人教2019A版選擇性必修二4.4數(shù)學(xué)歸納法

第四章

數(shù)

列學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理.2.能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題.

導(dǎo)語(yǔ)

問(wèn)題探究

問(wèn)題1：多米諾骨牌都倒下的關(guān)鍵點(diǎn)是什么？我們先從多米諾骨牌游戲說(shuō)起，碼放骨牌時(shí)，要保證任意相鄰的兩塊骨牌，若前一塊骨牌倒下，則一定導(dǎo)致后一塊骨牌倒下。這樣，只要推到第1塊骨牌，就可導(dǎo)致第2塊骨牌倒下；而第2塊骨牌倒下，就可導(dǎo)致第3塊骨牌倒下；……，總之，不論有多少塊骨牌，都能全部倒下。問(wèn)題探究（1）第一塊骨牌倒下；（2）任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導(dǎo)致后一塊倒下.問(wèn)題1：多米諾骨牌都倒下的關(guān)鍵點(diǎn)是什么？問(wèn)題探究問(wèn)題2：你認(rèn)為條件（2）的作用是什么？如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述它？可以看出，條件（2）給出一個(gè)遞推根據(jù)（關(guān)系），當(dāng)?shù)趉塊倒下，相鄰的第k+1塊也倒下。

（1）第一塊骨牌倒下；（2）若第K塊骨牌倒下時(shí)，則使相鄰的第K+1塊骨牌也倒下根據(jù)（1）和（2），可知不論有多少塊骨牌，都能全部倒下。

問(wèn)題探究

數(shù)學(xué)歸納法的定義

一般地,證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題,可按下列步驟進(jìn)行:歸納奠基→證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(n0∈N*)時(shí)命題成立歸納遞推→以當(dāng)“n=k(k≥n0,k∈N*)時(shí)命題成立”為條件,

推出“當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立”只要完成這兩個(gè)步驟,就可以斷定命題對(duì)從n0開(kāi)始的所有正整數(shù)n都成立.這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法.概念解析

典例解析

用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式時(shí),應(yīng)關(guān)注以下三點(diǎn):(1)弄清n取第一個(gè)值n0時(shí)等式兩端項(xiàng)的情況;(2)弄清從n=k到n=k+1等式兩端增加了哪些項(xiàng),減少了哪些項(xiàng);(3)證明n=k+1時(shí)結(jié)論也成立,要設(shè)法將待證式與歸納假設(shè)建立聯(lián)系,并朝n=k+1證明目標(biāo)的表達(dá)式變形.歸納總結(jié)綜上所述,對(duì)于任何n∈N*,等式都成立.跟蹤訓(xùn)練計(jì)算結(jié)果,猜想Sn的表達(dá)式,并用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.可以看出,上面表示四個(gè)結(jié)果的分?jǐn)?shù)中,分子與項(xiàng)數(shù)n一致,分母可用項(xiàng)數(shù)n表示為3n+1.典例解析下面我們用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)猜想.所以,當(dāng)n=k+1時(shí)猜想也成立.根據(jù)(1)和(2),可知猜想對(duì)任何n∈N*都成立.(1)“歸納—猜想—證明”的一般環(huán)節(jié)

(2)“歸納—猜想—證明”的主要題型①已知數(shù)列的遞推公式,求通項(xiàng)或前n項(xiàng)和.②由一些恒等式、不等式改編的一些探究性問(wèn)題,求使命題成立的參數(shù)值是否存在.③給出一些簡(jiǎn)單的命題(n=1,2,3,…),猜想并證明對(duì)任意正整數(shù)n都成立的一般性命題.歸納總結(jié)跟蹤訓(xùn)練2數(shù)列{an}滿足Sn=2n-an(Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和),先計(jì)算數(shù)列的前4項(xiàng),再猜想an,并證明.跟蹤訓(xùn)練下面證明猜想正確:(1)當(dāng)n=1時(shí),由上面的計(jì)算可知猜想成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)猜想成立,n=1成立時(shí),左邊計(jì)算所得的項(xiàng)是(

)A.1 B.1+aC.1+a+a2

D.1+a+a2+a3當(dāng)堂達(dá)標(biāo)解析:當(dāng)n=1時(shí),左邊=1+a+a1+1=1+a+a2,故C正確.答案:C2.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)時(shí),從“n=k”到“n=k+1”,左邊需增添的代數(shù)式是(

)A.(2k+1)+(2k+2) B.(2k-1)+(2k+1)C.(2k+2)+(2k+3) D.(2k+2)+(2k+4)解析:當(dāng)n=k時(shí),左邊是共有2k+1個(gè)連續(xù)自然數(shù)相加,即1+2+3+…+(2k+1),所以當(dāng)n=k+1時(shí),左邊共有2k+3個(gè)連續(xù)自然數(shù)相加,即1+2+3+…+(2k+1)+(2k+2)+(2k+3).所以左邊需增添的代數(shù)式