2024年高考數(shù)學總復(fù)習第2講：常用邏輯用語教師版

【知識梳理】

1.充分條件、必要條件與充要條件的概念

若pOq,則一是〃的充分條件,q是p的必要條件

p是q的充分不必要條件p=q且q4p

p是q的必要不充分條件p4q且q=p

p是4的充要條件p妗q

p是q的既不充分也不必要條件p4q且q#p

2.全稱量詞與存在量詞

⑴全稱量詞：短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“R”表

示.

⑵存在量詞：短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號

“3”表示.

3.全稱量詞命題和存在量詞命題

名稱全稱量詞命題存在量詞命題

結(jié)構(gòu)對M中任意一個％,p(x)成立存在M中的元素x,o(x)成立

簡記V-￡夕⑴mx￡.(x)

否定㈱p(x)

【常用結(jié)論】

1.充分、必要條件與對應(yīng)集合之間的關(guān)系

設(shè)4={尤|p(x)},B={x\q(x)].

(1)若p是q的充分條件，則AC&

(2)若p是q的充分不必要條件，則AB；

(3)若p是q的必要不充分條件，則BA；

(4)若p是q的充要條件，則A=A

2.含有一個量詞命題的否定規(guī)律是“改變量詞，否定結(jié)論”.

3.命題p與°的否定的真假性相反.

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“J”或“X”)

(l)p是q的充分不必要條件等價于g是p的必要不充分條件.(J)

第1頁共12頁

（2）''三角形的內(nèi)角和為180?！笔侨Q量詞命題.（V）

（3）已知集合A,B,的充要條件是A=B（V）

（4）命題sin2^+cos2^=^,,是真命題.（X）

【教材改編題】

1.命題“\/xGR,e*—的否定是（）

A.mxGR,e*—B.X/xGR,e“一iWx

C.3x^R,ex~\<xD.VxGR,ex—l<x

答案C

解析由題意得命題“X/xGR,e“一l\x”的否定是“mxGR,ex-l<x

2.（多選）下列命題中為真命題的是（）

A.V尤GR,%2>。B.\/尤GR,—iWsin尤W1

C.3x￡R,2A<0D.Ei尤GR,tan尤=2

答案BD

解析當x=0時，f=0,所以A選項錯誤；

當xGR時，一iWsinxWl,所以B選項正確；

因為2工>0,所以C選項錯誤；

因為函數(shù)y=tanxeR,所以D選項正確.

3.若“x>3”是“無>利”的必要不充分條件，則機的取值范圍是

答案（3,+°°）

解析因為。>3”是“無>根”的必要不充分條件，

所以（租，+8）是（3,+8）的真子集，

由圖可知m>3.

--1-----

3mx

■探究核心題型

題型一充分、必要條件的判定

例1⑴（2023?淮北模擬）"a>b>0”是“齊1”的（）

A.充要條件

B.充分不必要條件

C.必要不充分條件

D.既不充分也不必要條件

答案B

第2頁共12頁

解析由a>6>0,得表1,反之不成立，

如a=-2,b=~\,滿足方>1,但是不滿足。>6>0,

故"a〉b>0”是“表1”的充分不必要條件.

(2)(2021?全國甲卷)等比數(shù)列｛為｝的公比為q,前〃項和為S“設(shè)甲：q>0,乙：｛SQ是遞增數(shù)列,

則()

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

答案B

解析當m<0,q>l時，斯=砒"一1<0,此時數(shù)列｛S.｝單調(diào)遞減，所以甲不是乙的充分條件.當

數(shù)列｛SJ單調(diào)遞增時，有S"+1—S“=斯+1=砒">0,若。1>0,則q">0("GN*),即00；若的<0,

則q'<0(wGN*),不存在.所以甲是乙的必要條件.

思維升華充分條件、必要條件的兩種判定方法

(1)定義法：根據(jù)p=q,g=>p進行判斷，適用于定義、定理判斷性問題.

(2)集合法：根據(jù)p,g對應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進行判斷，多適用于條件中涉及參數(shù)范圍

的推斷問題.

跟蹤訓(xùn)練1(1)(2022.長春模擬)%仍=|a網(wǎng)”是“。與，共線”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案A

解析因為a0=|a||61cos〈a,b)=\a\\b\,

所以cos(a,b)=1,

因為〈a,b)e[0,71],

所以〈a,b>=0,

所以a與》共線，

當a與》共線時，〈a,b)=0或〈a,b)=兀，

所以a0=|a||四cos(a,b)=|a|網(wǎng)或。方=|a||臼cos(a,b)=—|a||6|,

所以“a0=|a||例"是““與6共線”的充分不必要條件.

(2)(多選)已知事函數(shù)fix)=(4m—l)yH,則下列選項中，能使得尬)46)成立的一個充分不必要

條件是()

A.0<^<|B.，方

第3頁共12頁

C.Ina>\nbD.2a>2b

答案AC

解析由題設(shè)知4加一1=1,可得加J,故段)=胃，

所以，要使犬。)/。)，則,即

°U臺'A符合題意；

Ina>lnb0a>b>0,C符合題意；

B,D選項中a,b均有可能為負數(shù)，B,D不符合題意.

題型二充分、必要條件的應(yīng)用

例2在①②“尤GA”是“xGB”的充分條件；③是的必

要條件這三個條件中任選一個，補充到本題第(2)問的橫線處，求解下列問題.

問題：已知集合A={x|aWxWa+2},B—{x|(x+1)(%—3)<0}.

(1)當a=2時，求ACB；

(2)若,求實數(shù)。的取值范圍.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

解⑴由(x+l)(x-3)<0,

解得一1<X<3,

所以B={x|(^+l)(x-3)<0}={x|-1<X<3},

當a=2時，A={尤|2WxW4},

所以ACB={x[2Wx<3}.

a>—1,

(2)若選①AU2=2,則ACB,所以一°解得一即”e(—1,1)；

[a+2<3,

Ia>—1,

若選②“尤GA”是“xGB”的充分條件，則所以,..解得一1<興1,

[a+2<3,

即aG(—1,1)；

[a>—1,

若選③是“XG[R8”的必要條件，則A^B,所以,解得一1<"1,即

〔。+2<3,

qG(-1,1).

思維升華求參數(shù)問題的解題策略

(1)把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出

關(guān)于參數(shù)的不等式(或不等式組)求解.

(2)要注意區(qū)間端點值的檢驗.

跟蹤訓(xùn)練2(2023?宜昌模擬)已知集合4=國一2<xW3},B={x|^-2wu+/7?2-KO).

第4頁共12頁

⑴若m=2,求集合AC&

（2）己知p：尤GA,q-xGB,是否存在實數(shù)“z,使p是q的必要不充分條件，若存在實數(shù)小,

求出機的取值范圍；若不存在，請說明理由.

解（1）由“2=2及f—2?tv+m2—1<0,

得/—4x+3<0,解得l<x<3,

所以B={x|l<x<3},

又4={尤|一2<%?3},

所以ACB={x[l<x<3}.

（2）由X2—2mx+m2—1<0,

得比一（相一（〃z+l）]<0,

所以m-l<x<m+1,

所以B={x\m~\<x<m~\~1}.

由p是q的必要不充分條件，

得集合8是集合A的真子集，

[m-12一2,

所以,…當一1W〃ZW2（兩端等號不會同時取得），

〔相十1W3

所以根的取值范圍為[—1,2].

題型三全稱量詞與存在量詞

命題點1含量詞命題的否定

例3（2022?漳州模擬）命題“VaGR,%2—辦+1=0有實數(shù)解”的否定是（）

A.X/aGR,f—ax+l=0無實數(shù)解

B.Ba^R,/一辦+1=0無實數(shù)解

C.VflER,%2—辦+lWO有實數(shù)解

D.%2—辦+lWO有實數(shù)解

答案B

解析因為全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，

所以“X/aGR,1—辦+1=0有實數(shù)解”的否定是/一辦+1=0無實數(shù)解”.

命題點2含量詞命題真假的判斷

例4（多選）（2023?沈陽模擬）下列命題中為真命題的是（）

A.

B.對于VxGR,"GN*且優(yōu)>1,都有也=無

C.Vx￡R,ln（x—1）2川

D.In1

第5頁共12頁

答案AD

解析當x20時，故A項是真命題;

當n為偶數(shù),且x<0時，很=-x,故B項是假命題；

當x=l時，ln(x—1)2無意義，故C項是假命題；

當尤=1時，InxNx-l,故D項是真命題.

命題點3含量詞命題的應(yīng)用

例5若“力彳一7T可7T，sin是假命題，則實數(shù)機的最大值為()

A1R」c近D.近

答案D

解析因為“蕓豆一孕JT可7T，sinx<%”是假命題，

JTTT

所以一1,，機Wsinx”是真命題，

兀兀_

即mWsinx對于—1恒成立，所以mW(sinx)min,

jrjr

因為y=sinx在一］,W上單調(diào)遞增,

7T

所以％=—,時,y=sinx最小

所以mW—半，所以實數(shù)機的最大值為一半.

思維升華含量詞命題的解題策略

(1)判定全稱量詞命題是真命題，需證明都成立；要判定存在量詞命題是真命題，只要找到一

個成立即可.當一個命題的真假不易判定時，可以先判斷其否定的真假.

(2)由命題真假求參數(shù)的范圍，一是直接由命題的真假求參數(shù)的范圍；二是可利用等價命題求

參數(shù)的范圍.

跟蹤訓(xùn)練3⑴已知命題p："22〃+5,則^〃為()

A.Vn^N,n2^2n-f-5

B.〃2W2〃+5

C.V?￡N,"<2〃+5

D.層=2"+5

答案C

解析由存在量詞命題的否定可知，㈱p為X//GN,*<2〃+5.所以C正確，A,B,D錯誤.

(2)(多選)下列命題是真命題的是()

第6頁共12頁

A.\/x￡R,—x2—1<0

B.Z,3Z,nm=m

C.所有圓的圓心到其切線的距離都等于半徑

13

D.存在實數(shù)%,使得/_，3小

答案ABC

解析Vx￡R,—fWO,所以一必一1<0,故A項是真命題；

當m=0時，=加恒成立，故B項是真命題；

任何一個圓的圓心到切線的距離都等于半徑，故C項是真命題；

因為x2—2x+3=(x—iy+222,

113

所以7_%+3號號故D項是假命題.

(3)若命題"3XER,f+(〃-1)X+1<0”的否定是假命題，則實數(shù)〃的取值范圍是

答案(一8,—1)U(3,+°°)

解析命題x2+(a—1)^+1<0,"的否定是假命題，

則命題f+g—l)x+l<0”是真命題，

即/=(〃一I)2—4>0,

解得a>3或a<—1,

故實數(shù)〃的取值范圍是(一8,-1)U(3,+8).

課時精練

應(yīng)基礎(chǔ)保分練

1.(2023?上饒模擬)”/>2021”是“/>2022”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案B

解析若f>2022,因為2022>2021,故—>2021,

故“爐>2022”可以推出“/>2021”，

取爐=2021.5,則滿足脛>2021,但f>2022不成立，

所以“f>2021”不能推出“f>2022”,

所以“『>2021”是“/>2022”的必要不充分條件.

2.已知命題p：3x￡Q,使得遇N,則㈱〃為()

A.V遇Q,都有依NB.mKQ,使得xGN

第7頁共12頁

C.VxeQ,都有無GND.a%eQ,使得X^N

答案C

解析因為存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，

所以由p：3xeQ,使得xCN,

得^p：VxGQ,都有xGN.

3.已知命題：“VxdR,方程/+4苫+。=0有解”是真命題，則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.a<4B.aW4

C.a>4D.a24

答案B

解析“VxGR,方程f+4x+a=0有解”是真命題，

故/=16—4〃20,解得aW4.

4.（2023?武漢模擬）已知a,b是兩條不重合的直線，a為一個平面，且a_La,則"6J_a”是

ua//b"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案C

解析當6_La時，結(jié)合a_La,可得?！?,充分性滿足；

當a〃6時，結(jié)合a_La,可得6J_a,必要性滿足.

故abla"是aa//b"的充要條件.

5.命題“VlWxW2,x2—aWO”為真命題的一個充分不必要條件是（）

A.a>4B.

C.aW4D.aW5

答案B

解析因為命題“VlWrW2,x2—aWO”是真命題，

所以a'x2恒成立，

所以a24,

結(jié)合選項，命題是真命題的一個充分不必要條件是aN5.

6.（多選）下列命題是真命題的是（）

A.所有的素數(shù)都是奇數(shù)

B.有一個實數(shù)x,使V+Zx+BuO

C."a=『是"sina=sinP”成立的充分不必要條件

D.命題“三尤GR,x+2W0”的否定是“Vx^R,x+2>0"

答案CD

解析2是一個素數(shù)，但2是偶數(shù)，所以A是假命題；

第8頁共12頁

對于方程/+2x+3=0,其中/=22—4義3=—8<0,

所以不存在實數(shù)，使得f+2x+3=0成立，所以B是假命題；

由a=,=>sina=sin夕,但由sina=sin§不能得到a=P，故"a=夕"是"sina=sin夕”成立

的充分不必要條件，所以C是真命題；

根據(jù)全稱量詞命題與存在量詞命題的關(guān)系，可得命題“mxdR,x+2W0”的否定是“V

xGR,x+2>0”,所以D是真命題.

7.（多選）若“mxd（0,2）,使得2/一入+1<0成立”是假命題，則實數(shù)力可能的值是（）

A.1B.2&C.3D.3^2

答案AB

解析由題意可知，命題“VxG（0,2）,2r—Ax+1'O成立"是真命題，

所以4<2/+1,可得

當xe（0⑵時，由基本不等式可得

2尤+》2^IZ1=2也，

當且僅當苫=坐時，等號成立，

所以4W2Ml

8.南北朝時期的偉大科學家祖唯在數(shù)學上有突出貢獻，他在實踐的基礎(chǔ)上提出祖唯原理：“嘉

勢既同，則積不容異”.其含義是：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個

平行平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相

等.如圖，夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體的體積分別為％,匕，被平行于這兩個平面

的任意平面截得的兩個截面面積分別為N，S2,則“N，8不總相等"是''％,L不相等”

的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案B

解析命題：如果“Si,S2不總相等”，那么“V1,丫2不相等”的等價命題是：如果“V1,

V相等"，那么“S1,S2總相等”.

根據(jù)祖瞄原理，當兩個截面的面積S1,S2總相等時，這兩個幾何體的體積%,匕相等，所以

逆命題為真，故是必要條件；

當兩個三棱臺，一正一反的放在兩個平面之間時，此時體積相等，但截得截面面積未必相等,

第9頁共12頁

故是不充分條件，所以“Si,S2不總相等”是“Vi,笆不相等”的必要不充分條件.

9.命題；）,sinx<cosx"的否定是.

答案fo,7）,sinxNcosx

解析因為"sinx<cosx"的否定是"sinxNcosx",

所以“Vxe（0,7）,sinx<cosxw的否定是uSxG^O,，，sinxNcosx”,

10.使得“2工>4”成立的一個充分條件是.

答案x<一1（答案不唯一）

解析由于牛=2汽故》>企等價于x>2x,

解得x<0,

使得“2*>4工”成立的一個充分條件只需為集合{x|x<0}的子集即可.

11.已知命題"mxG{x|-2<x<3},使得等式2x一m=0成立”是假命題，則實數(shù)機的取值范

圍是.

答案（一8,-4]U[6,+8）

解析若原命題為真命題，則三次￡{x[-2<x<3},

使得根=2x成立，則一4<m<6；

故若原命題為假命題，

則實數(shù)機的取值范圍為（一8,-4]U[6,+8）.

12.已知a：x<2加一1或x>—根，P：x<2或x24,若a是￡的必要條件，則實數(shù)機的取值范

圍是.

答案G+8）

解析設(shè)A={x|x<2zn—1或x>—機},5={小<2或工24},

若a是6的必要條件，則

當2m—1>—m,即機>]時，此時A—R,B^A成立；

1[2m—1^2,

當2加一1W—加，即機Wq時，若5CA,此時彳無解.

3[―m<4,

a?1

穿上，m>y

會合提升練

13.（多選）若"|x|>x"為真命題，“三力任",x>3"為假命題，則集合M可以是（）

A.(―0°,—5)B.(—3,—1]

C.(3,+8)D.[0,3]

第10頁共12頁

答案AB

解析V3x^M,尤>3為假命題，

:NxRM,xW3為真命題，

可得8,3],

又|x|>x為真命題，

可得MQ（—8,0）,

，心（一8,0）.

14.一名法官在審理一起珍寶盜竊案時，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供詞如下：甲說：“罪

犯在乙、丙、丁