河南百師聯(lián)盟2024年高二4月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含答案

2023-2024學(xué)年度高二4月聯(lián)考

數(shù)學(xué)試題

注意事項(xiàng):

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改

動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本

試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

考試時(shí)間120分鐘，滿分150分

一、單項(xiàng)選擇題（共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.）

\、21r/(i+M-zW

fix)=x+—lim---------------------=

1.已知函數(shù)X,則-。Ax()

A.1B.；C.2D.4

曲線y=—^必―2在點(diǎn)［1,—處切線的傾斜角為（）

2.

A.—B.—C.—D.——

3443

3.若根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)得到的線性回歸方程為$=%+?，貝U（）

X345678

y4.02.50.50.50.40.1

A.a>0,B>0B.a>0,<0C.a<0,>0D.a<0,<0

4.為研究高中生的性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課程之間的關(guān)系，運(yùn)用2x2列聯(lián)表進(jìn)行檢驗(yàn)，經(jīng)計(jì)算

片=8.069,參考下表，則認(rèn)為“性別與喜歡數(shù)學(xué)有關(guān)”犯錯(cuò)誤的概率不超過（）

P(K2次)0.1000.0500.0250.0100.001

k。2.7063.8415.0246.63510.828

第1頁/共6頁

A.0.1%B.1%C.99%D.99.9%

5.吹氣球時(shí)，氣球的半徑廠（單位：dm）與體積V（里位：L）之間的函數(shù)關(guān)系是r（丫）=欄，估計(jì)V=《L

時(shí)，氣球的膨脹率為（）

16

A.-B.-D

6兀-1

1+1

6.已知數(shù)列｛%｝滿足"〃+1:-且4=-一，若4=—3,則根的值可能為（）

1—42m

A.2021B.2022C.2023D.2024

7.若函數(shù)/（%）=sin%+〃cosx的圖象上不存在與直線％+2y=0垂直的切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

（）

A.卜00,6]B.

C.（-V3,V3）D,[l,+oo）

8.函數(shù)y=/（4）的圖象如圖所示，/'（%）是函數(shù)/（%）的導(dǎo)函數(shù)，令〃=/'（5）,/?=/'⑺,

c=/⑺-/⑸,則下列數(shù)值排序正確的是（）

2

C.a<c<bD.c<b<a

二、多項(xiàng)選擇題（共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是

符合題目要求的.）

9.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）

A.（xcosx）=-xsinxB.（5）’=.51

C.+=2二

VX）X

第2頁/共6頁

10.已知數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和為S”,則“數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列”的充要條件是()

A.當(dāng)〃22時(shí)，an+i-an=d(d為常數(shù))B.an=kn+b(左，/?為常數(shù))

2

C.Sn=an+bn（〃，A為常數(shù)）D-2?！?1=?！?。/2

3

11.設(shè)/為實(shí)數(shù)，則直線y=5%+%能作為下列函數(shù)圖象的切線的有()

A./(%)=-B./(x)=x4

X

C./(%)=exD./(x)=cosx

(、為奇數(shù)(、

12.已知數(shù)列｛?｝滿足。i=l,。用=2〃，設(shè)｛為｝的前〃項(xiàng)和為乂，下列結(jié)論正確的

an-2n,"為偶數(shù)

()

A.數(shù)列｛%〃-2｝是等比數(shù)列—4n

—D.當(dāng)時(shí)，數(shù)列⑸〃｝是單調(diào)遞減數(shù)列

C.S8<11

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

1

13.數(shù)列｛4｝中,若％=1,4+1=]+則一=

aio

14.已知變量了關(guān)于尤的回歸方程為丁=廣0°，6,若對(duì)y=苫0戢兩邊取自然對(duì)數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)Iny與x線性相

關(guān)，現(xiàn)有一組數(shù)據(jù)如下表所示：

X12345

yee3e4e6e7

則當(dāng)x=6時(shí)，預(yù)測(cè)〉的值為

15.在等差數(shù)列｛4｝中，奇數(shù)項(xiàng)之和為220,偶數(shù)項(xiàng)之和為165,若此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為10,則此數(shù)列的公差為

;若此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，則此數(shù)列的中間項(xiàng)是

16.英國著名物理學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)零點(diǎn).已知二次函數(shù)/(x)有兩個(gè)不相等的實(shí)根b,c,

其中c>0.在函數(shù)/(X)圖象上橫坐標(biāo)為王的點(diǎn)處作曲線y=/(x)的切線，切線與X軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

第3頁/共6頁

（x_八

巧；用巧代替X1,重復(fù)以上的過程得到馬；一直下去，得到數(shù)列｛%｝，記4=In3一,且q=l,

\Xn~C）

X">c,則數(shù)列a+—>的前n項(xiàng)和S=____________.

［nan］n

四、解答題：本題共6小題，共70分，其中第17題10分，其余均12分.

17.已知等差數(shù)列｛4｝的公差為d（dwO）,前〃項(xiàng)和為S,,，且滿足4=5（6o+l）；%,a2,1成等比

數(shù)列.

（1）求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)2=」一,數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和為北，求北.

anan+l

18.在等差數(shù)列｛%｝中，/=-6,S6=18.

（1）求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)方=同+同+…同,求北的值.

19.2024年2月23日19時(shí)30分，中國航天迎來甲辰龍年首飛.長征五號(hào)運(yùn)載火箭成功將通信技術(shù)試驗(yàn)衛(wèi)

星十一號(hào)送入預(yù)定軌道.豎直向上發(fā)射的火箭熄火時(shí)上升速度達(dá)到100m/s,此后其位移“（單位：m）與時(shí)

間/（單位；s）近似滿足函數(shù)關(guān)系H=100-5?

（1）分別求火箭在［0,2］、［2,4］這些時(shí)間段內(nèi)的平均速度；

（2）求火箭在/=2時(shí)的瞬時(shí)速度；

（3）熄火后多長時(shí)間火箭上升速度為0.

20.已知函數(shù)/■&）=/+。/+法—4的圖象經(jīng)過點(diǎn)A。,—2）,且在點(diǎn)A處的切線與直線/：x=l垂直.

（1）求a,b的值；

（2）求經(jīng)過點(diǎn)〃（2,-2）且與曲線y=相切的切線方程.

21.近年來，短視頻作為以視頻為載體的聚合平臺(tái)，社交屬性愈發(fā)突出，在用戶生活中覆蓋面越來越廣泛,

針對(duì)短視頻的碎片化缺陷，將短視頻剪接成長視頻勢(shì)必成為一種新的技能.某機(jī)構(gòu)在網(wǎng)上隨機(jī)對(duì)1000人進(jìn)

行了一次市場(chǎng)調(diào)研，以決策是否開發(fā)將短視頻剪接成長視頻的APP,得到如下數(shù)據(jù)：

青年人中年人老年人

第4頁/共6頁

對(duì)短視頻剪接成長視頻的APP有需求2a+4b200a

對(duì)短視頻剪接成長視頻的APP無需求a+b15046

其中的數(shù)據(jù)為統(tǒng)計(jì)的人數(shù)，已知被調(diào)研的青年人數(shù)為400.

（1）求■的值;

（2）根據(jù)小概率值a=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析對(duì)短視頻剪接成長視頻的APP的需求，青年人與中老

年人是否有差異?

n(ad-bc)2

參考公式：/=其中n=a+b+c+d.

(a+6)(c+d)(a+c)(》+d)

臨界值表:

a0.10.050.010.0050.001

6.63510,828

Xa2.7063.8417.879

22.根據(jù)統(tǒng)計(jì)，某蔬菜基地西紅柿畝產(chǎn)量的增加量y（百千克）與某種液體肥料每畝使用量X（千克）之間

的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，如圖所示.

八》（百千克）

5------1?!

4----▼II!

□o--,?????

????

?????J

d24統(tǒng)晨（辛克）

（1）依據(jù)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出，可用線性回歸模型擬合y與尤的關(guān)系，請(qǐng)計(jì)算相關(guān)系數(shù)r并加以說明

（若r>0.75,則線性相關(guān)程度很高，可用線性回歸模型擬合）;

（2）求y關(guān)于尤的回歸方程，并預(yù)測(cè)液體肥料每畝使用量為12千克時(shí)，西紅柿畝產(chǎn)量的增加量約為多

“___

Tj^y.-nxy

1=1

,回歸方程

儲(chǔ),2一屋忙y2一“『

i=lVi=l

y=bx+a中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：b=J-------——=月------—

.石―x）

z=li=l

第5頁/共6頁

a=y-bx-

第6頁/共6頁

2023-2024學(xué)年度高二4月聯(lián)考

數(shù)學(xué)試題

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改

動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本

試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

考試時(shí)間120分鐘，滿分150分

一、單項(xiàng)選擇題(共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.)

\、21r/(i+M-zW

f(x)=x+—lim---------------------=

1.已知函數(shù)X,則-。Ax()

A.1B.；C.2D.4

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則和導(dǎo)數(shù)的定義，即可求解.

【詳解】由題意知，+廣⑴,

又由/-則r(1)=1,所以lim+"1)=1

x—。Ax

故選：A.

2.曲線y=—3公―2在點(diǎn)［1,—處切線的傾斜角為()

兀兀3兀2兀

A.—B.—C.—D.——

3443

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意，求得y'Li=-1，得到tana=-l,結(jié)合傾斜角的定義,即可求解.

第1頁/共16頁

【詳解】由函數(shù)'=—；必—2,可得y'=—x,所以了昌=—1,

3jr

設(shè)切線的傾斜角為a,其中ae[O,兀)，則tana=—l,所以tz=—.

4

故選：C.

3.若根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)得到的線性回歸方程為9=晟+4,貝U()

X345678

y4.02.50.50.50.40.1

A.a>0,B>。B.a>0,<0C.a<0,b>0D.a<0,<0

【答案】B

【解析】

【詳解】根據(jù)給出的數(shù)據(jù)可發(fā)現(xiàn)：整體上y與％呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)，所以分<0,由樣本點(diǎn)(3,4.0)及(4,2.5)可知公

>0.

4.為研究高中生的性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課程之間的關(guān)系，運(yùn)用2*2列聯(lián)表進(jìn)行檢驗(yàn)，經(jīng)計(jì)算

K2=8,069-參考下表，則認(rèn)為“性別與喜歡數(shù)學(xué)有關(guān)”犯錯(cuò)誤的概率不超過()

P（K2地）0.1000.0500.0250.0100.001

“02.7063.8415.0246.63510.828

A.0.1%B.1%C.99%D.99.9%

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)力2與臨界值的大小關(guān)系確定犯錯(cuò)誤的概率的范圍.

【詳解】因?yàn)?=8.069,結(jié)合表格可知8.069>6.635,所以認(rèn)為“性別與喜歡數(shù)學(xué)有關(guān)”犯錯(cuò)誤的概

率不超過0.010.

故選：B.

但匕，估計(jì)V=

5.吹氣球時(shí)，氣球的半徑r(單位：dm)與體積V(里位：L)之間的函數(shù)關(guān)系是r(V)=33L

4兀兀

第2頁/共16頁

時(shí)，氣球的膨脹率為()

16

A.-B.-D1

671

【答案】A

【解析】

【分析】借助復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求導(dǎo)后，代入v=計(jì)算即可得.

71

1_2

去則/")-x(3Vpx3

【詳解】r(V)=31

V471#362

當(dāng)v市時(shí)")W

故選：A.

1+4,且q=—g,若4=—3,則%的值可能為()

6.已知數(shù)列｛4｝滿足“八+1

1—4

A.2021B.2022C.2023D.2024

【答案】D

【解析】

【分析】寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)，得出周期，結(jié)合選項(xiàng)可得答案.

產(chǎn)，由％」,

【詳解】數(shù)列｛4｝的遞推公式為4+1

1-42

1+211+%1+%1+〃41

則有％=匚/針％=匚廣2,%=巨=一3,

29

〃5=。1，則｛?！ǎ且?為周期的周期數(shù)列,

am=-3,有％=&，2024=4x505+4,故m的值可能為2024,

故選：D.

7.若函數(shù)/(x)=sinx+acosx的圖象上不存在與直線x+2y=0垂直的切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

()

A.—00,B.(-1』)

D.[l,+oo

第3頁/共16頁

【答案】C

【解析】

【分析】求出導(dǎo)數(shù)利用幾何意義得出方程，根據(jù)方程無解可得答案.

【詳解】/(x)=sinx+acosx,(x)=cosx-osinx；

:函數(shù)/(%)=sinx+ocosx的圖象上不存在與直線x+2y=0垂直的切線，

cosx—asinx=2無解，又cosx-asinx=-J4+1,J4+1,

Ja?+1<2，得-V3<。<?

故選：C.

8.函數(shù)y=/(x)的圖象如圖所示，f'(x)是函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)，令a=/'(5),b=/⑺,

c=/⑺-”5),則下列數(shù)值排序正確的是()

2

C.a<c<bD.c<b<a

【答案】C

【解析】

【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合圖象判斷直線斜率的大小，即可判斷。，b,c的大小.

【詳解】由圖象可知/(%)在(0,+e)上單調(diào)遞增，

故/(5)<""J，</⑺,即a<c<b.

故選：C

二、多項(xiàng)選擇題(共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是

符合題目要求的.)

9.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是()

A.(xcosx)=—xsinxB.(5*)=x-5^1

第4頁/共16頁

c(c111(Inxl1-lnx

C2x+-=2--7D.一=_—

X)X^JX

【答案】CD

【解析】

【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.

【詳解】由題意，根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，

對(duì)于A中,由(xcosx)=cosx-xsinx＞所以A錯(cuò)誤；

對(duì)于B中，由(5。'=5*1115，所以B錯(cuò)誤；

對(duì)于C中，由=2—二，所以C正確；

IX)X2

對(duì)于D中，由(生2]=(lnx)x-lnx,=l—Inx,所以口正確.

(XJX2X2

故選：CD.

10.已知數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和為S.，貝廣數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列”的充要條件是()

A.當(dāng)〃之2時(shí)，an+l-an=d(d為常數(shù))B.an=kn+b(k,。為常數(shù))

2

C.Sn=an+bn(a,b為常數(shù))D.2an+i=an+an+2

【答案】BCD

【解析】

【分析】結(jié)合等差數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式檢驗(yàn)選項(xiàng)A,B；結(jié)合等差數(shù)列的求和公式檢驗(yàn)選項(xiàng)C,結(jié)合等差

中項(xiàng)的性質(zhì)檢驗(yàn)選項(xiàng)D.

【詳解】對(duì)于A,當(dāng)時(shí)，。,+1-4=d=數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,若數(shù)列｛%,｝為等差數(shù)列，則為=%+(〃T)d=d"+1—d,符合4=物+)的形式，

若ci"=kn+b,則4什1-4=左(〃+1)+。一的一。=左(常數(shù))，即數(shù)列｛%J為等差數(shù)列，

故數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式可以表示為an=kn+b^數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，B正確；

對(duì)于c,若數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，則s〃=㈣+|，符合S”=即2+加的形式，

2-

若有5〃=0，+加，當(dāng)2時(shí)，an=Sn-Sn_]=an+bn-a[n-1)-Z?(H-1)=2an+b-a,

第5頁/共16頁

當(dāng)“=1時(shí)，6符合上式，an=lan+b-a,即數(shù)列｛%,｝為等差數(shù)列，

故數(shù)列｛a“｝的前幾項(xiàng)和可以表示為Sn=an-+bn的形式=數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，C正確；

對(duì)于D,由2a“+i=%+a“+2,可得：an+l-an=an+2-an+l,則數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，D正確.

故選:BCD.

3

11.設(shè)r為實(shí)數(shù)，則直線丁=5》+。能作為下列函數(shù)圖象的切線的有()

A./(%)=-B.f(x)=x4

X

C./(x)=exD./(x)=cosx

【答案】BC

【解析】

33

【分析】分別求得各個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若/(X)=Q有解，則直線y=]X+/能作為該函數(shù)圖象的切線，若

3

r(x)=5無解，則不滿足題意，即可得答案.

13

【詳解】對(duì)于A：r(x)=-—<0,故無論X取何值，/'(X)不可能等于一，故A錯(cuò)誤；

x2

對(duì)于B：f'(x)=4x\令r(x)=4x3=?解得》=當(dāng)，

3

所以直線丁=5%+/能作為該函數(shù)圖象的切線，故B正確；

3a

對(duì)于C：f'(x)=ex,令e'=」解得x=lnL

-22

3

所以直線丁=5》+￡能作為該函數(shù)圖象的切線，故C正確；

對(duì)于D：/,(x)=-sinxe[-l,l],故無論x取何值，/'(x)不可能等于,，故D錯(cuò)誤.

故選：BC.

,、—a+〃,〃為奇數(shù),、

12.已知數(shù)列｛4｝滿足％=1,4+1=｛2",設(shè)｛4｝的前"項(xiàng)和為色，下列結(jié)論正確的

、a“-2n,rt為偶數(shù)

()

A.數(shù)列｛%〃—2｝是等比數(shù)列B.%“T=6—-4n

C.S8<-11D.當(dāng)心2時(shí)，數(shù)列⑸〃｝是單調(diào)遞減數(shù)列

第6頁/共16頁

【答案】ABD

【解析】

【分析】對(duì)A：借助等比數(shù)列定義得出生〃+2-2=。（出”-2）即可得；對(duì)B：借助所給條件計(jì)算即可得；對(duì)

C：借助分組求和法計(jì)算即可得；對(duì)D：結(jié)合單調(diào)數(shù)列的定義計(jì)算即可得.

【詳解】對(duì)A：生"+2-2=；a2n+l+2〃+1-2=；（%"一4〃）+2〃-1=ga2n-1=g（%”一2）,

且%—2=gxl+l—2=—gwO,故數(shù)列｛%〃—2｝是等比數(shù)列，故A正確；

1cl1

對(duì)B：?2-2=--,a2n-2=~-

由。2“=~。2"-1+2”-1,得。2,”1=6—4〃一故B正確;

對(duì)C：因?yàn)?”+%〃-1=8-4〃一3一

(4+4〃)〃

所以§2"=(%+%)+(%+%)+…++。2")=8〃一

2

33

=-2rr+6n-3+—,5=-11+—>-11,故C錯(cuò)誤.

2"8S16

對(duì)D：當(dāng)“22時(shí)，｛-2〃2+6〃-3｝是單調(diào)遞減數(shù)列，也是單調(diào)遞減數(shù)列,

所以｛S?"｝是單調(diào)遞減數(shù)列，故D正確.

故選：ABD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.數(shù)列｛%,｝中，若q=l,an+i=,則一=____________.

1+24aw

【答案】19

【解析】

【分析】取倒數(shù)可得--------=2,即可得數(shù)列一卜的通項(xiàng)公式，計(jì)算即可得.

an+l%,

a11+2a〃1八

【詳解】???。用=1『，則——=——-=—+2,

1+244+ianan

第7頁/共16頁

11c1

???-----------=2,???故數(shù)列一卜為等差數(shù)列，公差等于2,

an+lan[4,

又一二1,故一=1+2(〃-1)=2〃—1,

4冊(cè)

.".—=10x2-1=19.

10

故答案為：19.

14.已知變量y關(guān)于龍的回歸方程為y=eaL°-6,若對(duì)y=筋廠區(qū)兩邊取自然對(duì)數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)Iny與x線性相

關(guān)，現(xiàn)有一組數(shù)據(jù)如下表所示：

X12345

yee3e4e6e7

則當(dāng)x=6時(shí)，預(yù)測(cè)y的值為.

【答案】e9

【解析】

【分析】取對(duì)數(shù)后分別計(jì)算五I,代入線性回歸方程，求出務(wù)=1.6,最后計(jì)算尤=6時(shí)的結(jié)果即可.

【詳解】對(duì)丁=苫"°6兩邊取對(duì)數(shù)，得lny=Zzx—0.6,令2=lny,則z=6x—0.6.

X12345

yee3e4e6e7

z13467

-1+2+3+4+5c-1+3+4+6+7…

x=-------------------=3,z=--------------------=4.2,

55

代入z=務(wù)%—0.6得4.2=3b-0.6故務(wù)=1.6.

故z=1.6%—0.6,3；=eL6x-06.

當(dāng)業(yè)x―=6U時(shí)n-4-，y=e6x6-0.6=e.

故答案為：e9?

15.在等差數(shù)列｛4｝中，奇數(shù)項(xiàng)之和為220,偶數(shù)項(xiàng)之和為165,若此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為10,則此數(shù)列的公差為

第8頁/共16頁

;若此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，則此數(shù)列的中間項(xiàng)是

【答案】①.-11②.55

【解析】

【分析】若此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為10,則根據(jù)奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)的關(guān)系可求公差；若此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，設(shè)項(xiàng)數(shù)

為21,則由等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式，奇數(shù)項(xiàng)之和加“，偶數(shù)項(xiàng)之和(〃-1)4，建立方程可求得答案.

【詳解】令S]=220,$2=165,

若此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為10,則§2-H=5d,所以-55=5d,所以1=

若此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，設(shè)項(xiàng)數(shù)為2〃-1,則

奇數(shù)項(xiàng)之和S]=?1+a3H---Fa2n7=J_閘",

偶數(shù)項(xiàng)之和S2=a2+a4+a6-\---1-a2n_2=—~W：+"2"—2)=(“-1),

n2204

所以肅=二=面=3,解得"=4,

32

v220

所以第4項(xiàng)是此數(shù)列的中間項(xiàng)，％道=丁”5.

故答案為：—11；55.

16.英國著名物理學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)零點(diǎn).已知二次函數(shù)/(x)有兩個(gè)不相等的實(shí)根b,c,

其中c>>.在函數(shù)/(X)圖象上橫坐標(biāo)為王的點(diǎn)處作曲線y=/(x)的切線，切線與X軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

巧；用4代替為，重復(fù)以上.的過程得到七；一直下去，得到數(shù)列｛%｝，記a“=ln[%二且q=l,

\Xn~C)

X"〉c,則數(shù)列<%--->的前n項(xiàng)和S=_____________.

I%Jn

【答案】2"-2~+1

【解析】

【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出切線，根據(jù)遞推關(guān)系得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用分組求和及等比數(shù)列求和公式可得答

案.

【詳解】因?yàn)槎魏瘮?shù)/(x)有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根6,C,

所以不妨設(shè)“x)=a(x-")(x—c).

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因?yàn)?'(x)=a(2x-0-c),所以/'(x.)=a(2x“-。-c),

所以在橫坐標(biāo)為％的點(diǎn)處的切線方程為：y-/(x?)=?(2x?-&-c)(x-x?).

a-xn(2xn-b-c\-f(xAaxt-abcx：—be

令『’則%=心七-/c)=a(2；—b-c「卑不

因?yàn)?+「b=x；—bc—b(2Xn—b—c)=片-2如+/=(x“—A1,

2

%+i—cx：-bc-c(2x,-b-c)x；-2cxn+c~(xn-c)'

所以ln&±匚2=21n2二即a〃+]=2a.，

%“+i-cx”—c

所以數(shù)列｛%,｝是公比為2,首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，

所以%=2"L

“t“1」

由4+:=2小+,]，所以S〃=E+T=2〃—1+2—￡=2〃—2~+1,

"1-2

故答案為：2"-21-"+1-

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題求解的關(guān)鍵有兩個(gè)：一是利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示出切線方程；二是利用X",X.+i

的遞推關(guān)系得出數(shù)列為的通項(xiàng)公式.

四、解答題：本題共6小題，共70分，其中第17題10分，其余均12分.

17.已知等差數(shù)列｛%,｝的公差為d(dwO),前〃項(xiàng)和為S“，且滿足品,=5(60+1)；%,a2,以成等比

數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)2=-----,數(shù)列｛2｝的前〃項(xiàng)和為北,求小

【答案】(1)an=3n-2

⑵心九

【解析】

【分析】(1)由等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式求得4,結(jié)合等差數(shù)列、等比數(shù)列性質(zhì)求得公差即可得解;

(2)由裂項(xiàng)相消法即可求解.

第10頁/共16頁

【小問1詳解】

S10=5（＜a10+1）,得10%=5（q+9d+l）,即q=1.

由6,a2,4成等比數(shù)列，得+2。0+7=a：+5qd,即d=3q.

所以4=3,故=1+3（〃-1）=3〃-2.

【小問2詳解】

1

b=，=____________=1O______

"ana?+i（3”-2）（3"+1）3y3n-23n+\J

：1=4+a+&+…+〃

1

3n+l

18.在等差數(shù)列｛4｝中，/=—6,S6=18.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)北=同+|。2卜—同，求看的值.

【答案】(1)4=10—2"，〃eN*;

?—n2+9n,n<5,

(2)<=,neN.

-9n+40,n>6,

【解析】

【分析】(1)利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式可得答案;

(2)確定數(shù)列的正負(fù)項(xiàng)，分類討論，去絕對(duì)值可求答案.

【小問1詳解】

q+7d=—6

設(shè)其公差為d,由題意可得6x57

6%H■——a=18

解得％=8,d——2,

c1n=〃]+(〃—l)d=10—2〃,￡N*.

【小問2詳解】

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nin-\\/、i*

設(shè)數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為s”,則由（1）可得,)〃，，

Sn=8〃+--------x(-2=—n+9nGN

由（1）知?！?10-2〃，令?！?0,得〃=5,當(dāng)〃>5時(shí)，?！?lt;0,

當(dāng)〃V5時(shí)，可得(二+|%|----=%+2-----------%=+9〃,

當(dāng)〃>5時(shí)，可得看二|F?=q+%HF%—%一%

因?yàn)镾5=45—25=2。，所以q=40—(2+9幾)=/一9〃+40,

-n*2+9n,n<5,

所以<二〃￡N*.

n2-9n+40,n>6,

19.2024年2月23日19時(shí)30分，中國航天迎來甲辰龍年首飛.長征五號(hào)運(yùn)載火箭成功將通信技術(shù)試驗(yàn)衛(wèi)

星十一號(hào)送入預(yù)定軌道.豎直向上發(fā)射的火箭熄火時(shí)上升速度達(dá)到100m/s,此后其位移“（單位：m）與時(shí)

間/（單位；s）近似滿足函數(shù)關(guān)系”=100%—5/

（1）分別求火箭在［0,2］、［2,4］這些時(shí)間段內(nèi)的平均速度；

（2）求火箭在/=2時(shí)的瞬時(shí)速度；

（3）熄火后多長時(shí)間火箭上升速度為0.

【答案】（1）90m/s,70m/s；

（2）80m/s；（3）10s

【解析】

【分析】（l）根據(jù)平均速度v=一代入表達(dá)式計(jì)算；

t

（2）由函數(shù)H（x）=100”5/，可得H'（x）=100-10f,根據(jù)導(dǎo)函數(shù)幾何意義可求解;

（3）根據(jù)題意即求瞬時(shí)速度為。時(shí)的f的值.

【小問1詳解】

由位移”與時(shí)間f近似滿足函數(shù)關(guān)系H=100/-5/，

則火箭在［。,2］這些時(shí)間段內(nèi)的平均速度為筆曰=%「=如人

火箭在［2,4］這些時(shí)間段內(nèi)的平均速度為:

坦4)-"⑵100X4-5X42-(100X2-5X22)

-----------------------------------------=70m/s

2-02

第12頁/共16頁

【小問2詳解】

由函數(shù)H(x)=100f—5/，可得"'⑴=100-107,可得H'⑵=10x2=80m/s,

所以火箭在/=2時(shí)的瞬時(shí)速度為80m/s.

【小問3詳解】

由"⑴=100—10/,令H'(x)=0,BP100-10r=0,解得/=10s,

熄火后10s火箭上升速度為0.

20.已知函數(shù)/■(%)=/+依2+法—4的圖象經(jīng)過點(diǎn)A。,—2),且在點(diǎn)A處的切線與直線/：x=l垂直.

(1)求。，6的值；

(2)求經(jīng)過點(diǎn)M(2,-2)且與曲線y=〃力相切的切線方程.

d=—4

【答案】(1)t「

b=5

(2)九一》一4=0或y+2=0.

【解析】

【分析】(1)由題意可得/(1)=-2,廣(1)=0,計(jì)算即可得；

(2)借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算即可得.

【小問1詳解】

因?yàn)?X)=x3+ax2+bx-4,所以尸(x)=3x2+2ax+b.

/(x)的圖象在點(diǎn)A(l,-2)處的切線與直線Z：%=1垂直，

1+。+~—4=-2[a=-4-

,解得＜；

3+2〃+Z?=0[b=5

【小問2詳解】

由(1)知/(%)=d一4%2+5%一4,/'(%)=3/一8%+5,

設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為-4元；+5元0-4),

因?yàn)?'(%)=3片-8%+5,

所以切線方程為y+2=(3%；—8x0+5)(x-2),

第13頁/共16頁

所以王j+5x0—4+2=(3XQ—8x0+5)(%-2),

即XQ5%Q+8%Q—4--XQ—XQ—4xg+8王0—4=(X?！?)(x。-1)=0,

解得x0=2或%=1,

即丁+2=(3*22-8義2+5)(%—2)或丁+2=(3*12-8義1+5)(》—2),

即x_y_4=0或y+2=0,

所以經(jīng)過點(diǎn)〃(2,-2)且與曲線y=f(x)相切的切線方程為x—y—4=0或y+2=0.

21.近年來，短視頻作為以視頻為載體的聚合平臺(tái)，社交屬性愈發(fā)突出，在用戶生活中覆蓋面越來越廣泛,

針對(duì)短視頻的碎片化缺陷，將短視頻剪接成長視頻勢(shì)必成為一種新的技能.某機(jī)構(gòu)在網(wǎng)上隨機(jī)對(duì)1000人進(jìn)

行了一次市場(chǎng)調(diào)研，以決策是否開發(fā)將短視頻剪接成長視頻的APP,得到如下數(shù)據(jù)：

青年人中年人老年人

對(duì)短視頻剪接成長視頻的APP有需求2a+4b200a

對(duì)短視頻剪接成長視頻的APP無需求a+b15046

其中的數(shù)據(jù)為統(tǒng)計(jì)的人數(shù)，已知被調(diào)研的青年人數(shù)為400.

(1)求。泊的值；

(2)根據(jù)小概率值a=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析對(duì)短視頻剪接成長視頻的APP的需求，青年人與中老

年人是否有差異？

9n(ad-bc)~

參考公式：=7------V7----不7--------W一八，其中n=a+b+c+d.

(a+6)(c+d)(a+c)(6+d)

臨界值表:

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.879