湖南省永州市2024屆高考第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.設(shè)全集集合A={TO,l},5={Hy=2羽％cA},貝IJAI電3=()

A.{-2,0,2}B.{-1.0,1)C.{-1,1}D.{0}

2.已知z(l+2i)=l,則z的虛部為（）

A.二

B.--iC.-D.-i

5555

3.已知向量〃=（1,2）力=（2,1）,則〃在b上的投影向量為（）

「42、「84、「48、(24

A.B.c.D.G二

4.已知函數(shù)〃x）=sin（3x+9）（O<0<27i）在區(qū)間看弓上單調(diào)遞增，貝!］。=（）

A.-B.-C.-D.兀

842

5.若正四棱錐的側(cè)面三角形底角的正切值為2,則側(cè)面與底面的夾角為（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

6.已知拋物線(xiàn)。：產(chǎn)=22%（2>0）的焦點(diǎn)為尸，過(guò)點(diǎn)尸且斜率為走的直線(xiàn)/交。于45

3

兩點(diǎn)，點(diǎn)M在。的準(zhǔn)線(xiàn)上，MF±AB.若的面積為32,則〃=（）

A.75B.2C.20D.4

7.在A(yíng)BC中，^|AB+AC|=1,|G4+CB|=2,貝|ABC的面積的最大值為（）

A.—B.—C.—D.—

6543

8.已知函數(shù)/（尤）=桐+J卜+司（。>0）,下列結(jié)論正確的是（）

A.〃x）的圖象是中心對(duì)稱(chēng)圖形

B.“X）在區(qū)間，去上單調(diào)遞增

C.若方程=6有三個(gè)解，f（b）=b,則a+匕=142

D.若方程〃x）=2有四個(gè)解，則。?2,4）

二、多選題

9.下列結(jié)論正確的是()

A.已知樣本數(shù)據(jù)占,尤2，,為0的方差為2,則數(shù)據(jù)-,2匹0-1的方差為4

11Q

B.已知概率尸(B|A)=§,「(")="貝iJP(A)=i

C.樣本數(shù)據(jù)6,8,8,7,9,10,8的第75百分位數(shù)為8.5

D.己知(1-應(yīng)V=“+60為有理數(shù)),則a=41

10.若圓錐側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半徑為2的半圓，則()

A.該圓錐的母線(xiàn)與底面所成的角為30°B.該圓錐的體積為gz

C.該圓錐的內(nèi)切球的體積為亞兀D.該圓錐的外接球的表面積為學(xué)兀

273

11.己知定義域?yàn)镽的函數(shù)/(尤)滿(mǎn)足1/(x+y)=f(x)+〃y)+?(x+y),尸(x)為“X)

的導(dǎo)函數(shù)，且尸(1)=2,貝IJ()

A.“X)為奇函數(shù)B.在x=-2處的切線(xiàn)斜率為7

C."3)=12D.對(duì)

A

V.,x?e(O,+00),當(dāng)與/，/1/(&)；/(%)

12.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知曲線(xiàn)G:4/+丁=1,C2:-丁=1,與圓/+/=1

相切的直線(xiàn)/交G于尸,。兩點(diǎn)，點(diǎn)分別是曲線(xiàn)G與C2上的動(dòng)點(diǎn)，且00LON,

則()

A.OPOQ=0B.|0制0。|的最小值為2

C.|OM「+|ON「的最小值為gD.。點(diǎn)到直線(xiàn)MN的距離為乎

三、填空題

3

13.已知a為第二象限角，且cosa=-y,貝ijtanc的值為.

14.已知盒中有3個(gè)紅球，2個(gè)藍(lán)球，若無(wú)放回地從盆中隨機(jī)抽取兩次球，每次抽取一

個(gè)，則第二次抽到藍(lán)球的概率為.

15.已知函數(shù)〃x)=e工-分2(x>0)有一個(gè)極值點(diǎn)為零點(diǎn)，則。=.

16.己知數(shù)列｛0｝滿(mǎn)足％+%+i=2cos葭，則出40=.

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

四、解答題

17.已知數(shù)列｛叫的前"項(xiàng)和為Sn,Sn=2q-2(〃eN*).

(1)求｛%｝的通項(xiàng)公式；

an,(n=2k,k￡N*)

⑵設(shè)包=.,、，求數(shù)列也｝的前2〃+l項(xiàng)的和.

log2〃〃，(〃=2Z—1,左￡N)

18.記.ABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知8為銳角，

dsinA+hsinB—csinC=2asinAsinB.

⑴求sin(A-C)；

⑵求sinAsinB的最小值.

19.如圖所示，在四棱錐3—ACDE中，AE〃C￡>,AEJLAC,C￡>=2AE=2,平面ACOE，

平面ABC,點(diǎn)尸為的中點(diǎn).

⑴證明：AB1CD；

(2)若AC=3C=2,A尸與平面ABE所成角的正弦值為坐，求四棱錐B-ACDE的體積.

20.在某網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)組織的禁毒知識(shí)挑戰(zhàn)賽中，挑戰(zhàn)賽規(guī)則如下：每局回答3道題，若回

答正確的次數(shù)不低于2次，該局得3分，否則得1分，每次回答的結(jié)果相互獨(dú)立.已知

甲、乙兩人參加挑戰(zhàn)賽，兩人答對(duì)每道題的概率均為g.

(1)若甲參加了3局禁毒知識(shí)挑戰(zhàn)賽，設(shè)甲得分為隨機(jī)變量X,求X的分布列與期望；

⑵若甲參加了2〃("eN*)局禁毒知識(shí)挑戰(zhàn)賽，乙參加了2〃+2(”?N)局禁毒知識(shí)挑戰(zhàn)

賽，記甲在禁毒知識(shí)挑戰(zhàn)賽中獲得的總分大于4〃的概率為A，乙在禁毒知識(shí)挑戰(zhàn)賽中

獲得的總分大于4附+4的概率為P2,證明：%<P?.

尤2v21

21.己知橢圓C:j+與=l(a>b>0)的離心率為：，左、右焦點(diǎn)分別為耳，工，點(diǎn)。為

ab,

線(xiàn)段。乙的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)耳且斜率為匕(左產(chǎn)0)的直線(xiàn)/交C于KN兩點(diǎn)，△加月。的面積

最大值為3g.

⑴求C的方程；

(2)設(shè)直線(xiàn)MD,ND分別交C于點(diǎn)尸,。，直線(xiàn)R2的斜率為內(nèi)，是否存在實(shí)數(shù)幾，使得

彳勺+%=0?若存在，求出力的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

22.已知函數(shù)〃x)=sinx-ln(l+or).

⑴若xw0e時(shí)，/(x)20,求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

.1,3,〃+2S-13

(2)設(shè)weN,證明：sin-+ln--ln—<2,^———

32〃+1^=1k(k+2)4

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

參考答案:

1.c

【分析】由題意確定集合2,求出電8,根據(jù)集合的交集運(yùn)算，即可求得答案.

【詳解】由題意知。={-2,-1,0,1,2},A={-1,0,1},z.B={y|y=2x,x6A}={-2,0,2},

則e8={-1,1},故={-!」},

故選：C

2.A

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法法則計(jì)算出z=［-g,得到虛部.

1l-2il-2i12i

-T

［詳解］1+2i(l+2i)(l-2i)-1+4-5

2

故z的虛部為-;

故選：A

3.B

【分析】由投影向量公式計(jì)算出結(jié)果即可.

：1X+21==,

［詳解］同=^/^i^=6W=^/^^T=君，COS(a,^)=0^1=/1^7

4（2,1）

a在6上的投影向量為同9凡6M=/5、^否=仁，1J,

故選：B

4.D

TT37r

【分析】根據(jù)題意確定3x+。?-+^,—+<p,結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性列不等式組，即可求

得夕得表達(dá)式，結(jié)合0<。<2兀，即可確定答案.

【詳解】當(dāng)xe時(shí)，3尤-+(P，—+<P,

62J|_22

由于函數(shù)〃x)=sin(3x+0)(0<°<2兀)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

71、八7兀

—+(p>2/01--

M22，左7￡Z",口即…2E-Tt/<（p</C27kn-Ti7,ke7Z,

3兀c,兀

——+042E+一

[22

即0=2kli一兀，左￡Z,

答案第1頁(yè)，共20頁(yè)

又0＜。＜2無(wú)，則。=兀，

故選：D

5.C

【分析】根據(jù)已知條件，假設(shè)底面邊長(zhǎng)為確定=確定/PMO為側(cè)面與底面的夾

角，求出cos/PMO=g,即可求出則側(cè)面與底面的夾角為60。.

【詳解】

如圖：四棱錐尸-ABCD為正四棱錐，M為AB中點(diǎn)，。為底面中心，

PM

設(shè)四棱錐底面邊長(zhǎng)為。，PA=PB,PM±AB根據(jù)題意有弁7=2,

fBM

PM

即a,解得=。為底面中心，OM±AB,

2

所以NPM。為側(cè)面與底面的夾角，因?yàn)槠矫鍭BCQ,

a

所以POSS0M=TCOSNPMO=^=2=L

PMa2

所以ZPMO=60°,所以則側(cè)面與底面的夾角為60。.

故選：C

6.B

【分析】根據(jù)拋物線(xiàn)的性質(zhì)，結(jié)合直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系進(jìn)行求解即可.

【詳解】由題意，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)廠(chǎng)（與，。］，準(zhǔn)線(xiàn)方程為：x=/,

答案第2頁(yè)，共20頁(yè)

因?yàn)橹本€(xiàn)/的斜率為乎，故直線(xiàn)的方程為：y=^-[x-^^

由」312J得4x2-28px+p2=0,

y2=2px

A=(-28p)2-4x4/?2>0,

設(shè)4(%,%),3(孫％)，

所以占+%=7。，X1%=孑，

由拋物線(xiàn)定義可知，|AB|=±+W+P=8p,

因?yàn)辄c(diǎn)M在C的準(zhǔn)線(xiàn)上，設(shè)點(diǎn)加(-5,%],

又A/F_LAB,kMF=—=-yfi,所以為=J5p,

-P

所以M同=J/+3P2=2p,

所以SMABMgxg/JXZpng/nSZ，解得P=2.

故選：B

7.D

4

【分析】設(shè)瓦尸分別為8C,A5的中點(diǎn)，結(jié)合三角形相似推出S.c=；S四邊形A@，由題意可

得|AE|=；,|CF|=1,確定四邊形ACEb面積的最大值，即可得答案.

【詳解】設(shè)2產(chǎn)分別為8CAB的中點(diǎn)，連接斯，

答案第3頁(yè)，共20頁(yè)

則EF〃AC,則ABEF②YBCA,故S*底=1S.施，

34

則§四邊形ACE尸=Z5AB0,故S=—S四邊形人際

又向+=1,W+m=2,則刖+Ac|=|2AE|=1,|CA+Cq=|2CF\=2,

故|AE|=；,|CF|=1,

當(dāng)AELC尸時(shí)，四邊形AC￡F面積最大，最大值為!x[xl=J,

224

故.ABC的面積的最大值為4:x；1=：1,

故選：D

8.D

【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷B；求出函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)單調(diào)性，得到/(x)的圖

象，數(shù)形結(jié)合可判斷A；并可求出。，6的值，進(jìn)而判斷C；借助圖象可求出。的取值范圍，

進(jìn)而判斷D.

【詳解】對(duì)于B,當(dāng)-￡<x<0時(shí)，/(X)=APX+A/X+67,

了,()—1+1yj—X—yjx+Cl

2y/—x2\jx+a2y/—xyJx+a

因?yàn)橐?<無(wú)<0,所以色<尤+々<4,0<-x<—,

222

所以所以/'(x)<0,所以〃X)在區(qū)間，■|,oj上單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；

當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=Vx+yjx+a,

-⑺=J_+]=,

2A/X2y/x+a2y/x>Jx+a

因?yàn)椋?gt;0,a>0,所以y[x+y/x+a>0，

所以r(%)>o,所以在區(qū)間(o,+“)上單調(diào)遞增；

因?yàn)?+Jl無(wú)+d，所以=+J-a-x+d=+桐=〃x),

所以〃x)的對(duì)稱(chēng)軸為x=-|,

答案第4頁(yè)，共20頁(yè)

/(o)=^o|+^o7^|=^,

故圖象如下：

對(duì)于A(yíng),由圖象可知，/(x)不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于C,若方程/(x)=6有三個(gè)解，則匕=后，故

又f(b)=+J/?+a[=/+J/?+g=6,解得6=16，所以a=128,

所以a+b=144,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,由圖象可知若方程〃x)=2有四個(gè)解，則&＜2＜而，解得2＜。＜4,

故D正確.

故選：D

9.BCD

【分析】利用方差公式計(jì)算可得A錯(cuò)誤，由條件概率計(jì)算公式可得B正確；由百分位數(shù)定

義計(jì)算可得C正確；利用二項(xiàng)展開(kāi)式計(jì)算出常數(shù)項(xiàng)可得。=41,即D正確.

【詳解】對(duì)于A(yíng),根據(jù)方差公式D(aX+/;)=/D(X)可得，若占,馬，,，指的方差為2,則數(shù)

據(jù)2%-1,2%-1,,2占。一1的方差為22/2=8,即A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,由條件概率公式可得P(8|A)=q^j=3,可得尸(4)="即B正確；

對(duì)于C,將樣本數(shù)據(jù)重新排列可得6,7,8,8,8,9,10,共7個(gè)數(shù)，又7x75%=5.25；

所以第75百分位數(shù)為第5位和第6位的平均數(shù)，即一8+^9=8.5,所以C正確；

對(duì)于D,由(1-0)5=。+人應(yīng)可得。代表展開(kāi)式中的有理項(xiàng)，

答案第5頁(yè)，共20頁(yè)

所以a=C；x代*+C；xl3x（一五『+C；xFx卜可=41,即D正確；

故選：BCD

10.BD

【分析】根據(jù)題意求得圓錐的母線(xiàn)、高以及底面半徑，并作出圖象，對(duì)于A(yíng),根據(jù)圓錐的幾

何性質(zhì)，結(jié)合線(xiàn)面角的定義，可得答案；對(duì)于B,根據(jù)圓錐的體積公式，可得答案；對(duì)于C、

D,根據(jù)圓錐的軸截面，利用等邊三角形的性質(zhì)，結(jié)合球的體積與表面積公式，可得答案.

【詳解】由題意可知，圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為2,圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)為2x7t=2兀，

設(shè)圓錐的底面半徑為r,則2口=2兀，解得r=l,則圓錐的高/?=，尸_尸=6,

對(duì)于A(yíng),設(shè)圓錐的母線(xiàn)與底面所成的角為6,貝人吊6=2=正，解得6=60，故A錯(cuò)誤;

I2

對(duì)于B,圓錐的體積^=1/2.兀//^XTtxl2=①兀，故B正確；

333

對(duì)于C,設(shè)圓錐的內(nèi)切球的球心為。一半徑為小可得此時(shí)圓錐的軸截面，如下圖所示：

由==3尸=2,則在等邊一MP中，內(nèi)切圓半經(jīng)=且，即4=立,

3313

;當(dāng)兀，故C錯(cuò)誤;

所以圓錐的內(nèi)切球的體積乂4叼34兀.

對(duì)于D,設(shè)圓錐的外接球的球心為。2,半徑為4,可得此時(shí)圓錐的軸截面，如下圖所示:

答案第6頁(yè)，共20頁(yè)

p

在等邊qAB尸中，外接圓半徑;九=半，即2=氈，

333

所以圓錐的外接球的表面積其=4隊(duì)2=4兀1羊]=g兀，故D正確.

故選：BD.

11.ACD

【分析】利用賦值法可判斷A；利用賦值法結(jié)合對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，可判斷B；將

/■(彳+丁)=/(同+/(〉)+d("+')變形為8(*+>)=8(力+8(〉)形式，利用柯西方程可求得

〃x)=：+x,代入求值，即可判斷C；結(jié)合/(x)=：+x,利用作差法可判斷D.

【詳解】由題意定義域?yàn)镽的函數(shù)〃x)滿(mǎn)足〃x+y)=/(x)+〃y)+w(x+y)

令尤=y=0,則/(O)=/(O)+/(O),;./(O)=O,

令〉=一%,則/(O)=/(x)+/(r),即。=/(x)+/(—x),;J(—x)=—〃x),

故f(x)為奇函數(shù),A正確；

由于f(T)=—〃X)，故-即1(T)=1(X),

則廣(X)為偶函數(shù)，由尸⑴=2可得/(一1)=2,

由〃x+y)=/(x)+〃y)+盯(x+y),令y=l得"x+gAxH/⑴+x(x+l),

故尸(x+l)=1(x)+2x+l,令x=—2,則1(_1)=1(—2)_3,.?.尸(—2)=5,B錯(cuò)誤；

又/(x+y)=/(x)+/(y)+?(x+y)，

則行+y)=小)-;+小)-：，

令g(x)=〃x)-\,貝I]g(x+y)=g(x)+g(y),

NV3

由柯西方程知，gW=g(l)-x,故〃彳卜8⑴+了二式+8⑴”，

答案第7頁(yè)，共20頁(yè)

則_f(x)=x2+g(l),由于(⑴=2,故l+g(l)=2,，g(l)=l,

即〃x)=；+x,則"3)=12,C正確；

對(duì)V%,%e(0,+co),X|…丁)一"%)；"%)

工1+尤2)3

2)七十々

|(1+x1+1+x2)

32

故—F叫/㈤，D正確,

故選：ACD

12.ABD

【分析】設(shè)直線(xiàn)方程并聯(lián)立雙曲線(xiàn)方程，結(jié)合直線(xiàn)和圓相切以及向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,

化簡(jiǎn)求值，可判斷A；利用直角三角形的面積，結(jié)合基本不等式可判斷B；求得M,N的坐

標(biāo)的表達(dá)式，可求出|OM「+|OAf的表達(dá)式，進(jìn)行變形，結(jié)合基本不等式即可判斷C；結(jié)合

||?|ON|

C的分析可得0到MN的距離為d=,化簡(jiǎn)求值，即可判斷D.

\MN\

【詳解】對(duì)于A(yíng),若/斜率存在，則設(shè)其方程為尸丘+根，設(shè)P4,煙+加）,。（%2，3+根）,

y=kx+m

聯(lián)立得(k2—2)x2+2kmx+m2+1=0,

2x2—y2=l

22

需滿(mǎn)足人2一2。0,A=4(2m+2-)t)>0,

2kmm2+1

則玉+/=一

Hi中『Hi'

\m\

由于直線(xiàn)/與圓/+y2=1相切，故=1,.\m2=k2+1.

XX2

OP-OQ=玉％2+y^2=12+(何+㈤(米2+機(jī))=(左2+1)%1%2+km(Xi+x2)+m

答案第8頁(yè)，共20頁(yè)

_（〃，+i）（「2+i）_2kzm22_Y+l-病_/+1_伏2+1）_

一甘-2k2-2+mk2-2k2-2-；

當(dāng)/斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)/與圓f+歹=1相切，不妨取直線(xiàn)無(wú)=1,

此時(shí)不妨取P（LD,。（1,T）,則0P-。。=1-1=0也成立，

綜合知。尸-。。:。，A正確；

對(duì)于B,由題意知O到/的距離為1,由A知OP，。。，

則|尸。『=|0尸|2+|。。|2,

故Spo2=I°P|"OQI=f尸Q|xl,則IOPI.I。。1=1PQ|=J|OP|2+1『

>y/2\OP\-\OQ\,當(dāng)且僅當(dāng)I0PH0Q|時(shí)取等號(hào)，

即有y/\OP\\OQ\N0,.[OPI-I隹2，結(jié)合I0尸1=10。I,

此時(shí)|OP|=|OQ\=0時(shí)等號(hào)成立，即不妨取尸（1,1）,-1）,

故|O"|OQ|的最小值為2,B正確；

對(duì)于C,由題意知ON斜率一定存在，設(shè)為則ON方程為y=氏,

N（八,%）在C?上，由于C?的漸近線(xiàn)方程為>=±岳，貝加|<0,

I產(chǎn)

則Q'F

因?yàn)镺MLON,故OM的方程為工=-），加（如，加）在G上,

"J"解得「二’則”黑，

加一2"

\OMf+\ONf=|0M|2=(l+/)(^l^+，）4"+

=24r+12T2、、1--14戶(hù)+12—產(chǎn)、4

------—5—)——(2+2./---------------5—)=—

2—產(chǎn)4?+13丫2-產(chǎn)4?+13

當(dāng)且僅當(dāng)券=；'即〃〈時(shí)取得等號(hào)'

故|0必?0時(shí)的最小值為g,C錯(cuò)誤;

答案第9頁(yè)，共20頁(yè)

\OM\-\ON\

對(duì)于D,由于Q0LON,則。到MN的距離為"=

\MN\+|ON『

_______1_________________1________]_J__V|

1OM『+1O而[1[i-M+12-產(chǎn)V33,D正確,

\|OM|2?|ON|2VlOM|2|0W|2V1+/2+1+r

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了橢圓和雙曲線(xiàn)以及圓的知識(shí)的綜合應(yīng)用，難度較大，計(jì)算量

大，難點(diǎn)在于要綜合應(yīng)用直線(xiàn)和曲線(xiàn)方程的聯(lián)立，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，進(jìn)行化簡(jiǎn)，計(jì)算過(guò)

程比較復(fù)雜，需要十分細(xì)心.

13.--

3

【詳解】試題分析：由題意得，。為第二象限角，且cosa=-(3，貝Usina=w4，所以

sina4

tana=-------=——.

cosa3

考點(diǎn)：三角函數(shù)的基本關(guān)系式.

14.-/0.4

5

【分析】分兩種情況，由全概率公式求出答案.

【詳解】第一次抽到紅球，第二次抽到藍(lán)球的概率為詈?左=]?

C531U

C；C；_1

第一次抽到藍(lán)球，第二次抽到藍(lán)球的概率為c[-c[=io

故第二次抽到藍(lán)球的概率為3全卡1=2：

,2

故答案為：y

【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，設(shè)%為/(x)=e'-雙2。＞0)的極值點(diǎn)也為其零點(diǎn)，由此可得

e*。-2眸=0,則說(shuō)=2%,即可求得吃的值，繼而求得a的值，驗(yàn)證后即可確定答案.

【詳解】由題意/(%)=1一儂2。＞0),則/(x)=e*-2依,(x＞0),

a=0時(shí)，/(力=1,不合題意，故°力0；

答案第10頁(yè)，共20頁(yè)

設(shè)/為/(x)=e"-ax2(x>0)的極值點(diǎn)也為其零點(diǎn)，

貝U/(%o)=e而一竭=。，且e與一2。/=0,貝!]〃片=2〃%,

故％°=?；?=2,%°=。顯然不適合題意，舍去，

2

e

當(dāng)/=2時(shí)，c2-4a=0,a=一，

4

222

當(dāng)Q=I時(shí)，/(1)=]一1尤2,/(1)=/_萬(wàn)1,

則/(2)=0,/(2)=0,

22

令g(x)=e*-—x,.\g'(x)=eX-E>。時(shí),x>2-ln2

2

g(x)在(2-ln2,+?)上單調(diào)遞增，貝1]/")=6'—|^在(2-1112,+(?)上單調(diào)遞增,

所以當(dāng)2—如2<x<2時(shí),r(x)<0,在(2-ln2,2)單調(diào)遞減，

當(dāng)x>2時(shí)，/^%)>0,"%)在(2,+8)單調(diào)遞增,

故尤=2為“X)的極小值點(diǎn)，

即函數(shù)/(x)=1-依2(%>0)的極值點(diǎn)元=2也為零點(diǎn)，符合題意，

,,e2

故Q=—，

4

2

故答案為：-e

4

16.1785

【分析】利用余弦函數(shù)的周期性可得數(shù)列｛可｝滿(mǎn)足為什4-。電=左+；，再由累加法利用等差

數(shù)列前〃和可得結(jié)果.

【詳解】由余弦函數(shù)性質(zhì)可知數(shù)列卜。sg｝是以4為周期的周期數(shù)列，

2

易知%?+a4Mi=左2,a4k+I+a4k+2=0,a4/i+2+a4M=-^k+k+^,a4k+3+a^M=0,

則〃4左+4-〃4左=左+^，且。3=一工,〃3+〃4=0,可得。4=W；

由累加法可得

%40=(々240_436)+(%36_432)+一.+(4_〃4)+。4=59+；+58+；+…+1+；+；

159(59+1)

=59+58+--+l+-x60=—----^+15=1785；

42

答案第11頁(yè)，共20頁(yè)

故答案為：1785

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：根據(jù)三角函數(shù)的周期性可得數(shù)列中的周期或類(lèi)周期規(guī)律，再利用等差數(shù)

列和等比數(shù)列性質(zhì)，利用累加法或累乘法即可求得結(jié)果.

17.(1)??=2"

⑵(〃+1尸+一

【分析】(I)根據(jù)S“必的關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的定義即可求得答案；

(2)由(1)的結(jié)果可得2的表達(dá)式，利用分組求和法，結(jié)合等差數(shù)列以及等比數(shù)列的前〃

項(xiàng)和公式，即可求得答案.

【詳解】⑴當(dāng)“=1時(shí)，%=24-2,，4=2,

當(dāng)”22時(shí)，an=Sn-5?_i=2an-2%,則an=2%,

則數(shù)列｛q｝為q=2為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，

故4=2*2"1=2"；

，

an,(n=2k,kGN)|2\(w=2%,%eN*)

⑵因?yàn)?=/*、=/〈，

\og2an,\^n=2k-l,keN)n,yn=2k-l,keN)

故數(shù)列｛2｝的前2〃+l項(xiàng)的和為：氏+i=1+3+5++(2H+1)+22+24+26++22n

(〃+l)(l+2〃+l)4(1—4")

=----------------------1------------

21-4

18.⑴sin(A-C)=l；

(2)無(wú)最小值；

TT

【分析】(1)利用正弦定理和余弦定理可得sinA=cosC,結(jié)合B為銳角可得A==+C,所

2

以sin(A-C)=l；

(2)利用誘導(dǎo)公式可得sinAsinB=2sin3A-sinA,再由導(dǎo)數(shù)判斷出了⑺=2/T在

答案第12頁(yè)，共20頁(yè)

上單調(diào)遞增，可得sinAsinB無(wú)最小值；

【詳解】（1）因?yàn)閠zsinA+Z?sinB—csinC=2asinAsinB,

由正弦定理得+/_。2=2absinA，

由余弦定理可得+fe2-c2=labcosC，

TTTT

所以可得sinA=cosC,解得A=—C或A=—FC；

22

jrTT

又8為銳角，所以A=5-C（舍），即A=5+C,

7T

因止匕sin（A—C）=sin,=l；

7T

（2）結(jié)合（1）中4=萬(wàn)+。，又A+5+C=TT可得：

3

sinAsinB=sinAsin[--2A|=-sinAcos2A=2sinA-sinA;

UJ

令/=sinA,則sinAsinB=/（，）=2/7,

又B為銳角，手-2Ae[o,g],所以g<A〈手，

乙'乙）乙nr

可得也<f<l,

2

所以尸（。=6尸一1,當(dāng)日</<1時(shí)，尸。）=6/一1>0恒成立,

即可得/（。=2/T為單調(diào)遞增，

所以時(shí)，/（/）e（O,l）,所以/⑺無(wú)最值；

因此sinAsinB無(wú)最小值；

19.（1）證明見(jiàn)解析

⑵百

【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理證明平面A3C，根據(jù)線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理即可

證明結(jié)論；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)890,0）,根據(jù)"與平面梃所成角的正弦值求出/,求出

平面ACDE的法向量，即可求出B到平面ACDE的距離，根據(jù)棱錐體積公式，即可求得答

案.

答案第13頁(yè)，共20頁(yè)

【詳解】（1）因?yàn)锳E〃CD,AEYAC,所以CDLAC,

又因?yàn)槠矫鍭CDE_L平面ABC,平面ACDE.平面ABC=AC,

所以CD_L平面ABC,又因?yàn)锳Bu平面ABC,

所以ABLCD；

（2）取AB,BE的中點(diǎn)分別為。、G,連接OC,OG,

則OG〃AE,因?yàn)锳E〃CE>,

所以O(shè)G〃CD,而CD_L平面ABC,所以。G_L平面ABC,

因?yàn)锳C=3C=2,04=08,所以ABLOC,

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線(xiàn)O3,OC,OG所在直線(xiàn)為x軸、y軸、z軸,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：

__________/I-------\

設(shè)2?,0,0）,則｛-/，。，（^（（。，"^，。），。（。，"^必）]I

\7

'3/Jd-t2I

故人尸=萬(wàn)，匕一，1,可取“=（0,1,0）為平面ABE的一個(gè)法向量，

\7

由AF與平面4狙所成角的正弦值為零，

8

可得|cos（AF,n）|=|:::1=I,2—==g，解得t=也,

\'\AF\\n\9『?4"?[8

'彳+4+

設(shè)機(jī)=（x,y,z）為平面ACDE1的一個(gè)法向量，AC=1,0）,CZ）=（0,0,2）,

m-AC=0

則<,令x=JL則相=（若,一3,0）,

m-CD=0

又正（2"。,。），故8到平面A3的距離為公明2^x6=萬(wàn)

73+90

答案第14頁(yè)，共20頁(yè)

所以四棱錐3-400后的體積/一8￡=；義^1^'2、6=有.

20.⑴分布列見(jiàn)解析；6

⑵證明見(jiàn)解析

【分析】(1)確定隨機(jī)變量X的可能取值，求出每個(gè)值相應(yīng)的概率，即可得分布列，繼而求

得期望；

(2)設(shè)在甲參加了的2”(weN*)局禁毒知識(shí)挑戰(zhàn)賽中，獲勝局?jǐn)?shù)為匕可得￥>〃，由此求

出口，。2的表達(dá)式?jīng)]利用作差法，即可證明結(jié)論.

【詳解】(1)依題意可得，隨機(jī)變量Xe{3,5,7,9},

設(shè)甲、乙在一局比賽中得3分的概率為P,則2=亡、［+亡、)3=:,

3

則P(X=3)=5=V(X=5)=叱;

8

=6；

(2)證明：設(shè)在甲參加了的2〃(〃eN*)局禁毒知識(shí)挑戰(zhàn)賽中，獲勝局?jǐn)?shù)為匕

貝U所獲總分為3丫+(2〃-Y)=2y+2〃，若2y+2〃>4〃，則/>〃，

貝UR=p(y>〃)，因?yàn)閜(y>〃)=p(y<〃),

同理可得

貝1JR-外(*S

答案第15頁(yè)，共20頁(yè)

（2〃+2）!（2〃）!

^2J4（n+l）!（n+l）!n\n\n\

（1y,!+l（2n）![（2??+2）（2〃+l）-4（n+l）2]

一⑸4（n+l）!（n+l）!

J『色

{2）4（/7+l）!（n+l）!

故Pi<P2.

⑵存在；2=--

【分析】（1）確定當(dāng)〃位于橢圓的短軸端點(diǎn)時(shí)，的面積最大，由此結(jié)合橢圓離心率

列出關(guān)于的方程，解方程組，可得答案；

（2）設(shè)出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，表示出直線(xiàn)的方程，聯(lián)立橢圓方程，可得根與系數(shù)關(guān)系，進(jìn)而

求得點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，從而表示出匕，%，結(jié)合M耳M三點(diǎn)共線(xiàn)，即可推出結(jié)論.

【詳解】（1）由題意可知當(dāng)M位于橢圓的短軸端點(diǎn)時(shí)，的面積最大，

即3|月0。=3有，即g?三年=3石,.?.兒=4有，

由橢圓c：=+[=1（。＞6＞。）的離心率為:，即0=￡=:,即且，1=L（=3，

ab'2a2a4a4

結(jié)合標(biāo)=加+°2,

解得a=4,b=2A/3,c=2,

22

故橢圓的方程為土+匕=1;

1612

（2）設(shè)N（%2,%），/（￡，%），。（匕，乂），而￡（一2,0）,耳（2,0）,

當(dāng)斜率不為。時(shí)，M,N均不在x軸上，

答案第16頁(yè)，共20頁(yè)

"Il

161217-2^2^-2_

聯(lián)立y2+y15=（）

%—1

x=———y+1XJi

由于M尸過(guò)點(diǎn)。，。在橢圓內(nèi)部，則必有A>0,

T5犬二75M32-17%

X

則%%=17—2%'.?必17-2^代入MP方程可得3=

17-2x1

同理可得％32=--不17。x?乂=—行15置y9

（一%）+（々必）

故；17%2%1y2-

15（%—x2）

又因?yàn)镹,片,M三點(diǎn)共線(xiàn),所以卷=端

77

（）=

SPxiy2-x2y1=2yl-y2,故&一15aM~^1，則-1匕+&二0，

JD

7

所以此時(shí)存在實(shí)數(shù)彳=-(，使得2尢+e=0；

當(dāng)MV斜率為0時(shí)，M,N均在x軸上，則P,。也在x軸上,

此時(shí)《=自=0,也符合題意；

綜上存在實(shí)數(shù)2=-71,使得彳勺+%=0；

【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛:本題考查了橢圓方程的求解以及探究性問(wèn)題，解答時(shí)要注意設(shè)直線(xiàn)方程,

并聯(lián)立橢圓方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系化簡(jiǎn)求解，難點(diǎn)在于計(jì)算過(guò)程比較復(fù)雜,計(jì)算量較大,

要十分細(xì)心.

2

22.(1)—<〃41

71

(2)證明見(jiàn)解析:

答案第17頁(yè)，共20頁(yè)

【分析】(1)由題意求得函數(shù)定義域，并對(duì)參數(shù)。進(jìn)行分類(lèi)討論，構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)判斷

2

出函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)不等式恒成立即可求得實(shí)數(shù)。的取值范圍為一一<。41;

71

(2)利用(1)中的結(jié)論可知當(dāng)。=1時(shí)sinxNln(l+x)在xe0,|上恒