2023-2024學(xué)年湖南長沙長郡梅溪湖中學(xué)中考數(shù)學(xué)全真模擬試題

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。

3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題（共10小題,每小題3分,共30分）

1.--的絕對值是（)

2

A.一B.C.-2D.2

22

2.下列各式中,互為相反數(shù)的是（)

A.(—3了和-3?B.(—3)2和32C.(-2)3和一23D.|-和卜23]

k1

3.如圖，已知點A,B分別是反比例函數(shù)y=—（x<0）,y=—(x>0)的圖象上的點，,aZAOB=90°,tanZBAO=-,

XX2

C.4D.-4

4.如圖，在。A3CZ）中，AC,5。相交于點O,點E是。4的中點，連接5E并延長交AO于點F,已知SAAEF=4,

AF1_

則下列結(jié)論：①——=一；②SABCE=36；③SAABE=12；ACD,其中一定正確的是（）

FD2

A.①②③④B.①④C.②③④D.①②③

5.《九章算術(shù)》中的算籌圖是豎排的，為看圖方便，我們把它改為橫排，如圖1,圖2所示，圖中各行從左到右列出

的算籌數(shù)分別表示未知數(shù)X,y的系數(shù)與相應(yīng)的常數(shù)項.把圖1表示的算籌圖用我們現(xiàn)在所熟悉的方程組形式表述出來,

3x+2y=19

就是《〃cc?類似地，圖2所示的算籌圖我們可以表述為（）

x+4y=23

iiiii-nnIII-I

iiIIII=IIIJJillIII=7

國i圖2

2x+y=112x+y=113x+2y=192x+y=6

A.<D.<

4x+3y=274x+3y=22'x+4y=234%+3y=27

6.下列圖標(biāo)中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（

8

7.拋物線y=ax2-4ax+4aT與x軸交于A,B兩點，C(xi,m)和D（X2,n）也是拋物線上的點，且xiV2VX2,

Xi+X2<4,則下列判斷正確的是（）

A.m<nB.m<nC.m>nD.m>n

8.如圖是一個幾何體的主視圖和俯視圖,則這個幾何體是（)

A.三棱柱B.正方體C.三棱錐D.長方體

9.如圖，若AB〃CD,CD/7EF,那么NBCE=()

B.Z2-Z1

C.18O°-Z1+Z2D.18O°-Z2+Z1

10.在下列條件中，能夠判定一個四邊形是平行四邊形的是（）

A.一組對邊平行，另一組對邊相等

B.一組對邊相等，一組對角相等

C.一組對邊平行，一條對角線平分另一條對角線

D.一組對邊相等，一條對角線平分另一條對角線

二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）

11.如圖，為保護門源百里油菜花海，由“芬芳浴”游客中心A處修建通往百米觀景長廊BC的兩條棧道AB,AC.若

NB=56。，ZC=45°,則游客中心A到觀景長廊BC的距離AD的長約為米.（sin56°~0.8,tan56°~1.5）

K—IOOTK—X

12.因式分解：2m2-8n2=.

13.如圖，點P（3a,a）是反比例函y=（k>0）與。O的一個交點，圖中陰影部分的面積為103則反比例函數(shù)

的表達式為.

14.已知梯形ABCD,AD〃BC,BC=2AD,如果-」=-，那么--=（用=、-表示）.

15.某數(shù)學(xué)興趣小組在研究下列運算流程圖時發(fā)現(xiàn)，取某個實數(shù)范圍內(nèi)的x作為輸入值，則永遠不會有輸出值，這個

數(shù)學(xué)興趣小組所發(fā)現(xiàn)的實數(shù)x的取值范圍是.

入x/_>

3

16.如圖，在△ABC中，ZACB=90°,AB=8,AB的垂直平分線MN交AC于D,連接DB,若tanNCBD=-,則

三、解答題（共8題，共72分）

17.（8分）我市在黨中央實施“精準(zhǔn)扶貧”政策的號召下，大力開展科技扶貧工作，幫助農(nóng)民組建農(nóng)副產(chǎn)品銷售公司，

某農(nóng)副產(chǎn)品的年產(chǎn)量不超過100萬件，該產(chǎn)品的生產(chǎn)費用y（萬元）與年產(chǎn)量x（萬件）之間的函數(shù)圖象是頂點為原點

的拋物線的一部分（如圖①所示）；該產(chǎn)品的銷售單價z（元/件）與年銷售量x（萬件）之間的函數(shù)圖象是如圖②所示

的一條線段，生產(chǎn)出的產(chǎn)品都能在當(dāng)年銷售完，達到產(chǎn)銷平衡，所獲毛利潤為W萬元.（毛利潤=銷售額-生產(chǎn)費用）

（1）請直接寫出y與x以及z與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（寫出自變量x的取值范圍）

（2）求W與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（寫出自變量x的取值范圍）；并求年產(chǎn)量多少萬件時，所獲毛利潤最大？最大毛

利潤是多少？

（3）由于受資金的影響，今年投入生產(chǎn)的費用不會超過360萬元，今年最多可獲得多少萬元的毛利潤？

18.（8分）為加快城鄉(xiāng)對接，建設(shè)全域美麗鄉(xiāng)村，某地區(qū)對A、B兩地間的公路進行改建.如圖，A、B兩地之間有

一座山，汽車原來從A地到B地需途徑C地沿折線ACB』行駛，現(xiàn)開通隧道后，汽車可直接沿直線AB行駛.已知

BC=80千米，NA=」45。，NB=30。.開通隧道前，汽車從A地到B地大約要走多少千米？開通隧道后，汽車從A地到

B地大約可以少走多少千米？（結(jié)果精確到0.1千米）（參考數(shù)據(jù)：乒1.41,73=1.73）

19.（8分）如圖，一次函數(shù)y=-x+5的圖象與反比例函數(shù)y=&（際0）在第一象限的圖象交于A（l,n）和B兩點.求

X

反比例函數(shù)的解析式；在第一象限內(nèi)，當(dāng)一次函數(shù)y=-x+5的值大于反比例函數(shù)y=8（厚0）的值時，寫出自變量x

x

的取值范圍.

20.（8分）為了抓住梵凈山文化藝術(shù)節(jié)的商機，某商店決定購進A、B兩種藝術(shù)節(jié)紀(jì)念品.若購進A種紀(jì)念品8件，

B種紀(jì)念品3件，需要950元；若購進A種紀(jì)念品5件，B種紀(jì)念品6件，需要800元.

（1）求購進A、B兩種紀(jì)念品每件各需多少元？

（2）若該商店決定購進這兩種紀(jì)念品共100件，考慮市場需求和資金周轉(zhuǎn)，用于購買這100件紀(jì)念品的資金不少于

7500元，但不超過7650元，那么該商店共有幾種進貨方案？

（3）若銷售每件A種紀(jì)念品可獲利潤20元，每件B種紀(jì)念品可獲利潤30元，在第（2）間的各種進貨方案中，哪一

種方案獲利最大？最大利潤是多少元？

21.(8分)如圖，經(jīng)過原點的拋物線y=-x2+2mx(m>0)與x軸的另一個交點為A,過點P(1,m)作直線PA_Lx

軸于點M,交拋物線于點B.記點B關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為C(點B、C不重合)，連接CB、CP.

(I)當(dāng)m=3時，求點A的坐標(biāo)及BC的長；

(II)當(dāng)m>l時，連接CA,若CALCP,求m的值；

(III)過點P作PEJ_PC,且PE=PC,當(dāng)點E落在坐標(biāo)軸上時，求m的值，并確定相對應(yīng)的點E的坐標(biāo).

22.(10分)畫出二次函數(shù)y=(x-1)2的圖象.

23.(12分)如圖，BD為△ABC外接圓。。的直徑，且NBAE=NC.求證：AE與。O相切于點A；若AE〃BC,

BC=2不，AC=2&,求AD的長.

24.如圖，在梯形ABCD中，AD〃BC,對角線AC、BD交于點M,點E在邊BC上，且/DAE=NDCB,聯(lián)結(jié)AE,

AE與BD交于點F.

(1)求證：DM?=MF-MB;

(2)連接DE,如果BF=3FM,求證：四邊形ABED是平行四邊形.

參考答案

一、選擇題(共10小題，每小題3分，共30分)

1、B

【解析】

根據(jù)求絕對值的法則，直接計算即可解答.

【詳解】

故選：B.

【點睛】

本題主要考查求絕對值的法則，掌握負數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)，是解題的關(guān)鍵.

2、A

【解析】

根據(jù)乘方的法則進行計算，然后根據(jù)只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)，可得答案.

【詳解】

解：A.(-3)2=9,-32=-9,故(-3)2和一手互為相反數(shù)，故正確；

B.(-3)2=9,32=%故(-3>和32不是互為相反數(shù)，故錯誤；

C.(-2)3=8,-23=8故(-2)3和—23不是互為相反數(shù)，故錯誤；

D.I-2F=8,卜23卜8故|-2|3和卜23|不是互為相反數(shù),故錯誤.

故選A.

【點睛】

本題考查了有理數(shù)的乘方和相反數(shù)的定義，關(guān)鍵是掌握有理數(shù)乘方的運算法則.

3、D

【解析】

k

首先過點A作AC，x軸于C,過點B作BD，x軸于D,易得△OBDs^AOC,又由點A,B分別在反比例函數(shù)y=—

x

(x<0),y=-(x>0)的圖象上，即可得SAOBD=L,SAAoc=-|k|,然后根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平

x22

方，即可求出k的值

【詳解】

解：過點A作AC，x軸于C,過點B作BD，x軸于D,

AZACO=ZODB=90°,

AZOBD+ZBOD=90°,

VZAOB=90°,

.\ZBOD+ZAOC=90o,

AZOBD=ZAOC,

/.AOBD^AAOC,

XVZAOB=90°,tanZBAO=-,

2

.OB

??=，

AO2

工

:*4，即，

S°AC4；悶4

解得k=±4,

又

k=-4,

故選：D.

【點睛】

此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、反比例函數(shù)的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì).解題時注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)

用，注意掌握輔助線的作法。

4、D

【解析】

一1

;在。ABC。中，AO=-AC,

2

；點E是OA的中點，

1

：.AE=-CE,

3

AD//BC,

AAFEsACBE,

.AF_AE

■"BC-CE-3)

'：AD=BC,

1

：.AF=-AD,

3

.AF1

??=一;故①正確；

FD2

SAEF/AF1

?SAAE尸=4,=(---)/2=一

SBCEBC9

SABCE=36；故②正確；

..EF_AE

'~BE~~CE~3,

.SAEF_1

,,心=3，

"?SAABE=12,故③正確；

???8F不平行于CD,

：./\AEF與△ADC只有一個角相等，

.?.△AE歹與△AC。不一定相似，故④錯誤，故選D.

5、A

【解析】

根據(jù)圖形，結(jié)合題目所給的運算法則列出方程組.

【詳解】

2%+y=11

圖2所示的算籌圖我們可以表述為：“°°.

4x+3y=27

故選A.

【點睛】

本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列

出方程組.

6、D

【解析】

試題分析：根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念，可知：

A既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故不正確；

B不是軸對稱圖形，但是中心對稱圖形，故不正確；

C是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故不正確；

D即是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故正確.

故選D.

考點：軸對稱圖形和中心對稱圖形識別

7、C

【解析】

分析：將一般式配方成頂點式，得出對稱軸方程尤=2,根據(jù)拋物線>=?！?一4ax+4a-1與x軸交于A,3兩點，得出

.=(-4?)2-4ax(4a-l)>0,求得

a>0,距離對稱軸越遠，函數(shù)的值越大，根據(jù)王<2<x2,石+4<4,判斷出它們與對稱軸之間的關(guān)系即可判定.

詳解：Vy=cuC-4ax+4fl-l=a(x-2y-1,

二此拋物線對稱軸為x=2,

,拋物線y=。丫2-4ax+4a-l與上軸交于A,8兩點，

，當(dāng)依2一4ft^+4a一1=0時，_=(-4a)--4ax(4a-l)>0,得a>0,

,:%<2<x2,x1+x2<4,

2—%>々—2,

m>n,

故選C.

點睛：考查二次函數(shù)的圖象以及性質(zhì)，開口向上，距離對稱軸越遠的點，對應(yīng)的函數(shù)值越大，

8、A

【解析】

【分析】根據(jù)三視圖的知識使用排除法即可求得答案.

【詳解】如圖，由主視圖為三角形，排除了B、D,

由俯視圖為長方形，可排除C,

故選A.

【點睛】本題考查了由三視圖判斷幾何體的知識，做此類題時可利用排除法解答.

9、D

【解析】

先根據(jù)AB〃CD得出NBCD=N1,再由CD〃EF得出NDCE=180"N2,再把兩式相加即可得出結(jié)論.

【詳解】

解：VAB/7CD,

/.ZBCD=Z1,

VCD/7EF,

:.ZDCE=180°-Z2,

:.ZBCE=ZBCD+ZDCE=18O°-Z2+Z1.

故選：D.

【點睛】

本題考查的是平行線的判定，用到的知識點為：兩直線平行，內(nèi)錯角相等，同旁內(nèi)角互補.

10、C

【解析】

A、錯誤.這個四邊形有可能是等腰梯形.

B、錯誤.不滿足三角形全等的條件，無法證明相等的一組對邊平行.

C、正確.可以利用三角形全等證明平行的一組對邊相等.故是平行四邊形.

D、錯誤.不滿足三角形全等的條件，無法證明相等的一組對邊平行.

故選C.

二、填空題(本大題共6個小題，每小題3分，共18分)

11、60

【解析】

根據(jù)題意和圖形可以分別表示出AD和CD的長，從而可以求得AD的長，本題得以解決.

【詳解】

?ADAD

,.,ZB=56°,ZC=45°,ZADB=ZADC=90°,BC=BD+CD=100米，.".BD=---------CD=--------------；,

tan56tan45

ADAD5m

/.---------7+---------7=100,解得，AD=60

tan56tan45

考點：解直角三角形的應(yīng)用.

12、2(m+2n)(m-2n).

【解析】

試題分析：根據(jù)因式分解法的步驟，有公因式的首先提取公因式，可知首先提取系數(shù)的最大公約數(shù)2,進一步發(fā)現(xiàn)提

公因式后，可以用平方差公式繼續(xù)分解.

解：2m2-8I?,

=2(m2-4n2),

=2(m+2n)(m-2n).

考點：提公因式法與公式法的綜合運用.

12

13、y=—

x

【解析】

設(shè)圓的半徑是r,根據(jù)圓的對稱性以及反比例函數(shù)的對稱性可得：

—7tr2=107t

4

解得：T=2回.

k

??,點P(3a,a)是反比例函y=—(k>0)與O的一個交點，

x

3a2=k.

yj(3a)2+a2=r

/.a2=—x(2^/10)2=4.

10

...k=3x4=12,

12

則反比例函數(shù)的解析式是：y=—.

x

12

故答案是：尸一.

x

點睛：本題主要考查了反比例函數(shù)圖象的對稱性，正確根據(jù)對稱性求得圓的半徑是解題的關(guān)鍵.

14、一?一

5UjL

【解析】

根據(jù)向量的三角形法則表示出二二,，再根據(jù)BC、AD的關(guān)系解答.

【詳解】

VAD/7BC,BC=2AD,

故答案為

Jr*

【點睛】

本題考查了平面向量，梯形，向量的問題，熟練掌握三角形法則和平行四邊形法則是解題的關(guān)鍵.

15、x<一

2

【解析】

通過找到臨界值解決問題.

【詳解】

由題意知，令3x-l=x,

x=-,此時無輸出值

2

當(dāng)x>!時，數(shù)值越來越大，會有輸出值；

2

當(dāng)xV時，數(shù)值越來越小，不可能大于10,永遠不會有輸出值

2

.1

故X<—,

2

故答案為x<i.

2

【點睛】

本題考查不等式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會找到臨界值解決問題.

16、2小.

【解析】

CD3

由tan/CBD=——=-設(shè)CD=3a、BC=4a,據(jù)此得出BD=AD=5a、AC=AD+CD=8a,由勾股定理可得(8a)2+(4a)

BC4

2=82,解之求得a的值可得答案.

【詳解】

,,CD3

解：在RtABCD中，VtanZCBD=——=-,

BC4

.,.設(shè)CD=3a、BC=4a,

貝！JBD=AD=5a,

:.AC=AD+CD=5a+3a=8a,

在RtZkABC中，由勾股定理可得(8a)2+(4a)2=82,

解得：或2=-撞(舍)，

55

則BD=5a=2逐，

故答案為2石.

【點睛】

本題考查線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是熟記性質(zhì)與定理并準(zhǔn)

確識圖.

三、解答題(共8題，共72分)

17、(1)y=^x'.z=-^x+30(0<x<100)；(1)年產(chǎn)量為75萬件時毛利潤最大，最大毛利潤為1115萬元；(3)今

年最多可獲得毛利潤1080萬元

【解析】

(1)利用待定系數(shù)法可求出y與x以及z與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

(1)根據(jù)(1)的表達式及毛利潤=銷售額-生產(chǎn)費用，可得出w與x的函數(shù)關(guān)系式，再利用配方法求出最值即可；

(3)首先求出x的取值范圍，再利用二次函數(shù)增減性得出答案即可.

【詳解】

(1)圖①可得函數(shù)經(jīng)過點(100,1000),

設(shè)拋物線的解析式為y="i(存0),

將點(100,1000)代入得：1000=10000a,

解得：a=—,

故y與x之間的關(guān)系式為

圖②可得：函數(shù)經(jīng)過點(0,30)、(100,10),

\00k+b=20

設(shè)z=kx+b,則\,

k=—

解得：\10,

b=30

故z與x之間的關(guān)系式為々=-—x+30(0<x<100)；

(1)W=zx-y=-—x*+30x--x1

1010

=-N+30x

1

1

-1

-

K(x-150x)

U

1

1

-(x-75),+1115,

1

1

■:--<0,

5

.?.當(dāng)x=75時，W有最大值1115,

.?.年產(chǎn)量為75萬件時毛利潤最大，最大毛利潤為1115萬元；

(3)令y=360,得^/=360,

解得：*=±60(負值舍去)，

由圖象可知，當(dāng)0VyW360時，0<x<60,

由W=-g(x-75)1+1115的性質(zhì)可知，

當(dāng)0〈爛60時，W隨x的增大而增大，

故當(dāng)x=60時，W有最大值1080,

答:今年最多可獲得毛利潤1080萬元.

【點睛】

本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，注意二次函數(shù)最值的求法，一般用配方法.

18、(1)開通隧道前，汽車從A地到B地大約要走136.4千米；(2)汽車從A地到B地比原來少走的路程為27.2千

米

【解析】

(1)過點C作AB的垂線CD,垂足為D,在直角AACD中，解直角三角形求出CD,進而解答即可；

(2)在直角ACBD中，解直角三角形求出BD,再求出AD,進而求出汽車從A地到B地比原來少走多少路程.

【詳解】

解：(1)過點C作AB的垂線CD,垂足為D,

ACD=BC*sin30°=80x-=40（千米）,

2

上=半=400

AC=sin45°yfl（千米），

V

AC+BC=8O+4O0=40x1.41+80=136.4（千米）,

答：開通隧道前，汽車從A地到B地大約要走136.4千米;

BD一,

（2）cos30°=-----,BC=80（千米）,

BC

.,.BD=BC?COS30O=80X@=407^（千米）,

2

CD

,.,tan45°=——，CD=40（千米）,

AD

CD40

?\AD=----------Y=40（千米）,

tan45°

/.AB=AD+BD=40+4073-40+40x1.73=109.2（千米）,

二汽車從A地到B地比原來少走多少路程為：AC+BC-AB=136.4-109.2=27.2(千米).

答：汽車從A地到B地比原來少走的路程為27.2千米.

【點睛】

本題考查了勾股定理的運用以及解一般三角形，求三角形的邊或高的問題一般可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題，解決

的方法就是作高線.

4

19、(1)y=—；(2)1<X<1.

x

【解析】

(1)將點A的坐標(biāo)(1,1)代入，即可求出反比例函數(shù)的解析式；

(2)一次函數(shù),=一*+5的值大于反比例函數(shù)y=七，即反比例函數(shù)的圖象在一次函數(shù)的圖象的下方時自變量的取值

X

范圍即可.

【詳解】

解：(1);一次函數(shù)y=-x+5的圖象過點A(1,n),

.*.n=-1+5,解得：n=l,

???點A的坐標(biāo)為(1,1).

???反比例函數(shù)y="(k#0)過點A(1,1),

x

:.k=lxl=l,

4

???反比例函數(shù)的解析式為y=-.

y=一冗+5

x=lx=4

聯(lián)立4，解得：<.或＜

尸一[y=4b=l

x

，點B的坐標(biāo)為(1,1).

(2)觀察函數(shù)圖象，發(fā)現(xiàn)：

當(dāng)IVxVl.時，反比例函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象下方，

當(dāng)一次函數(shù)y=-x+5的值大于反比例函數(shù)y=4(k/0)的值時，x的取值范圍為IVxCL

x

【點睛】

本題考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)的交點問題，以及用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式，是基礎(chǔ)知識要

熟練掌握.解題的關(guān)鍵是：(1)聯(lián)立兩函數(shù)解析式成二元一次方程組；(2)求出點C的坐標(biāo)；(3)根據(jù)函數(shù)圖象上下

關(guān)系結(jié)合交點橫坐標(biāo)解決不等式.本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，聯(lián)立兩函數(shù)解析式成方程組，解

方程組求出交點的坐標(biāo)是關(guān)鍵.

20、(1)A種紀(jì)念品需要100元，購進一件B種紀(jì)念品需要50元(2)共有4種進貨方案(3)當(dāng)購進A種紀(jì)念品50

件，B種紀(jì)念品50件時，可獲最大利潤，最大利潤是2500元

【解析】

解：(1)設(shè)該商店購進一件A種紀(jì)念品需要a元，購進一件B種紀(jì)念品需要b元,

,8a+36=950

根據(jù)題意得方程組得:分

&+6b=S00…2

9=100

解方程組得：.，

Ib=50

.?.購進一件A種紀(jì)念品需要100元，購進一件B種紀(jì)念品需要50元...4分;

(2)設(shè)該商店購進A種紀(jì)念品x個，則購進B種紀(jì)念品有(100-x)個，

.,!00x-50(100-x)i-<00

??,,,???6分

(100x+50(100-x)<-650

解得：50郊53,...7分

?:x為正整數(shù)，

二共有4種進貨方案…8分；

(3)因為B種紀(jì)念品利潤較高，故B種數(shù)量越多總利潤越高，

因此選擇購A種50件，B種50件....10分

總利潤=50x20+50x30=2500(元)

當(dāng)購進A種紀(jì)念品50件，B種紀(jì)念品50件時，可獲最大利潤，最大利潤是2500元.…12分

3

21、(I)4；(II)—(III)(2,0)或(0,4)

2

【解析】

(I)當(dāng)m=3時，拋物線解析式為y=-x?+6x,解方程-x2+6x=0得A(6,0),利用對稱性得到C(5,5),從而得到BC

的長；

(II)解方程-x2+2mx=0得A(2m,0),利用對稱性得到C(2m-l,2m-l),再根據(jù)勾股定理和兩點間的距離公式得

到(2m-2)2+(m-1)2+12+(2m-l)2=(2m-l)2+m2,然后解方程即可；

(III)如圖，利用△PME也Z\CBP得到PM=BC=2m-2,ME=BP=m-l,則根據(jù)P點坐標(biāo)得到2m-2=m,解得m=2,

再計算出ME=1得到此時E點坐標(biāo);作PH_Ly軸于H,如圖,利用△PHE^APBC得到PH=PB=m-l,HE,=BC=2m-2,

利用P(1,m)得到m-l=L解得m=2,然后計算出HE，得到E，點坐標(biāo).

【詳解】

解：(D當(dāng)m=3時，拋物線解析式為y=-x2+6x,

當(dāng)y=0時，-X2+6X=0,解得XI=0,X2=6,則A(6,0),

拋物線的對稱軸為直線x=3,

VP(1,3),

?*.B(1,5),

???點B關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為C

AC(5,5),

.\BC=5-1=4；

(II)當(dāng)y=0時，-x2+2mx=0,解得xi=0,X2=2m,貝?。軦(2m,0),

B(1,2m-1),

???點B關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為C,而拋物線的對稱軸為直線x=m,

AC(2m-1,2m-1),

VPC1PA,

.\PC2+AC2=PA2,

:.(2m-2)2+(m-1)2+l2+(2m-1)2=(2m-1)2+m2,

3

整理得2m2-5m+3=0,解得mi=l,m2=—,

2

3

即m的值為一；

2

(III)如圖，

VPE±PC,PE=PC,

/.△PME^ACBP,

/.PM=BC=2m-2,ME=BP=2m-1-m=m-1,

而P(1,m)

/.2m-2=m,解得m=2,

?*.ME=m-1=1,

AE(2,0)；

作PHJ_y軸于H,如圖，

易得△PHE^APBC,

；.PH=PB=m-1,HE,=BC=2m-2,

而P(1,m)

?*.m-1=1,解得m=2,

，HE'=2m-2=2,

：.W(0,4)；

綜上所述，m的值為2,點E的坐標(biāo)為(2,0)或(0,4).

%

本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征和二次函數(shù)的性質(zhì)；會運用全等三角形的知識

解決線段相等的問題；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，記住兩點間的距離公式.

22、見解析

【解析】

首先可得頂點坐標(biāo)為（1,0）,然后利用對稱性列表，再描點，連線，即可作出該函數(shù)的圖象.

【詳解】

列表得：

X???-10123???

y???41014???

如圖:

VA

【點睛】

此題考查了二次函數(shù)的圖象.注意確定此二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)是關(guān)鍵.

23、(1)證明見解析；(2)AD=2jII.

【解析】

(1)如圖，連接OA,根據(jù)同圓的半徑相等可得：ZD=ZDAO,由同弧所對的圓周角相等及已知得：ZBAE=ZDAO,

再由直徑所對的圓周角是直角得：NBAD=90。，可得結(jié)論；

(2)先證明OALBC,由垂徑定理得：注3=*C，F(xiàn)B=；BC,根據(jù)勾股定理計算AF、OB、AD的長即可.

【詳解】

(1)如圖，連接OA,交BC于F,

貝！JOA=OB,

:.ND=NDAO,

VZD=ZC,

/.ZC=ZDAO,

,/ZBAE=ZC,

?\ZBAE=ZDAO,

；BD是。O的直徑,

.?.NBAD=90°,

即NDAO+NBAO=90°,

:.ZBAE+ZBA