圓柱和圓錐

第一部分基礎(chǔ)部分

一、圓柱和圓錐的認(rèn)識

1、圖形的形成

①圓柱是以長方形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)而得到的，也可以由長方形（或正方形）卷曲而得到；

②圓錐是以直角三角形的一直角邊為軸旋轉(zhuǎn)而得到的，圓錐也可以由扇形卷曲而得到。

2、高的條數(shù)：圓柱有無數(shù)條高;圓錐只有一條高

3、側(cè)面展開圖

①圓柱：沿著高展開,展開圖形是長方形，長方形的長等于圓柱底面的周長，長方形的寬等于圓柱的高,

當(dāng)?shù)酌嬷荛L和高相等時（h=2nR）,側(cè)面沿高展開后是一個正方形，展開圖形為正方形。

②圓錐：側(cè)面展開得到一個扇形

4、圖形的形成:（1）圓柱：①卷曲：也可以由長方形（或正方形）卷曲而得到；

②旋轉(zhuǎn)：圓柱是以長方形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)而得到的

（2）圓錐：①卷曲：也可以由扇形卷曲而得到；

②旋轉(zhuǎn)：以直角三角形的一條直角邊為軸旋轉(zhuǎn)得到

【例1】：下面（）圖形是圓柱的展開圖。（單位：cm）

【易錯題】一個圓柱的側(cè)面沿高展開是一個長12.56CM,寬6.28CM的長方形，求這個圓柱的底面半徑。

【例2】在下圖中，以直線為軸旋轉(zhuǎn)，可以得出圓柱體的是（）

【易錯題】1、把長為5cm.寬為3cm的長方形旋轉(zhuǎn)成一個圓柱，則這個圓柱的表面積是多少平方厘米?

2、把兩條直角邊分別是5cm和3cm的直角三角形旋轉(zhuǎn)成一個圓錐，這個圓錐的體積是多少立方厘米?

【練習(xí)：】

一、選擇

1、圓柱側(cè)面積的大小是由（）決定的。

A圓柱的底面周長B底面直徑和高C圓柱的高。

2、下面的材料中，（）能做成圓柱。

A.1號、2號和3號B.1號、4號和5號C.1號、2號和4號

二、解答題

一個長為8m,寬為6m的長方形旋轉(zhuǎn)成一個圓柱，它的側(cè)面積是多少平方米?

二、圓柱表面積的計算方法

①公式：圓柱的表面積=+____________

S表=$側(cè)+S底X2=2Jirh+2Ji「2

②圓柱表面積計算公式的運用

運用1：已知圓柱的底面半徑和高，求圓柱的表面積；

運用2：已知圓柱的底面直徑和高，求圓柱的表面積；

運用3：已知圓柱的底面周長和高求圓柱的表面積。

拓展提升：

運用4：已知側(cè)面積和高求圓柱的表面積

【例】一個圓柱的側(cè)面積是94.2cni2,高是10cm,求它的表面積。

運用5：已知底面積和高求圓柱的表面積

【例】一個圓柱的底面積是12.56m2,高是5cm,求它的表面積。

【練習(xí)】:

1、一個圓柱的側(cè)面積是62.8cm,,高是10cm,這個圓柱的表面積是多少平方厘米?

2、一個圓柱的底面積是28.26cm2,高是10cm,這個圓柱的表面積是多少平方厘米?

③根據(jù)實際情況計算圓柱的表面積

常見的圓柱解決問題:①、壓路機(jī)壓過路面面積、煙囪、教學(xué)樓里的支撐柱、通風(fēng)管、出水管（求側(cè)面

積）；②、壓路機(jī)壓過路面長度（求底面周長）;③、水桶鐵皮（求側(cè)面積和一個底面積）;④魚缸、廚

師帽（求側(cè)面積和一個底面積）;

練習(xí)：

1、選擇：在手工課上小明用紙板做一個圓柱形筆筒，要求出小明用了多少平方厘米紙板，實際上就是

求這個筆筒的（）

A.側(cè)面積B.側(cè)面積+2個底面積C.側(cè)面積+1個底面積

2、生活運用題：祈年殿是北京天壇公司的主要建筑，中央4根龍柱高19.2米。直徑是1.2米，象征四

季。如果把每根龍柱的表面刷一層油漆，粉刷的面積是多少平方米？

三、圓柱和圓錐的體積

1、圓柱：V柱=$11=nr'h

①圓柱體積公式的推導(dǎo)：

把圓柱平均分成若干個扇形，然后拼成一個近似的長方體，長方體的長等于圓柱（），長方

體的寬等于圓柱（），長方體的高等于圓柱的（）；丫柱==

【體積公式推導(dǎo)的應(yīng)用】

1、把一個圓柱底面平均分成若干個扇形，沿高切開拼成一個近似長方體，這個長方體的長是6.28厘米,

高是5厘米，求它的體積。

2、一個圓柱體的體積是50.24立方厘米，底面半徑是2厘米.將它的底面平均分成若干個扇形后，再截

開拼成一個和它等底等高的長方體，表面積增加了多少平方厘米？（無=3.14）

②考試常見題型:

a已知圓柱的底面積和高，求圓柱的側(cè)面積，表面積，體積，底面周長

b已知圓柱的底面周長和高，求圓柱的側(cè)面積，表面積，體積，底面積

c已知圓柱的底面周長和體積，求圓柱的側(cè)面積，表面積，高，底面積

d已知圓柱的底面面積和高，求圓柱的側(cè)面積，表面積，體積，

e已知圓柱的側(cè)面積和高，求圓柱的底面半徑，表面積，體積，底面積

f、V鋼管=______________

【例1】：計算下面各圓柱體的體積。

A、底面積是1.25平方米，高3米。B、底面直徑和高都是8分米。

C、底面半徑和高都是8分米。D、底面周長是12.56米，高2米。

【例2】求下面立體圖形的體積，以及制作這么一個物體所用的鐵皮面積。

2、圓錐：丫錐=工義底面積又高=!$11=-Jir2h

333

①圓錐體積的推導(dǎo)：（注意：等底等高的圓柱和圓錐。）

V錐==______________

②考試常見題型：

a已知圓錐的底面積和高，求體積

b已知圓錐的底面周長和高，求圓錐的體積，底面積

c已知圓錐的底面周長和體積，求圓錐的高，底面積

【例】：1、求下列圓錐體積

（1）底面積是7.8平方米，高是L8米（2）底面半徑4厘米，高21厘米

（3）底面周長是12.56米，高4米

第二部分典型題型總結(jié)

一、巧求表面積

1、組合圖形的表面積=________________________________

【例】如圖所示，將高都是1米，底面半徑分別為1.5米、1米和0.5米的三個圓柱組

成一個物體。求這個物體的表面積。

2、挖空問題

【例】有一個圓柱體的零件，高10厘米,底面直徑是6厘米，零件的一端有一個圓柱形的圓孔，圓孔

的直徑是4厘米，孔深5厘米（見右圖）。如果將這個零件接觸空氣的部分涂上防銹漆，那么一共要涂

多少平方厘米?

3、不規(guī)則物體的表面積和體積

【例】求下面物體的側(cè)面積和體積（單位：厘米）

練習(xí)：1、一個底面直徑是6厘米，高為8厘米的圓柱體,疊在底面直徑是12厘米、高是12厘米的圓柱

體上，求這個物體的表面積。

2、一個棱長為40厘米的正方體零件（如圖27-11所示）的上、下兩個面上，各有一個直徑為4厘米的

圓孔，孔深為10厘米。求這個零件的表面積。

3、求下圖的側(cè)面積和體積。（單位：米）

二、等量轉(zhuǎn)換問題：

【例】兩個底面積相等的圓柱，一個圓柱的高是7分米，體積是54立方分米，另一個圓柱的高5分米,

另一個圓柱的體積是多少立方分米？

練習(xí)：

1、一個圓錐形沙堆，底面周長是12.56米，高是4.8米，用這堆沙在10米寬的公路上鋪2厘米厚，能

鋪多少米長？

2、把一個底面半徑是6厘米，高是10厘米的圓錐形容器灌滿水，然后把水倒入一個底面半徑是5厘米

的圓柱形容器里，求圓柱形容器內(nèi)水面的高度？

三、圓柱和圓錐的關(guān)系

（1）等底等高：V錐:V柱=1:3；圓柱體積比等底等高圓錐體積多2倍；圓錐體積比等底等高圓柱體積

少2

3

（2）等底等體積：h錐:h柱=3:1

（3）等高等體積：S錐:S柱=3:1

方法總結(jié)：1、等底等高時：圓柱體積是圓錐體積的3倍

2、等體積等高（或底）時：圓錐的底（或高）是圓柱的3倍

【例1】一個圓柱體和一個圓椎體的底面積和高相等，已知圓柱體的體積是7.8立方米，那么圓椎體的

體積是（）立方米.

【例2】一個圓柱體和一個圓錐體等底等高，它們的體積相差50.24立方厘米。如果圓錐體的底面半徑

是2厘米，這個圓錐體的高是多少厘米？

【例3】一個圓錐的體積與它等底等高的圓柱的體積的和是24cm3,這個圓柱的體積是（）

【例4】一個圓柱體和一個圓椎體的底面積和體積相等，圓柱的高是12cm,圓錐的高是（）o

【例5】一個圓柱體和一個圓椎體的體積和高相等，圓錐的底面積是12平方米，圓柱的底面積是

（）

練習(xí)：

1、把一段圓柱形的木料削成一個最大的圓錐，削去部分體積是圓錐體積的（）

2、一個圓錐的體積比與它等底等高的圓柱的體積少54cm3,這個圓柱的體積是

（）

3、一個體積是24立方米,底面積是8平方米的圓柱與一個圓錐等體積等高，圓錐的底面積是（）

米，

四、比例擴(kuò)大縮小問題

核心思想：運用公式解決比例問題

【例1】圓錐的底面積擴(kuò)大2倍，高不變，它的體積（）

【例2】有兩個底面半徑相等的圓柱，高的比是2：5o第二個圓柱的體積是175立方厘米，第二個圓柱

的體積比第一個圓柱多多少立方厘米？

【例3】甲乙兩個圓柱，底半徑比是2：3,高的比是4：5,它們的體積比是多少？

練習(xí)：

1、圓錐的底面半徑和高都縮小2倍，它的體積就（）

2、圓柱的底面直徑擴(kuò)大2倍，高縮小為原來的1/2,那么圓柱的側(cè)面積（）

3、甲乙兩個圓柱體積是5：6,高的比是2：3,求它們的底面積比。

五、表面積的變化

1、高的變化導(dǎo)致表面積的變化

【例】一個圓柱高20厘米，如果把高減少3厘米，它的表面積就減少31.68平方厘米，求原來圓柱的

體積。

變式引申：一個圓柱高為15厘米，把它的高增加2厘米后表面積增加25.12平方厘米，求原來圓柱的

體積。

2、圖形的切割和組合

核心思想：切一刀，增加個面。

①橫切：橫截面是形；

②豎切：橫截面是—形。

【例1】一根圓柱形木料，底面直徑是2dm,高是10dm,如果沿底面直徑縱切成相等的兩塊，其中一塊

的表面積是多少？

【例2】一個圓柱體木塊，底面半徑是6厘米，高是10厘米，現(xiàn)將它截成兩個圓柱體小木塊，則表面積

要增加多少平方厘米？

【例3】把一根長1米的圓柱形鋼材截成四段后，表面積比原來增加20平方分米，這根鋼材原來的體積

是多少？

練習(xí)：1、一個底面周長是9.42cm,高是5cm的圓柱，沿底面直徑把它切割成兩個半圓柱后，切割面的

面積一共是多少平方厘米？

2、把一根直徑20厘米的圓柱形木頭鋸成3段，表面積要增加多少?

3、一根圓柱形鋼材，截下1米。量的它的橫截面的直徑是20厘米，截下的體積是多少立方分米?

4、把一根長1.5米的圓柱形鋼材截成三段后，表面積比原來增加9.6平方分米，這根鋼材原來的體積

是多少？

六、削成最大體積的問題：

正方體里削出最大的圓柱圓錐圓柱圓錐的高和底面直徑等于正方體棱長

長方體里削出最大的圓柱圓錐圓柱圓錐底面直徑等于寬（寬＞高）圓柱圓錐高等于長方體高

【例1】一個圓柱體木塊，底面直徑和高都是10厘米，若把它加工成一個最大的圓錐，這個圓錐的體積

是多少立方厘米？

【例2】把一個棱長是40厘米的正方體削成一個最大的圓柱體，它的表面積和體積各是多少？

（下面2題）

【例3】一個長方體木塊，長10厘米寬8厘米高4厘米，把它削成一個圓柱，求削成圓柱體積最大是多

少？

練習(xí)：在一個長為12米，寬是8米，高是6米的長方體木塊里削一個最大的圓柱，求這個圓柱體積最

大是多少？

七、等積轉(zhuǎn)換問題

【例】有一種飲料瓶的瓶身呈圓柱形（不包括瓶頸），容積是30分米3?，F(xiàn)在瓶中裝有一些飲料，正

放時飲料高度為20厘米，倒放時空余部分的高度為5厘米（見右圖）。問：瓶內(nèi)現(xiàn)有飲料多少立方分

米？

丁n二

20二二

L㈢

練習(xí)：

1、一個蓋著瓶蓋的瓶子里面裝著一些水，瓶底面積為10平方厘米，，請你根據(jù)圖中標(biāo)明的數(shù)據(jù)，計算

瓶子的容積是多少？

2、一個酒精瓶，它的瓶身呈圓柱形（不包括瓶頸），如圖.已知它的容積為26.4兀立方厘米.當(dāng)瓶子正放

時，瓶內(nèi)的酒精的液面高為6厘米；瓶子倒放時，空余部分的高為2厘米.問：瓶內(nèi)酒精的體積是多少

立方厘米？合多少升？

，\、注水問題（1、水管每分鐘流水的體積2、水流體積與盛器體積的比）

【例