湖北省新春縣2024年高考數(shù)學(xué)三模試卷

請考生注意：

1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。

2.答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.正三棱柱ABC—AgG中，AAl=4iAB,。是的中點(diǎn)，則異面直線AD與4。所成的角為（）

,ABAC、

2.。是平面上的一定點(diǎn)，是平面上不共線的三點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足。。=。4+彳（年--+H7L：-

AB-cosBAC?cosC

4G（0,8）,則動點(diǎn)尸的軌跡一定經(jīng)過AA5C的（）

A.重心B.垂心C.外心D.內(nèi)心

3.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間（0,+?）上單調(diào)遞增的是（）

A.y=4xB./（x）=xsinxC./（x）=x2+|x|D.y=|x+l|

4.《九章算術(shù)》“少廣”算法中有這樣一個數(shù)的序列：列出“全步”（整數(shù)部分）及諸分子分母，以最下面的分母遍乘各

分子和“全步”，各自以分母去約其分子，將所得能通分之分?jǐn)?shù)進(jìn)行通分約簡，又用最下面的分母去遍乘諸（未通者）

分子和以通之?dāng)?shù)，逐個照此同樣方法，直至全部為整數(shù)，例如：〃=2及〃=3時，如圖：

記S”為每個序列中最后一列數(shù)之和，則臬為（）

A.147B.294C.882D.1764

X3+ei.nx

5.已知函數(shù)/(%)=三~~-——-~-一為奇函數(shù)，則機(jī)=()

(1+x)(m-x)+e+e

1

A.-B.1C.2D.3

2

6.已知橢圓C的中心為原點(diǎn)。，/（-26,0）為C的左焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，滿足|。。|=|。p|且|。R|=4,則橢圓

C的方程為（）

22.2,,2X2y2%V2

A.-%--1--y--11C.一+匕=1D.——+匕=1

25530104525

7.已知函數(shù)/(x)=sin(ox+0)(o>O,|9|wTT]),x=—TT；為/(x)的零點(diǎn)，x=TT了為y=/(%)圖象的對稱軸，且/(%)

在區(qū)嗚至上單調(diào)，則。的最大值是，）

A.12B.11C.10D.9

8.已知COS(20197+a)=，貝!)sine-2a)=()

7557

B.-C.——D.

9999

9.方程/（x）=/（X）的實(shí)數(shù)根X。叫作函數(shù)/（X）的“新駐點(diǎn)”，如果函數(shù)g（x）=lnx的，，新駐點(diǎn)”為。，那么。滿足（）

A.CL=1B.0<〃<1C.2<a<3D.l<a<2

10.一個由兩個圓柱組合而成的密閉容器內(nèi)裝有部分液體，小圓柱底面半徑為可，大圓柱底面半徑為馬，如圖1放置

h

容器時，液面以上空余部分的高為片,如圖2放置容器時，液面以上空余部分的高為生，則7r=（）

&

■胸I9RS2

、2\3

4

A.B.4C.4D.

3J

11.在AABC中,ZE4C=60°,AB=39AC=4,點(diǎn)Af滿足BM=2MC，則等于（）

A.10B.9C.8D.7

12.已知集合A={0,1,2,3},3={x|-2<xW2},則A8等于()

A.{0,1,2}B.{-2,-1,0,1,2}C.{-2-1,0,1,2,3}D.{112}

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在邊長為4的菱形ABC。中，A=60。,點(diǎn)P在菱形所在的平面內(nèi).若PA=3,PC=01,貝!J

PBPD=-

14.已知橢圓。：與+"=1（?！?〉0）的離心率是手，若以N（0,2）為圓心且與橢圓。有公共點(diǎn)的圓的最大半徑為

圓，此時橢圓C的方程是—.

15.正項(xiàng)等比數(shù)列|｛。“｝滿足4+%='|，且2。2,9%，。3成等差數(shù)列，則?（44+1）取得最小值時”的

值為_____

16.如果橢圓的對稱軸為坐標(biāo)軸，短軸的一個端點(diǎn)與兩焦點(diǎn)組成一正三角形，焦點(diǎn)在x軸上，且。-c=.Q,那么橢圓

的方程是.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）近年來，隨著“霧霾”天出現(xiàn)的越來越頻繁，很多人為了自己的健康，外出時選擇戴口罩，在一項(xiàng)對人們

霧霾天外出時是否戴口罩的調(diào)查中，共調(diào)查了120人，其中女性70人，男性50人，并根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)畫出等高條形圖

如圖所示：

B3代救”尊

■眼”次

（1）利用圖形判斷性別與霧霾天外出戴口罩是否有關(guān)系并說明理由；

（2）根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)建立一個2x2列聯(lián)表；

（3）能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為性別與霧霾天外出戴口罩的關(guān)系.

n(ad-be)2

(a+b)(c+d)(a+c)(Z?+d)

2

P(K)>k00.100.050.0100.005

k°2.7063.8416.6357.879

18.(12分)已知函數(shù)/(x)=f-6x+41nx

(1)求單調(diào)區(qū)間和極值；

(2)若存在實(shí)數(shù)a,0,c(O<a<b<c),使得了(。)=/(。)=/(c),求證：c-a<2

19.(12分)數(shù)列｛?！埃凉M足a“*0,%=1且?！?1+3a“+q=0.

(1)證明：數(shù)列F是等差數(shù)列，并求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛an-a.｝的前n項(xiàng)和Sn.

20.(12分)如圖，在直角梯形A3CD中，AB//DC,ZABC=9Q°,AB=2DC=2BC,E為A6的中點(diǎn)，沿DE

將AADE折起，使得點(diǎn)A到點(diǎn)尸位置，且PE工EB,M為PB的中點(diǎn)，N是上的動點(diǎn)(與點(diǎn)B,C不重合).

(I)證明：平面￡W_L平面尸5c垂直；

(II)是否存在點(diǎn)N,使得二面角8-EN-M的余弦值逅？若存在，確定N點(diǎn)位置；若不存在，說明理由.

6

21.(12分)圖1是由矩形AOE3,R3A3C和菱形3尸GC組成的一個平面圖形，其中AB=1,BE=BF=2,NFBC=6Q°,

將其沿A3,BC折起使得BE與5尸重合，連結(jié)OG,如圖2.

(1)證明：圖2中的A,C,G,。四點(diǎn)共面，且平面ABC,平面5CGE；

(2)求圖2中的二面角B-CG-A的大小.

22.(10分)己知等差數(shù)列｛%｝的公差dwO,卬=25,且％,an,八成等比數(shù)列?

(1)求使不等式為20成立的最大自然數(shù)”;

(2)記數(shù)列1」一|的前“項(xiàng)和為北，求證:

(anan+lJ

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1,C

【解析】

取耳。中點(diǎn)E,連接AE,CE,根據(jù)正棱柱的結(jié)構(gòu)性質(zhì)，得出A|E〃A￡),則NC4E即為異面直線A￡)與4。所

CE

成角，求出tanNCAE=丁高，即可得出結(jié)果.

AE

【詳解】

解：如圖，取用G中點(diǎn)E,連接4E,CE,

由于正三棱柱ABC-A與G，則BB]1底面451G，

而AEu底面45JG，所以

由正三棱柱的性質(zhì)可知，J4G為等邊三角形，

所以AE，用C，且AEBG=E,

所以平面5月GC,

而ECU平面551clC,則AEJLEC,

則4E〃皿N4EC=90°,

，ZCA,E即為異面直線AD與4。所成角，

設(shè)AB=2,則A4,=2應(yīng)，帖=6,CE=3,

CE_3

則tanZCAjE==6,

4E-^3

7T

：.ZCAlE=-.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查通過幾何法求異面直線的夾角，考查計(jì)算能力.

2、B

【解析】

解出AP，計(jì)算AP-BC并化簡可得出結(jié)論.

【詳解】

A3AC

AP=OP-OA=^\AB\COSBIACI-CO5C)

AB.BC!AC.BC

/.AP.BC=A=2(-|BC|+|BC|)=O,

AB\'cosB|AC|-craC

AP±BC'即點(diǎn)p在3c邊的高上，即點(diǎn)尸的軌跡經(jīng)過△ABC的垂心.

故選反

【點(diǎn)睛】

本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算在幾何中的應(yīng)用，根據(jù)條件中的角計(jì)算APBC是關(guān)鍵.

3、C

【解析】

結(jié)合基本初等函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性，結(jié)合各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

A：y=正為非奇非偶函數(shù)，不符合題意；

B：/（%）=心近%在（0,+8）上不單調(diào)，不符合題意；

C：y=d+|%|為偶函數(shù)，且在（0,+。）上單調(diào)遞增，符合題意；

D：y=|x+l|為非奇非偶函數(shù)，不符合題意.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，屬于基礎(chǔ)題.

4、A

【解析】

根據(jù)題目所給的步驟進(jìn)行計(jì)算，由此求得色的值.

【詳解】

依題意列表如下：

上列乘6上列乘5上列乘2

163060

j_

31530

2

1

21020

3

j_215

15

42~2

]_6

612

55

1

1510

6

所以$6=60+30+20+15+12+10=147.

故選：A

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查合情推理，考查中國古代數(shù)學(xué)文化，屬于基礎(chǔ)題.

5、B

【解析】

根據(jù)/(%)整體的奇偶性和部分的奇偶性，判斷出機(jī)的值.

【詳解】

依題意〃尤)是奇函數(shù).而丁=三+5也》為奇函數(shù)，'="+二為偶函數(shù)，所以g(%)=(l+H(加一X)為偶函數(shù)，故

g（%）—g（-%）=。，也即（1+尤）（祖-尤）_（1-尤）（m+%）=0,化簡得（2冽-2）%=0,所以加=1.

故選：B

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查根據(jù)函數(shù)的奇偶性求參數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.

6、B

【解析】

由題意可得c=26,設(shè)右焦點(diǎn)為F。由|OP|=|OF|=|OF，|知，

ZPFFr=ZFPO,ZOFT=ZOPFr,

所以NPFF，+NOFP=NFPO+NOPF。

由NPFF，+NOF，P+NFPO+NOPF，=180。知，

NFPO+NOPFTO。，即PF±PF,.

在RtAPFF，中，由勾股定理，得|PF'|=jEb'2_pF2=?4布丫—42=8,

由橢圓定義，得PF|+|PF，|=2a=4+8=12,從而a=6,得a?=36,

于是b2=a2-C2=36-（2A/5）"=16,

22

所以橢圓的方程為L+2L=I.

3616

故選B.

點(diǎn)睛：橢圓的定義：到兩定點(diǎn)距離之和為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡，當(dāng)和大于兩定點(diǎn)間的距離時，軌跡是橢圓，當(dāng)和等于兩定

點(diǎn)間的距離時，軌跡是線段（兩定點(diǎn)間的連線段），當(dāng)和小于兩定點(diǎn)間的距離時，軌跡不存在.

7、B

【解析】

由題意可得加（-￡）+°=林，且。?￡+夕=〃"+9故有0=2（〃-幻+1①，再根據(jù)占二.W一二，求得q,12②，

4422G34

由①②可得。的最大值，檢驗(yàn)。的這個值滿足條件.

【詳解】

解：函數(shù)/（x）=sin（。尤+。）（。>。，\（p\?,

%=-f7T為/（X）的零點(diǎn)，元=:77為丁=/（%）圖象的對稱軸，

44

（/）?（-—）+（/）=k7i,K+（p=v7i+—,k>左yz,/.0=2（〃一左）+1,即①為奇數(shù)①.

442

/(x)在弓，今單調(diào)，.?二.竺.",12②.

432。34

由①②可得。的最大值為L

7TJTJT

當(dāng)69=11時，由％=—為y=/(%)圖象的對稱軸，可得llx：+9=Qr+7，keZ,

442

故有e=-右，。.(_￡)+0=.，滿足x=-生為/(X)的零點(diǎn)，

444

(n乃)

同時也滿足滿足了⑺在I，W上單調(diào)，

故a>=n為。的最大值，

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查正弦函數(shù)的圖象的特征，正弦函數(shù)的周期性以及它的圖象的對稱性，屬于中檔題.

8、C

【解析】

7T

利用誘導(dǎo)公式得cos(2019/+a)=-cosa,sin(—-2?)=cos2?,再利用倍角公式，即可得答案.

2

【詳解】

由cos(2019萬+?)=可得cos(乃+(7)=**,costz=，

sin(--2a)=cos2a=2cos2a-l=2x--l=.

299

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查誘導(dǎo)公式、倍角公式，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時

注意三角函數(shù)的符號.

9、D

【解析】

由題設(shè)中所給的定義，方程/(X)=/(X)的實(shí)數(shù)根X。叫做函數(shù)/(X)的“新駐點(diǎn)”，根據(jù)零點(diǎn)存在定理即可求出。的大致

范圍

【詳解】

解：由題意方程/(X)=f'(x)的實(shí)數(shù)根X。叫做函數(shù)〃尤)的“新駐點(diǎn)”，

對于函數(shù)g(x)=/依，由于g'(X)=L

X

71

:.lnx=—,

x

設(shè)/?(*)=垢-工，該函數(shù)在(0,+8)為增函數(shù)，

X

."./?(1)=-l<0,/?(2)=ln2—^=ln2—hisfe>0,

;/(x)在(1,2)上有零點(diǎn)，

故函數(shù)8(彳)=圓的“新駐點(diǎn)”為。，那么l<a<2

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題是一個新定義的題，理解定義，分別建立方程解出。存在范圍是解題的關(guān)鍵，本題考查了推理判斷的能力，屬于

基礎(chǔ)題..

10、B

【解析】

根據(jù)空余部分體積相等列出等式即可求解.

【詳解】

在圖1中，液面以上空余部分的體積為他“；在圖2中，液面以上空余部分的體積為不々也.因?yàn)?=萬碎生，所

%UJ

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查圓柱的體積，屬于基礎(chǔ)題.

11、D

【解析】

利用已知條件，表示出向量AM，然后求解向量的數(shù)量積.

【詳解】

_-----1一2-

在AABC中，Z&4C=6O°,AB=3,AC=4,點(diǎn)M滿足BM=2MC，可得AM=-A3+—AC.

33

12-1-2221

則AB-AM=AB+-AC)=-AB+-AB-AC=3+-x3x4x-=7.

333332

【點(diǎn)睛】

本題考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算，關(guān)鍵是利用基向量表示所求向量.

12、A

【解析】

進(jìn)行交集的運(yùn)算即可.

【詳解】

A={0,1,2,3},B={%|-2>2],

AfB=[0,i,2）.

故選：A-

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了列舉法、描述法的定義，考查了交集的定義及運(yùn)算，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、-1

【解析】

以菱形的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，再設(shè)P（x,y），根據(jù)PA=3,PC=J五求出P的坐標(biāo)，進(jìn)而求得PB-PD

即可.

【詳解】

解：連接AC設(shè)AC,交于點(diǎn)0,以點(diǎn)。為原點(diǎn)，

分別以直線0co。為軸,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

則：A(-273,0),C(2V3,0),B(0,-2),0(0,2),

設(shè)P(x,y)

PA=3,PC=V21,

1+2南+丁=9

(%-273)2+/=21

①-②得,8氐=-12,

解得X=_@,

2

--'y=±p

f63VJ_V33'

:.P一~丁，)或產(chǎn)

\227\22J

顯然得出的.PD是定值,

、

[32

???取p一

7

則尸3,PD=

37

:.PBPD=-----=—1.

44

故答案為：-1.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了建立平面直角坐標(biāo)系求解向量數(shù)量積的有關(guān)問題,屬于中檔題.

22

14、土+乙=1

189

【解析】

根據(jù)題意設(shè))為橢圓上任意一點(diǎn),表達(dá)出『，再根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸與求解的關(guān)系分析最值求解即可.

P(x0,y0|PN

【詳解】

因?yàn)闄E圓的離心率是正,4=62+02,所以“2=2/,故橢圓方程為二+}=1.

22〃b2

因?yàn)橐訬(0,2)為圓心且與橢圓C有公共點(diǎn)的圓的最大半徑為后，所以橢圓C上的點(diǎn)到點(diǎn)N(0,2)的距離的最大值為

V26.

22

設(shè)P(X0,%)為橢圓上任意一點(diǎn)，則奈+*=1?

所以IPN「=婷+(%—2)2=2b2—X)(%—2)2

=-為2-4%+2b2+4(-Z?<y0<&)

2

因?yàn)?(%)=*-4%+2b+4(-Z?<y0<b)的對稱軸為為=-2.

⑴當(dāng)b>2時,/(%)在［—d—2］上單調(diào)遞增，在［-2,b］上單調(diào)遞減.

此時九x(y°)=/(-2)=8+2廿=26,解得〃=%

(ii)當(dāng)0<bW2時，/(%)在［―4句上單調(diào)遞減.

此時以x(%)=/(")=加+4)+4=26,解得力=而_2〉2舍去.

22

綜上〃=9,橢圓方程為土+匕=1.

189

22

故答案為：土+匕=1

189

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了橢圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離最值問題,需要根據(jù)題意設(shè)橢圓上的點(diǎn)，再求出距離，根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸與

區(qū)間的關(guān)系分析最值的取值點(diǎn)分類討論求解.屬于中檔題.

15、2

【解析】

先由題意列出關(guān)于q,q的方程，求得｛4｝的通項(xiàng)公式，再表示出即可求解.

【詳解】

解：設(shè)｛4｝公比為彘且q>0,

2

a3—a^q，%=a?q

2cx—1Q4=2Ca2+%

2x—a2/~2az+a?q

q2—^—2=0

q>0

q—2

A5

/.ax+4%=i

1

：.a=』X2"T=2'T

"4

3225

?■?^=?A+I=2"-X2"-=2--

.?.姑2bn=2-3X2-1XX22，，-5

_2-3+(-1)++(2n-5)

_2層-4〃

=2(〃-2)2-4

.??“=2時，上式有最小值2一4=_1,

16

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】

本題考查等比數(shù)列、等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)以及等比數(shù)列求積、求最值的有關(guān)運(yùn)算，中檔題.

16、±14-='11

：B睥

【解析】

由題意可設(shè)橢圓方程為：-=1U；：>??-I

(r夕

???短軸的一個端點(diǎn)與兩焦點(diǎn)組成一正三角形，焦點(diǎn)在X軸上

/.—=tan60=A/3

c

又(7-C二V)，〃?=L-廠

?“『二】為Q=櫻，

22

.?.橢圓的方程為土+工=1,

129

22

故答案為二+乙=1.

129

考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，解三角形以及解方程組的相關(guān)知識.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)圖形見解析，理由見解析；(2)見解析；(3)犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為性別與霧霾天外出戴口

罩有關(guān)系

【解析】

(1)利用等高條形圖中兩個深顏色條的高比較得出性別與霧霾天外出戴口罩有關(guān)系；

(2)填寫2x2列聯(lián)表即可；

(3)由表中數(shù)據(jù)，計(jì)算觀測值，對照臨界值得出結(jié)論.

【詳解】

解：(1)在等高條形圖中，兩個深色條的高分別表示女性和男性中霧霾天外出戴口罩的頻率，比較圖中兩個深色條的

高可以發(fā)現(xiàn)，女性中霧霾天外出帶口罩的頻率明顯高于男性中霧霾天外出帶口罩的頻率，因此可以認(rèn)為性別與霧霾天

外出帶口罩有關(guān)系.

(2)2x2列聯(lián)表如下：

戴口罩不戴口罩合計(jì)

女性422870

男性203050

合計(jì)6258120

⑶由⑵中數(shù)據(jù)可得：-2。彩峰言；8):4.672〉3.841.

所以，在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為性別與霧霾天外出戴口罩有關(guān)系.

【點(diǎn)睛】

本題考查了列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問題，也考查了登高條形圖的應(yīng)用問題，屬于基礎(chǔ)題.

18、(1)xe(0,l)u(2,+8)時，函數(shù)單調(diào)遞增，%e(l,2),,函數(shù)單調(diào)遞減，/(%)^4^2-8;/(%)_-5；(2)見

解析

【解析】

(1)求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可得到函數(shù)的極值；

(2)易得機(jī)e(41n2—8,—5)且0<0<1<〃<2<0,要證明0—。<2,即證0<2+。，即證/(。)=/9)</(4+2),

即/(?+2)—/(〃+2)>0對V。e(0,1)恒成立，構(gòu)造函數(shù)

g(x)=/(x+2)—/(無)，%e(O,l),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可得證;

【詳解】

解：(1)因?yàn)?0)=12-6工+4111%定義域?yàn)?0,+8),

所以/'(x)=2(x—DQ—0

.?.xe(0,l)u(2,+8)時，尸。)>。，即/(%)在(0,1)和(2,小)上單調(diào)遞增，當(dāng)xe(l,2)時，尸。)<0,即函數(shù)

/(九)在(1,2)單調(diào)遞減，

所以/(%)在％=2處取得極小值，在x=l處取得極大值；

???Ax)極小值=/(2)=41n2-8,7(x)極大值=/(D=-5；

(2)易得根￡(41n2—8,—5),。VQ〈lvbv2<c,

要證明c—Q<2,即證CV2+〃，即證/(C)=/3)V/3+2)

即證f(a+2)—/(a+2)>0對V。e(0,1)恒成立，

令g(x)=/(x+2)—/(x),xe(0,l),

貝！Ig'(x)=/'(x+2)—/'(x)="R-刃〉0

x~+2x

令g'(x)>0,解得l〉x>6—1，即g(x)在(班—U)上單調(diào)遞增；

令g'(x)<0,解得0<x<6—1,即g(x)在(0,百—1)上單調(diào)遞減；

則g(x)在％=君-1取得極小值，也就是最小值，

g(x)1njn=—1)=4,\/3—12+41n(-\/3+1)—41n(-\/3—1)>4-^/3—12+4Ine—4(\^-2)=0從而結(jié)論得證.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，屬于

中檔題.

]TI

19、(1)證明見解析，an=-~-；(2)——-

3/1-23n+l

【解析】

11c

(1)利用4+1-+3?！?14=0,推出--------=3,然后利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求解；

a”

(2)由(1)知4.4+]=5(」-—利用裂項(xiàng)法，即可求解數(shù)列的前〃項(xiàng)和.

33n—23n+l

【詳解】

(1)由題意，數(shù)列｛%｝滿足巧產(chǎn)o且4+1-an+3an+1an=0

11cc11c

可得--------+3=0,即---------=3,

aaa

nn+ln+l%

111,

所以數(shù)列一是公差d=3,首項(xiàng)一=7=1的等差數(shù)列,

4,41

故^-=1+3(〃-1)=3〃-2,所以為=—i—.

??3/1-2

1111、

⑵由⑴知)z"⑶，

所以數(shù)列｛%.4+J的前〃項(xiàng)和:

1

3

:_Q_)_

33n+l3〃+1

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及“裂項(xiàng)法”求解數(shù)列的前〃項(xiàng)和，其中解答中熟記等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公

式，合理利用“裂項(xiàng)法”求和是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力.

20、(I)見解析(II)存在，此時N為的中點(diǎn).

【解析】

(I)證明PE_L平面￡BCZ),得到平面平面EBCD,故平面PBC_L平面PEB,EM_L平面P5C,得到

答案.

(II)假設(shè)存在點(diǎn)N滿足題意，過M作于。，平面EBCD,過Q作QRLEN于R,連接"R,

則過Q作QALEN于R,連接MR,NMR。是二面角3—EN—M的平面角，設(shè)PE=EB=BC=2,

BN=x,計(jì)算得到答案.

【詳解】

(I)YPEJLEB,PE1ED,EBED=E,；.PE工平面EBCD.

又PEu平面PEB，二平面PEB，平面EBCD,

而BCu平面￡BC￡>,BCLEB,.,.平面平面PEB,

由PE=EB,。河=43知石"_1_依，可知上70，平面尸5C,

又EMu平面EMN,.?.平面J_平面P5c.

(II)假設(shè)存在點(diǎn)N滿足題意，過M作M0LE5于。，由PELEB知PE//MQ,

易證PE，平面EBCD,所以M2，平面EBCD,

過。作QALEV于R,連接"R,則ENJ_MR(三垂線定理)，

即NMR。是二面角3-￡/V-"的平面角，

不妨設(shè)PE=EB=BC=2,則MQ=L

BNEN

在RtAEBN中，設(shè):BN=x(0<%<2),由RtAEBN~RtAERQ得，—=—

RQEQ

MQ正+4

即上=Jt+Y,得RQ=1；.tanZMRQ=

RQ1V22+x2RQx

依題意知COSNMRQ=45，即tanNMRQ=''+4=石,解得x=le(0,2),

6x

此時N為BC的中點(diǎn).

綜上知，存在點(diǎn)N,使得二面角5-EN-M的余弦值逅，此時N為的中點(diǎn).

6

【點(diǎn)睛】

本題考查了面面垂直，根據(jù)二面角確定點(diǎn)的位置，意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力，也可以建立空間直角坐

標(biāo)系解得答案.

21、(1)見詳解；(2)30.

【解析】

(1)因?yàn)檎奂埡驼澈喜桓淖兙匦蜛BED,RtABC和菱形BFGC內(nèi)部的夾角，所