天津?qū)嶒?yàn)中學(xué)2023-2024學(xué)年高考臨考沖刺數(shù)學(xué)試卷

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知向量：=(0,2),人=(24,x),且。與人的夾角為則x=()

A.-2B.2C.1D.-1

2.已知a=(cosa,sine),Z?=(cos(-a),sin(—a)),那么是a=左"+彳(keZ)的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.一個(gè)四棱錐的三視圖如圖所示(其中主視圖也叫正視圖，左視圖也叫側(cè)視圖)，則這個(gè)四棱錐中最最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度是

().

(俯視圖)

A.2瓜B.4C.2A/3D.272

4.如圖是來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形，此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成，三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形

ABC的斜邊8C,直角邊已知以直角邊為直徑的半圓的面積之比為上，記=則sin2cr=

4

()

BC

3兀Fl

5.已知單位向量Q,b的夾角為工，若向量冽=2〃，〃=4?！??，且根JL〃，則，|二（）

A.2B.2C.4D.6

6.等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，若％=3,$5=35,則數(shù)列｛q｝的公差為（）

A.-2B.2C.4D.7

7.把函數(shù)y=sin（x+J）圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再將圖象向右平移g個(gè)單位，那么所

63

得圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為（）

A.（1,0）B.（^,0）C.（^,0）D.（0,0）

8.某單位去年的開支分布的折線圖如圖1所示，在這一年中的水、電、交通開支（單位：萬元）如圖2所示，則該單

位去年的水費(fèi)開支占總開支的百分比為（）

9.某幾何體的三視圖如圖所示，若圖中小正方形的邊長(zhǎng)均為1,則該幾何體的體積是（）

A.16H----71B.16H---71C.-----1---71D?-----1----71

333333

22

10.已知雙曲線C:與-土=l（a>0）的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線必=8y的焦點(diǎn)重合，則雙曲線c的離心率為（）

a3

A.2B.73C.3D.4

11.執(zhí)行如下的程序框圖，則輸出的S是（）

/修出s/

I

I結(jié)束I

A.36B.45

C.-36D.-45

12.波羅尼斯（古希臘數(shù)學(xué)家，的公元前262-190年）的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，它將圓錐

曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡，幾乎使后人沒有插足的余地.他證明過這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)k（k>

0,且kWD的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓.現(xiàn)有橢圓三+工=1(a>b>0),A,B為橢圓的長(zhǎng)

IMAI

軸端點(diǎn)，c,D為橢圓的短軸端點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿足匕哥=2,△MAB面積的最大值為8,△MCD面積的最小值為1,

|MB|

則橢圓的離心率為（）

AV2R6c叵D

3322

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.平行四邊形ABC。中，ZBAD=60°,AB=A,AD=2,￡為邊CD上一點(diǎn)（不C、。與重合），將平行四邊形

ABCD沿延折起，使五點(diǎn)AB,。,。,E均在一個(gè)球面上，當(dāng)四棱錐C-ABED體積最大時(shí)，球的表面積為.

14.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A4GA中，點(diǎn)E、尸分別是棱AA，AM的中點(diǎn)，尸是側(cè)面正方形5CCA

內(nèi)一點(diǎn)（含邊界），若EP//平面近，則線段AP長(zhǎng)度的取值范圍是.

D,￡

r2y2

15.已知雙曲線f=l(a>0,b>0)的一條漸近線方程為x-2y=0,則該雙曲線的離心率為

a'b2

16.已知函數(shù)y=/(可為R上的奇函數(shù)，滿足/'(x)>—2.則不等式“X—1)<￡(3—21n￡)+3(l—2”的解集為

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)如圖，三棱臺(tái)ABC—￡FG的底面是正三角形，平面ABC,平面BCGb,CB=2GF,BF=CF.

(1)求證：AB±CG；

(2)若BC=CF,求直線AE與平面BEG所成角的正弦值.

18.(12分)已知函數(shù)g(x)=lnx-/nr-l.

(1)討論g(x)的單調(diào)性;

(2)若函數(shù)/(x)=xg(x)在(0,+oo)上存在兩個(gè)極值點(diǎn)看，x2,且王<%,證明In%+111尤2>2.

“2+立

2

19.(12分)在直角坐標(biāo)系“Oy中，直線/的參數(shù)方程為廠(，為參數(shù)).以原點(diǎn)。為極點(diǎn)，X軸正半軸為極

與

2

軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為夕2=6夕(cos。+sin，)-14.

(1)寫出圓C的直角坐標(biāo)方程；

(2)設(shè)直線/與圓C交于A,5兩點(diǎn)，P(2,0),求|/四|2+|產(chǎn)例2的值.

20.(12分)如圖，四棱錐尸-ABCD中，底面A3CD是菱形，對(duì)角線AC,交于點(diǎn)為棱。。的中點(diǎn),

MA=MC.求證:

(1)P5//平面AMC；

(2)平面。5￡>_L平面AMC.

21.(12分)改革開放40年，我國(guó)經(jīng)濟(jì)取得飛速發(fā)展，城市汽車保有量在不斷增加，人們的交通安全意識(shí)也需要不斷

加強(qiáng).為了解某城市不同性別駕駛員的交通安全意識(shí)，某小組利用假期進(jìn)行一次全市駕駛員交通安全意識(shí)調(diào)查.隨機(jī)抽取

男女駕駛員各50人，進(jìn)行問卷測(cè)評(píng)，所得分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖如圖所示在80分以上為交通安全意識(shí)強(qiáng).

(1)求。的值，并估計(jì)該城市駕駛員交通安全意識(shí)強(qiáng)的概率;

(2)已知交通安全意識(shí)強(qiáng)的樣本中男女比例為4:1,完成下列2x2列聯(lián)表，并判斷有多大把握認(rèn)為交通安全意識(shí)與性

別有關(guān);

安全意識(shí)強(qiáng)安全意識(shí)不強(qiáng)合計(jì)

男性

女性

合計(jì)

(3)用分層抽樣的方式從得分在50分以下的樣本中抽取6人，再從6人中隨機(jī)選取2人對(duì)未來一年內(nèi)的交通違章情況

進(jìn)行跟蹤調(diào)查，求至少有1人得分低于40分的概率.

n(ad-be)"

附：K2=其中〃=a+〃+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.0100.0050.001

k6.6357.87910.828

22.(10分)設(shè)橢圓。:上+9=1的右焦點(diǎn)為尸，過產(chǎn)的直線/與C交于A,3兩點(diǎn)，點(diǎn)"的坐標(biāo)為(2,0).

(1)當(dāng)直線/的傾斜角為45。時(shí)，求線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)；

(2)設(shè)點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為C,求證：M,B,C三點(diǎn)共線；

(3)設(shè)過點(diǎn)M的直線交橢圓于G,"兩點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)P,使得OG+OH=/IO尸(其中。為坐標(biāo)原點(diǎn))，求實(shí)數(shù)

力的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、B

【解析】

7ia-b

由題意COS、=E，代入解方程即可得解.

3\a\\b\

【詳解】

7ia-b2x1

由題意8丁明=RT5，

所以尤＞0,且2x=+12，解得x=2.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了利用向量的數(shù)量積求向量的夾角，屬于基礎(chǔ)題.

2、B

【解析】

由4.6=0,可得cos2a=0,解出即可判斷出結(jié)論.

【詳解】

1

解:因?yàn)閍=(cosa,sina),/?=(cos(-a),sin(一。))且〃?》=()

cosa?cos(—a)+sina?sin(—a)=cos2a-sin2a=cos2cr=0.

:.2a=2kjt土一,解得cr=(左eZ).

24

rr

a.6=0是々=左〃+—(左eZ)的必要不充分條件.

4

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、三角函數(shù)求值、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

3、A

【解析】

作出其直觀圖，然后結(jié)合數(shù)據(jù)根據(jù)勾股定定理計(jì)算每一條棱長(zhǎng)即可.

【詳解】

根據(jù)三視圖作出該四棱錐的直觀圖，如圖所示，其中底面是直角梯形，且AO=A3=2,BC=4,

上4,平面ABC。，且PA=2,

?*-PB=A/22+22=272>PD=V22+22=272?CD=20，PC=y/p^+AC2=74+20=276?

.?.這個(gè)四棱錐中最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度是2布.

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了四棱錐的三視圖的有關(guān)計(jì)算，正確還原直觀圖是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

4、D

【解析】

i

由半圓面積之比，可求出兩個(gè)直角邊AB,AC的長(zhǎng)度之比，從而可知tana=——=-,結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)

AB2

系，即可求出sin。,cos。，由二倍角公式即可求出sin2a.

【詳解】

解：由題意知,以AB為直徑的半圓面積Sj,

以AC為直徑的半圓面積］，則*=需=；，刖AC1

即tana-----

AB2

,V5

sin2a+cos2a=1sina=——廠廠

5,所以sin2。=2sinacosa=2x—x=—

由，sine1，得<

tana=------=—2V5555

、cosa2cosa=-----

故選:D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，考查了二倍角公式.本題的關(guān)鍵是由面積比求出角的正切值.

5、C

【解析】

r

根據(jù)加，〃列方程，由此求得力的值，進(jìn)而求得〃

【詳解】

由于加_L〃，所以加?〃=()，即

2a（4a一4b）=.人=8一24?cos予=8+^22=0,

o

解得彳=_&=_40.

所以〃=4a+4y/2b

所以

W=44a+4再『="16/+320,a-b+32b'=.8+320cos?=J48—32=4.

故選：C

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查向量垂直的表示，考查向量數(shù)量積的運(yùn)算，考查向量模的求法，屬于基礎(chǔ)題.

6、B

【解析】

在等差數(shù)列中由等差數(shù)列公式與下標(biāo)和的性質(zhì)求得。3，再由等差數(shù)列通項(xiàng)公式求得公差.

【詳解】

在等差數(shù)列｛??｝的前n項(xiàng)和為Sn,貝!]S5==5/=35n%=7

貝!|%=q+2d=3+2d=7=>d=2

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查等差數(shù)列中求由已知關(guān)系求公差，屬于基礎(chǔ)題.

7、D

【解析】

試題分析：把函數(shù)y=Sin(x+-)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，可得y=sin(4x+￡)的圖象;

626

TT\7L7L1

再將圖象向右平移￡個(gè)單位，可得y=sin[—(x-—)+—]=sin—x的圖象，那么所得圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為(0,0),

32362

故選D.

考點(diǎn)：三角函數(shù)的圖象與性質(zhì).

8、A

【解析】

由折線圖找出水、電、交通開支占總開支的比例，再計(jì)算出水費(fèi)開支占水、電、交通開支的比例，相乘即可求出水費(fèi)

開支占總開支的百分比.

【詳解】

250

水費(fèi)開支占總開支的百分比為--------------x20%=6.25%.

250+450+100

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查折線圖與柱形圖，屬于基礎(chǔ)題.

9、B

【解析】

該幾何體是直三棱柱和半圓錐的組合體，其中三棱柱的高為2,底面是高和底邊均為4的等腰三角形，圓錐的高為4,

底面半徑為2,則其體積為V=Lx4x4x2+L><L><7rx4><4,

223

8

=16+—7T.

3

故選B

點(diǎn)睛：由三視圖畫出直觀圖的步驟和思考方法：1、首先看俯視圖，根據(jù)俯視圖畫出幾何體地面的直觀圖；2、觀察正

視圖和側(cè)視圖找到幾何體前、后、左、右的高度；3、畫出整體，然后再根據(jù)三視圖進(jìn)行調(diào)整.

10、A

【解析】

根據(jù)題意，由拋物線的方程可得其焦點(diǎn)坐標(biāo)，由此可得雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，由雙曲線的幾何性質(zhì)可得4+3=4,解

可得4=1,由離心率公式計(jì)算可得答案.

【詳解】

根據(jù)題意，拋物線好=8〉的焦點(diǎn)為(0,2),

22

則雙曲線與—土=1的焦點(diǎn)也為(0,2),即c=2,

〃3

則有儲(chǔ)+3=4,解可得。=1,

雙曲線的離心率0=工=2.

a

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，關(guān)鍵是求出拋物線焦點(diǎn)的坐標(biāo)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.

11、A

【解析】

列出每一步算法循環(huán)，可得出輸出結(jié)果S的值.

【詳解】

i=lW8滿足，執(zhí)行第一次循環(huán)，S=0+(—l)，F(xiàn)=—1,,=1+1=2；

，=2W8成立，執(zhí)行第二次循環(huán)，S=-1+(-1)2X22=3,Z=2+1=3；

i=3W8成立，執(zhí)行第三次循環(huán)，S=3+(-1)3X32=-6,Z=3+1=4；

i=4W8成立，執(zhí)行第四次循環(huán)，S=—6+(—if義42=10,z=4+l=5；

i=5W8成立，執(zhí)行第五次循環(huán)，S=10+(-1)5X52=-15,Z=5+1=6；

i=6W8成立，執(zhí)行第六次循環(huán)，S=-15+(-l)6x62=21,,=6+1=7；

i=7W8成立，執(zhí)行第七次循環(huán)，S=21+(-1)7X72=-28,,=7+1=8；

i=8W8成立，執(zhí)行第八次循環(huán)，S=-28+(-1)8X82=36,Z=8+1=9；

i=9W8不成立，跳出循環(huán)體，輸出S的值為36,故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查算法與程序框圖的計(jì)算，解題時(shí)要根據(jù)算法框圖計(jì)算出算法的每一步，考查分析問題和計(jì)算能力，屬于中等

題.

12、D

【解析】

求得定點(diǎn)M的軌跡方程［%—陰］+/=l^^-x2ax-a=8,-x2bx-a=l,解得a,b即可.

3J92323

【詳解】

\MA\

設(shè)A(-a,0),B(a,0),M(x,y).,動(dòng)點(diǎn)M滿足=3=2,

\MB\

則+=24…Ry=2,化簡(jiǎn)得(x_,)2+y2=等.

AMAB面積的最大值為8,△MCD面積的最小值為1,

「401?1,解得a=#,b等

—x2ax—a=o,—x.2bx—a=l

2323

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了橢圓離心率，動(dòng)點(diǎn)軌跡，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

52Tl

13、——

3

【解析】

依題意可得A、B、E、。四點(diǎn)共圓，即可得到/3互＞=120°,從而得到三角形BCE為正三角形，利用余弦定理

可得AE,且AEJ_跖，要使四棱錐C-ABE。體積最大，當(dāng)且僅當(dāng)面面ABED時(shí)體積取得最大值，利用

正弦定理求出ABCE的外接圓的半徑，再又可證面BCE,則外接球的半徑R=+|與］，即可求出球的

表面積；

【詳解】

解：依題意可得A、B、E、。四點(diǎn)共圓，

所以NBED+ZBAD=180°

因?yàn)?40=60。，

所以N3ED=120°,ZBEC=60°?

所以三角形BCE為正三角形，則3E=5C=2,ZCBE=60°，ZABE=60°

利用余弦定理得AE=AB2+BE-2AB-BEcosZABE

即AB?=42+22—2X4X2COS60°，解得AE=2A/J,貝!lAEZ+BE?=AB2

所以A石，砥，

當(dāng)面5CE上面ABE。時(shí)，L-ABEO取得最大，

22

所以她"的外接圓的半徑r=2sin60°=G'

又面BCE上面ABED,AELBE，且面BCE面ABED=BE,AEu面ABEO

所以面BCE,

所以外接球的半徑R=『+［竿］==后

1352

所以S=4萬A?=4%又一=一"

33

52

故答案為：丁

C七八

【點(diǎn)睛】

本題考查多面體的外接球的相關(guān)計(jì)算，正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題.

14、浮^,20

【解析】

取4cl中點(diǎn)G,連結(jié)尸G,BG,推導(dǎo)出平面尸G3//平面AEC,從而點(diǎn)P在線段BG上運(yùn)動(dòng)，作于H,

由轟％尸A.B,能求出線段AJ長(zhǎng)度的取值范圍.

【詳解】

取用G中點(diǎn)G,連結(jié)/G,BG,

在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD—44GA中，點(diǎn)E、尸分別是棱4D、4用的中點(diǎn)，

:.AEHBG,AC//FG,

AE0AC=A,BG「FG=G,

二平面R3B//平面AEC,

P是側(cè)面正方形BCCdi內(nèi)一點(diǎn)（含邊界），EP//平面AEC,

二點(diǎn)P在線段BG上運(yùn)動(dòng)，

在等腰AA%中，AG=BG=&+儼=退,48=四+22=2叵,

作A"，3G于“，由等面積法解得：

4所加2一曾220XG2屈,

"-----而-----=加==

.?.AH釉1P\B,

二線段AP長(zhǎng)度的取值范圍是［等，2近］.

故答案為：,2A/2］.

【點(diǎn)睛】

本題考查線段長(zhǎng)的取值范圍的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是

中檔題.

15、好

2

【解析】

根據(jù)題意，由雙曲線的漸近線方程可得,=],即。=2兒進(jìn)而由雙曲線的幾何性質(zhì)可得。=后兩=6方，由雙

曲線的離心率公式計(jì)算可得答案.

【詳解】

根據(jù)題意，雙曲線0—2=1(。＞0,6＞0)的漸近線方程為y=±/x,

又由該雙曲線的一條漸近線方程為x-2y=0,即y=

b1

則有———，BPa=2b

a2f

則c=yja2+b2=A/5b,

則該雙曲線的離心率e=￡=叵=@；

a2b2

故答案為：好.

2

【點(diǎn)睛】

本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，關(guān)鍵是分析“、》之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

16、(0,1)

【解析】

構(gòu)造函數(shù)g(x)=/(x-l)-x2(3-21nx)-3(l-2x),利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)y=g(x)的單調(diào)性，再將所求不等式變

形為g(力＜g⑴，利用函數(shù)y=g(尤)的單調(diào)性即可得解.

【詳解】

■^g(x)=/(x-l)-x2(3-21nx)-3(l-2x),貝!|gr(x)=/r(x-l)+4xlnx-4x+6,

設(shè)/z(x)=4xlnx-4x+6,貝!!"(x)=41nx.

當(dāng)Ovxvl時(shí)，此時(shí)函數(shù)丁=%(力單調(diào)遞減；當(dāng)x＞l時(shí)，〃(力＞0,此時(shí)函數(shù)丁="(同單調(diào)遞增.

所以,函數(shù)y=/i(x)在1=1處取得極小值，也是最小值，即/z(x)1rli^^1)=2,

>-2,/z(x)>2,/.+>0,即，(x)>0,

所以，函數(shù)y=g(H在(0,+。)上為增函數(shù)，

函數(shù)y=/(x)為R上的奇函數(shù)，則/(0)=0，

g(l)=/(O)-3+3=O,則不等式1)<*(3—21nx)+3(l—21等價(jià)于g(x)<g(l),

又「光〉0,解得Ovxvl.

因此，不等式/(x-l)<x2(3-21nx)+3(l-2x)的解集為(0,1).

故答案為：(0,1).

【點(diǎn)睛】

本題主要考查不等式的求解，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.綜合

性較強(qiáng).

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(I)見證明；(II)也

4

【解析】

(I)取8C的中點(diǎn)為。，連結(jié)。歹，易證四邊形甲G為平行四邊形，即CG//D產(chǎn)，由于砥=b,。為的

中點(diǎn)，可得到從而得到CGL3C,即可證明CGL平面ABC,從而得到CG,AB；(II)易證。8,DF,

DA兩兩垂直，以DB,DF,ZM分別為x,V,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-孫z,求出平面BEG的

I——r—7,即可得到答案.

ki-H

【詳解】

解：(I)取8C的中點(diǎn)為。，連結(jié)。咒.

由ABC—￡FG是三棱臺(tái)得，平面ABC//平面EFG,從而BC//FG.

'：CB=2GF,：.CD/jpF,

二四邊形CD廠G為平行四邊形，CG//DF.

'：BF=CF,。為的中點(diǎn)，

ADFVBC,/.CGLBC.

?.?平面ABC,平面BCGb,且交線為BC,CGu平面BCGF,

CGL平面ABC,而ABi平面ABC,

.'.CG±AB.

（II）連結(jié)AD.

由AABC是正三角形，且。為中點(diǎn)，則ADL5C.

由（I）知，CG，平面ABC,CG//DF,

:?DFLAD，DFLBC,

:.DB,DF,ZM兩兩垂直.

以DB,DF,94分別為x,y,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-孫z.

設(shè)BC=2,則A（O,O,e）,E一；‘瘋芻’網(wǎng)1,0,0）,G（-l,A0）,

設(shè)平面BEG的一個(gè)法向量為〃=（羽％z）.

-lx+#>y=0

令x=W>,則y=2,z=-1,???〃=(6,2,-1).

AEn_巫

設(shè)AE與平面BEG所成角為。，則sin。=|cos(AE,n)\=

\AE\-\n\~4

本題考查了空間幾何中，面面垂直的性質(zhì)，線線垂直的證明，及線面角的求法，考查了學(xué)生的邏輯推理能力與計(jì)算求

解能力，屬于中檔題.

工,+8上單調(diào)遞減（2）

18、（1）若mK0,則g（x）在定義域內(nèi)遞增；若加＞0,則g（x）在上單調(diào)遞增，在

m/

證明見解析

【解析】

1—rrix

(1)g'(x)=-----，分根KO,切>0討論即可；

x

小InxInxInx+InxInx-InxInx,-Inx2/、

(2)由題可得到2〃z=—L=-9-=—!-----9-=—!-----9%故只需證一!-----9->------，(不<x,),即

玉x2玉+x2%一x2xr-X2xi+x2\/

五一1

ln%<2?三一,采用換元法，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來處理.

々工+1

%

【詳解】

」「八,/、1-rwc

由已知，g(x)=-----,

X

若根V0,則g(%)在定義域內(nèi)遞增；

若機(jī)>0,則g(x)在]。,工]上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

mJ\m)

(2)由題意/(%)=犬In九一小犬2—%，%>0

對(duì)f(%)求導(dǎo)可得f(x)=In%-2mx,x>0

從而X],%2是/‘(X)的兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，因此

In%1_Inx_Inx+lnx_In玉一Inx

乙YYl——2—x2—2

xix2%]+x2Xj-x2

Inx-Inx2/、

下證：一!------9>-------,(玉</)

X1-X2%+%2

工-1

即證In2<2?土一

總工+1

x2

令,=--9即證：h(j)=(Z+1)InZ—2z+2,tG(0,1)

x2

i/_i

對(duì)力(。求導(dǎo)可得"Q)=ln%+——1,re(0,1),=因?yàn)?<￡<l

tt

故/z'?)<0,所以/z⑺在OU)上單調(diào)遞減，而"(1)=0,從而/z?)>0

所以〃(。在(0,1)單調(diào)遞增，所以加力v/z(l)=O,即g)<0

于是InXj+Inx2>2

【點(diǎn)睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及證明不等式，考查學(xué)生邏輯推理能力、轉(zhuǎn)化與化歸能力，是一道有一定難度

的壓軸題.

19、(1)(x-3)2+0-3)2=4；(2)20

【解析】

(1)利用x=/7cose,y=0sine即可得到答案;

(2)利用直線參數(shù)方程的幾何意義，|/訓(xùn)2+|尸砰=片+片=(。+02—2串2.

【詳解】

解：(1)由夕2=6夕(cos6+sin。)-14,得圓C的直角坐標(biāo)方程為

x2+y2=6x+6y-14,即(x-3)2+(y-3)2=4.

(2)將直線I的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標(biāo)方程，

得小—1)2+(爭(zhēng)—3)2=4,

即產(chǎn)-4亞+6=0,設(shè)兩交點(diǎn)A，5所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為小t2,

從而tY+t2=4JI,邛2=6

貝！I+歸同2=￡；+[=&+，2『一2柱=32-12=20.

【點(diǎn)睛】

本題考查了極坐標(biāo)方程與普通方程的互化、直線參數(shù)方程的幾何意義等知識(shí)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是一道容易題.

20、(1)詳見解析；(2)詳見解析.

【解析】

⑴連結(jié)OM、根據(jù)中位線的性質(zhì)證明PB//OM即可.

(2)證明4。，3￡),4。，尸。再證明4。，平面尸瓦)即可.

【詳解】

解：(1)證明：連結(jié)OM,

p

。是菱形ABC。對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn),

二。為瓦）的中點(diǎn)，

加是棱PD的中點(diǎn)，

OMu平面AMC,PB（X平面AMC,

.?.尸3//平面人”。，

（2）解：在菱形ABC。中,AC,加,且。為AC的中點(diǎn)，

MA^MC,

:.AC±OM,

OMcBD^O,

.?.4。，平面必。，

ACu平面AMC,

平面PBD_L平面AMC.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了線面平行與垂直的判定,屬于基礎(chǔ)題.

3

21、（1）a=0.016,概率為0.2；（2）列聯(lián)表詳見解析，有99.5%的把握認(rèn)為交通安全意識(shí)與性別有關(guān)；（3）丁

【解析】

（1）根據(jù)頻率和為1列方程求得。的值，計(jì)算得分在80分以上的頻率即可；

（2）根據(jù)題意填寫列聯(lián)表，計(jì)算K?的值，對(duì)照臨界值得出結(jié)論；

（3）用分層抽樣法求得抽取各分?jǐn)?shù)段人數(shù)，用列舉法求出基本事件數(shù)，計(jì)算所求的概率值.

【詳解】

解：（1）10（0.004x2+0.008+a+0.02x2+0.028）=1

解得a—0.016.

所以，該城市駕駛員交通安全意識(shí)強(qiáng)的概率P=0.16+0.04=0.2

（2）根據(jù)題意可知，安全意識(shí)強(qiáng)的人數(shù)有100x0.2=20,

4

其中男性為20x——=16人，女性為4人，

4+1

填寫列聯(lián)表如下：

安全意

安全意識(shí)不強(qiáng)合計(jì)

識(shí)強(qiáng)

男性163450

女性44650

合計(jì)2080100

(16x46-4x34)xlOO

K1=-----------------1--------=9>7,879

20x80x50x50

所以有99.5%的把握認(rèn)為交通安全意識(shí)與性別有關(guān).

（3）由題意可知分?jǐn)?shù)在（30,40］,（40,50］的分別為4名和8名，

所以分層抽取的人數(shù)分別為2名和4名，

設(shè)（30,40］的為A，4,（40,50］的為用，B2,B3,4,則基本事件空間為（&4）,（4,耳），（&與），（&四）,

（再）,（，與），（，），（）（耳四），（，罵），（為氏），（現(xiàn)居）,

（A,BJ,4444A,B4,4（B2,B4）,（B3,B4）

共15種，

設(shè)至少有1人得分低于40分的事件為A,則事件A包含的基本事件有

（A，4），（A，瓦）,（4聞，（AW），（4，四），（4,4），（4,男），（4，區(qū)）,（&,凡）共9種

93

所以于（力=話=亍

【點(diǎn)睛】

本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)應(yīng)用問題，也考查了列舉法求古典概型的概率問題，屬于中檔題.

2

22、（1）48的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為§；（2）證明見解析；（3）（-2,2）

【解析】

設(shè)4%,%）,3（尤2，為）?