正弦定理(1)教學設計第第頁共10頁正弦定理(1)教學設計【教材】人教A版高中數學必修5第一章第一節(jié)【課時安排】第1課時【教學對象】高一（下）學生【教材分析】正弦定理揭示了三角形的邊與角的數量關系，是計算斜三角形邊長或角度的重要工具之一。達到定理的言語連鎖水平并進行簡單應用并不難，但為了讓學生掌握定理探索的一般思路和定理的本質，本節(jié)課的教學定位是：既教定理的理解運用，又教定理發(fā)現的探索思路；既強調學習該定理涉及的數學思想方法，又滲透定理體現的數學美?！緦W情分析】★認知基礎：①已學過“大邊對大角，小邊對小角”的定性描述，具有尋找定量結論的心理期望；②已學過銳角三角函數及解直角三角形，利于接受由特殊到一般的過渡；③任意角的三角函數、三角函數的誘導公式為定理的證明和應用打下了基礎；★認知障礙：①猜想的證明；②定理證明思路的切入點。【教學目標】★知識與技能①了解正弦定理的應用背景，探索與證明正弦定理；②理解正弦定理的“結構不變性”和表達這一不變性的“字母可變性”。③了解解三角形的概念，初步學會“正用”正弦定理解決三角形中“已知兩角一邊求其他”和“已知兩邊及其中一邊對角求其他”的問題?！镞^程與方法①經歷觀察發(fā)現、猜想并證明正弦定理的過程，領悟定理發(fā)現的探索思路，學習由特殊到一般的思維方式；②通過嘗試定理的證明，領悟分類討論和化歸的數學思想?！锴楦袘B(tài)度價值觀①感受正弦定理的統一美、對稱美、簡潔美；②體會正弦定理的科學價值和應用價值，形成崇尚數學的精神?！窘虒W重點】正弦定理的發(fā)現、證明及理解【教學難點】正弦定理的發(fā)現與證明【教學關鍵】探索時由特殊延伸到一般尋找三角形的邊角數量關系；證明時將一般情形化歸為已得證的特殊情形考慮?！窘虒W方法】以問題驅動法為主【教學手段】板書、計算機、PPT、幾何畫板設計意圖：將學生置于天文學應用背景中，由設計意圖：將學生置于天文學應用背景中，由“大邊對大角，小邊對小角”的定性結論已無法滿足量化需求來創(chuàng)設障礙，激發(fā)學生主動學習新知的動力,亦反映了生活問題—數學問題—數學形式化的發(fā)展軌跡。背景引入設置障礙背景引入設置障礙牛刀小試新知探究猜想證明新知探究猜想證明設計意圖：從特殊入手，通過引導學生對“過去的經驗”進行聯系整合發(fā)現直角三角形中的正弦公式，從而搭建思維階梯，使學生能順階而上，逐步擊破。設計意圖：設計意圖：通過解決開頭實際背景中的地月距離問題，利于學生初步體會定理的應用價值和科學價值，亦符合學生期望；再根據桑代克的練習律與效果律設計練習，初步嘗試定理的簡單應用，達到鞏固新知的目的。應用定理應用定理反饋鞏固設計意圖：小結意在讓學生理清定理探索的一般思路及探索過程涉及到的思維方式、數學思想方法，并上升到理解定理本質的層次；作業(yè)意在讓學生鞏固提高，拓寬思維和知識面，了解正弦定理更完整的結論。設計意圖：小結意在讓學生理清定理探索的一般思路及探索過程涉及到的思維方式、數學思想方法，并上升到理解定理本質的層次；作業(yè)意在讓學生鞏固提高，拓寬思維和知識面，了解正弦定理更完整的結論。課堂小結布置作業(yè)牛刀小試【教學過程設計】牛刀小試（一）背景引入，設置障礙（1）趣味引入：問題1：月亮離地球有多遠？由2015年12月初的“嫦娥四號將實現世界首次月球背面軟著陸”的新聞，以及嫦娥奔月、“嫦娥一號”等探月的圖片吸引學生注意力，提出問題1，激發(fā)好奇心；并引出法國天文學家拉朗德和其學生拉卡伊在17世紀中下旬首次計算出了地月距離的背景：選取了幾乎位于同一子午線的柏林和好望角A、B和月球上的一地點C，當時的技術手段只能測出AB兩地間的直線距離和∠A、∠B的大小，但他們使用了一個十分便捷的運算工具，就分別把地球上這兩個地點到月球的距離求出來了。揭示本節(jié)課的任務就是要挖掘出這個“便捷的工具”。設計意圖：選取“計算地月距離”的天文學應用背景引入，不僅因為當時兩位天文學家正是利用正弦定理代入角三角形聯系起來，因此，對于猜想的證明，該法應該是學生從認知規(guī)律上比較容易嘗試成功的方法，符合學生的認知水平發(fā)展。分組讓學生分別嘗試證明銳角、鈍角三角形的情況，可提高學生課堂的參與度，確保學生的主體地位。由于此方法與教科書所涉及的方法大同小異，是面向全體學生的證明過程，且為了讓學生更好地體會數學證明的邏輯演繹過程，采用學生表述、教師板演，以更好地讓大多數學生理解掌握。（8）得到定理:說明定理揭示了三角形中所蘊含的十分巧妙的邊角數量關系，讓學生再次共同感受定理的數學美：如此獨特的美妙關系，也只有我們數學語言能如此簡練地描述出來。（三）應用定理，反饋鞏固（1）了解應用：問題6：正弦定理能解決哪些數學問題？舉兩個簡單例子啟發(fā)學生發(fā)現“知三求一”的特點，結合三角形內角和定理，便可初步得出定理的應用范圍：（1）已知三角形兩個角和一條邊，求其它邊和角；（2）已知三角形兩條邊和其中一邊的對角，求其它邊和角。實際應用：問題7：你能用正弦定理得到地月距離的求解思路了嗎？回顧引入環(huán)節(jié)的地月距離問題，教師與學生共同探討解題思路，尋找隱含條件，在定理表達式中標記出已知條件和隱含條件，直觀體現“知三求一”：由三角形內角和定理可求角C；由正弦定理可表示出AC、BC?！窘鉀Q思路】在△ABC中，已知∠A和∠B的大小、AB的長，則由三角形內角和定理可得∠C=180°-∠A-∠B，故由正弦定理得，即，.只要代入具體數據，地月距離便迎刃而解，至于具體數據是多少、怎么測的，鼓勵學生課后上網查找資料拓展知識面。該距離問題的求解過程就是正弦定理的應用；一個簡單的定理居然會在天文學中會被用到，其實它在許多領域測量距離或高度的問題中也很有幫助，下節(jié)課就可以見分曉。這節(jié)課先試著解決簡單的純數學問題。（3）了解解三角形的概念：把三角形的三個角A，B，C和它們的對邊a，b，c叫做三角形的元素。已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形。（4）練習解三角形：（學生先練習，后講解，檢驗是否符合“大邊對大角”）根據已知條件求三角形的其他邊和角。①在△ABC中，已知A=60°，B=45°，c=20cm；②在△ABC中，已知a=15cm，b=10cm，B=30°.【學情預設】①，，由正弦定理得，，故，。②由正弦定理得，，故,故，從而有，∴，∴。設計意圖：由于本節(jié)課只是《正弦定理》的第一課時，定理的應用還不是重點，所以該環(huán)節(jié)不做過多復雜的實際計算，只是讓學生解決開頭實際背景中的地月距離問題，既體現問題設置的有效性，又符合學生運用新知解決問題的心理期望。由學生運用所學新知識表述思路、解決問題，初步體會定理的應用價值，并簡單引入其他領域的應用，為下節(jié)課的開展設置懸念，激發(fā)學習動機；而兩道帶有簡單數據的純數學解三角形問題則可讓學生初步嘗試正弦定理的兩類簡單應用。（四）課堂小結和作業(yè)布置（1）課堂小結：借助流程圖與學生共同總結梳理本節(jié)課的定理發(fā)現思路：為了探究三角形的邊角數量關系，從特殊的直角三角形入手，經歷觀察——實驗——猜想——證明——得到正弦定理——應用定理；并引導學生上升到理解定理本質的層次，即理解其“結構的不變性，字母的可變性”。同時揭示本節(jié)課涉及的特殊到一般的發(fā)現思路、分類討論和化歸的數學思想。并留下懸念：正弦定理還有更令人驚嘆的結論！即它的比值是一個可以由三角形自身確定的常量，是什么呢？結合課后題就會有重大發(fā)現。設計意圖：借助框圖梳理思路，包括定理的發(fā)現與探索過程、定理的證明、涉及的數學思想方法等，并讓學生掌握定理學習的本質，潛移默化地讓學生感受到有時過程比結果更重要。（2）作業(yè)布置：必做：①習題1.1之A組第1、2題；②完成鈍角三角形中的正弦定理的證明過程；③平面向量是溝通角度和長度的重要工具，請嘗試平面向量的相關知識證明定理。思考：任意△ABC中定理表達式的值會等于什么？結合習題1.1之B組第1題。設計意圖：必做作業(yè)是定理的簡單應用，學生可能會碰到有兩解的問題，且在這一點上容易出錯，為下節(jié)課學習定理應用的關鍵點作鋪墊。而讓學生嘗試運用平面向量再次證明定理，既可鞏固學生對平面向量的理解，又可拓寬學生的證明思路。思考作業(yè)是對定理比值問題的發(fā)現與解決，可讓學生進一步了解正弦定理的完美，發(fā)現任意三角形與其外接圓直徑的數量關系。【板書設計】附：本教學設計的創(chuàng)新之處①以7個問題為線索，問題驅動，環(huán)環(huán)緊扣，層層深入。讓學生通過經歷定理探索的一般思路，學的不僅僅是正弦定理一個知識點，而是日后學習千千萬萬個定理的一般思維方式，達到知一曉三，亦能提升“做數學”的條理性和嚴謹性。②讓學生了解正弦定理的真實應用背景，拓寬了學生的數學文化知識面；比起創(chuàng)設虛擬情境來得真實和震撼，能讓學生感受到小小定理的強大科學價值和應用價值，亦讓數學課堂不再是冰冷的數字和單調枯燥的純數學問題。③引導學生將研究對象由特殊延伸到