2024屆高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)遞推方法

計(jì)算概率與一維馬爾科夫過程

遞推方法計(jì)算概率與一維馬爾科夫過程

考點(diǎn)亡?■吧

【考點(diǎn)分析】

①轉(zhuǎn)移概率:對(duì)于有限狀態(tài)集合S,定義：馬尸P(Xn+i=/Xn=J為從狀態(tài)，到狀態(tài)/的轉(zhuǎn)移概率.

②馬爾可夫鏈：若P(Xn+1=j\Xn=E，-^-n—l=in_｝，…,Xof)=P(乂^/區(qū)")=居,即未來狀態(tài)Xn+1只受當(dāng)前

狀態(tài)Xn的影響，與之前的Xki,X“_2,…不。無關(guān).

③完備事件組:如果樣本空間X中一組事件組｛4,4,｝符合下列兩個(gè)條件：

n

(1)An4=0；。，/=1,2,…?2(2)UA=Q.

''k=lk

則稱｛a,42,…是Q的一個(gè)完備事件組,也稱是Q的一個(gè)分割.

④全概率公式：設(shè)｛4,4,“?,4｝是一個(gè)完備事件組,則有。(3)=2>(4)「田4)

i=l

⑤一維隨機(jī)游走模型，即：設(shè)數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)，它的位置只能位于整點(diǎn)處，在時(shí)刻t=0時(shí)，位于點(diǎn)①=

i(iGN+),下一個(gè)時(shí)亥I],它將以概率a或者6

(aC(0,1),a+8=l)向左或者向右平移一個(gè)單位.若記狀態(tài)Xg表示:在時(shí)刻力該點(diǎn)位于位置比=

i(ieN+),那么由全概率公式可得：

尸(Xt+14=尸(羽=一)?P(X,+i」XgT)+P(Xg+i)?P(Xf+i=/Xg+i)

另一'方面,由于P(Xt+i=』Xt=-1)=8,P(Xt+i=[Xg+i)=a代入h式可得：

鳥=4比+1+￡出7

進(jìn)一步，我們假設(shè)在c=。與x=m(m>0,m€N+)處各有一個(gè)吸收壁，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)吸收壁時(shí)被吸收,

不再游走.于是，冗=0,Pm=1.隨機(jī)游走模型是一個(gè)典型的馬爾科夫過程.

進(jìn)一步，若點(diǎn)在某個(gè)位置后有三種情況：向左平移一個(gè)單位，其概率為a,原地不動(dòng)，其概率為b,向右

平移一個(gè)單位，其概率為c，那么根據(jù)全概率公式可得：

舄=aH—i+b舄+cR+i

?M

（題）

【精選例題】

吼!（2023?新高考1卷）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃,規(guī)則如下:若命中則此人繼續(xù)投籃，若末

命中則換為對(duì)方投籃.無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6,乙每次投籃的命中率

均為0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.

（1）求第2次投籃的人是乙的概率；

（2）求第i次投籃的人是甲的概率；

（3）已知：若隨機(jī)變量X,.服從兩點(diǎn)分布,且P（X產(chǎn)1）=1-尸（X尸0）=如i=1,2,…,n,則=

n

記前71次（即從第1次到第n次投籃）中甲投籃的次數(shù)為Y,求E（Y）.

i=l

就12某公司為激勵(lì)員工,在年會(huì)活動(dòng)中，該公司的"（九＞3）位員工通過摸球游戲抽獎(jiǎng)，其游戲規(guī)則為：

每位員工前面都有1個(gè)暗盒，第1個(gè)暗盒里有3個(gè)紅球與1個(gè)白球.其余暗盒里都恰有2個(gè)紅球與1

個(gè)白球，這些球的形狀大小都完全相同.第1位員工從第1個(gè)暗盒里取出1個(gè)球，并將這個(gè)球放入第2

個(gè)暗盒里，第2位員工再從第2個(gè)暗盒里面取出1個(gè)球并放入第3個(gè)暗盒里，依次類推，第九-1位員

工再從第n-1個(gè)暗盒里面取出1個(gè)球并放入第n個(gè)暗盒里.第九位員工從第n個(gè)暗盒中取出1個(gè)

球，游戲結(jié)束.若某員工取出的球?yàn)榧t球，則該員工獲得獎(jiǎng)金1000元,否則該員工獲得獎(jiǎng)金500元.設(shè)

第i（lWiWn）位員工獲得獎(jiǎng)金為乂元.

⑴求X?=1000的概率；

（2）求不的數(shù)學(xué)期望E（X,）,并指出第幾位員工獲得獎(jiǎng)金額的數(shù)學(xué)期望最大.

隨二網(wǎng)球運(yùn)動(dòng)是一項(xiàng)激烈且耗時(shí)的運(yùn)動(dòng)，對(duì)于力量的消耗是很大的，這就需要網(wǎng)球運(yùn)動(dòng)員提高自己的耐

力.耐力訓(xùn)練分為無氧和有氧兩種訓(xùn)練方式.某網(wǎng)球俱樂部的運(yùn)動(dòng)員在某賽事前展開了一輪為期

90天的封閉集訓(xùn)I,在封閉集訓(xùn)期間每名運(yùn)動(dòng)員每天選擇一種方式進(jìn)行耐力訓(xùn)練.由訓(xùn)練計(jì)劃知，在

封閉集訓(xùn)期間，若運(yùn)動(dòng)員第n(n€N*,n<89)天進(jìn)行有氧訓(xùn)練,則第九+1天進(jìn)行有氧訓(xùn)練的概率為

!■，第n+1天進(jìn)行無氧訓(xùn)練的概率為；若運(yùn)動(dòng)員第n天進(jìn)行無氧訓(xùn)練，則第九+1天進(jìn)行有氧訓(xùn)練

的概率為1，第九+1天進(jìn)行無氧訓(xùn)練的概率為福.若運(yùn)動(dòng)員封閉集訓(xùn)的第1天進(jìn)行有氧訓(xùn)練與無

氧訓(xùn)練的概率相等.

(1)封閉集訓(xùn)期間，記3名運(yùn)動(dòng)員中第2天進(jìn)行有氧訓(xùn)練的人數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；

⑵封閉集訓(xùn)期間，記某運(yùn)動(dòng)員第幾天進(jìn)行有氧訓(xùn)練的概率為2,求心.

廁4甲乙兩人進(jìn)行投籃比賽,兩人各投一次為一輪比賽,約定如下規(guī)則：如果在一輪比賽中一人投進(jìn),另

一人沒投進(jìn),則投進(jìn)者得1分，沒進(jìn)者得-1分,如果一輪比賽中兩人都投進(jìn)或都沒投進(jìn),則都得0分,

當(dāng)兩人各自累計(jì)總分相差4分時(shí)比賽結(jié)束，得分高者獲勝.在每次投球中甲投進(jìn)的概率為0.5,乙投

進(jìn)的概率為0.6，每次投球都是相互獨(dú)立的.

(1)若兩人起始分都為0分，求恰好經(jīng)過4輪比賽，甲獲勝的概率.

(2)若規(guī)定兩人起始分都為2分，記P⑴(i=0,1,2,3,4)為甲累計(jì)總分為i時(shí)，甲最終獲勝的概率,則P

(0)=0,P(4)=l

①求證{P(i+1)-P(i)}(i=04,2,3)為等比數(shù)列

②求P⑵的值.

@1亙某學(xué)校新校區(qū)在校園里邊種植了一種漂亮的植物,會(huì)開出粉紅色或黃色的花.這種植物第1代開

粉紅色花和黃色花的概率都是1,從第2代開始，若上一代開粉紅色的花,則這一代開粉紅色的花的

概率是弓開黃色花的概率是占若上一代開黃色的花，則這一代開粉紅色的花的概率為L開黃色

555

花的概率為六.設(shè)第八代開粉紅色花的概率為

5

(1)求第2代開黃色花的概率；

31—QP

(2)證明：＜2.

i=l

【跟蹤訓(xùn)練】

題目回有一個(gè)質(zhì)地均勻的正方體骰子與一個(gè)有61個(gè)格子的矩形方格圖，矩形方格圖上從0,1,2,…，

60依次標(biāo)號(hào).一個(gè)質(zhì)點(diǎn)位于第0個(gè)方格中，現(xiàn)有如下游戲規(guī)則：先投擲骰子，若出現(xiàn)1點(diǎn)或2點(diǎn),則質(zhì)點(diǎn)

前進(jìn)1格,否則質(zhì)點(diǎn)前進(jìn)2格,每次投擲的結(jié)果互不影響.

(1)求經(jīng)過兩次投擲后,質(zhì)點(diǎn)位于第4個(gè)格子的概率；

(2)若質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)到第59個(gè)格子或第60個(gè)格子時(shí),游戲結(jié)束,設(shè)質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)到第n個(gè)格子的概率為外,求

P59和060的值.

建目區(qū)重慶南山風(fēng)景秀麗，可以俯瞰渝中半島，是徒步休閑的好去處.上南山的步道很多，目前有標(biāo)

識(shí)的步道共有18條.某徒步愛好者俱樂部發(fā)起一項(xiàng)活動(dòng)，若挑戰(zhàn)者連續(xù)12天每天完成一次徒步上

南山（每天多次上山按一次計(jì)算）運(yùn)動(dòng)，即可獲得活動(dòng)大禮包.已知挑戰(zhàn)者甲從11月1號(hào)起連續(xù)12

天都徒步上南山一次，每次只在涼水井步道和清水溪步道中選一條上山.甲第一次選涼水井步道上

山的概率為!■，而前一次選擇了涼水井步道，后一次繼續(xù)選擇涼水井步道的概率為彳，前一次選擇

清水溪步道，后一次繼續(xù)選擇清水溪步道的概率為］，如此往復(fù).設(shè)甲第爪九=1,2,…，12）天走涼

水井步道上山的概率為2.

⑴求g和R；

（2）求甲在這12天中選擇走涼水井步道上山的概率小于選擇清水溪步道上山概率的天數(shù).

題目,有八個(gè)編號(hào)分別為1,2,…,打的盒子，第1個(gè)盒子中有2個(gè)紅球和1個(gè)白球，其余盒子中均為1個(gè)

紅球和1個(gè)白球，現(xiàn)從第1個(gè)盒子中任取一球放入第2個(gè)盒子，現(xiàn)從第2個(gè)盒子中任取一球放入第3個(gè)

盒子，……，依次進(jìn)行.

（1）求從第2個(gè)盒子中取到紅球的概率；

（2）求從第4個(gè)盒子中取到紅球的概率；

（3）設(shè)第n個(gè)盒子中紅球的個(gè)數(shù)為X,X的期望值為E（X），求證：VE（X）W2.

5

建目區(qū)〔馬爾可夫鏈?zhǔn)且蚨韲鴶?shù)學(xué)家安德烈?馬爾可夫得名，其過程具備“無記憶”的性質(zhì)，即第4+1次

狀態(tài)的概率分布只跟第n次的狀態(tài)有關(guān)，與第n--2,八-3,…次狀態(tài)是“沒有任何關(guān)系的”.現(xiàn)

有甲、乙兩個(gè)盒子，盒子中都有大小、形狀、質(zhì)地相同的2個(gè)紅球和1個(gè)黑球.從兩個(gè)盒子中各任取一個(gè)

球交換,重復(fù)進(jìn)行n（n￡N*）次操作后，記甲盒子中黑球個(gè)數(shù)為X”，甲盒中恰有1個(gè)黑球的概率為an,

恰有2個(gè)黑球的概率為"

（1）求Xi的分布列；

（2）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

（3）求X”的期望.

題目足球是一項(xiàng)大眾喜愛的運(yùn)動(dòng).2022卡塔爾世界杯揭幕戰(zhàn)將在2022年H月21日打響，決賽定于

12月18日晚進(jìn)行,全程為期28天.

校足球隊(duì)中的甲、乙、丙、丁四名球員將進(jìn)行傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都等

可能的將球傳給另外三個(gè)人中的任何一人,如此不停地傳下去,且假定每次傳球都能被接到.記開始

傳球的人為第1次觸球者，第n次觸球者是甲的概率記為2,即H=L

（1）求8（直接寫出結(jié)果即可）；

（2）證明:數(shù)列｛2一十｝為等比數(shù)列，并判斷第19次與第20次觸球者是甲的概率的大小.

建目區(qū)|(2019全國1卷).為了治療某種疾病,研制了甲、乙兩種新藥,希望知道哪種新藥更有效,為此

進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn).試驗(yàn)方案如下:每一輪選取兩只白鼠對(duì)藥效進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn).對(duì)于兩只白鼠，隨機(jī)選一

只施以甲藥，另一只施以乙藥.一輪的治療結(jié)果得出后,再安排下一輪試驗(yàn).當(dāng)其中一種藥治愈的白

鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時(shí)，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效.為了方便描述問

題,約定:對(duì)于每輪試驗(yàn)，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得一1

分;若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得一1分;若都治愈或都未治

愈則兩種藥均得0分.甲、乙兩種藥的治愈率分別記為a和￡,一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X.

(1)求X的分布列；

(2)若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開始時(shí)都賦予4分，舄(￡=0,1,…,8)表示“甲藥的累計(jì)得分為勿時(shí)，最終認(rèn)為甲

藥比乙藥更有效”的概率，則R=0,R=1,P.=aP^+bP.+cP^i=1,2,…,7),其中a=P(X=—1),b

=P(X=0),c=P(X=1).假設(shè)a=0.5,6=。-8.

⑴證明：{R+i—R}(公=0,1,2,…,7)為等比數(shù)列；

(u)求B,并根據(jù)P4的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性.

c（考點(diǎn)過關(guān)練）o

題目■王老師每天早上7：00準(zhǔn)時(shí)從家里出發(fā)去學(xué)校，他每天只會(huì)從地鐵與汽車這兩種交通工具之間

選擇一個(gè)乘坐.王老師多年積累的數(shù)據(jù)表明,他到達(dá)學(xué)校的時(shí)間在兩種交通工具下的概率分布如下表

所示：

到校時(shí)間7：30之前7：30-7：357：35-7：407：40-7：457：45-7：507：50之后

乘地鐵0.10.150.350.20.150.05

乘汽車0.250.30.20.10.10.05

（例如:表格中0.35的含義是如果王老師當(dāng)天乘地鐵去學(xué)校，則他到校時(shí)間在7：35-7：40的概率為

0.35.）

（1）某天早上王老師通過拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣決定乘坐地鐵還是乘坐汽車去學(xué)校，若正面向上則坐

地鐵,反面向上則坐汽車.求他當(dāng)天7：40-7:45到校的概率；

（2）已知今天（第一天）王老師選擇乘坐地鐵去學(xué)校,從第二天開始，若前一天到校時(shí)間早于7：40,則

當(dāng)天他會(huì)乘坐地鐵去學(xué)校,否則當(dāng)天他將乘坐汽車去學(xué)校.且若他連續(xù)10天乘坐地鐵,則不論他前一

天到校的時(shí)間是否早于7：40,第U天他都將坐汽車到校.記他從今天起（包括今天）到第一次乘坐汽

車去學(xué)校前坐地鐵的次數(shù)為X,求E（X）；

（3）已知今天（第一天）王老師選擇乘坐地鐵去學(xué)校.從第二天開始，若他前一天坐地鐵去學(xué)校且到校

時(shí)間早于7：40,則當(dāng)天他會(huì)乘坐地鐵去學(xué)校;若他前一天坐地鐵去學(xué)校且到校時(shí)間晚于7：40,則當(dāng)天

他會(huì)乘坐汽車去學(xué)校;若他前一天乘坐汽車去學(xué)校，則不論他前一天到校的時(shí)間是否早于7：40,當(dāng)天

他都會(huì)乘坐地鐵去學(xué)校.記月為王老師第n天坐地鐵去學(xué)校的概率,求｛Pn｝的通項(xiàng)公式.

8

建目叵現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)不透明盒子，甲盒子裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球，乙盒子裝有4個(gè)白球，這些球的

大小、形狀、質(zhì)地完全相同.在一次球交換過程中，從甲盒子與乙盒子中各隨機(jī)選擇1個(gè)球進(jìn)行交換,

重復(fù)n次這樣的交換過程后，甲盒子里裝有紅球的個(gè)數(shù)為X”.

(1)求%2的概率分布及數(shù)學(xué)期望；

⑵求P(X“=1).

題目區(qū)某市每年上半年都會(huì)舉辦“清明文化節(jié)”,下半年都會(huì)舉辦“菊花文化節(jié)”，吸引著眾多海內(nèi)外游

客.為了更好地配置“文化節(jié)”旅游相關(guān)資源，2023年該市旅游管理部門對(duì)初次參加“菊花文化節(jié)”的

游客進(jìn)行了問卷調(diào)查，據(jù)統(tǒng)計(jì)，有|■的人計(jì)劃只參加“菊花文化節(jié)”，其他人還想?yún)⒓?024年的“清明

文化節(jié)”，只參加“菊花文化節(jié)”的游客記1分,兩個(gè)文化節(jié)都參加的游客記2分.假設(shè)每位初次參加

“菊花文化節(jié)”的游客計(jì)劃是否來年參加“清明文化節(jié)”相互獨(dú)立，將頻率視為概率.

(1)從2023年初次參加“菊花文化節(jié)”的游客中隨機(jī)抽取三人,求三人合計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望；

(2)2024年的“清明文化節(jié)”擬定于4月4日至4月19日舉行，為了吸引游客再次到訪,該市計(jì)劃免費(fèi)

向到訪的游客提供“單車自由行”和“觀光電車行”兩種出行服務(wù).已知游客甲每天的出行將會(huì)在該市

提供的這兩種出行服務(wù)中選擇，甲第一天選擇“單車自由行”的概率為言，若前一天選擇“單車自由

行”，后一天繼續(xù)選擇“單車自由行”的概率為:，若前一天選擇“觀光電車行”,后一天繼續(xù)選擇“觀光

4

電車行”的概率為:，如此往復(fù).

⑴求甲第二天選擇“單車自由行”的概率；

(曲求甲第九(n=1,2,…，16)天選擇“單車自由行”的概率2,并幫甲確定在2024年“清明文化節(jié)”

的16天中選擇“單車自由行”的概率大于“觀光電車行”的概率的天數(shù).

建目區(qū)某商場(chǎng)為促銷設(shè)計(jì)了一項(xiàng)回饋客戶的抽獎(jiǎng)活動(dòng),抽獎(jiǎng)規(guī)則是:有放回的從裝有大小相同的6個(gè)

紅球和4個(gè)黑球的袋中任意抽取一個(gè)，若第一次抽到紅球則獎(jiǎng)勵(lì)50元的獎(jiǎng)券，抽到黑球則獎(jiǎng)勵(lì)25元

的獎(jiǎng)券;第二次開始,每一次抽到紅球則獎(jiǎng)券數(shù)額是上一次獎(jiǎng)券數(shù)額的2倍，抽到黑球則獎(jiǎng)勵(lì)25元的

獎(jiǎng)券,記顧客甲第九次抽獎(jiǎng)所得的獎(jiǎng)券數(shù)額X^lW"W6)的數(shù)學(xué)期望為E(X.).

⑴求玖XD及X2的分布列.

(2)寫出EQQ與E(Xz)(n>2)的遞推關(guān)系式,并證明｛E(X“)+50｝為等比數(shù)列；

(3)若顧客甲一共有6次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，求該顧客所得的所有獎(jiǎng)券數(shù)額的期望值.(考數(shù)據(jù)：1.26七2.986)

題目叵現(xiàn)代排球賽為5局3勝制，每局25分,決勝局15分.前4局比賽中，一隊(duì)只有贏得至少25分，

并領(lǐng)先對(duì)方2分時(shí)，才勝1局.在第5局比賽中先獲得15分并領(lǐng)先對(duì)方2分的一方獲勝.在一個(gè)回合

中，贏的球隊(duì)獲得1分，輸?shù)那蜿?duì)不得分,且下一回合的發(fā)球權(quán)屬于獲勝方.經(jīng)過統(tǒng)計(jì)，甲、乙兩支球隊(duì)

在每一個(gè)回合中輸贏的情況如下：當(dāng)甲隊(duì)擁有發(fā)球權(quán)時(shí)，甲隊(duì)獲勝的概率為-f-；當(dāng)乙隊(duì)擁有發(fā)球權(quán)時(shí)，

甲隊(duì)獲勝的概率為

(1)假設(shè)在第1局比賽開始之初，甲隊(duì)擁有發(fā)球權(quán),求甲隊(duì)在前3個(gè)回合中恰好獲得2分的概率；

(2)當(dāng)兩支球隊(duì)比拼到第5局時(shí),兩支球隊(duì)至少要進(jìn)行15個(gè)回合，設(shè)甲隊(duì)在第i個(gè)回合擁有發(fā)球權(quán)的概

率為4假設(shè)在第5局由乙隊(duì)先開球,求在第15個(gè)回合中甲隊(duì)開球的概率,并判斷在此回合中甲、乙

兩隊(duì)開球的概率的大小.

建目區(qū)某知識(shí)測(cè)試的題目均為多項(xiàng)選擇題，每道多項(xiàng)選擇題有A,B,C,。這4個(gè)選項(xiàng)，4個(gè)選項(xiàng)中僅

有兩個(gè)或三個(gè)為正確選項(xiàng).題目得分規(guī)則為:全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

已知測(cè)試過程中隨機(jī)地從四個(gè)選項(xiàng)中作選擇,每個(gè)選項(xiàng)是否為正確選項(xiàng)相互獨(dú)立.若第一題正確選項(xiàng)

為兩個(gè)的概率為2,并且規(guī)定若第i(i=l,2,---,n-l)題正確選項(xiàng)為兩個(gè)，則第i+1題正確選項(xiàng)為兩

個(gè)的概率為1；第i(i=1,2,…，九—1)題正確選項(xiàng)為三個(gè)，則第i+1題正確選項(xiàng)為三個(gè)的概率為4-.

(1)若第二題只選了“C”一個(gè)選項(xiàng),求第二題得分的分布列及期望；

(2)求第n題正確選項(xiàng)為兩個(gè)的概率；

(3)若第八題只選擇B、。兩個(gè)選項(xiàng)，設(shè)Y表示第n題得分，求證：E(Y)W條.

「題目上|甲、乙兩人進(jìn)行象棋比賽，賽前每人發(fā)3枚籌碼.一局后負(fù)的一方，需將自己的一枚籌碼給對(duì)方;

若平局，雙方的籌碼不動(dòng)，當(dāng)一方無籌碼時(shí)，比賽結(jié)束，另一方最終獲勝.由以往兩人的比賽結(jié)果可知，

在一局中甲勝的概率為0.3、乙勝的概率為0.2.

(1)第一局比賽后，甲的籌碼個(gè)數(shù)記為X,求X的分布列和期望；

(2)求四局比賽后，比賽結(jié)束的概率；

(3)若舄(i=0,1,…,6)表示“在甲所得籌碼為i枚時(shí)，最終甲獲勝的概率”，則冗=0,冗=1.證明：

{E+1—B}(i=0,1,2,…,5)為等比數(shù)列.

iJJ甲、乙兩人組團(tuán)參加答題挑戰(zhàn)賽，規(guī)定:每一輪甲、乙各答一道題，若兩人都答對(duì)，該團(tuán)隊(duì)得1分;

只有一人答對(duì)，該團(tuán)隊(duì)得0分;兩人都答錯(cuò),該團(tuán)隊(duì)得-I分.假設(shè)甲、乙兩人答對(duì)任何一道題的概率

分別為今，暮.

ao

(1)記X表示該團(tuán)隊(duì)一輪答題的得分，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)；

(2)假設(shè)該團(tuán)隊(duì)連續(xù)答題n輪，各輪答題相互獨(dú)立.記2表示“沒有出現(xiàn)連續(xù)三輪每輪得1分”的概

率,Pn=aP^+bP^+cP^n>4),求a,b,c；并證明：答題輪數(shù)越多(輪數(shù)不少于3),出現(xiàn)“連續(xù)三輪

每輪得1分”的概率越大.

12

遞推方法計(jì)算概率與一維馬爾科夫過程

【考點(diǎn)分析】

①轉(zhuǎn)移概率:對(duì)于有限狀態(tài)集合S,定義：馬尸P(Xn+iJXn=)為從狀態(tài)，到狀態(tài)/的轉(zhuǎn)移概率.

②馬爾可夫鏈：若P(Xn+1=j\Xn=E，-^-n—l=in_｝，…,X。％)nPlXo+idXkJ=6,即未來狀態(tài)X.+1只受當(dāng)前

狀態(tài)Xn的影響，與之前的Xki,X“_2,…不。無關(guān).

③完備事件組:如果樣本空間X中一組事件組｛4,42,“?,4,｝符合下列兩個(gè)條件：

n

(1)AD4=0；t于j，4，j=l，2,???n(2)UA=Q.

''k=lk

則稱｛A,A,-,An｝是Q的一個(gè)完備事件組,也稱是Q的一個(gè)分割.

_n_

④全概率公式：設(shè)｛4,4,“?,4｝是一個(gè)完備事件組,則有。(3)=?(4)。田4)

i=l

⑤一維隨機(jī)游走模型，即：設(shè)數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)，它的位置只能位于整點(diǎn)處，在時(shí)刻t=0時(shí)，位于點(diǎn)①=

i｛iGN+),下一個(gè)時(shí)亥I],它將以概率a或者6

(aC(0,1),a+8=l)向左或者向右平移一個(gè)單位.若記狀態(tài)Xg表示:在時(shí)刻力該點(diǎn)位于位置比=

i｛ieN+),那么由全概率公式可得：

尸(X+i=)=尸(羽=1)?P(X,+i」XgT)+P(Xg+J?P(Xt+i=/Xg+i)

另一'方面,由于P(Xt+i=1Xt=-J=8,P(Xt+i=[Xg+i)=a代入h式可得：

P-a-P^+13-P^

進(jìn)一步，我們假設(shè)在c=0與x=m(m>0,m€N*)處各有一個(gè)吸收壁，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)吸收壁時(shí)被吸收,

不再游走.于是，冗=0,Pm=1.隨機(jī)游走模型是一個(gè)典型的馬爾科夫過程.

進(jìn)一步，若點(diǎn)在某個(gè)位置后有三種情況：向左平移一個(gè)單位，其概率為a,原地不動(dòng)，其概率為b,向右

平移一個(gè)單位，其概率為c，那么根據(jù)全概率公式可得：

舄=aH—i+b舄+cR+i

(題)

【精選例題】

吼!(2023?新高考1卷)甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃,規(guī)則如下:若命中則此人繼續(xù)投籃，若末

命中則換為對(duì)方投籃.無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6,乙每次投籃的命中率

均為0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.

(1)求第2次投籃的人是乙的概率；

(2)求第i次投籃的人是甲的概率；?M

⑶已知:若隨機(jī)變量X，服從兩點(diǎn)分布,且P(X尸1)=1-P(X尸0)=d,i=1,2,…,n,則=

n

Z擊記前幾次(即從第1次到第4次投籃)中甲投籃的次數(shù)為Y,求E(y).

i=l

解析：(1)記“第i次投籃的人是甲”為事件4第i次投籃的人是乙”為事件目,所以，F(xiàn)(B2)=

尸(4場(chǎng))+P(BB)=P(A1)P(B2|A1)+F(B1)P(B2|BI)=0.5x(1—0.6)+0.5x0.8=0.6.

⑵設(shè)P(4)=",依題可知，=l-pt,則

P(A+1)=F(AA+1)+p(旦A+1)=P(A)P(A+1|A)+P(助尸(4+/助，即Pi+1=o.6Pi+(i-0.8)x

-=

(1Pi)0.42+0.2,構(gòu)造等比數(shù)列｛“+/1｝，設(shè)功+i+1=-|-(pi+/l),解得A=一~則pi+1—=

Ooo

T-(pi―，又。尸4~，P1—-I=(，所以[pi-I-1是首項(xiàng)為《，公比為2的等比數(shù)列，即Pi-!

5v37236I3J6536

⑶因?yàn)?X（看/+力=1,2,,所以當(dāng)"eN*時(shí)，/y）—+…+P”制X

就他某公司為激勵(lì)員工，在年會(huì)活動(dòng)中，該公司的"⑺>3)位員工通過摸球游戲抽獎(jiǎng)，其游戲規(guī)則為:

每位員工前面都有1個(gè)暗盒，第1個(gè)暗盒里有3個(gè)紅球與1個(gè)白球.其余暗盒里都恰有2個(gè)紅球與1

個(gè)白球，這些球的形狀大小都完全相同.第1位員工從第1個(gè)暗盒里取出1個(gè)球，并將這個(gè)球放入第2

個(gè)暗盒里，第2位員工再從第2個(gè)暗盒里面取出1個(gè)球并放入第3個(gè)暗盒里，依次類推，第n-1位員

工再從第n-1個(gè)暗盒里面取出1個(gè)球并放入第n個(gè)暗盒里.第n位員工從第n個(gè)暗盒中取出1個(gè)

球，游戲結(jié)束.若某員工取出的球?yàn)榧t球，則該員工獲得獎(jiǎng)金1000元，否則該員工獲得獎(jiǎng)金500元.設(shè)

第i(lWiW")位員工獲得獎(jiǎng)金為乂元.

(1)求X2=1000的概率；

(2)求X的數(shù)學(xué)期望E(XJ,并指出第幾位員工獲得獎(jiǎng)金額的數(shù)學(xué)期望最大.

【答案】⑴祟⑵E(X,)=第5+什丹，第1位

【詳解】(1)X2=1000的情形為第2位員工從第2個(gè)盒子中摸出紅球，包括兩種情況:①第1位員工從

從第1個(gè)盒子中摸出紅球放入第2個(gè)盒子后第2位員工摸出紅球;②第1位員工從從第1個(gè)盒子中摸

出白球放入第2個(gè)盒子后第2位員工摸出紅球.故X2=1000的概率為：P(X2=1000)=jx1-+j

1_11

xT-l6-

(2)設(shè)第i位員工取出紅球的概率為P,則有Pi+]=普g(l—舄)=即：Pi+l-=

；(舄—'I")，且P1——"I-=去W0故［啟一"組成首項(xiàng)為二，公比為;的等比數(shù)列.，Pi―|~—

4rO4rO_LZIOJ_LZ4rO

得■(})=1■.，即R=曰+今；第i位員工取出白球的概率為1—舄=［----易

知X的所有可能取值為1000,500,則X的分布列如下:

X1000500

pE?(節(jié)1

E(Xj=1000[1+1-G)[+500[1-1-什丹=500[1+1?$[+5Oo[1-1-卓[=

學(xué)[5+(j)2'];顯然E(X)關(guān)于i單調(diào)遞減，.?.第1位員工獲得獎(jiǎng)金額的數(shù)學(xué)期望最大.

通區(qū)網(wǎng)球運(yùn)動(dòng)是一項(xiàng)激烈且耗時(shí)的運(yùn)動(dòng)，對(duì)于力量的消耗是很大的，這就需要網(wǎng)球運(yùn)動(dòng)員提高自己的耐

力.耐力訓(xùn)練分為無氧和有氧兩種訓(xùn)練方式.某網(wǎng)球俱樂部的運(yùn)動(dòng)員在某賽事前展開了一輪為期

90天的封閉集訓(xùn)I,在封閉集訓(xùn)期間每名運(yùn)動(dòng)員每天選擇一種方式進(jìn)行耐力訓(xùn)練.由訓(xùn)練計(jì)劃知，在

封閉集訓(xùn)期間，若運(yùn)動(dòng)員第n(n￡N*,n<89)天進(jìn)行有氧訓(xùn)練，則第九+1天進(jìn)行有氧訓(xùn)練的概率為

左，第九+1天進(jìn)行無氧訓(xùn)練的概率為4；若運(yùn)動(dòng)員第幾天進(jìn)行無氧訓(xùn)練,則第九+1天進(jìn)行有氧訓(xùn)練

的概率為］，第九+1天進(jìn)行無氧訓(xùn)練的概率為會(huì).若運(yùn)動(dòng)員封閉集訓(xùn)的第1天進(jìn)行有氧訓(xùn)練與無

99

氧訓(xùn)練的概率相等.

⑴封閉集訓(xùn)期間，記3名運(yùn)動(dòng)員中第2天進(jìn)行有氧訓(xùn)練的人數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望;

(2)封閉集訓(xùn)期間，記某運(yùn)動(dòng)員第幾天進(jìn)行有氧訓(xùn)練的概率為R,求得$.

【答案】⑴分布列見解析,2;⑵一*X信)3+:

【詳解】(1)設(shè)運(yùn)動(dòng)員第2天進(jìn)行有氧訓(xùn)練為事件初，第2天進(jìn)行無氧訓(xùn)練為事件N,則F(M)=yx

得+,X]=2=京P(N)="^x]■+9所以3名運(yùn)動(dòng)員第2天進(jìn)行有氧訓(xùn)練

y2yioozy2yyo

的人數(shù)X~B(3,-|)，可知X=0,1,2,3,則P(X=0)=(y)32

Xp(x=l)=^xfx(|)=|(P

3言，所以X的分布列為

乙I

X0123

1248

p

279927

所以E(X)=3x曰=2.

o

⑵依題意可得Pn+1=2x+(1—月)x，即月+產(chǎn)—善月+：(九eN*,且"W89).則2+L孑=

??_L_L?

—"京(2—三)(n*N*,且九489),且1=一*'。，所以數(shù)列{2一1}是首項(xiàng)為

一磊,公比為一春的等比數(shù)列，則2-/=一磊x(-1)”，即2=一磊x(一暮丫+備,所以局5

=」X(―2廣+二=」X(2—

2219/1133'9/11

同必甲乙兩人進(jìn)行投籃比賽，兩人各投一次為一輪比賽，約定如下規(guī)則：如果在一輪比賽中一人投進(jìn)，另

一人沒投進(jìn)，則投進(jìn)者得1分，沒進(jìn)者得-1分，如果一輪比賽中兩人都投進(jìn)或都沒投進(jìn)，則都得0分,

當(dāng)兩人各自累計(jì)總分相差4分時(shí)比賽結(jié)束，得分高者獲勝.在每次投球中甲投進(jìn)的概率為0.5，乙投

進(jìn)的概率為0.6,每次投球都是相互獨(dú)立的.

(1)若兩人起始分都為0分,求恰好經(jīng)過4輪比賽，甲獲勝的概率.

(2)若規(guī)定兩人起始分都為2分，記P(i)(i=0,1,2,3,4)為甲累計(jì)總分為i時(shí)，甲最終獲勝的概率，則P

(O)=O,F(4)=l

①求證{F(i+1)-F(i)}(i=0,1,2,3)為等比數(shù)列

②求尸⑵的值.

【答案】⑴0.0348;(2)①證明見解析；②得【詳解】⑴記在每一輪比賽中甲得為事件4P⑷=

1.0

0.5*(1—0.6)=0.2,乙得為事件8,。(口)=(1—0.5)*0.6=0.3,得0分為事件。，。(。)=1—

P(A)-F(B)=0.5.記''恰好經(jīng)過4輪比賽，甲獲勝”為事件D則P(D)=或0.2?0.52-0.2+20.2?

0.3?0.22=0.Q348,所以恰好經(jīng)過4輪，甲贏得比賽的概率為0.0348.

(2)記甲累計(jì)總分為i時(shí)，甲最終獲勝為事件M,則P(M)=P(A)-P{M\A)+F(B)-F(M|B)+F(C)

?F(M|C)即尸⑴=0.2?P(i+1)+0.3F(i-1)+0.5F(i)整理可得F(i+1)-Ri)=■|■(0⑴—F(i—

1))且顯然P⑴一P(0)=P⑴/0,{F(i+l)-P(i)}(i=0,l,2,3)為等比數(shù)列，且首項(xiàng)為P⑴，公

比為得，②P⑴-P(0)=P⑴,P(2)-P(l)=4P(1),P(3)-P(2)="⑴,P⑷-P(3)=登P

/Z4o

(1)，疊加可得P⑷—F(O)=爭⑴,而P⑴=條，P⑵=得P⑴=/

865213

國1包某學(xué)校新校區(qū)在校園里邊種植了一種漂亮的植物,會(huì)開出粉紅色或黃色的花.這種植物第1代開

粉紅色花和黃色花的概率都是1,從第2代開始，若上一代開粉紅色的花,則這一代開粉紅色的花的

概率是春,開黃色花的概率是差;若上一代開黃色的花，則這一代開粉紅色的花的概率為4,開黃色

555

花的概率為言.設(shè)第八代開粉紅色花的概率為2.

5

(1)求第2代開黃色花的概率；

⑵證明：23盆1—產(chǎn)QP＜2.

i=l。鳥鳥+1???

【答案】(1)春；(2)證明見解析【詳解】(1)設(shè)事件4表示第i代開粉紅色花，事件及表示第i代開黃色

花，由題意可得P(B2)=P(A)P(B2|A)+P(B)P(B2舊1)=,xV+'x六=),所以第2代開

25255

黃色花的概率為

5

(2)由題可知丹=4,2=-l^-i+vC1-2T),即2=i^-1+v-設(shè)2+4=32一1+?，則2=

255555

--

,―V=T，解得力―—7，即Pn―1―，所以｛Pn―I1是以《為首項(xiàng)，■為

5555335v37I3)65

公比的等比數(shù)列；可得P-^=4X(工廠，即￡尸g+!X(春廠;因此篇”=

36v5736v575舄6+i

---------------2__⑴------------=-------1---------------------------1------------7，由累加法可得：之

5t1+1x(f)!1]x[i+1x(f)ii+ixf+_6x(iy0

11,11L

---------------------------+--…--+--i--~--r--1----=2

±±±±2.±.i2_X.X271—11.1n

++xxx至+不義

3十63十653十653十6、w+尸

1<2.所以可得_2L_匯1_而QP*<2.

1I1

3+-6Xvi=l

【黑探訓(xùn)練】

[題目|1]有一個(gè)質(zhì)地均勻的正方體骰子與一個(gè)有61個(gè)格子的矩形方格圖，矩形方格圖上從0,1,2,???,

60依次標(biāo)號(hào).一個(gè)質(zhì)點(diǎn)位于第0個(gè)方格中，現(xiàn)有如下游戲規(guī)則：先投擲骰子，若出現(xiàn)1點(diǎn)或2點(diǎn),則質(zhì)點(diǎn)

前進(jìn)1格,否則質(zhì)點(diǎn)前進(jìn)2格,每次投擲的結(jié)果互不影響.

(1)求經(jīng)過兩次投擲后,質(zhì)點(diǎn)位于第4個(gè)格子的概率；

(2)若質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)到第59個(gè)格子或第60個(gè)格子時(shí)，游戲結(jié)束，設(shè)質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)到第n個(gè)格子的概率為Pn,求

059和P60的值.

【答案】⑴去⑵059=y-f-信廣，P?=1+|-(I)*

【詳解】⑴設(shè)事件A為質(zhì)點(diǎn)前進(jìn)1格，事件4為質(zhì)點(diǎn)前進(jìn)2格，則F(A)=4=《,RA)=4=V>

6363

設(shè)事件B為質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過兩次投擲后位于第4個(gè)格子，所以P(B)=F(A2A2)=F(A2)F(A2)=4.

(2)質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)到第n(n=3,4,5,?,,,59)個(gè)格子的情況可分為兩種：由第八一1個(gè)格子移動(dòng)至第n個(gè)格

子；由第?2—2個(gè)格子移動(dòng)至第n個(gè)格子，則pi=F(Ai)=(~，P2=P(42)+P(44)=(■+]■x[■=

OO00

74122

-7T，P2-P1=K，Pn=P(A)“ZT+尸(42)%-2=3“1T+3Pn-2,因此外一外-尸一3①一一Pn-2),則數(shù)列

yyooo

｛Pn—Pn-l｝是以為首項(xiàng)，一為公比的等比數(shù)列，于是P「Pn-\='(一"=(一"，因此外=

P1+（P2-P1）+（P3-P2）H-----F（p?-i-p?-2）+（Pn-Pn-1）=y+（一告）+（-y）H-------|-）+（-y）

_3,2（2叩價(jià),”_3,2/2V8_32/2/_2_2,2（2V9

-v+v'\一_，所以P58=R+R.，P59=------（v），P60=可P58=R+R?（可J-

55v3755'3，55v37355v37

【題目叵重慶南山風(fēng)景秀麗，可以俯瞰渝中半島，是徒步休閑的好去處.上南山的步道很多，目前有標(biāo)

識(shí)的步道共有18條.某徒步愛好者俱樂部發(fā)起一項(xiàng)活動(dòng)，若挑戰(zhàn)者連續(xù)12天每天完成一次徒步上

南山（每天多次上山按一次計(jì)算）運(yùn)動(dòng)，即可獲得活動(dòng)大禮包.已知挑戰(zhàn)者甲從11月1號(hào)起連續(xù)12

天都徒步上南山一次，每次只在涼水井步道和清水溪步道中選一條上山.甲第一次選涼水井步道上

山的概率為!■，而前一次選擇了涼水井步道，后一次繼續(xù)選擇涼水井步道的概率為十，前一次選擇

清水溪步道，后一次繼續(xù)選擇清水溪步道的概率為］，如此往復(fù).設(shè)甲第九仇=1,2,…，12）天走涼

水井步道上山的概率為？.

⑴求B和2；

（2）求甲在這12天中選擇走涼水井步道上山的概率小于選擇清水溪步道上山概率的天數(shù).

【答案】⑴g=焉，Pn=+親■（—■（n=1,2,3,12）;（2）11天.

1652U）4，

【詳解】⑴甲第二天走涼水井步道上山的概率為依題意，8=學(xué)*5+4*（1—白=與；由題

444、2716

意得2=Pn-l'-^+（1—Pn-1）,-y=—12_1+義~（九=2,3,…，⑵,整理得2―點(diǎn)=——點(diǎn)），而P1

—?■=：—高:工金。，因此數(shù)列34是以工為首項(xiàng)，以一二為公比的等比數(shù)列，所以2=看

54520I5J2045

7/1\1、

+而,（一］）伍z=1,2,3,…，⑵.

（2）由題意知,選擇走涼水井步道上山的概率小于走清水溪步道上山概率只需2＜1—2,即Pn＜y

（n=1,2,…,12）,有，■+焉?（一■，即（一■，當(dāng)ri為偶數(shù)，（一/）＜0恒成立；當(dāng)九

為奇數(shù)時(shí)，即當(dāng)n=l,3,5,…,11時(shí)，有■即可，而當(dāng)71=1時(shí)，1＞，，顯然不成立；當(dāng)八=3

時(shí)，（于=卡＜■，即當(dāng)n=3時(shí)成立，又?jǐn)?shù)列｛田"一?單調(diào)遞減，因此當(dāng)n=5,7,9,11時(shí)成立，因此

有11天符合要求，所以甲在這12天中選擇走涼水井步道上山的概率小于選擇清水溪步道上山概率的

天數(shù)是11天.

”叵有八個(gè)編號(hào)分別為1,2,…，九的盒子，第1個(gè)盒子中有2個(gè)紅球和1個(gè)白球，其余盒子中均為1個(gè)

紅球和1個(gè)白球，現(xiàn)從第1個(gè)盒子中任取一球放入第2個(gè)盒子，現(xiàn)從第2個(gè)盒子中任取一球放入第3個(gè)

盒子，……，依次進(jìn)行.

（1）求從第2個(gè)盒子中取到紅球的概率；

（2）求從第八個(gè)盒子中取到紅球的概率；

(3)設(shè)第71個(gè)盒子中紅球的個(gè)數(shù)為X,X的期望值為E(X)，求證：|~<E(X)W2.

【答案】⑴[；⑵春+⑶證明見解析

【詳解】⑴記''從第i個(gè)盒子中取到紅球”為事件4,此時(shí)P(4)=k，H4)=士,則P(4)=P(44

oo

)+F(AA)=P(A)P(A|A)+P(A)P(A|A)=-|-x-|-+^-x^-=-1-；

(2)因?yàn)镕(A?)=P(A1TAJ+F(XZA)=P(A.T)P(AJ人”1)+P(方)P(Aj方)

=P(4-I)x等+[1—P(4T)]x￡=-1-P(Ai-i)+所以P(4)—春=—J],則數(shù)列

OOOOZD/

^P(An)—]｝是以PGA[)一]='|---/為首項(xiàng)為公比的等比數(shù)列，此時(shí)P(4)—/=今X

(打T,即P(4)=]+]x(1)”,當(dāng)n=1時(shí)，p(4)=1■，符合題意，綜上，從第n個(gè)盒子中取到紅

球的概率為］+4*信)；

⑶證明：易知X的所有可能取值為1,2,此時(shí)P(X=1)=P(A~j)=1-P(4-1)=9一皆X(：)“T，

P(x=2)=尸(4i)=y+yxK)'T,則X的分布列為：

X12

pX-X/Xr-1

22、3J

所以"x)=ix[f..n+2"+i(ir]=1+,/t，由于】<.