江西名校學(xué)術(shù)聯(lián)盟2024年高一下數(shù)學(xué)期末質(zhì)量檢測(cè)試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線(xiàn)內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．下列函數(shù)中，最小正周期為的是（）A． B． C． D．2．化簡(jiǎn)：（）A． B． C． D．3．已知且，則為（）A． B． C． D．4．過(guò)△ABC的重心任作一直線(xiàn)分別交邊AB，AC于點(diǎn)D、E．若,，，則的最小值為（）A．4 B．3 C．2 D．15．古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問(wèn)題：“今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問(wèn)日織幾何？”意思是：“一女子善于織布，每天織布都是前一天的2倍，已知她5天共織布5尺，問(wèn)這女子每天分別織布多少？”根據(jù)上題的已知條件，若要使織布的總尺數(shù)不少于30，該女子所需的天數(shù)至少為（）A．7 B．8 C．9 D．106．向量，若，則的值是（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)f(x)=5sinωx-π3(ω>0)，若A．0,16 B．0,168．從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，則互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是（）A．恰有1個(gè)黑球與恰有2個(gè)黑球 B．至少有一個(gè)紅球與都是黑球C．至少有一個(gè)黑球與至少有1個(gè)紅球 D．至少有一個(gè)黑球與都是黑球9．已知函數(shù)，若存在滿(mǎn)足，且，則n的最小值為（）A．3 B．4 C．5 D．610．若函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A．或 B．C．或 D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知直線(xiàn)l在y軸上的截距為1，且垂直于直線(xiàn)，則的方程是____________.12．已知正方體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)、分別為、的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為_(kāi)_____.13．已知直線(xiàn)與圓相交于兩點(diǎn)，則______.14．一艘輪船按照北偏西30°的方向以每小時(shí)21海里的速度航行，一個(gè)燈塔M原來(lái)在輪船的北偏東30°的方向，經(jīng)過(guò)40分鐘后，測(cè)得燈塔在輪船的北偏東75°的方向，則燈塔和輪船原來(lái)的距離是_____海里．15．已知向量，，且，點(diǎn)在圓上，則等于．16．已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足條件，則的最大值是________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，且點(diǎn)在直線(xiàn)上.（1）求直線(xiàn)的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)，若直線(xiàn)，與軸圍成的三角形的面積為2，求直線(xiàn)的方程.18．在中，，，的對(duì)邊分別為，，，已知．（1）判斷的形狀；（2）若，，求．19．近年來(lái)，某地大力發(fā)展文化旅游創(chuàng)意產(chǎn)業(yè)，創(chuàng)意維護(hù)一處古寨，幾年來(lái)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，古寨的使用年限x（年）和所支出的維護(hù)費(fèi)用y（萬(wàn)元）的相關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示，根據(jù)以往資料顯示y對(duì)x呈線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系.（1）求出y關(guān)于x的回歸直線(xiàn)方程；（2）試根據(jù)（1）中求出的回歸方程，預(yù)測(cè)使用年限至少為幾年時(shí)，維護(hù)費(fèi)用將超過(guò)10萬(wàn)元？參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸方程的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為.20．已知數(shù)列中，，.(1)令，求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)令，為數(shù)列的前項(xiàng)和，求.21．已知夾角為，且，，求：（1）；（2）與的夾角．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】

由函數(shù)的最小正周期為，逐個(gè)選項(xiàng)運(yùn)算即可得解.【詳解】解:對(duì)于選項(xiàng)A,的最小正周期為,對(duì)于選項(xiàng)B,的最小正周期為,對(duì)于選項(xiàng)C,的最小正周期為,對(duì)于選項(xiàng)D,的最小正周期為,故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的最小正周期，屬基礎(chǔ)題.2、A【解析】

.故選A．【點(diǎn)睛】考查向量數(shù)乘和加法的幾何意義，向量加法的運(yùn)算．3、B【解析】由題意得，因?yàn)?，即，所以，又，又，且，所以，故選B．4、B【解析】

利用重心以及向量的三點(diǎn)共線(xiàn)的結(jié)論得到的關(guān)系式，再利用基本不等式求最小值.【詳解】設(shè)重心為，因?yàn)橹匦姆种芯€(xiàn)的比為，則有，，則，又因?yàn)槿c(diǎn)共線(xiàn)，所以，則，取等號(hào)時(shí).故選B.【點(diǎn)睛】（1）三角形的重心是三條中線(xiàn)的交點(diǎn)，且重心分中線(xiàn)的比例為；（2）運(yùn)用基本不等式時(shí)，注意取等號(hào)時(shí)條件是否成立.5、B【解析】試題分析：設(shè)該女子第一天織布尺，則，解得，所以前天織布的尺數(shù)為，由，得，解得的最小值為，故選B．考點(diǎn)：等比數(shù)列的應(yīng)用．6、C【解析】

由平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算與共線(xiàn)定理，列方程求出λ的值．【詳解】向量=（-4，5），=（λ，1），則-=（-4-λ，4），又（-）∥，所以-4-λ-4λ=0，解得λ=-．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算與共線(xiàn)定理應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．7、B【解析】

由題得ωπ-π3<ωx-【詳解】因?yàn)棣?lt;x≤2π，ω>0，所以ωπ-π因?yàn)閒x在區(qū)間(π,2π]所以ωπ-π3≥kπ解得k+13≤ω<因?yàn)閗+1所以-4因?yàn)閗∈Z，所以k=-1或k=0．當(dāng)k=-1時(shí)，0<ω<16；當(dāng)k=0時(shí)，故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題和三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平，屬于中檔題.8、A【解析】

從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋中任取2個(gè)球，包括3種情況：①恰有一個(gè)黑球，②恰有兩個(gè)黑球，③沒(méi)有黑球．

故恰有一個(gè)黑球與恰有兩個(gè)黑球不可能同時(shí)發(fā)生，它們是互斥事件，再由這兩件事的和不是必然事件，故他們是互斥但不對(duì)立的事件，

故選：A．9、D【解析】

根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)任意（i，j=1，2，3，…，n），都有，因此要使得滿(mǎn)足條件的n最小，則盡量讓更多的取值對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是最值點(diǎn)，然后再對(duì)應(yīng)圖象取值.【詳解】，因?yàn)檎液瘮?shù)對(duì)任意（i，j=1，2，3，…，n），都有，要使n取得最小值，盡可能多讓?zhuān)╥=1，2，3，…，n）取得最高點(diǎn)，因?yàn)椋砸沟脻M(mǎn)足條件的n最小，如圖所示則需取，，，，，，即取，，，，，，即．故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦函數(shù)的圖象，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于中檔題.10、A【解析】

根據(jù)題意，原題等價(jià)于，再討論即可得到結(jié)論．【詳解】由題，故函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于即當(dāng)時(shí)，，,符合題意；當(dāng)，時(shí)，令，滿(mǎn)足解得,綜上的取值范圍是或故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)，對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)根的分布問(wèn)題，考查了分類(lèi)討論思想，屬于中檔題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、；【解析】試題分析：設(shè)垂直于直線(xiàn)的直線(xiàn)為，因?yàn)橹本€(xiàn)在軸上的截距為，所以，所以直線(xiàn)的方程是.考點(diǎn)：兩直線(xiàn)的垂直關(guān)系.12、【解析】

作出圖形，取的中點(diǎn)，連接，證明平面，可知點(diǎn)平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，然后利用等體積法計(jì)算出點(diǎn)到平面的距離，即為所求.【詳解】如下圖所示，取的中點(diǎn)，連接，在正方體中，且，、分別為、的中點(diǎn)，且，所以，四邊形為平行四邊形，且，又，，平面，平面，平面，則點(diǎn)平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，的面積為，在正方體中，平面，且平面，，易知三棱錐的體積為.的面積為.設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)到平面的距離的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等體積法的合理運(yùn)用．13、【解析】

首先求出圓的圓心坐標(biāo)和半徑，計(jì)算圓心到直線(xiàn)的距離，再計(jì)算弦長(zhǎng)即可.【詳解】圓，，圓心，半徑.圓心到直線(xiàn)的距離..故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系中的弦長(zhǎng)問(wèn)題，熟練掌握弦長(zhǎng)公式為解題的關(guān)鍵，屬于簡(jiǎn)單題.14、【解析】

畫(huà)出示意圖，利用正弦定理求解即可.【詳解】如圖所示：為燈塔，為輪船，，則在中有：，且海里，則解得：海里.【點(diǎn)睛】本題考查解三角形的實(shí)際應(yīng)用，難度較易.關(guān)鍵是能通過(guò)題意將航海問(wèn)題的示意圖畫(huà)出，然后選用正余弦定理去分析問(wèn)題.15、【解析】試題分析：因?yàn)榍以趫A上，所以，解得，所以．考點(diǎn)：向量運(yùn)算．【思路點(diǎn)晴】平面向量的數(shù)量積計(jì)算問(wèn)題，往往有兩種形式，一是利用數(shù)量積的定義式，二是利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，涉及幾何圖形的問(wèn)題，先建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，可起到化繁為簡(jiǎn)的妙用．利用向量夾角公式、模公式及向量垂直的充要條件，可將有關(guān)角度問(wèn)題、線(xiàn)段長(zhǎng)問(wèn)題及垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積來(lái)解決．列出方程組求解未知數(shù)．16、8【解析】

畫(huà)出滿(mǎn)足約束條件的可行域,利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求解最大值即可.【詳解】實(shí)數(shù),滿(mǎn)足條件的可行域如下圖所示:將目標(biāo)函數(shù)變形為:,則要求的最大值,即使直線(xiàn)的截距最大,由圖可知,直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)時(shí)截距最大,,故答案為:8.【點(diǎn)睛】本題考查線(xiàn)性規(guī)劃的簡(jiǎn)單應(yīng)用,解題關(guān)鍵是明確目標(biāo)函數(shù)的幾何意義.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）或.【解析】

（1）根據(jù)直線(xiàn)在兩坐標(biāo)軸上的截距相等列出直線(xiàn)方程，然后代入點(diǎn)即可求出直線(xiàn)方程；（2）首先根據(jù)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)設(shè)出直線(xiàn)方程，然后列出三角形的面積公式，根據(jù)面積等于2求出直線(xiàn)的方程.【詳解】（1）因?yàn)橹本€(xiàn)在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，設(shè)直線(xiàn)：，將點(diǎn)代入方程，得，所以直線(xiàn)的方程為；（2）①若直線(xiàn)的斜率不存在，則直線(xiàn)的方程為，直線(xiàn)，直線(xiàn)和軸圍成的三角形的面積為2，則直線(xiàn)的方程為符合題意，②若直線(xiàn)的斜率，則直線(xiàn)與軸沒(méi)有交點(diǎn)，不符合題意，③若直線(xiàn)的斜率，設(shè)其方程為，令，得，由（1）得直線(xiàn)交軸，依題意有，即，解得，所以直線(xiàn)的方程為，即，綜上，直線(xiàn)的方程為或.【點(diǎn)睛】本題考查了直線(xiàn)方程的求解與直線(xiàn)方程的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.18、（1）為直角三角形或等腰三角形（2）【解析】

（1）由正弦定理和題設(shè)條件，得，再利用三角恒等變換的公式，化簡(jiǎn)得，進(jìn)而求得或，即可得到答案．（2）在中，利用余弦定理，求得，即可求得的值．【詳解】（1）由正弦定理可知，代入，，又由,所以，所以，所以，則，則或，所以或，所以為直角三角形或等腰三角形．（2）因?yàn)椋瑒t為等腰三角形，從而，由余弦定理，得，所以．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解決三角形的邊角關(guān)系，熟練掌握定理、合理運(yùn)用是解本題的關(guān)鍵．通常當(dāng)涉及兩邊及其中一邊的對(duì)角或兩角及其中一角對(duì)邊時(shí)，運(yùn)用正弦定理求解；當(dāng)涉及三邊或兩邊及其夾角時(shí)，運(yùn)用余弦定理求解.19、（1）（2）使用年限至少為14年時(shí)，維護(hù)費(fèi)用將超過(guò)10萬(wàn)元【解析】

（1）由已知圖形中的數(shù)據(jù)求得與的值，則線(xiàn)性回歸方程可求；（2）直接由求得的范圍得答案．【詳解】（1），，，．故線(xiàn)性回歸方程為；（2）由，解得．故使用年限至少為14年時(shí)，維護(hù)費(fèi)用將超過(guò)10萬(wàn)元．【點(diǎn)睛】本題考查線(xiàn)性回歸方程的求法，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．20、（1）見(jiàn)解析（2）（3）【解析】

(1)計(jì)算，得證數(shù)列為等比數(shù)列.(2)先求出的通項(xiàng)公式，再計(jì)算數(shù)列的通項(xiàng)公式.(3)計(jì)算，根據(jù)錯(cuò)位