第02講解題技巧專題：特殊的因式分解法(5類熱點(diǎn)題型講練)目錄TOC\o"1-3"\h\u【考點(diǎn)一利用整體法提公因式因式分解】 1【考點(diǎn)二因式分解要徹底分解】 3【考點(diǎn)三十字相乘法因式分解】 6【考點(diǎn)四分組分解法因式分解】 12【考點(diǎn)五因式分解的應(yīng)用】 15【考點(diǎn)一利用整體法提公因式因式分解】例題：（2024上·四川眉山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）分解因式：．【答案】【分析】本題考查了公式法及提公因式法分解因式，熟練掌握分解因式的方法是關(guān)鍵．按照提公因式法分解法進(jìn)行分解因式即可．【詳解】解：．故答案為：．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·湖南衡陽(yáng)·八年級(jí)?？计谀┌咽阶臃纸庖蚴剑Y(jié)果是【答案】【分析】此題考查了因式分解的方法，先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可，解題的關(guān)鍵是熟練掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．【詳解】．故答案為：．2．（2023下·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）因式分解：．【答案】【解析】略3．（2023上·陜西延安·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）因式分解：．【答案】【分析】用提公因式法進(jìn)行因式分解即可，此題考查了因式分解，熟練掌握提公因式法因式分解是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：4．（2023上·上海青浦·七年級(jí)?？计谥校┮蚴椒纸猓骸敬鸢浮俊痉治觥勘绢}考查的是因式分解，熟練的利用提公因式的方法分解因式是解本題的關(guān)鍵，本題先提取公因式，分解后再次提取公因式2，從而可得答案．【詳解】解：；5．（2023上·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）分解因式：(1)．(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用提公因式法因式分解即可；（2）利用提公因式法因式分解即可．【詳解】（1）．（2）．【點(diǎn)睛】此題考查了因式分解的方法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．【考點(diǎn)二因式分解要徹底分解】例題：（2023秋·遼寧沈陽(yáng)·八年級(jí)?？计谀┮蚴椒纸?1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）先提取公因式，然后利用平方差公式分解因式即可；（2）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）因式分解：．【答案】【分析】先利用完全平方公式和平方差公式化簡(jiǎn)，再利用十字相乘進(jìn)行因式分解即可．【詳解】解：原式．【點(diǎn)睛】本題考查因式分解，熟練掌握完全平方公式和平方差公式以及十字相乘是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)統(tǒng)考期末）因式分解(1)(2)【答案】(1)；(2)【分析】（1）先提取公因式a，再根據(jù)平方差公式分解因式即可；（2）先提取公因式x，再根據(jù)完全平方公式分解因式即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．【點(diǎn)睛】本題考查公因式和公式法分解因式，掌握完全平方公式和平方差公式是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·四川成都·八年級(jí)成都市第二十中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）分解因式：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）用提公因式法分解因式即可；（2）先提公因式，然后再利用平方差公式分解因式即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平方差公式．4．（2023秋·湖南永州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）因式分解(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）先提公因式，再用完全平方公式分解因式即可；（2）先提公因式，再用平方差公式分解因式即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了提公因式與公式法的綜合運(yùn)用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．5．（2023秋·上海靜安·七年級(jí)新中初級(jí)中學(xué)校考期末）因式分解：(1)；(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）直接提取公因式y(tǒng)，再利用完全平方公式分解因式得出答案；（2）直接利用平方差公式分解因式得出答案．【詳解】（1）解：；（2）解：．【點(diǎn)睛】本題考查了用提公因式法和公式法進(jìn)行因式分解，一個(gè)多項(xiàng)式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進(jìn)行因式分解，同時(shí)因式分解要徹底，直到不能分解為止．6．（2023秋·山東濱州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）分解因式．(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）原式先提取公因式y(tǒng)，再運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行因式分解即可；（2）先運(yùn)用平方差公式分解，再提取公因式即可【詳解】（1）==（2）===【點(diǎn)睛】此題考查了提公因式法，公式法分解因式．解題的關(guān)鍵是注意因式分解的步驟：先提公因式，再利用公式法分解，注意分解要徹底．【考點(diǎn)三十字相乘法因式分解】例題：（2024上·北京東城·八年級(jí)統(tǒng)考期末）利用整式的乘法運(yùn)算法則推導(dǎo)得出：．我們知道因式分解是與整式乘法方向相反的變形，利用這種關(guān)系可得．通過(guò)觀察可把看作以x為未知數(shù)，a、b、c、d為常數(shù)的二次三項(xiàng)式，此種因式分解是把二次三項(xiàng)式的二項(xiàng)式系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)分別進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆纸鈦?lái)湊一次項(xiàng)的系數(shù)，分解過(guò)程可形象地表述為“豎乘得首、尾，叉乘湊中項(xiàng)”，如圖1，這種分解的方法稱為十字相乘法．例如，將二次三項(xiàng)式的二項(xiàng)式系數(shù)2與常數(shù)項(xiàng)12分別進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆纸猓鐖D2，則．根據(jù)閱讀材料解決下列問(wèn)題：(1)用十字相乘法分解因式：；(2)用十字相乘法分解因式：；(3)結(jié)合本題知識(shí)，分解因式：．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題主要考查多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，因式分解，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的知識(shí)的掌握與運(yùn)用．（1）利用十字相乘法進(jìn)行求解即可；（2）利用十字相乘法進(jìn)行求解即可；（3）先分組，再利用十字相乘法進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：，；（2）解：，；（3）解：，．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）十字相乘法分解因式：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)【分析】本題主要考查十字法因式分解的應(yīng)用：（1），從而運(yùn)用十字相乘法可分解因式；（2），從而運(yùn)用十字相乘法可分解因式；（3），從而運(yùn)用十字相乘法可分解因式；（4），從而運(yùn)用十字相乘法可分解因式；（5），從而運(yùn)用十字相乘法可分解因式；（6），從而運(yùn)用十字相乘法可分解因式；（7），從而運(yùn)用十字相乘法可分解因式；（8），從而運(yùn)用十字相乘法可分解因式；（9），從而運(yùn)用十字相乘法可分解因式；（10），從而運(yùn)用十字相乘法可分解因式；（11），從而運(yùn)用十字相乘法可分解因式；（12），從而運(yùn)用十字相乘法可分解因式【詳解】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）（8）；（9）；（10）；（11）（12）．2．（2023下·廣西北?！て吣昙?jí)統(tǒng)考期中）閱讀理解：用“十字相乘法”因式分解例如：求：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題干中解題過(guò)程，對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別分解，交叉相乘再相加，湊成一次項(xiàng)系數(shù)即可求解；（2）根據(jù)題干中解題過(guò)程，對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別分解，交叉相乘再相加，湊成一次項(xiàng)系數(shù)即可求解．【詳解】（1）解：如圖，∴（2）解：如圖，∴．【點(diǎn)睛】本題考查十字相乘法因式分解，掌握分解的步驟是解題的關(guān)鍵．3．（2022上·湖北恩施·八年級(jí)?？计谥校╅喿x與思考：我們知道，整式乘法計(jì)算：，反過(guò)來(lái)，即為因式分解．通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)：這個(gè)等式可以寫成，一般地，可以歸納為：，例如，分解因式：，請(qǐng)仔細(xì)閱讀以上內(nèi)容并完成下面練習(xí)：分解因式：(1)(2)(3)【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】（1）根據(jù)十字相乘法進(jìn)行因式分解即可；（2）根據(jù)十字相乘法進(jìn)行因式分解即可；（3）先提取公因式，然后利用十字相乘法進(jìn)行因式分解即可．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：．【點(diǎn)睛】此題考查了因式分解的方法，解題的關(guān)鍵是掌握十字相乘法和提公因式法．4．（2023下·湖南岳陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀理解：用“十字相乘法”分解因式的方法（如圖）．第一步：二次項(xiàng)；第二步：常數(shù)項(xiàng)，畫“十字圖”驗(yàn)算“交叉相乘之和”；

第三步：發(fā)現(xiàn)第③個(gè)“交叉相乘之和”的結(jié)果等于一次項(xiàng)．即．像這樣，通過(guò)畫“十字圖”，把二次三項(xiàng)式分解因式的方法，叫做“十字相乘法”．運(yùn)用結(jié)論：(1)將多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，可以表示為_(kāi)______________；(2)若可分解為兩個(gè)一次因式的積，請(qǐng)畫好“十字圖”，并求整數(shù)的所有可能值．【答案】(1)(2)圖見(jiàn)解析，，，，16【分析】（1）根據(jù)“十字相乘法”的步驟分解因式即可；（2）根據(jù)“十字相乘法”的步驟分解因式即可．【詳解】（1）解：，常數(shù)項(xiàng)，，，故答案為：；（2）解：，常數(shù)項(xiàng)，畫“十字圖”如下：

，，，16．【點(diǎn)睛】本題考查了十字相乘法分解因式，理解十字相乘法是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)四分組分解法因式分解】例題：（2023上·遼寧鞍山·八年級(jí)統(tǒng)考期中）閱讀下列材料：數(shù)學(xué)研究發(fā)現(xiàn)常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但還有很多的多項(xiàng)式只用上述方法無(wú)法分解，如：“”，細(xì)心觀察這個(gè)式子就會(huì)發(fā)現(xiàn)，前兩項(xiàng)可以提取公因式，后兩項(xiàng)也可提取公因式，前后兩部分分別因式分解后產(chǎn)生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整個(gè)式子的因式分解了，過(guò)程為．此種因式分解的方法叫做“分組分解法”，請(qǐng)?jiān)谶@種方法的啟發(fā)下，解決以下問(wèn)題：(1)因式分解：；(2)已知，求的值．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了因式分解的新方法，及其應(yīng)用．(1)根據(jù)方法，適當(dāng)分組分解即可．(2)先因式分解，后代入求值即可．【詳解】（1）．（2），又，故原式．【變式訓(xùn)練】1．（2024上·山西長(zhǎng)治·八年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù).數(shù)學(xué)研究發(fā)現(xiàn)常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但還有很多的多項(xiàng)式只用上述方法無(wú)法分解，如“”，細(xì)心觀察這個(gè)式子就會(huì)發(fā)現(xiàn)，前兩項(xiàng)可以提取公因式，后兩項(xiàng)也可以提取公因式，前后兩部分分別因式分解后產(chǎn)生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整個(gè)式子的因式分解了，其過(guò)程如下：.此種因式分解的方法叫做“分組分解法”.任務(wù)：(1)因式分解：(2)已知，，求的值.【答案】(1)(2)，8【分析】本題考查因式分解，掌握“分組分解法”是解題的關(guān)鍵．（1）仿照材料中的方法，前兩項(xiàng)為一組，后兩項(xiàng)為一組，利用“分組分解法”求解；（2）先利用“分組分解法”進(jìn)行因式分解，再將，作為整體代入求值．【詳解】（1）解：，．（2）解：.將，代入，得：原式．2．（2023上·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）閱讀下列文字與例題：將一個(gè)多項(xiàng)式分組后，可提公因式或運(yùn)用公式繼續(xù)分解的方法稱作分組分解．例如：以下兩個(gè)式子的分解因式的方法就稱為分組分解法．①；②試用上述方法分解因式：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】此題考查了分解因式分組分解法，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．（1）原式前三項(xiàng)結(jié)合，后兩項(xiàng)結(jié)合，利用完全平方公式及提取公因式方法分解即可；（2）原式后三項(xiàng)提取，利用完全平方公式及平方差公式分解即可．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式3．（2023上·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）八年級(jí)課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問(wèn)題：將因式分解．經(jīng)過(guò)小組合作交流，得到了如下的解決方法：解法一：原式解法二：原式小明由此體會(huì)到，對(duì)項(xiàng)數(shù)較多的多項(xiàng)式無(wú)法直接進(jìn)行因式分解時(shí)，我們可以將多項(xiàng)式分為若干組，再利用提公因式法、公式法等方法達(dá)到因式分解的目的．這種方法可以稱為分組分解法．(溫馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解為止)請(qǐng)你也試一試?yán)梅纸M分解法進(jìn)行因式分解：(1)因式分解：；(2)因式分解：．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了分組分解法因式分解；（1）先分組，然后根據(jù)提公因式法與平方差公式因式分解即可求解；（2）先分組，然后根據(jù)提公因式法以及完全平方公式因式分解，即可求解．【詳解】（1）解：；（2）．【考點(diǎn)五因式分解的應(yīng)用】例題：（2023下·四川達(dá)州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）我們已經(jīng)學(xué)過(guò)將一個(gè)多項(xiàng)式分解因式的方法有提公因式法和運(yùn)用公式法，其實(shí)分解因式的方法還有分組分解法、添項(xiàng)拆項(xiàng)法、十字相乘法等等．①分組分解法：將一個(gè)多項(xiàng)式適當(dāng)分組后，可提公因式或運(yùn)用公式繼續(xù)分解的方法叫作分組分解法．例如：②十字相乘法：十字相乘法能用于二次三項(xiàng)式的分解因式．分解步驟：1．分解二次項(xiàng)，所得結(jié)果分別寫在十字交叉線的左上角和左下角；2．分解常數(shù)項(xiàng)，所得結(jié)果分別寫在十字交叉線的右上角和右下角；3．交叉相乘，求代數(shù)和，使其等于一次項(xiàng)；4．觀察得出原二次三項(xiàng)式的兩個(gè)因式，并表示出分解結(jié)果．這種分解方法叫作十字相乘法．例如：

分析：

觀察得出：兩個(gè)因式分別為與解：原式③添項(xiàng)拆項(xiàng)法：將一個(gè)多項(xiàng)式的某一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)后，可提公因式或運(yùn)用公式繼續(xù)分解的方法叫作拆項(xiàng)法．例如：．(1)仿照以上方法，按照要求分解因式：①（分組分解法）______；②（十字相乘法）______；(2)已知：a、b、c為的三條邊，，判斷的形狀．【答案】(1)①；②(2)是直角三角形【分析】（1）①把原式分組成，然后提公因式法分解因式即可；②直接利用十字相乘法分解即可；（2）把原式進(jìn)行因式分解得到，進(jìn)而求出，再利用勾股定理的逆定理求解即可．【詳解】（1）解：①，故答案為：；②，故答案為：；（2）解：∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴是直角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查因式分解的方法及其在幾何圖形問(wèn)題中的應(yīng)用，讀懂題中的分解方法并熟練掌握整式乘法公式是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2024上·山東東營(yíng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）小強(qiáng)是一位密碼編譯愛(ài)好者，在他的密碼手冊(cè)中，有這樣一條信息：，，2，，，，分別對(duì)應(yīng)下列六個(gè)字：華、我、愛(ài)、美、游、中，現(xiàn)將因式分解，結(jié)果呈現(xiàn)的密碼信息可能是（

）A．愛(ài)我中華 B．我游中華 C．中華美 D．我愛(ài)美【答案】A【分析】本題考查因式分解的應(yīng)用，綜合利用提公因式法和公式法進(jìn)行因式分解，即可求解．【詳解】解：，2，，，對(duì)應(yīng)的漢字分別為：愛(ài)、我、中、華，呈現(xiàn)的密碼信息可能是“愛(ài)我中華”，故選A．2．（2024·全國(guó)·八年級(jí)競(jìng)賽）已知，則的值（

）．A．一定是負(fù)數(shù) B．一定是正數(shù) C．一定不是正數(shù) D．不能確定【答案】B【分析】本題考查了整式的加減，完全平方公式．此題可直接用多項(xiàng)式M減去多項(xiàng)式N，然后化簡(jiǎn)，最后把得出的結(jié)果與零比較確定的正負(fù)．【詳解】解：∵，∴．故選：B3．（2024上·湖北恩施·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在日常生活中如取款、上網(wǎng)等都需要密碼，有一種用“因式分解”法產(chǎn)生的密碼記憶方便．原理是：如對(duì)于多項(xiàng)式，因式分解的結(jié)果是，若取，，則各個(gè)因式的值是：，，，于是就可以把“018162”作為一個(gè)六位數(shù)的密碼．對(duì)于多項(xiàng)式，取，，用上述方法產(chǎn)生的密碼不可能是（

）A．528024 B．522824 C．248052 D．522480【答案】B【分析】本題主要考查提公因式法分解因式、平方差公式分解因式，熟記公式結(jié)構(gòu)是解題的關(guān)鍵．先提公因式，然后根據(jù)平方差公式因式分解，進(jìn)而代入字母的值即可求解．【詳解】解：∵，∵，，則各個(gè)因式的值為，，，∴產(chǎn)生的密碼不可能是522824，故選：B．4．（2024上·河南商丘·八年級(jí)統(tǒng)考期末）［閱讀材料］將四項(xiàng)及四項(xiàng)以上的多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，我們一般使用分組分解法．分組分解法有兩種分法：一是“”分組．二是“”分組．