正向思維與逆向思維數(shù)學(xué)思維能力培養(yǎng)系列談③正向思維與逆向思維廈門第一中學(xué)鄭輝龍姚麗萍一、正向思維與逆向思維正向思維是指按常規(guī)習(xí)慣去分析問題，按常規(guī)進(jìn)程進(jìn)行思考、推測，是一種從已知進(jìn)到未知的邏輯順序來揭示問題本質(zhì)的思維方法。正向思維與逆向思維只是相對(duì)而言的，逆向思維是指背逆人們的習(xí)慣路線行進(jìn)的思維。聽過“1美元”的故事嗎？一天，猶太富翁哈德走進(jìn)紐約花旗銀行的貸款部?？吹竭@位氣度非凡的紳士，貸款部的經(jīng)理不敢怠慢，趕緊招呼：“先生，您有什么事情需要我?guī)兔Φ膯?？”“哦，我想借些錢?！薄昂冒。阋瓒嗌?？”“1美元?！薄爸恍枰?美元？”“不錯(cuò)，只借1美元，可以嗎？”“當(dāng)然可以，像您這樣的紳士，只要有擔(dān)保多借點(diǎn)也可以?！薄澳沁@些擔(dān)?？梢詥?？”猶太人說著，從豪華的皮包里取出一大堆珠寶堆在寫字臺(tái)上?！斑?，這是價(jià)值50萬美元的珠寶，夠嗎？”“當(dāng)然，當(dāng)然！不過，你只要借1美元？”“是的。”猶太人接過了1美元和抵押憑證，就準(zhǔn)備離開銀行。在旁觀看的分行行長十分納悶，他急忙追上前去，對(duì)猶太人說：”先生，請(qǐng)等一下，假如您想借30萬、40萬美元的話，我們也會(huì)考慮的?！弊x者朋友，您知道哈德先生如何回答的嗎？答案見本文結(jié)尾。正逆向思維起源于事物的方向性，客觀世界存在著互為逆向的事物，由于事物的正反向，才產(chǎn)生思維的正反向，兩者是密切相關(guān)的。數(shù)學(xué)知識(shí)本身就充滿著正反兩方面的轉(zhuǎn)換。例如加減、乘除、乘方開方等運(yùn)算與逆運(yùn)算；最大值與最小值、函數(shù)與反函數(shù)、性質(zhì)定理與判定定理等。兩種思維的培養(yǎng)同樣重要。事實(shí)上，一方面由于正向思維符合人們的常規(guī)習(xí)慣，顯得親切自然，大眾化，因此只要開動(dòng)逆命題（1）：如圖1，△ABC中，如果點(diǎn)D是AB中點(diǎn)，DE交AC于E，DE∥BC，那么點(diǎn)E是AC中點(diǎn)，且DE=BC。逆命題（2）：△ABC中，如果點(diǎn)D是AB中點(diǎn)，DE交AC于E，DE=BC，那么點(diǎn)E是AC中點(diǎn)，且DE∥BC。點(diǎn)評(píng)：這是開放題，沒有明確結(jié)論，需要學(xué)生自己判斷；這是初中幾何核心定理的逆命題；這是類型相同而結(jié)論不同的“題組題”，題（1）為真，可以證明，題（2）為假，可以舉反例。同時(shí)，舉反例訓(xùn)練也是培養(yǎng)逆向思維的重要手段。2.習(xí)題講評(píng)課中的培養(yǎng)方式。習(xí)題講評(píng)，應(yīng)該給學(xué)生展示思維的過程。在此，重點(diǎn)向?qū)W生講清楚分析與綜合的兩種思維過程。所謂綜合，是從“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，即由因?qū)Ч?，是正向思維；所謂分析，是從“未知”看“須知”，逐步靠近“已知”，即執(zhí)果索因，是逆向思維。圖2案例5：如圖2，△ABC中，∠B=2∠A，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對(duì)邊，求證：b2=a2+ac。圖2點(diǎn)評(píng)：已知中只有角的關(guān)系，沒有任何邊的關(guān)系，如何由“角”推向“邊”？感覺很困難，正向的綜合思維路難行。不妨用逆向的分析思維：要證：b2=a2+ac，只需：b2=a（a+c），只需：b∶a=（a+c）∶b，易知，線段比問題找相似，聯(lián)想含b為公共邊的“基本圖形”（詳見系列談②），故延長CB至D，使BD=BA，連DA，因此，只需：△ABC∽△DAC，因∠C已是公共角，所以，只需：∠CAB=∠D,貼近已知的“角”了。由于BD=BA，故∠DAB=∠D,所以，只需：∠CAB=∠CBA，其實(shí)，這就是已知條件---思路接通了。如果不細(xì)細(xì)展示分析思維，最關(guān)鍵的輔助項(xiàng)的添法學(xué)生會(huì)覺得莫名其妙。不過書寫建議還是以綜合法表達(dá)妥當(dāng)。對(duì)于解題思維中分析與綜合的程序，牛頓說得好：“在自然科學(xué)里，應(yīng)該像在數(shù)學(xué)里一樣，在研究困難的事物時(shí)，都是應(yīng)當(dāng)先用分析的方法，然后才用綜合的方法”。前文指出，僅數(shù)學(xué)運(yùn)算就有許多正反兩向的互逆運(yùn)算，現(xiàn)以“通分”為例，請(qǐng)看幾道逆向思維訓(xùn)練示例。案例6：計(jì)算：。點(diǎn)評(píng)：這個(gè)過程是通分，逆過來這過程不妨稱之為“裂項(xiàng)”，于是原式=，這就是“逆通分”的裂項(xiàng)相消法。類似的例子還有，化簡：（原式==）。案例7：將分?jǐn)?shù)按從小到大的順序排列好。點(diǎn)評(píng)：分子的最小公倍數(shù)為較小的數(shù)60，故本題另辟蹊徑“不通分母通分子”，輕松地比出大小。類似的例子還有，比大?。号c，采用的策略是與“分母有理化”相反的“分子有理化”，=，=，兩數(shù)大小一目了然。案例8：化簡：。點(diǎn)評(píng)：不用通常的整體通分，而是分三次“逐步通分”簡便多了。類似的例子還有，化簡：。采用的策略則是“分組通分”。3.復(fù)習(xí)課中的培養(yǎng)方式。利用復(fù)習(xí)課，綜合各種知識(shí)，介紹采用逆向思維的多種解題方法和策略。圖3案例9：求證：是無理數(shù)。圖3點(diǎn)評(píng)：采用反證法，證明不是有理數(shù)。案例10：如圖3，已知E是正方形ABCD內(nèi)部一點(diǎn)，∠ECD=∠EDC=15°，求證：△ABE是等邊三角形。點(diǎn)評(píng)：采用同一法：如圖，在正方形ABCD內(nèi)部取一點(diǎn)E＇，使△ABE＇是等邊三角形，連DE＇、CE＇，證點(diǎn)E＇與點(diǎn)E重合。類似例子還有勾股定理逆定理的證明等。案例11：求使得關(guān)于x的方程ax2+2(2a-1)x+4a-7=0至少有一個(gè)整數(shù)解的正整數(shù)a的值。點(diǎn)評(píng)：本題的主元無疑是x，正向思維則很容易走向求根公式或韋達(dá)定理，由于不確定有兩個(gè)整數(shù)解，所以，盡管絞盡腦汁也是徒勞的。逆向思維，聚焦于所求的是a值！應(yīng)用“不求主元求輔元”的策略：易得a=，由正整數(shù)a≥1得-3≤x≤1，依題意取整數(shù)x=-3,-1,0,1，所以正整數(shù)a=1或5。案例12：設(shè)為互不相等的非零實(shí)數(shù)，且，求證：。點(diǎn)評(píng)：看到已知條件中等量關(guān)系不少，大多數(shù)學(xué)生從正向思維出發(fā)，將連等式列成含三個(gè)方程的方程組，認(rèn)為肯定可以直接求出的值，結(jié)果總是以失敗告終。事實(shí)上，連等式是一個(gè)輪換對(duì)稱式，只能列成含兩個(gè)方程的不定方程組，在此，永遠(yuǎn)無法直接求出的值。采用華羅庚教授教給青少年學(xué)生的一種解題策略：“退，退到不能退為止”。先退為二元問題：設(shè)為互不相等的非零實(shí)數(shù)，且，求證：。減元后容易多了：移項(xiàng)，得，去分母，得，由得，于是。原命題與此結(jié)構(gòu)完全相同，用類似的方法“移項(xiàng)、去分母”就可得證。培養(yǎng)逆向思維的解題策略還有“直接不行改間接”。比如適合選擇、判斷、填空題型的特值排除法、極端值驗(yàn)證法以及割補(bǔ)法、換元法等。4.綜合與實(shí)踐課中的培養(yǎng)。逆向思維是反其道而行之的思考方式。反映了思維過程的間斷性、突發(fā)性、反聯(lián)結(jié)性,是擺脫思維定勢(shì),突破舊思想框架,產(chǎn)生新思想,發(fā)現(xiàn)新問題的重要思維方式。司馬光砸缸---不能“讓人離水”就“讓水離人”，是典型的逆向思維案例，曹沖稱象也有異曲同工之妙。案例13：第二次世界大戰(zhàn)后期，在攻打柏林的戰(zhàn)役中，一天晚上，蘇軍必須向德軍發(fā)起進(jìn)攻?？赡翘煲估锾焐掀行切?，大部隊(duì)出擊很難做到保持高度隱蔽而不被敵人察覺。蘇軍元帥朱可夫思索了許久，猛然想到并做出決定：把全軍所有的大型探照燈都集中起來。在向德軍發(fā)起進(jìn)攻的時(shí)刻，蘇軍的140臺(tái)大探照燈同時(shí)射向德軍陣地，極強(qiáng)的亮光把隱蔽在防御工事里的德軍照得睜不開眼，什么也看不見，只有挨打而無法還擊，蘇軍很快突破了德軍的防線獲得勝利。點(diǎn)評(píng)：既然無法讓天色變暗，朱可夫元帥反過來在“亮”上做文章，同樣達(dá)到讓敵軍“看不見”的目的。類似的案例有：問：讓你從一把椅子下通過，你打算怎樣過去？答：將椅子舉過頭頂后昂首挺胸而過。逆向思維，出奇制勝。案例14：聰明的豬。從前，有個(gè)叫二愣的養(yǎng)殖大戶，一天，二愣要?dú)⒇i了。哪知那頭豬剛被掀翻在地，就狠狠地咬了二愣一口，急急地跑進(jìn)豬圈了。這還了得！二愣氣呼呼地追進(jìn)豬圈里，可是圈里有1000頭豬，怎么認(rèn)得出那頭豬呢！“殺！”隨著二愣一聲吼，1000頭豬全部被強(qiáng)行趕進(jìn)屠宰場?！岸?xì)⒘藛幔俊被镉?jì)們怯生生地問?！安??！倍逗鋈幌氤鰝€(gè)怪主意，“把這1000頭豬排成一行，先殺第一頭，然后隔一頭殺一頭；殺完第一遍后，還是原來的隊(duì)形，再用同樣的方法殺第二遍；這樣一遍一遍地殺下去…”二愣停了停說，“最后只留下一頭豬?！倍缎南?，1000頭豬最后只留下一頭，看你還能活！哪里知道，這是一頭聰明的豬，趁著混亂，它很快找到了避難的位置，居然躲過了這一刀。請(qǐng)問，這頭豬到底排在什么位置上呢？點(diǎn)評(píng)：若正向思維，則寫1000個(gè)數(shù)字，一筆一筆一次一次地劃去奇數(shù)，夠繁夠亂的。倒過來想，這只聰明的豬最后一輪必在2號(hào)位，倒數(shù)第二輪必在4號(hào)位，倒數(shù)第三輪必在8號(hào)位，…，規(guī)律出來了，倒數(shù)n輪必在2n號(hào)位，由512=29<1000<210=1024,得，這只聰明的豬排在512號(hào)位。類似的例子還有“睡蓮滿池問題”：池塘里的睡蓮面積每天長大一倍。100天長滿整個(gè)池塘，那么第98天長到（）個(gè)池塘？案例15：95名乒乓球運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行單淘汰賽,最后決出冠軍,共需打多少場球?點(diǎn)評(píng)：常規(guī)解答要列許多行算式，還要考慮有人輪空。逆向思維，每場比賽淘汰1人，決出冠軍，要淘汰94人，