2023-2024學年北京二十中高三適應性調(diào)研考試數(shù)學試題

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）

填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處”o

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上；如需改動，先

劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

_22

1.已知直線瓜-y+%=。過雙曲線C：=-1=1（。>0/>0）的左焦點尸，且與雙曲線C在第二象限交于點4,若

ab

\FA\=\FO\（。為坐標原點），則雙曲線C的離心率為

A.2B.V3+1C.75D.75-1

2.已知函數(shù)/（x）=C-x（a〉0）,若函數(shù)y=/（x）的圖象恒在x軸的上方，則實數(shù)。的取值范圍為（）

A.f—,+oo}B.（0,e）C.（e,+co）D.I-,1j

3.圖奴JWr--=+ln（x+l）的定義域為（）

X

A.(2,+8)B.(-1,2)。(2,+8)C.(-1,2)D.(-

4.若復數(shù)Z滿足力=1-i（i為虛數(shù)單位），則其共軌復數(shù)I的虛部為（）

A.-iB.iC.-1D.1

ym，則S]=(

5.已知函數(shù)y（x）=<)

,?A,-J.

A.1B.2C.3D.4

E~=a+bi(a,beR),則乘積的值是()

6.i是虛數(shù)單位，若

2-i

A.-15B.-3C.3D.15

7.已知四棱錐E-ABCD,底面48a>是邊長為1的正方形，ED=1,平面ECD，平面A5CD,當點C到平面ABE

的距離最大時，該四棱錐的體積為（）

8.已知等差數(shù)列｛%｝中，。5=7,60+%=0,則。3+。4=（）

A.20B.18C.16D.14

9.已知集合A={x|1<%<24},B=Jx|y=,1=>,則（）

I'[V-x2+6x-5j

A.[x\x>5]B.[x\5<x<24）

C.[x\x<l^x>5^D.{x|5<x<24}

ycir|y

10.函數(shù)y==~」的部分圖象大致為（）

1+X

11.設a=log3（）.5,b=log020.3,c=203,則”,仇c的大小關系是（）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a

x+yW10

12.設實數(shù)X、y滿足約束條件—,則z=2x+3y的最小值為（）

x>4

A.2B.24C.16D.14

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.某學校高一、高二、高三年級的學生人數(shù)之比為5:5:4,現(xiàn)按年級采用分層抽樣的方法抽取若干人，若抽取的高

三年級為12人，則抽取的樣本容量為_______人.

為有理數(shù)

14.數(shù)學家狄里克雷對數(shù)論，數(shù)學分析和數(shù)學物理有突出貢獻，是解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一.函數(shù)。（％）=<

0,x為無理數(shù)

稱為狄里克雷函數(shù).則關于0（%）有以下結論:

①0（%）的值域為［0』;

②X/xe7?,D（-x）=D（x）；

③VTwH,D（x+T）=D（x）；

@D（1）+D（V2）+D（A/3）++。（。2020）=45;

其中正確的結論是(寫出所有正確的結論的序號)

15.已知函數(shù)/(x)=e2工，則過原點且與曲線y=/(x)相切的直線方程為.

16.(5分)已知曲線。的方程為y=-63+x(qeR),其圖象經(jīng)過點P(1,O),則曲線。在點P處的切線方程是

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知定點4(-3,0),5(3,0),直線40、相交于點M,且它們的斜率之積為-：，記動點"的軌

跡為曲線C。

(1)求曲線C的方程；

(2)過點T(l,0)的直線與曲線C交于P、。兩點，是否存在定點S(1,0)，使得直線SP與SQ斜率之積為定值，

若存在，求出S坐標；若不存在，請說明理由。

18.(12分)已知a>0,函數(shù)/■(元)=xlnx+q-a(x-l).

(I)若"％)在區(qū)間，,上單調(diào)遞增，求°的值；

(II)若aeZ〃尤)>0恒成立，求。的最大值.(參考數(shù)據(jù)：gk16)

19.(12分)設函數(shù)/(x)=|2x+a|+|2x—3].

(1)當a=l時，求不等式/(x)W6的解集；

(2)若不等式/(x)24恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

20.(12分)已知函數(shù)〃x)=e2'—X"cosx_1(/UH),直線/是曲線y=/⑺在x=0處的切線.

(1)求證：無論實數(shù)4取何值，直線/恒過定點，并求出該定點的坐標；

(2)若直線/經(jīng)過點(1,6),試判斷函數(shù)/(x)的零點個數(shù)并證明.

21.(12分)已知向量a=(2sinx,—J^),3=(cosx,2cos2尤-1),f^x)=a-b.

(1)求/(%)的最小正周期；

(2)若AABC的內(nèi)角A,5c的對邊分別為a,4c,且。=省力=1,/(A)=g,求AABC的面積.

22.(10分)已知橢圓C:5+y2=l的右頂點為4,點P在V軸上，線段AP與橢圓C的交點6在第一象限，過點3

的直線/與橢圓C相切，且直線/交x軸于〃.設過點A且平行于直線I的直線交V軸于點Q.

(I)當3為線段AP的中點時，求直線A3的方程；

(II)記^BPQ的面積為5,AOMB的面積為邑，求5+$2的最小值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、B

【解析】

JT

直線岳-〉+機=0的傾斜角為易得4H尸0=c.設雙曲線C的右焦點為E,可得△"E中，ZFAE^9Q,則

2cr-

\AE\=s/3c,所以雙曲線C的離心率為e=七一=J3+1.故選B.

73c-c

2、B

【解析】

函數(shù)y=/(x)的圖象恒在X軸的上方，x〉0在(0,+8)上恒成立.即C〉x,即函數(shù)y=《的圖象在直線y=x

aaa

上方，先求出兩者相切時。的值，然后根據(jù)。變化時，函數(shù)y=三的變化趨勢，從而得。的范圍.

a

【詳解】

由題史—X〉0在(0,+8)上恒成立.即—>x,

aa

y=—的圖象永遠在y=X的上方，

a

J

設丫=幺與丁=］的切點(%,%)，貝卜a，解得"e,

aeXQ

一=%0

易知。越小，y=C圖象越靠上，所以0<a<e.

a

故選：B.

【點睛】

本題考查函數(shù)圖象與不等式恒成立的關系，考查轉化與化歸思想，首先函數(shù)圖象轉化為不等式恒成立，然后不等式恒

成立再轉化為函數(shù)圖象，最后由極限位置直線與函數(shù)圖象相切得出參數(shù)的值，然后得出參數(shù)范圍.

3、C

【解析】

2-x>0

函數(shù)的定義域應滿足，,:.-l<x<2.

1+%>n0

故選C.

4、D

【解析】

由已知等式求出z,再由共朝復數(shù)的概念求得2,即可得N的虛部.

【詳解】

1—；—Z（1—

由zi=l-i,—7=-l-z,所以共軌復數(shù)N=-l+i,虛部為1

il\~l）

故選D.

【點睛】

本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算和共輾復數(shù)的基本概念，屬于基礎題.

5、C

【解析】

結合分段函數(shù)的解析式,先求出了(-2),進而可求出/[/(-2)].

【詳解】

由題意可得/(-2)=32=9,則/[/(-2)]=/(9)=log2(9-l)=3.

故選:C.

【點睛】

本題考查了求函數(shù)的值，考查了分段函數(shù)的性質(zhì)，考查運算求解能力，屬于基礎題.

6、B

【解析】

1+7，(1+70(2+0....,,,,2遙口

------=----------------=—l+3z,??a==3,ab=-3,選B?

7、B

【解析】

過點E作即垂足為過〃作族垂足為尸，連接ER因為CD//平面A8E,所以點C到平面

TT

A5E的距離等于點H到平面A5E的距離〃.設NCDE=e（0<6<5）,將〃表示成關于。的函數(shù)，再求函數(shù)的最值,

即可得答案.

【詳解】

過點E作瓦/J_CD,垂足為H,過H作族J_AB,垂足為凡連接EE

因為平面ECDL平面A3C。，所以石平面A3C。，

所以EH工HF.

因為底面A3C。是邊長為1的正方形，HF//AD,所以班'=4）=1.

因為CD//平面ABE,所以點C到平面ABE的距離等于點H到平面ABE的距離.

易證平面EFH±平面ABE,

所以點H到平面ABE的距離，即為H到EF的距離丸.

不妨設NC￡>E=e（O<eKQ）,則EH=sin。，EF=&+sin2，.

因為sEHF=3,EF?=3.EH-FH,所以。Jl+sin2e=sin。，

7sin。16

h———_———,<----------TT

所以一加荷拓一n~^~2，當夕=5時，等號成立?

Vsin20

1,1

此時EH與EO重合，所以EH=1,VE=-xl-xl=-.

33

故選：B.

【點睛】

本題考查空間中點到面的距離的最值，考查函數(shù)與方程思想、轉化與化歸思想，考查空間想象能力和運算求解能力,

求解時注意輔助線及面面垂直的應用.

8、A

【解析】

設等差數(shù)列{4}的公差為d,再利用基本量法與題中給的條件列式求解首項與公差，進而求得為+%即可?

【詳解】

（、\as=7,fq+4d=7,\a}=15,

設等差數(shù)列{4}的公差為d.由5八得“cC，解得]c?所以

1

，^10+a7=0[%+9d+%+6d=0[d=-2

生+“4=2q+5d—2x15+5x（—2）=20.

故選：A

【點睛】

本題主要考查了等差數(shù)列的基本量求解,屬于基礎題.

9、D

【解析】

首先求出集合3,再根據(jù)補集的定義計算可得；

【詳解】

解：?；—f+6x—5>0,解得1<%<5

,5={x[l<x<5},/.bAB={x15<x<241.

故選：D

【點睛】

本題考查補集的概念及運算，一元二次不等式的解法，屬于基礎題.

10、B

【解析】

圖像分析采用排除法，利用奇偶性判斷函數(shù)為奇函數(shù)，再利用特值確定函數(shù)的正負情況。

【詳解】

A—x）=—%+sin'—）=」+*x=_?。?故奇函數(shù)，四個圖像均符合。

1+x1+X-

X+cinX

當xe（0,不）時，sinx>0,y=>0,排除C、D

1+x

ycipY

當xe（肛2不）時，sinx<0,y=>0,排除A。

1+x

故選B。

【點睛】

圖像分析采用排除法，一般可供判斷的主要有：奇偶性、周期性、單調(diào)性、及特殊值。

11,A

【解析】

選取中間值。和1,利用對數(shù)函數(shù)y=log3］，y=logo_2X和指數(shù)函數(shù)y=2"的單調(diào)性即可求解.

【詳解】

因為對數(shù)函數(shù)y=log3X在（0,+8）上單調(diào)遞增，

所以Iog3（）.5<k）g31=0,

因為對數(shù)函數(shù)J=log02x在（0,+。）上單調(diào)遞減，

所以0=log021<log020.3<log020.2=1,

因為指數(shù)函數(shù)y=2,在R上單調(diào)遞增，

所以2°3>2°=1,

綜上可知,a<6<c.

故選:A

【點睛】

本題考查利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小;考查邏輯思維能力和知識的綜合運用能力;選取合適的中間值是

求解本題的關鍵;屬于中檔題、?？碱}型.

12、D

【解析】

做出滿足條件的可行域，根據(jù)圖形即可求解.

【詳解】

x+y<10

做出滿足x-丁《2的可行域，如下圖陰影部分，

x>4

根據(jù)圖象，當目標函數(shù)z=2x+3y過點A時，取得最小值，

x=4［尤=4

由解得即4（4,2）,

x-y=2［y=2

所以z=2x+3y的最小值為14.

故選：D.

本題考查二元一次不等式組表示平面區(qū)域，利用數(shù)形結合求線性目標函數(shù)的最值，屬于基礎題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、42

【解析】

根據(jù)分層抽樣的定義建立比例關系即可得到結論.

【詳解】

設抽取的樣本為“，

45+5+4

則由題意得一=-------，解得“=42.

12n

故答案為：42

【點睛】

本題考查了分層抽樣的知識，算出抽樣比是解題的關鍵，屬于基礎題.

14、②

【解析】

根據(jù)新定義，結合實數(shù)的性質(zhì)即可判斷①②③，由定義求得比J痢小的有理數(shù)個數(shù)，即可確定④.

【詳解】

對于①，由定義可知，當x為有理數(shù)時。(尤)=1；當x為無理數(shù)時。(力=0,則值域為{0,1},所以①錯誤；

對于②，因為有理數(shù)的相反數(shù)還是有理數(shù)，無理數(shù)的相反數(shù)還是無理數(shù)，所以滿足VxeR,￡>(-X)=。(耳，所以②

正確；

對于③，因為TGR,當％為無理數(shù)時，x+T可以是有理數(shù)，也可以是無理數(shù)，所以③\/7€氏,。(％+7)=。(￡)錯

誤；

對于④，由定義可知。(1)+￡)(&)+。(后)++D(A/2020)

=D(l)+D(V4)+D(V9)+D(V16)+D(A/25)+D(府)++D(⑻++￡>(A/2020)=44,所以④錯

誤；

綜上可知，正確的為②.

故答案為：②.

【點睛】

本題考查了新定義函數(shù)的綜合應用，正確理解題意是解決此類問題的關鍵，屬于中檔題.

15、2ex-y=0

【解析】

設切點坐標為Ge"),利用導數(shù)求出曲線y=/(x)在切點”建")的切線方程，將原點代入切線方程，求出f的值，

于此可得出所求的切線方程.

【詳解】

設切點坐標為Qf(x)=e2x,:.f'(x)=2e2x,/'⑺=2e",

則曲線y=/(%)在點處的切線方程為y—e2=2*(x-t),

由于該直線過原點，則—e"=—得?=’，

2

因此，則過原點且與曲線y=/(x)相切的直線方程為y=2ex,故答案為2ex-y=O.

【點睛】

本題考查導數(shù)的幾何意義，考查過點作函數(shù)圖象的切線方程，求解思路是：

(1)先設切點坐標，并利用導數(shù)求出切線方程；

(2)將所過點的坐標代入切線方程，求出參數(shù)的值，可得出切點的坐標；

(3)將參數(shù)的值代入切線方程，可得出切線的方程.

16、2x+y—2=0

【解析】

依題意，將點尸(1,0)的坐標代入曲線C的方程中，解得。=1.由y=-V+x,得y'=-3f+i,則曲線C在點P處切線

的斜率左=川1=-2,所以在點尸處的切線方程是y=-2(x—l),即2x+y—2=0.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

2

17、(1)—+/=l(x^±3)；⑵存在定點S(±3,O),見解析

9

【解析】

(1)設動點M(x,y),貝!UMA=上;/MB=*(xw土3)，利用％%=」，求出曲線C的方程.

x+3x-39

x=my+1

(2)由已知直線/過點T(LO),設/的方程為％=%+1,則聯(lián)立方程組

/+9/二9,

消去x得?！?+9)/+27町；-8=0,設2%，,),。(々，力)利用韋達定理求解直線的斜率，然后求解指向性方程,

推出結果.

【詳解】

解：(1)設動點”(x,y),貝!xw—3)

JC十J

(xw3),

T即告y__1

X—3—9

無2

化簡得：—+y2=lo

9'

2

由已知xw±3,故曲線。的方程為r土+Vxw±3)

9

(2)由已知直線/過點T(l,0),設/的方程為》=陽+1,

x=my+1,

2

則聯(lián)立方程組X2，消去x得(加2+9)y2+2啊—8=0,

q+y=

2m

X+%=

m+9

設P2(x2,y2),貝卜

8

—--

m+9

又直線SP與SQ斜率分別為3熄%—7°

k%%

SQ

x2-x0my2+l-x0

-8

則ksp-kSQ

(陽1+1-3)(沖2+1一%)(片-9)病+9(1-

-82

當/=3時，\/m^R,ksp,k$Q2

9(l-x0)9

1

當毛=一3時，VmeT?,

18°

所以存在定點S(±3,0),使得直線SP與SQ斜率之積為定值。

【點睛】

本題考查軌跡方程的求法，直線與橢圓的位置關系的綜合應用，考查計算能力，屬于中檔題.

18>(I)〃=2；(II)3.

【解析】

(I)先求導，得:(x)=lnx+x+l-a,已知導函數(shù)單調(diào)遞增，又/(X)在區(qū)間￡,+8上單調(diào)遞增，故

2—〃

+令g(a)=lng-g+l,求得g[a)=討論得g(a)4g(2)=0,而g(a)40,故g(a)=O,

乙乙/Z2a

進而得解；

(II)可通過必要性探路，當尤=2時，由”2)=21n2+2i>0知”如2+2<4,又由于aeZ,貝(I。01ax=3,當

a=3,/(x)=xlnx+y-3(x-l),f'(x)=lnx+x-2,結合零點存在定理可判斷必存在%e(1,1.6)使得7?'(%)=0,

得lnx°=2f,/(x)mn=/(xo)=xolnxo+1-3(xo-l),化簡得〃尤=3-5-%，再由二次函數(shù)性質(zhì)即可求證;

【詳解】

(I)“X)的定義域為Q”)，f\x)^nx+x+l-a.

易知f'{x}單調(diào)遞增,由題意有r^=lnj-j+l>0.

令g(")=l吟一|+1,貝！Jg，(a)=專:

令g?)=0得a=2.

所以當0<a<2時，g'(a)>0,g⑷單調(diào)遞增；當。>2時，g'(a)<0,g(“)單調(diào)遞減.

所以g(a)Vg⑵=0,而又有g(a"O,因此g(a)=O,所以a=2.

(II)由62)=21n2+2-a>0知q<21n2+2<4,又由于aeZ,則

下面證明a=3符合條件.

若a=3,/(x)=xlnx+5一3(x—1).所以f'(x)=In無+無一2.

易知廣⑴單調(diào)遞增，而廣⑴=-1<0,/'(1.6)?0.5+1.6-2=0.1>0,

因此必存在毛e(LL6)使得/'(%)=0,即In}=2-毛.

且當龍?0,%)時，/'(力<0,7(%)單調(diào)遞減；

當xe(Xo，+oo)時，/'(x)>0,〃尤)單調(diào)遞增；

貝U/(x)1nhi=/(無。)=無。In%_3(尤0_1)

=x0(2-%0)+^-3(x0-1)=3-5一%>3-^1--1.6=0,12>0.

綜上，。的最大值為3.

【點睛】

本題考查導數(shù)的計算，利用導數(shù)研究函數(shù)的增減性和最值，屬于中檔題

19、(1){x|-l<x<2}(2)(-<?,-7][l,+oo)

【解析】

⑴利用分段討論法去掉絕對值，結合圖象，從而求得不等式/(1)<6的解集;

⑵求出函數(shù)/(龍)的最小值，把問題化為了GL24,從而求得。的取值范圍.

【詳解】

(1)當。=1時,

/c1

—4x+2,x<—,

2

13

則/(%)=卜_3<%<5,

3

4-x—2,x,

所以不等式/(%)<6的解集為{x\-l<x<2}.

(2)/(力》4等價于疝+4+|2%—3性4,

ffij|2x+a|+|2x-3|>|a+3|,

故等價于卜+3性4,

所以。+324或。+34-4,

即Q21或a<—7,

所以實數(shù)a的取值范圍為(-,-7][1,”).

【點睛】

本題考查含有絕對值的不等式解法、不等式恒成立問題，考查函數(shù)與方程思想、轉化與化歸思想、分類討論思想，考查邏

輯推理能力、運算求解能力，難度一般.

20、(1)見解析，(―1,—2).(2)函數(shù)/(%)存在唯一零點.

【解析】

(1)首先求出導函數(shù)，利用導數(shù)的幾何意義求出x=0處的切線斜率，利用點斜式即可求出切線方程，根據(jù)方程即可

求出定點.

(2)由⑴求出函數(shù)/(力,令〃x)=O,方程可轉化為6一*+2cos無=0,記g(x)=e'—e-+2cosX,利用導

數(shù)判斷函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞增，根據(jù)g(-1^<0,g(0)〉0,由零點存在性定理即可求出零點個數(shù).

【詳解】

(1)/*(%)=2e2x+Aex(sinx—cosx),f1(0)=2—2,/(0)=—2

所以直線/方程為y=(2-幾)%-4

即y=(2—4)(x+l)—2,恒過點(-L,_2).

(2)將(1,6)代入直線/方程，

得4=—2.考慮方程/(x)=0,

即e2'+2cosxex-1=0>等價于ex-e~x+Icosx-0,

iBg(x)=ex—e^x+Icosx,

則g'(x)=e*+eTx-2sinx>2^ex>e~x-2siwc=2-2sinx>0,

/\冗71

于是函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞增，又g—g=)，—e2<o,g(o)=2〉O

所以函數(shù)g(x)在區(qū)間,o］上存在唯一零點，即函數(shù)〃龍)存在唯一零點.

【點睛】

本題考查了導數(shù)的幾何意義、直線過定點、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、零點存在性定理，屬于難題.

21、(1)%；(2)息或叵

22

【解析】

TT

(1)利用平面向量數(shù)量積的坐標運算可得/'(x)=2sin(2x-可)，利用正弦函數(shù)的周期性即可求解；(2)由(1)可求

O

sin(2A-工)=走，結合范圍凝必4-￡當，可求A的值，由余弦定理可求。的值，進而根據(jù)三角形的面積公

32333

式即可求解.

【詳解】

(1)=2sinxcosx-A/3(2COS2X-1)

=sin2%一Gcos2%=2sin(2x--)

最小正周期T=?=".

2

(2)由⑴知/(x)=2sin12x—d，，/(A)=2sin[2A—g)=6

.加…115Tl

/.sin(2A—。又——<2A——<——

—2'333

.CA兀TCTC2冗..TC5TC

??2A----=—或2A-----=—?解得A=—或kA=一

333332

77

當A=4時，由余弦定理得a2=b2+c2-2Z?ccosA

即=12+02—Zxi.ccos^,解得c=2.

此時SgBC=-/?csinA=-xlx2sin-=—

2232

TT

當A=U時，由余弦定理得/=方2+，-2)ccosA.

即(6『=12+c2—2xl-ccos￡,解得C=JL

.冗A/2

此時

=—bcsinA=—xA/2X1xsm—=----

2222

【點睛】

本題主要考查了平面向量數(shù)量積的坐標運算、正弦函數(shù)的周期性，考查余弦定理、三角形的面積公式在解三角形中的

綜合應用，考查了轉化思想和分類討論思想，屬于基礎題.

22、(I)直線AB的方程為y=-(IDV2

【解析】

(1)設點。(。,%)(%>0)，利用中點坐標公式表示點5,并代入橢圓方程解得為，從而求出直線的方程；(2)

/一rrj\

設直線/的方程為：y=kx+m(k<O,m^O),表示點M-10,然后聯(lián)立方程，利用相切得出m2=2k2+19然

后求出切點8,再設出設直線AQ的方程，求出點Q(0,-伍)，利用A8兩點坐標，求出直線A6的方

(1)

程，從而求出。0,亍