第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年廣東省深圳市平湖外國語學(xué)校高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù)z=(1?i)2(A.?2 B.2 C.?2i2.已知平面向量a=(1,2)，b=A.4 B.?6 C.?10 3.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若a2+A.π4 B.π3 C.2π4.在△ABC中，B=45°A.60° B.60°或120° C.120° 5.已知某圓錐的底面半徑是高的一半，則其側(cè)面展開圖的圓心角的大小為(

)A.55π B.2556.平面向量a與b的夾角為60°，a=(2,0)A.3 B.23 C.47.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知asinBA.1+2 B.2+28.中國南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家祖沖之、祖暅父子總結(jié)了魏晉時(shí)期著名數(shù)學(xué)家劉徽的有關(guān)工作，提出“冪勢既同，則積不容異”.“冪”是截面積，“勢”是幾何體的高.詳細(xì)點(diǎn)說就是，界于兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被任一平行于這兩個(gè)平面的平面所截，如果兩個(gè)截面的面積相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等.上述原理在中國被稱為祖暅原理.一個(gè)上底面邊長為2，下底面邊長為4，高為32的正六棱臺(tái)與一個(gè)不規(guī)則幾何體滿足“冪勢既同”，則該不規(guī)則幾何體的體積為(

)A.366 B.426 C.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知向量a=(1,?2)，A.若a//b，則y=?2x

B.若a//b，則x=2y

C.若a⊥b，x+y=10.在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，A.直線DD1與直線AF異面

B.直線A1G與平面AEF平行

C.平面AEF截正方體所得的截面是等腰梯形

11.已知復(fù)數(shù)z1=2?2i(i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為PA.點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(2,?2) B.z1?=2三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.如圖，水平放置的△ABC的斜二測直觀圖是圖中的△A′B′C′，若A′

13.若1+i(i為虛數(shù)單位)是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)一元二次方程x2+k14.如圖，正方形ABCD的邊長為6，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC邊上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，AF與DE交于M，則

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z=(m2?2m?3)+(m?3)i(m∈R)的點(diǎn)為Z．

(1)當(dāng)實(shí)數(shù)16.(本小題15分)

如圖，已知圓錐的底面半徑R=6，高h(yuǎn)=8，過PO上一點(diǎn)O′作平行于底面的截面，以該截面為底面挖去一個(gè)圓柱．

(1)17.(本小題15分)

如圖所示，在四棱錐P?ABCD中，BC/?/平面PAD，BC=12AD，E18.(本小題17分)

如圖，在銳角△ABC中，點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn)，AD=3，且sinB=368，cos∠ADC=?14．

(19.(本小題17分)

已知a1，a2是平面內(nèi)任意兩個(gè)非零不共線向量，過平面內(nèi)任一點(diǎn)O作OA1=a1，OA2=a2，以O(shè)為原點(diǎn)，分別以射線OA1、OA2為x、y軸的正半軸，建立平面坐標(biāo)系，如圖(1).我們把這個(gè)由基底a1，a2確定的坐標(biāo)系xOy稱為基底{a1,a2}坐標(biāo)系xOy.當(dāng)向量a1，a2不垂直時(shí)，坐標(biāo)系xOy就是平面斜坐標(biāo)系，簡記為{O；a1,a2}.對平面內(nèi)任一點(diǎn)P，連結(jié)OP，由平面向量基本定理可知，存在唯一實(shí)數(shù)對(x,y)，使得OP=xa1+ya2，則稱實(shí)數(shù)對(x,y)為點(diǎn)P在斜坐標(biāo)系{O；a1,a2}中的坐標(biāo)．

答案和解析1.【答案】A

【解析】解：z=(1?i)2=1?2i+2.【答案】C

【解析】解：平面向量a=(1,2)，b=(m,?4)，且a//b，

∴1×(3.【答案】B

【解析】解：cosC=a2+b2?c22ab=14.【答案】B

【解析】解：在△ABC中，B=45°,a=6,b=26，

所以a>b，

由正弦定理，asinA=5.【答案】B

【解析】解：設(shè)圓錐的底面半徑為r，則高為2r，所以母線長為r2+(2r)2=5r，

所以圓錐側(cè)面展開圖扇形的半徑為5r，

又圓錐側(cè)面展開圖扇形的弧長為圓錐的底面周長，即2πr，

所以側(cè)面展開圖的圓心角的大小為26.【答案】B

【解析】解：由已知|a|=2，

|a+2b|2=a7.【答案】A

【解析】解：因?yàn)閍

sin

B=b

cos

A，所以sin

A

sin

B=sin

B

cos

A(sin

B>0)，

所以sin

A=cos

A，可得tan

A=1，又0<A<π，所以A=π4，

所以a2=b2+c2?2bc8.【答案】B

【解析】解：由祖暅原理可知，該不規(guī)則幾何體的體積與正六棱臺(tái)的體積相等，

∵正六棱臺(tái)的上下底面邊長分別為2和4，

則S上=6×12×2×2×32=69.【答案】AC【解析】解：向量a=(1,?2)，b=(x,y)，a//b，

則y=?2x，A正確，B錯(cuò)誤．

若a⊥b，且x+y=3，

則x?10.【答案】AB【解析】解：如圖，

對于選項(xiàng)A，根據(jù)異面直線的判定定理可知AF與DD1異面，故選項(xiàng)A正確；

對于選項(xiàng)B，取B1C1的中點(diǎn)為M，連接A1M、GM，則A1M/?/AE，GM//EF，

易證平面A1MG/?/平面AEF，從而A1G/?/平面AEF，故選項(xiàng)B正確；11.【答案】AB【解析】解：因?yàn)閺?fù)數(shù)z1=2?2i(i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為P1，所以點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(2,?2)，故A正確；

因?yàn)閦1=2?2i，所以z1?=2+2i，故B正確；

設(shè)z2=x+yi(x,y∈R)，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為P(x,y)，設(shè)A(0,1)，因?yàn)閨z212.【答案】5

【解析】解：將直觀圖還原為原圖形，如圖所示，

則AC=A′C′=3，BC=2B′C13.【答案】?2【解析】解：因?yàn)?+i是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)一元二次方程x2+kx+2=0的一個(gè)虛根，

所以(1+i)2+k(1+i14.【答案】2【解析】解：如圖所示，建立以點(diǎn)A為原點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)系，

則D(0,6)，E(3,0)，A(0,0)，F(xiàn)(6,2)，

∴DE=(3,?6)，AF=(6,15.【答案】解：(1)由m2?2m?3=0m?3≠0，解得m=?1，此時(shí)復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)，虛部為?4；

(2)由m2?【解析】(1)根據(jù)純虛數(shù)的定義求解m，然后可求虛部；

(2)根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義列式計(jì)算；

(3)根據(jù)點(diǎn)Z位于直線y=16.【答案】解：(1)∵圓錐的底面半徑R=6，高h(yuǎn)=8．

∴圓錐的母線長l=62+82=100=10，

圓錐體積V錐=13πR2h=96π．

設(shè)圓柱的高h(yuǎn)′，則rR=8?h′8=36，所以h′=4，

則圓柱體積V柱=πr2h′=36π，

剩余部分體積為V剩=V錐?V柱=96π?36π=60π．

(2)【解析】(1)計(jì)算出圓錐和圓柱的體積即可．

(217.【答案】證明：(1)在四棱錐P?ABCD中，BC/?/平面PAD，

BC?平面ABCD，

平面ABCD∩平面PAD=AD，

∴BC/?/AD．

(2)取PA的中點(diǎn)F，連接EF，BF，

∵E是PD的中點(diǎn)，

【解析】(1)根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理即可證明；

(2)取PA的中點(diǎn)F，連接E18.【答案】解：(1)由cos∠ADC=?14，可得cos∠ADB=14，

所以sin∠ADB=1?116=154，又AD=3，sinB=368，

在△ABD中，由正弦定理，可得ABsin∠ADB=ADsinB，

即AB=3368×154=10，故AB邊的長為10；

(2)由s【解析】(1)首先求得sin∠ADB，再由正弦定理即可求得AB；

(2)首先求得sin∠BAD，再由正弦定理求得BD，根據(jù)D為BC中點(diǎn)，得S△19.