2×1=1；②③的面積相等，故選：A．【點評】此題主要考查了函數(shù)圖象與坐標軸交點坐標的求法以及圖形面積的求法，是基礎(chǔ)題，熟練掌握各函數(shù)的圖象特點是解決問題的關(guān)鍵．（2014?柳州）小蘭畫了一個函數(shù)y=x2+ax+b的圖象如圖，則關(guān)于x的方程x2+ax+b=0的解是（）A．無解 B．x=1 C．x=﹣4 D．x=﹣1或x=4【考點】拋物線與x軸的交點．【分析】關(guān)于x的方程x2+ax+b=0的解是拋物線y=x2+ax+b與x軸交點的橫坐標．【解答】解：如圖，∵函數(shù)y=x2+ax+b的圖象與x軸交點坐標分別是（﹣1，0），（4，0），∴關(guān)于x的方程x2+ax+b=0的解是x=﹣1或x=4．故選：D．【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點．求二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標，令y=0，即ax2+bx+c=0，解關(guān)于x的一元二次方程即可求得交點橫坐標．（2013?蘇州）已知二次函數(shù)y=x2﹣3x+m（m為常數(shù)）的圖象與x軸的一個交點為（1，0），則關(guān)于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0的兩實數(shù)根是（）A．x1=1，x2=﹣1 B．x1=1，x2=2 C．x1=1，x2=0 D．x1=1，x2=3【考點】拋物線與x軸的交點．【分析】關(guān)于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0的兩實數(shù)根就是二次函數(shù)y=x2﹣3x+m（m為常數(shù)）的圖象與x軸的兩個交點的橫坐標．【解答】解：∵二次函數(shù)的解析式是y=x2﹣3x+m（m為常數(shù)），∴該拋物線的對稱軸是：x=．又∵二次函數(shù)y=x2﹣3x+m（m為常數(shù)）的圖象與x軸的一個交點為（1，0），∴根據(jù)拋物線的對稱性質(zhì)知，該拋物線與x軸的另一個交點的坐標是（2，0），∴關(guān)于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0的兩實數(shù)根分別是：x1=1，x2=2．故選B．【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點．解答該題時，也可以利用代入法求得m的值，然后來求關(guān)于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0的兩實數(shù)根．（2013?南昌）若二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸有兩個交點，坐標分別為（x1，0），（x2，0），且x1＜x2，圖象上有一點M（x0，y0）在x軸下方，則下列判斷正確的是（）A．a(chǎn)＞0 B．b2﹣4ac≥0C．x1＜x0＜x2 D．a(chǎn)（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0【考點】拋物線與x軸的交點．【專題】壓軸題．【分析】根據(jù)拋物線與x軸有兩個不同的交點，根的判別式△＞0，再分a＞0和a＜0兩種情況對C、D選項討論即可得解．【解答】解：A、二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸有兩個交點無法確定a的正負情況，故本選項錯誤；B、∵x1＜x2，∴△=b2﹣4ac＞0，故本選項錯誤；C、若a＞0，則x1＜x0＜x2，若a＜0，則x0＜x1＜x2或x1＜x2＜x0，故本選項錯誤；D、若a＞0，則x0﹣x1＞0，x0﹣x2＜0，所以，（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0，∴a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0，若a＜0，則（x0﹣x1）與（x0﹣x2）同號，∴a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0，綜上所述，a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0正確，故本選項正確．故選：D．【點評】本題考查了二次函數(shù)與x軸的交點問題，熟練掌握二次函數(shù)圖象以及圖象上點的坐標特征是解題的關(guān)鍵，C、D選項要注意分情況討論．（2013?株洲）二次函數(shù)y=2x2+mx+8的圖象如圖所示，則m的值是（）A．﹣8 B．8 C．±8 D．6【考點】拋物線與x軸的交點．【專題】壓軸題．【分析】根據(jù)拋物線與x軸只有一個交點，△=0，列式求出m的值，再根據(jù)對稱軸在y軸的左邊求出m的取值范圍，從而得解．【解答】解：由圖可知，拋物線與x軸只有一個交點，所以，△=m2﹣4×2×8=0，解得m=±8，∵對稱軸為直線x=﹣＜0，∴m＞0，∴m的值為8．故選B．【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與x軸的交點問題，本題易錯點在于要根據(jù)對稱軸確定出m是正數(shù)．（2013?大慶）已知函數(shù)y=x2+2x﹣3，當x=m時，y＜0，則m的值可能是（）A．﹣4 B．0 C．2 D．3【考點】拋物線與x軸的交點．【專題】計算題．【分析】根據(jù)函數(shù)圖象得到﹣3＜x＜1時，y＜0，即可作出判斷．【解答】解：令y=0，得到x2+2x﹣3=0，即（x﹣1）（x+3）=0，解得：x=1或x=﹣3，由函數(shù)圖象得：當﹣3＜x＜1時，y＜0，則m的值可能是0．故選B．【點評】此題考查了拋物線與x軸的交點，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，求出x的范圍是解本題的關(guān)鍵．（2012?泰安）二次函數(shù)y=ax2+bx的圖象如圖，若一元二次方程ax2+bx+m=0有實數(shù)根，則m的最大值為（）A．﹣3 B．3 C．﹣6 D．9【考點】拋物線與x軸的交點．【專題】探究型．【分析】先根據(jù)拋物線的開口向上可知a＞0，由頂點縱坐標為﹣3得出b與a關(guān)系，再根據(jù)一元二次方程ax2+bx+m=0有實數(shù)根可得到關(guān)于m的不等式，求出m的取值范圍即可．【解答】解：（法1）∵拋物線的開口向上，頂點縱坐標為﹣3，∴a＞0，=﹣3，即b2=12a，∵一元二次方程ax2+bx+m=0有實數(shù)根，∴△=b2﹣4am≥0，即12a﹣4am≥0，即12﹣4m≥0，解得m≤3，∴m的最大值為3．（法2）一元二次方程ax2+bx+m=0有實數(shù)根，可以理解為y=ax2+bx和y=﹣m有交點，可見﹣m≥﹣3，∴m≤3，∴m的最大值為3．故選B．【點評】本題考查的是拋物線與x軸的交點，根據(jù)題意判斷出a的符號及a、b的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．（2012?濱州）拋物線y=﹣3x2﹣x+4與坐標軸的交點個數(shù)是（）A．3 B．2 C．1 D．0【考點】拋物線與x軸的交點．【專題】計算題．【分析】令拋物線解析式中x=0，求出對應的y的值，即為拋物線與y軸交點的縱坐標，確定出拋物線與y軸的交點坐標，令拋物線解析式中y=0，得到關(guān)于x的一元二次方程，求出方程的解有兩個，可得出拋物線與x軸有兩個交點，綜上，得到拋物線與坐標軸的交點個數(shù)．【解答】解：拋物線解析式y(tǒng)=﹣3x2﹣x+4，令x=0，解得：y=4，∴拋物線與y軸的交點為（0，4），令y=0，得到﹣3x2﹣x+4=0，即3x2+x﹣4=0，分解因式得：（3x+4）（x﹣1）=0，解得：x1=﹣，x2=1，∴拋物線與x軸的交點分別為（﹣，0），（1，0），綜上，拋物線與坐標軸的交點個數(shù)為3．故選：A．【點評】此題考查了拋物線與x軸的交點，以及一元二次方程的解法，其中令拋物線解析式中x=0，求出的y值即為拋物線與y軸交點的縱坐標；令y=0，求出對應的x的值，即為拋物線與x軸交點的橫坐標．（2012?杭州）已知拋物線y=k（x+1）（x﹣）與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，則能使△ABC為等腰三角形的拋物線的條數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考點】拋物線與x軸的交點．【專題】推理填空題．【分析】整理拋物線解析式，確定出拋物線與x軸的一個交點A和y軸的交點C，然后求出AC的長度，再分①k＞0時，點B在x軸正半軸時，分AC=BC、AC=AB、AB=BC三種情況求解；②k＜0時，點B在x軸的負半軸時，點B只能在點A的左邊，只有AC=AB一種情況列式計算即可．【解答】解：y=k（x+1）（x﹣）=（x+1）（kx﹣3），所以，拋物線經(jīng)過點A（﹣1，0），C（0，﹣3），AC===，點B坐標為（，0），①k＞0時，點B在x正半軸上，若AC=BC，則=，解得k=3，若AC=AB，則+1=，解得k==，若AB=BC，則+1=，解得k=；②k＜0時，點B在x軸的負半軸，點B只能在點A的左側(cè)，只有AC=AB，則﹣1﹣=，解得k=﹣=﹣，所以，能使△ABC為等腰三角形的拋物線共有4條．故選C．【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點問題，根據(jù)拋物線的解析式確定出拋物線經(jīng)過的兩個定點是解題的關(guān)鍵，注意分情況討論．（2012?宜昌）已知拋物線y=ax2﹣2x+1與x軸沒有交點，那么該拋物線的頂點所在的象限是（）A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限【考點】拋物線與x軸的交點．【分析】根據(jù)拋物線y=ax2﹣2x+1與x軸沒有交點，得出△=4﹣4a＜0，a＞1，再根據(jù)b=﹣2，得出拋物線的對稱軸在y軸的右側(cè)，即可求出答案．【解答】解：∵拋物線y=ax2﹣2x+1與x軸沒有交點，∴△=4﹣4a＜0，解得：a＞1，∴拋物線的開口向上，又∵b=﹣2，∴﹣＞0，∴拋物線的對稱軸在y軸的右側(cè)，∴拋物線的頂點在第一象限；故選：D．【點評】此題考查了二次函數(shù)的圖象與x軸交點，關(guān)鍵是根據(jù)二次函數(shù)的圖象與x軸交點的個數(shù)與一元二次方程的解之間的聯(lián)系求出a的值，這些性質(zhì)和規(guī)律要求掌握．（2012?牡丹江）拋物線y=ax2+bx+c與x軸的公共點是（﹣1，0），（3，0），則這條拋物線的對稱軸是直線（）A．直線x=﹣1 B．直線x=0 C．直線x=1 D．直線x=3【考點】拋物線與x軸的交點；二次函數(shù)的性質(zhì)．【專題】計算題．【分析】因為點A和B的縱坐標都為0，所以可判定A，B是一對對稱點，把兩點的橫坐標代入公式x=求解即可．【解答】解：∵拋物線與x軸的交點為（﹣1，0），（3，0），∴兩交點關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，則此拋物線的對稱軸是直線x==1．故選C．【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點，以及如何求二次函數(shù)的對稱軸，對于此類題目可以用公式法也可以將函數(shù)化為頂點式來求解，也可以用公式x=求解，即拋物線y=ax2+bx+c與x軸的交點是（x1，0），（x2，0），則拋物線的對稱軸為直線x=．（2012?株洲）如圖，已知拋物線與x軸的一個交點A（1，0），對稱軸是x=﹣1，則該拋物線與x軸的另一交點坐標是（）A．（﹣3，0） B．（﹣2，0） C．x=﹣3 D．x=﹣2【考點】拋物線與x軸的交點．【專題】探究型．【分析】設(shè)拋物線與x軸的另一個交點為B（b，0），再根據(jù)AB兩點關(guān)于對稱軸對稱即可得出．【解答】解：拋物線與x軸的另一個交點為B（b，0），∵拋物線與x軸的一個交點A（1，0），對稱軸是x=﹣1，∴=﹣1，解得b=﹣3，∴B（﹣3，0）．故選A．【點評】本題考查的是拋物線與x軸的交點問題，熟知拋物線與x軸的交點關(guān)于對稱軸對稱是解答此題的關(guān)鍵．（2012?天津）若關(guān)于x的一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）=m有實數(shù)根x1、x2，且x1≠x2，有下列結(jié)論：①x1=2，x2=3；②m＞﹣；③二次函數(shù)y=（x﹣x1）（x﹣x2）+m的圖象與x軸交點的坐標為（2，0）和（3，0）．其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考點】拋物線與x軸的交點；一元二次方程的解；根的判別式；根與系數(shù)的關(guān)系．【專題】計算題；壓軸題．【分析】將已知的一元二次方程整理為一般形式，根據(jù)方程有兩個不相等的實數(shù)根，得到根的判別式大于0，列出關(guān)于m的不等式，求出不等式的解集即可對選項②進行判斷；再利用根與系數(shù)的關(guān)系求出兩根之積為6﹣m，這只有在m=0時才能成立，故選項①錯誤；將選項③中的二次函數(shù)解析式整理后，利用根與系數(shù)關(guān)系得出的兩根之和與兩根之積代入，整理得到確定出二次函數(shù)解析式，令y=0，得到關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出二次函數(shù)圖象與x軸的交點坐標，即可對選項③進行判斷．【解答】解：一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）=m化為一般形式得：x2﹣5x+6﹣m=0，∵方程有兩個不相等的實數(shù)根x1、x2，∴b2﹣4ac=（﹣5）2﹣4（6﹣m）=4m+1＞0，解得：m＞﹣，故選項②正確；∵一元二次方程實數(shù)根分別為x1、x2，∴x1+x2=5，x1x2=6﹣m，而選項①中x1=2，x2=3，只有在m=0時才能成立，故選項①錯誤；二次函數(shù)y=（x﹣x1）（x﹣x2）+m=x2﹣（x1+x2）x+x1x2+m=x2﹣5x+（6﹣m）+m=x2﹣5x+6=（x﹣2）（x﹣3），令y=0，可得（x﹣2）（x﹣3）=0，解得：x=2或3，∴拋物線與x軸的交點為（2，0）或（3，0），故選項③正確．綜上所述，正確的結(jié)論有2個：②③．故選：C．【點評】此題考查了拋物線與x軸的交點，一元二次方程的解，根與系數(shù)的關(guān)系，以及根的判別式的運用，是中考中?？嫉木C合題．（2012?黔南州）已知拋物線y=x2﹣x﹣1與x軸的交點為（m，0），則代數(shù)式m2﹣m+2011的值為（）A．2009 B．2012 C．2011 D．2010【考點】拋物線與x軸的交點．【專題】計算題．【分析】由拋物線y=x2﹣x﹣1與x軸的交點為（m，0），將此點代入拋物線解析式，整理后求出m2﹣m的值，代入所求式子即可求出值．【解答】解：∵物線y=x2﹣x﹣1與x軸的交點為（m，0），∴將x=m，y=0代入拋物線解析式得：m2﹣m﹣1=0，∴m2﹣m=1，則m2﹣m+2011=1+2011=2012．故選B【點評】此題考查了拋物線與x軸的交點，以及代數(shù)式的求值，利用了整體代入的思想，是一道中檔題．（2012?臺灣）有一個二次函數(shù)y=x2+ax+b，其中a、b為整數(shù)．已知此函數(shù)在坐標平面上的圖形與x軸交于兩點，且兩交點的距離為4．若此圖形的對稱軸為x=﹣5，則此圖形通過下列哪一點？（）A．（﹣6，﹣1） B．（﹣6，﹣2） C．（﹣6，﹣3） D．（﹣6，﹣4）【考點】拋物線與x軸的交點；二次函數(shù)圖象上點的坐標特征．【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖形的對稱軸為x=﹣5，圖形與x軸的兩個交點距離為4可知兩點的坐標為（﹣7，0）和（﹣3，0），設(shè)出此函數(shù)的解析式，把x=﹣6代入進行計算即可．【解答】解：∵二次函數(shù)圖形的對稱軸為x=﹣5，圖形與x軸的兩個交點距離為4，∴此兩點的坐標為（﹣7，0）和（﹣3，0）設(shè)二次函數(shù)的解析式為：y=（x+7）（x+3），將x=﹣6代入，得y=（﹣6+7）（﹣6+3）=﹣3∴點（﹣6，﹣3）在二次函數(shù)的圖象上．故選C．【點評】本題考查的是拋物線與x軸的交點問題，根據(jù)題意得出二次函數(shù)的交點式是解答此題的關(guān)鍵．（2012?鎮(zhèn)江）若二次函數(shù)y=（x+1）（x﹣m）的圖象的對稱軸在y軸的右側(cè)，則實數(shù)m的取值范圍是（）A．m＜﹣1 B．﹣1＜m＜0 C．0＜m＜1 D．m＞1【考點】拋物線與x軸的交點．【專題】探究型．【分析】先令（x+1）（x﹣m）=0求出x的值即可得出二次函數(shù)與x軸的交點坐標，再根據(jù)拋物線的對稱軸在y軸的右側(cè)即可得到關(guān)于m的不等式，求出m的取值范圍即可．【解答】解：∵令y=0，即（x+1）（x﹣m）=0，則x=﹣1或x=m，∴二次函數(shù)y=（x+1）（x﹣m）的圖象與x軸的交點為（﹣1，0）、（m，0），∴二次函數(shù)的對稱軸x=，∵函數(shù)圖象的對稱軸在y軸的右側(cè)，∴＞0，解得m＞1．故選D．【點評】本題考查的是拋物線與x軸的交點問題，先根據(jù)函數(shù)的解析式得出二次函數(shù)的圖象與x軸的交點是解答此題的關(guān)鍵．（2011?襄陽）已知函數(shù)y=（k﹣3）x2+2x+1的圖象與x軸有交點，則k的取值范圍是（）A．k＜4 B．k≤4 C．k＜4且k≠3 D．k≤4且k≠3【考點】拋物線與x軸的交點；根的判別式；一次函數(shù)的性質(zhì)．【專題】計算題；壓軸題．【分析】分為兩種情況：①當k﹣3≠0時，（k﹣3）x2+2x+1=0，求出△=b2﹣4ac=﹣4k+16≥0的解集即可；②當k﹣3=0時，得到一次函數(shù)y=2x+1，與X軸有交點；即可得到答案．【解答】解：①當k﹣3≠0時，（k﹣3）x2+2x+1=0，△=b2﹣4ac=22﹣4（k﹣3）×1=﹣4k+16≥0，k≤4；②當k﹣3=0時，y=2x+1，與X軸有交點．故選B．【點評】本題主要考查對拋物線與X軸的交點，根的判別式，一次函數(shù)的性質(zhì)等知識點的理解和掌握，能進行分類求出每種情況的k是解此題的關(guān)鍵．（2011?宿遷）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖，則下列結(jié)論中正確的是（）A．a(chǎn)＞0B．當x＞1時，y隨x的增大而增大C．c＜0D．3是方程ax2+bx+c=0的一個根【考點】拋物線與x軸的交點；二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．【專題】計算題；壓軸題．【分析】根據(jù)圖象可得出a＜0，c＞0，對稱軸x=1，在對稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而減小；根據(jù)拋物線的對稱性另一個交點到x=1的距離與﹣1到x=1的距離相等，得出另一個根．【解答】解：∵拋物線開口向下，∴a＜0，故A選項錯誤；∵拋物線與y軸的正半軸相交，∴c＞0，故C選項錯誤；∵對稱軸x=1，∴當x＞1時，y隨x的增大而減?。还蔅選項錯誤；∵對稱軸x=1，∴另一個根為1+2=3，故D選項正確．故選D．【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點問題以及二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，是基礎(chǔ)知識要熟練掌握．（2011?慶陽）二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，給出下列說法：①abc＜0；②方程ax2+bx+c=0的根為x1=﹣1、x2=3；③當x＞1時，y隨x值的增大而減??；④當y＞0時，﹣1＜x＜3．其中正確的說法是（）A．① B．①② C．①②③ D．①②③④【考點】拋物線與x軸的交點；二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．【專題】壓軸題．【分析】根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)：開口方向、與x軸的交點坐標、對稱軸等來對①②③④進行判斷，從而求解．【解答】解：①由題意函數(shù)的圖象開口向下，與y軸的交點大于0，∴a＜0，c＞0，函數(shù)的對稱軸為x=1，∴﹣=1＞0，∴b＞0，∴abc＜0，正確；②由函數(shù)圖象知函數(shù)與x軸交于點為（﹣1，0）、（3，0），正確；③由函數(shù)圖象知，當x＞1，y隨x的增大而減小，正確；④由函數(shù)圖象知，當﹣1＜x＜3時，y＞0，正確；綜上①②③④正確，故選D．【點評】此題主要考查函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的對稱軸，函數(shù)的增減性及其圖象，還考查了一元二次方程與函數(shù)的關(guān)系，函數(shù)與x軸的交點的橫坐標就是方程的根，要充分運用這一點來解題．（2011?德州）已知函數(shù)y=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的圖象如下面右圖所示，則函數(shù)y=ax+b的圖象可能正確的是（）A． B． C． D．【考點】拋物線與x軸的交點；一次函數(shù)的圖象．【專題】數(shù)形結(jié)合．【分析】根據(jù)圖象可得出方程（x﹣a）（x﹣b）=0的兩個實數(shù)根為a，b，且一正一負，負數(shù)的絕對值大，又a＞b，則a＞0，b＜0．根據(jù)一次函數(shù)y=ax+b的圖象的性質(zhì)即可得出答案．【解答】解：根據(jù)圖象可知拋物線與x軸兩交點的橫坐標一正一負，則根據(jù)二次函數(shù)交點式的性質(zhì)可知a，b異號，∵a＞b，∴a＞0，b＜0，∴函數(shù)y=ax+b的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，故選D．【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點問題以及一次函數(shù)的性質(zhì)，是重點內(nèi)容要熟練掌握，（2011?綿陽）若x1，x2（x1＜x2）是方程（x﹣a）（x﹣b）=1（a＜b）的兩個根，則實數(shù)x1，x2，a，b的大小關(guān)系為（）A．x1＜x2＜a＜b B．x1＜a＜x2＜b C．x1＜a＜b＜x2 D．a(chǎn)＜x1＜b＜x2【考點】拋物線與x軸的交點．【專題】壓軸題．【分析】因為x1和x2為方程的兩根，所以滿足方程（x﹣a）（x﹣b）=1，再由已知條件x1＜x2、a＜b結(jié)合圖象，可得到x1，x2，a，b的大小關(guān)系．【解答】解：用作圖法比較簡單，首先作出（x﹣a）（x﹣b）=0圖象，隨便畫一個（開口向上的，與x軸有兩個交點），再向下平移一個單位，就是（x﹣a）（x﹣b）=1，這時與x軸的交點就是x1，x2，畫在同一坐標系下，很容易發(fā)現(xiàn)：答案是：x1＜a＜b＜x2．故選：C．【點評】本題考查了一元二次方程根的情況，結(jié)合圖象得出答案是解決問題的關(guān)鍵．（2011?常州）已知二次函數(shù)，當自變量x取m時對應的值大于0，當自變量x分別取m﹣1、m+1時對應的函數(shù)值為y1、y2，則y1、y2必須滿足（）A．y1＞0、y2＞0 B．y1＜0、y2＜0 C．y1＜0、y2＞0 D．y1＞0、y2＜0【考點】拋物線與x軸的交點；二次函數(shù)圖象上點的坐標特征．【專題】計算題；壓軸題．【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式求得函數(shù)與x軸的交點坐標，利用自變量x取m時對應的值大于0，確定m﹣1、m+1的位置，進而確定函數(shù)值為y1、y2．【解答】解：令=0，解得：x=，∵當自變量x取m時對應的值大于0，∴＜m＜，∵點（m+1，0）與（m﹣1，0）之間的距離為2，大于二次函數(shù)與x軸兩交點之間的距離，∴m﹣1的最大值在左邊交點之左，m+1的最小值在右邊交點之右．∴點（m+1，0）與（m﹣1，0）均在交點之外，∴y1＜0、y2＜0．故選：B．【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點和二次函數(shù)圖象上的點的特征，解題的關(guān)鍵是求得拋物線與橫軸的交點坐標．（2011?黃石）設(shè)一元二次方程（x﹣1）（x﹣2）=m（m＞0）的兩實根分別為α，β，且α＜β，則α，β滿足（）A．1＜α＜β＜2 B．1＜α＜2＜β C．α＜1＜β＜2 D．α＜1且β＞2【考點】拋物線與x軸的交點；根與系數(shù)的關(guān)系．【專題】壓軸題；數(shù)形結(jié)合．【分析】先令m=0求出函數(shù)y=（x﹣1）（x﹣2）的圖象與x軸的交點，畫出函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合即可求出α，β的取值范圍．【解答】解：令m=0，則函數(shù)y=（x﹣1）（x﹣2）的圖象與x軸的交點分別為（1，0），（2，0），故此函數(shù)的圖象為：∵m＞0，∴原頂點沿拋物線對稱軸向下移動，兩個根沿對稱軸向兩邊逐步增大，∴α＜1，β＞2．故選D．【點評】本題考查的是拋物線與x軸的交點，能根據(jù)x軸上點的坐標特點求出函數(shù)y=（x﹣1）（x﹣2）與x軸的交點，畫出函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合解答是解答此題的關(guān)鍵．（2011?黔南州）二次函數(shù)y=﹣x2+2x+k的部分圖象如圖所示，則關(guān)于x的一元二次方程﹣x2+2x+k=0的一個解x1=3，另一個解x2=（）A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．0【考點】拋物線與x軸的交點．【專題】數(shù)形結(jié)合．【分析】先把x1=3代入關(guān)于x的一元二次方程﹣x2+2x+k=0，求出k的值，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求出另一個解x2的值．【解答】解：∵把x1=3代入關(guān)于x的一元二次方程﹣x2+2x+k=0得，﹣9+6+k=0，解得k=3，∴原方程可化為：﹣x2+2x+3=0，∴x1+x2=3+x2=﹣=2，解得x2=﹣1．故選B．【點評】本題考查的是拋物線與x軸的交點，解答此類題目的關(guān)鍵是熟知拋物線與x軸的交點與一元二次方程根的關(guān)系．（2011?玉溪）如圖，函數(shù)y=﹣x2+bx+c的部分圖象與x軸、y軸的交點分別為A（1，0），B（0，3），對稱軸是x=﹣1，在下列結(jié)論中，錯誤的是（）A．頂點坐標為（﹣1，4）B．函數(shù)的解析式為y=﹣x2﹣2x+3C．當x＜0時，y隨x的增大而增大D．拋物線與x軸的另一個交點是（﹣3，0）【考點】拋物線與x軸的交點；二次函數(shù)的性質(zhì)．【專題】計算題；壓軸題．【分析】由于y=﹣x2+bx+c的圖象與x軸、y軸的交點分別為A（1，0），B（0，3），將交點代入解析式求出函數(shù)表達式，即可作出正確判斷．【解答】解：將A（1，0），B（0，3）分別代入解析式得，，解得，，則函數(shù)解析式為y=﹣x2﹣2x+3；將x=﹣1代入解析式可得其頂點坐標為（﹣1，4）；當y=0時可得，﹣x2﹣2x+3=0；解得，x1=﹣3，x2=1．可見，拋物線與x軸的另一個交點是（﹣3，0）；由圖可知，當x＜﹣1時，y隨x的增大而增大．可見，C答案錯誤．故選C．【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點及二次函數(shù)的性質(zhì)，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵，同時要注意數(shù)形結(jié)合．（2011?江西）已知二次函數(shù)y=x2+bx﹣2的圖象與x軸的一個交點為（1，0），則它與x軸的另一個交點坐標是（）A．（1，0） B．（2，0） C．（﹣2，0） D．（﹣1，0）【考點】拋物線與x軸的交點．【分析】把交點坐標（1，0），代入二次函數(shù)y=x2+bx﹣2求出b的值，進而知道拋物線的對稱軸，再利用公式x=，可求出它與x軸的另一個交點坐標．【解答】解：把x=1，y=0代入y=x2+bx﹣2得：0=1+b﹣2，∴b=1，∴對稱軸為x=﹣=﹣，∴x==﹣，∴x2=﹣2，它與x軸的另一個交點坐標是（﹣2，0）．故選C．【點評】本題考查了二次函數(shù)和x軸交點的問題，要求交點坐標即可解一元二次方程也可用公式x=．（2011?臺灣）如圖，將二次函數(shù)y=31x2﹣999x+892的圖形畫在坐標平面上，判斷方程31x2﹣999x+892=0的兩根，下列敘述何者正確（）A．兩根相異，且均為正根 B．兩根相異，且只有一個正根C．兩根相同，且為正根 D．兩根相同，且為負根【考點】拋物線與x軸的交點．【分析】由二次函數(shù)y=31x2﹣999x+892的圖象得，方程31x2﹣999x+892=0有兩個實根，兩根都是正數(shù)，從而得出答案．【解答】解：∵二次函數(shù)y=31x2﹣999x+892的圖象與x軸有兩個交點，且與x軸的正半軸相交，∴方程31x2﹣999x+892=0有兩個正實根．故選A．【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點問題，注：拋物線與x軸有兩個交點時，方程有兩個不等的實根；拋物線與x軸有一個交點時，方程有兩個相等的實根；拋物線與x軸無交點時，方程無實根．（2011?西藏）拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸的交點是（﹣2，0）和（4，0），這條拋物線的對稱軸是（）A．直線x=1 B．直線x=﹣1 C．直線x=2 D．直線x=﹣2【考點】拋物線與x軸的交點．【分析】根據(jù)對稱軸的定義知x=．【解答】解：∵拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸的交點是（﹣2，0）和（4，0），∴這條拋物線的對稱軸是：x==1，即x=1；故選A．【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點問題．對于求拋物線的對稱軸的題目，可以用公式法，也可以將函數(shù)解析式化為頂點式求得，或直接利用公式x=求解．（2011?德宏州）二次函數(shù)y=x2﹣2x﹣1的圖象與x軸有兩個交點A（x1，y1）、B（x2，y2），x1+x2的值等于（）A．2 B．﹣2 C． D．﹣【考點】拋物線與x軸的交點．【專題】壓軸題．【分析】令y=0，則x2﹣2x﹣1=0．根據(jù)該一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系進行解答．【解答】解：二次函數(shù)y=x2﹣2x﹣1的圖象與x軸有兩個交點的橫坐標x1、x2分別是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的兩個根，則由韋達定理，知x1+x2=1（﹣2）=2，即x1+x2的值等于2．故選A．【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點．解答該題時，也可以根據(jù)拋物線的對稱軸方程的幾何意義進行計算x1+x2的值．（2011?包頭）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c同時滿足下列條件：對稱軸是x=1；最值是15；二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點，其橫坐標的平方和為15﹣a，則b的值是（）A．4或﹣30 B．﹣30 C．4 D．6或﹣20【考點】拋物線與x軸的交點；二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)的最值．【專題】壓軸題；函數(shù)思想．【分析】由在x=1時取得最大值15，可設(shè)解析式為：y=a（x﹣1）2+15，只需求出a即可，又與x軸交點橫坐標的平方和為15﹣a，可求出a，所以可求出解析式得到b的值．【解答】解：解法一：∵x軸上點的縱坐標是0，∴由題可設(shè)拋物線與x軸的交點為（1﹣t，0），（1+t，0），其中t＞0，∵兩個交點的橫坐標的平方和等于15﹣a即：（1﹣t）2+（1+t）2=15﹣a，可得t=，由頂點為（1，15），可設(shè)解析式為：y=a（x﹣1）2+15，將（1﹣，0）代入可得a=﹣2或a=15（不合題意，舍去）∴y=﹣2（x﹣1）2+15=﹣2x2+4x+13，∴b=4；解法二：∵對稱軸是x=1，最值是15，∴設(shè)y=ax2+bx+c=a（x﹣1）2+15，∴y=ax2﹣2ax+15+a，設(shè)方程ax2﹣2ax+15+a=0的兩個根是x1，x2，則x1+x2=﹣=2，x1?x2=，∵二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點，其橫坐標的平方和為15﹣a，（x1）2+（x2）2=（x1+x2）2﹣2x1x2=15﹣a，∴22﹣=15﹣a，a2﹣13a﹣30=0，a1=15（不合題意，舍去），a2=﹣2，∴y=﹣2（x﹣1）2+15=﹣2x2+4x+13；∴b=4．故選C．【點評】本題考查了二次函數(shù)的最值及待定系數(shù)法求解析式，難度一般，關(guān)鍵算出a的值．（2010?大田縣）拋物線y=kx2﹣7x﹣7的圖象和x軸有交點，則k的取值范圍是（）A．k＞﹣ B．k≥﹣且k≠0 C．k≥﹣ D．k＞﹣且k≠0【考點】拋物線與x軸的交點．【專題】壓軸題．【分析】拋物線y=kx2﹣7x﹣7的圖象和x軸有交點，即一元二次方程kx2﹣7x﹣7=0有解，此時△≥0．【解答】解：∵拋物線y=kx2﹣7x﹣7的圖象和x軸有交點，即y=0時方程kx2﹣7x﹣7=0有實數(shù)根，即△=b2﹣4ac≥0，即49+28k≥0，解得k≥﹣，且k≠0．故選B．【點評】考查拋物線和一元二次方程的關(guān)系．（2010?柳州）拋物線y=﹣x2+bx+c上部分點的橫坐標x，縱坐標y的對應值如下表：x…﹣2﹣1012…y…04664…從上表可知，下列說法正確的個數(shù)是（）①拋物線與x軸的一個交點為（﹣2，0）；②拋物線與y軸的交點為（0，6）；③拋物線的對稱軸是x=1；④在對稱軸左側(cè)y隨x增大而增大．A．1 B．2 C．3 D．4【考點】拋物線與x軸的交點．【專題】壓軸題；圖表型．【分析】從表中知道當x=﹣2時，y=0，當x=0時，y=6，由此可以得到拋物線與x軸的一個交點坐標和拋物線與y軸的交點坐標，從表中還知道當x=﹣1和x=2時，y=4，由此可以得到拋物線的對稱軸方程，同時也可以得到在對稱軸左側(cè)y隨x增大而增大．【解答】解：從表中知道：當x=﹣2時，y=0，當x=0時，y=6，∴拋物線與x軸的一個交點為（﹣2，0），拋物線與y軸的交點為（0，6），從表中還知道：當x=﹣1和x=2時，y=4，∴拋物線的對稱軸方程為x=×（﹣1+2）=0.5，同時也可以得到在對稱軸左側(cè)y隨x增大而增大．所以①②④正確．故選C．【點評】此題主要考查了拋物線與坐標軸的交點坐標與自變量和的函數(shù)值的對應關(guān)系，也考查了利用自變量和對應的函數(shù)值確定拋物線的對稱軸和增減性．（2010?西寧）下列哪一個函數(shù)，其圖象與x軸有兩個交點（）A． B．C． D．【考點】拋物線與x軸的交點．【專題】計算題．【分析】由題意得，令y=0，看是否解出x值，對A，B，C，D，一一驗證從而得出答案．【解答】解：A、令y=0得，，移項得，，方程無實根；B、令y=0得，，移項得，，方程無實根；C、令y=0得，，移項得，，方程無實根；D、令y=0得，，移項得，，方程有兩個實根．故選D．【點評】此題考查二次函數(shù)的性質(zhì)及與一元二次方程根的關(guān)系．（利用開口方向和頂點坐標也可解答）（2010?臺灣）下列哪一個二次函數(shù)，其圖形與x軸有兩個交點（）A．y=﹣x2+2x﹣5 B．y=﹣2x2﹣8x﹣11 C．y=3x2﹣6x+1 D．y=4x2+24【考點】拋物線與x軸的交點．【分析】分別對A、B、C、D四個選項進行一一驗證，令y=0，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，根據(jù)根的判別式來判斷方程是否有根．【解答】解：A、令y=0，得﹣x2+2x﹣5=0，△=4﹣4×（﹣1）×（﹣5）=﹣16＜0∴函數(shù)圖形與x軸沒有兩個交點，故A錯誤；B、令y=0，得﹣2x2﹣8x﹣11=0，△=64﹣4×（﹣2）×（﹣11）=﹣24＜0∴函數(shù)圖形與x軸沒有兩個交點，故B錯誤；C、令y=0，得3x2﹣6x+1=0，△=36﹣4×3=24＞0，∴函數(shù)圖形與x軸有兩個交點，故C正確；D、令y=0，得4x2+24=0△=0﹣4×4×24=﹣384＜0，∴函數(shù)圖形與x軸沒有兩個交點，故D錯誤；故選C．【點評】此題把二次函數(shù)和一元二次方程聯(lián)系起來，判斷函數(shù)與x軸有無交點，其實就是判斷方程有無根的問題，是一種常見的題型．（2010?包頭）已知二次函數(shù)y=kx2+（2k﹣1）x﹣1與x軸交點的橫坐標為x1、x2，且x1＜x2，則下列結(jié)論中：①方程kx2+（2k﹣1）x﹣1=0有兩個不相等的實數(shù)根x1、x2；②當x=﹣2時，y=1；③當x＞x2時，y＞0；④x1＜﹣1，x2＞﹣1．其中正確的結(jié)論是（）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①③④【考點】拋物線與x軸的交點．【專題】壓軸題．【分析】把相應的x的值代入；二次函數(shù)與x軸的交點即為轉(zhuǎn)換為一元二次方程等于0的解；與﹣1相關(guān)就加上1后應用相關(guān)不等式整理結(jié)果；兩根相減需確定二次項系數(shù)的符號．【解答】解：①因為二次函數(shù)數(shù)y=kx2+（2k﹣1）x﹣1與x軸有兩個交點，所以，方程kx2+（2k﹣1）x﹣1=0有兩個不相等的實數(shù)根x1、x2，正確；②把x=﹣2直接代入函數(shù)式可得y=1，正確；③因不知道k的符號，就不知道開口方向，無法確定，錯誤；④∵（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=﹣﹣+1=﹣1＜0，又x1＜x2，∴x1+1＜x2+1，x1+1＜0，x2+1＞0，即x1＜﹣1，x2＞﹣1，正確．∴正確的結(jié)論是①②④．故選C．【點評】主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)與一元二次方程的根，及根與系數(shù)之間的關(guān)系．（2009?孝感）對于每個非零自然數(shù)n，拋物線y=x2﹣與x軸交于An，Bn兩點，以AnBn表示這兩點間的距離，則A1B1+A2B2+…+A2009B2009的值是（）A． B． C． D．【考點】拋物線與x軸的交點．【專題】壓軸題；規(guī)律型．【分析】本題就是將非零自然數(shù)n分別代入拋物線得出與x軸交點的各個值，分別算出兩交點間的距離再求出它們的和．【解答】解：將n=1，2，3，4…分別代入拋物線得y=x2﹣x+，y=x2﹣x+，y=x2﹣x+，…；分別解得x1=1，x2=，x3=，x4=，x5=，x6=，…；∴A1B1=1﹣，A2B2=﹣，A3B3=﹣，…，A2009B2009=﹣；∴A1B1+A2B2+…+A2009B2009=1﹣+﹣+﹣+…+﹣=1﹣=．故選D．【點評】此題是一道開放題，需要先代入幾個特殊值，找出規(guī)律，然后解答．（2008?鎮(zhèn)江）福娃們在一起探討研究下面的題目：函數(shù)y=x2﹣x+m（m為常數(shù)）的圖象如下圖，如果x=a時，y＜0；那么x=a﹣1時，函數(shù)值是多少．參考下面福娃們的討論，請你解該題，你選擇的答案是（）A．y＜0 B．0＜y＜m C．y＞m D．y=m【考點】拋物線與x軸的交點．【專題】壓軸題．【分析】把x=a代入函數(shù)y=x2﹣x+m中求出函數(shù)a、a﹣1與0的關(guān)系，進而確定x=a﹣1時，函數(shù)y=x2﹣x+m的值．【解答】解：x=a代入函數(shù)y=x2﹣x+m中得：y=a2﹣a+m=a（a﹣1）+m，∵x=a時，y＜0，∴a（a﹣1）+m＜0，由圖象可知：m＞0，∴a（a﹣1）＜0，又∵x=a時，y＜0，∴a＞0則a﹣1＜0，由圖象可知：x=0時，y=m，又∵x＜時y隨x的增大而減小，∴x=a﹣1時，y＞m．故選C．【點評】數(shù)形結(jié)合法、假設(shè)法都是解決數(shù)學習題常用的方法，巧妙運用解題方法可以節(jié)省解題時間．（2007?隨州）下列四個命題：①點（﹣2，3）在第二象限；②直線y=x﹣2與y軸交于點（0，﹣2）；③直線y=﹣x與雙曲線y=有兩個交點；④拋物線y=x2﹣3x+4與x軸沒有交點．其中正確命題是（）A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②④【考點】拋物線與x軸的交點；點的坐標；一次函數(shù)圖象上點的坐標特征．【專題】壓軸題．【分析】注意象限內(nèi)點的特點以及一次函數(shù)與二次函數(shù)圖象的圖象特征即可．【解答】解：①點（﹣2，3）在第二象限；（﹣，+）屬于第二象限點的特征，正確；②直線y=x﹣2與y軸交于點（0，﹣2）；當x=0時，y=﹣2，正確；③直線y=﹣x與雙曲線y=有兩個交點，直線過的是二四象限，雙曲線在一三象限，所以沒有交點，錯誤；④當y=0時，△＜0，所以拋物線y=x2﹣3x+4與x軸沒有交點，正確．故選D．【點評】本題考查了象限內(nèi)點的特點以及各類函數(shù)圖象的圖象特征．需注意在做題過程中加以理解應用．（2006?南通）已知二次函數(shù)y=2x2+9x+34，當自變量x取兩個不同的值x1，x2時，函數(shù)值相等，則當自變量x取x1+x2時的函數(shù)值與（）A．x=1時的函數(shù)值相等 B．x=0時的函數(shù)值相等C．x=時的函數(shù)值相等 D．x=﹣時的函數(shù)值相等【考點】拋物線與x軸的交點．【專題】壓軸題．【分析】可知以這兩個自變量的值為橫坐標的點，關(guān)于拋物線的對稱軸對稱．求出x1+x2=，代入求出y，再分別把每個數(shù)代入求出y，看看y值是否相等即可．【解答】解：當自變量x取兩個不同的值x1、x2時，函數(shù)值相等，則以x1、x2為橫坐標的兩點關(guān)于直線x=對稱，所以有，所以x1+x2=，代入二次函數(shù)的解析式得：y=2×+9×（﹣）+34=34，A、當x=1時，y=2+9+34≠34，故本選項錯誤；B、當x=0時，y=0+0+34=34，故本選項正確；C、當x=時，y=2×+9×+34≠34，故本選項錯誤；D、當x=﹣時，y=2×+9×（﹣）+34≠34，故本選項錯誤故選B．【點評】此題考查利用二次函數(shù)的對稱性解決問題．（2006?包頭）若一元二次方程x2﹣2x﹣k=0無實數(shù)根，則二次函數(shù)y=x2+（k+1）x+k的圖象的頂點在（）A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限【考點】拋物線與x軸的交點．【專題】壓軸題．【分析】先由一元二次方程x2﹣2x﹣k=0無實數(shù)根得出，∴△=4+4k＜0，從而得出k的取值范圍，再求出二次函數(shù)y=x2+（k+1）x+k的△的取值范圍，則此題易解．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣k=0無實數(shù)根，∴△=4+4k＜0，即k＜﹣1，則二次函數(shù)y=x2+（k+1）x+k的圖象與x軸沒有交點，對稱軸的橫坐標x=﹣=﹣＞0，與y軸交點為（0，k），故函數(shù)圖象的頂點第四象限．故選A．【點評】二次函數(shù)和一元一次方程有以下關(guān)系：方程有兩個不相等的實數(shù)根，二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點；方程有兩個相等的實數(shù)根，二次函數(shù)的圖象與x軸有1個交點；方程沒有實數(shù)根，二次函數(shù)的圖象與x軸沒有交點．（2006?廈門）已知直線x﹣y﹣1=0與拋物線y=ax2相切，則a=（）A． B． C． D．【考點】拋物線與x軸的交點．【專題】壓軸題．【分析】直線x﹣y﹣1=0與拋物線y=ax2相切，即它們只有一個公共點，可把y=x﹣1代入y=ax2，得到一個關(guān)于x的一元二次方程，則方程有兩個相等的實數(shù)解，即判別式為0，從而求出a的值．【解答】解：把y=x﹣1代入y=ax2，得ax2﹣x+1=0，∴△=b2﹣4ac=（﹣1）2﹣4×a×1=0，∴a=．故選A．【點評】直線與拋物線相切是指它們只有一個公共點，即它們有公共解，可把方程進行轉(zhuǎn)化，利用判別式求出a的值．（2004?昆明）如圖所示，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象的頂點P的橫坐標是4，圖象交x軸于點A（m，0）和點B，且m＞4，那么AB的長是（）A．4+m B．m C．2m﹣8 D．8﹣2m【考點】拋物線與x軸的交點．【專題】壓軸題．【分析】利用圖象可得AB=（點A的橫坐標﹣對稱軸）×2解答即可．【解答】解：因為二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象的頂點P的橫坐標是4，所以拋物線對稱軸所在直線為x=4，交x軸于點D，所以A、B兩點關(guān)于對稱軸對稱，因為點A（m，0），且m＞4，即AD=m﹣4，所以AB=2AD=2（m﹣4）=2m﹣8，故選C．【點評】考查二次函數(shù)的兩點間距離的求法，注意結(jié)合圖象．（2002?荊州）關(guān)于二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象有下列命題：①當c=0時，函數(shù)的圖象經(jīng)過原點；②當c＞0，且函數(shù)的圖象開口向下時，方程ax2+bx+c=0必有兩個不相等的實根；③函數(shù)圖象最高點的縱坐標是；④當b=0時，函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱．其中正確命題的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【考點】拋物線與x軸的交點．【專題】壓軸題．【分析】根據(jù)c與0的關(guān)系判斷二次函數(shù)y=ax2+bx+c與y軸交點的情況；根據(jù)頂點坐標與拋物線開口方向判斷函數(shù)的最值；根據(jù)函數(shù)y=ax2+c的圖象與y=ax2圖象相同，判斷函數(shù)y=ax2+c的圖象對稱軸．【解答】解：（1）c是二次函數(shù)y=ax2+bx+c與y軸的交點，所以當c=0時，函數(shù)的圖象經(jīng)過原點；（2）c＞0時，二次函數(shù)y=ax2+bx+c與y軸的交點在y軸的正半軸，又因為函數(shù)的圖象開口向下，所以方程ax2+bx+c=0必有兩個不相等的實根；（3）當a＜0時，函數(shù)圖象最高點的縱坐標是；當a＞0時，函數(shù)圖象最低點的縱坐標是；由于a值不定，故無法判斷最高點或最低點；（4）當b=0時，二次函數(shù)y=ax2+bx+c變?yōu)閥=ax2+c，又因為y=ax2+c的圖象與y=ax2圖象相同，所以當b=0時，函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱．三個正確，故選C．【點評】二次函數(shù)y=ax2+bx+c的最值：當a＜0時，函數(shù)的最大值是；當a＞0時，函數(shù)的最小值是．（2002?福州）已知：二次函數(shù)y=x2+bx+c與x軸相交于A（x1，0）、B（x2，0）兩點，其頂點坐標為P（﹣，），AB=|x1﹣x2|，若S△APB=1，則b與c的關(guān)系式是（）A．b2﹣4c+1=0 B．b2﹣4c﹣1=0 C．b2﹣4c+4=0 D．b2﹣4c﹣4=0【考點】拋物線與x軸的交點．【專題】壓軸題．【分析】由于拋物線頂點坐標為P（﹣，），AB=|x1﹣x2|，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系把AB的長度用b、c表示，而S△APB=1，然后根據(jù)三角形的面積公式就可以建立關(guān)于b、c的等式．【解答】解：∵x1+x2=﹣b，x1?x2=c，∴AB=|x1﹣x2|==，∵若S△APB=1∴S△APB==1，∴﹣=1，∴=1，∴（b2﹣4ac）=8，設(shè)=s，則s3=8，故s=2，∴=2，∴b2﹣4c﹣4=0．故選D．【點評】此題主要考查了拋物線與x軸的交點情況與判別式的關(guān)系、拋物線頂點坐標公式、三角形的面積公式等知識，綜合性比較強．（2002?湖州）已知拋物線y=x2+bx+c（c＜0）經(jīng)過點（c，0），以該拋物線與坐標軸的三個交點為頂點的三角形面積為S，則S可表示為（）A．|2+b||b+1| B．c（1﹣c） C．（b+1）2 D．【考點】拋物線與x軸的交點．【專題】壓軸題．【分析】把點（c，0）代入拋物線中，可得b、c的關(guān)系式，再設(shè)拋物線與x軸的交點分別為x1、x2，則x1、x2滿足x2+bx+c=0，根據(jù)根的判別式結(jié)合兩點間的距離公式可求|x1﹣x2|，那么就可得到以該拋物線與坐標軸的三個交點為頂點的三角形面積．【解答】解：∵拋物線y=x2+bx+c（c＜0）經(jīng)過點（c，0），∴c2+bc+c=0；∴c（c+b+1）=0；∵c＜0，∴c=﹣b﹣1；設(shè)x1，x2是一元二次方程x2+bx+c=0的兩根，∴x1+x2=﹣b，x1?x2=c=﹣b﹣1，∴拋物線與x軸的交點間的距離為|x1﹣x2|=====|2+b|，∴S可表示為|2+b||b+1|．故選A．【點評】此題考查了點與函數(shù)的關(guān)系，還考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，要注意根與系數(shù)的關(guān)系；此題考查了學生的分析能力，屬于難度較大的題目．（1998?河北）已知拋物線y=x2+2mx+m﹣7與x軸的兩個交點在（1，0）兩旁，則關(guān)于x的方程x2+（m+1）x+m2+5=0的根的情況是（）A．有兩個正數(shù)根 B．有兩個負數(shù)根C．有一個正根和一個負根 D．無實數(shù)根【考點】拋物線與x軸的交點．【分析】因為拋物線y=x2+2mx+m﹣7與x軸的兩個交點在（1，0）兩旁，由此求出m取值范圍，進而由方程x2+（m+1）x+m2+5=0的“△”確定根的情況．【解答】解：∵拋物線y=x2+2mx+m﹣7與x軸的兩個交點在（1，0）兩旁，∴關(guān)于x的方程x2+2mx+m﹣7=0有兩個不相等的實數(shù)根，∴△=b2﹣4ac＞0，即：（2m）2﹣4（m﹣7）＞0，∴m為任意實數(shù)①設(shè)拋物線y=x2+2mx+m﹣7與x軸的兩個交點的坐標分別為（α，0）、（β，0），且α＜β∴α、β是關(guān)于x的方程x2+2mx+m﹣7=0的兩個不相等的實數(shù)根，由根與系數(shù)關(guān)系得：α+β=﹣2m，αβ=m﹣7，∵拋物線y=x2+2mx+m﹣7與x軸的兩個交點分別位于點（1，0）的兩旁∴α＜1，β＞1∴（α﹣1）（β﹣1）＜0∴αβ﹣（α+β）+1＜0∴（m﹣7）+2m+1＜0解得：m＜2②由①、②得m的取值范圍是m＜2；∵方程x2+（m+1）x+m2+5=0的根的判別式為：（m+1）2﹣4×（m2+5），=2m﹣4，∵m＜2，∴2m﹣4＜0，∴方程沒有實數(shù)根，故選D．【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點問題，注：當拋物線y=ax2+bx+c與軸有兩個交點時，一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個不等的實數(shù)根即△＞0；當拋物線y=ax2+bx+c與軸有一個交點時，一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個相等的實數(shù)根即△=0；當拋物線y=ax2+bx+c與軸無交點