31.圓的相關(guān)概念代碼中考題及解析3101（2020黔東南州）如圖，⊙O的直徑CD＝20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為M，OM：OC＝3：5，則AB的長為（C）A．8 B．12 C．16 D．2【解析】選C．連接OA，∵⊙O的直徑CD＝20，OM：OD＝3：5，∴OD＝10，OM＝6，∵AB⊥CD，∴AM＝＝＝8，∴AB＝2AM＝16．3101（2020濟寧）如圖，在△ABC中，點D為△ABC的內(nèi)心，∠A＝60°，CD＝2，BD＝4．則△DBC的面積是（B）A．4 B．2 C．2 D．4【解析】選B．過點B作BH⊥CD于點H．∵點D為△ABC的內(nèi)心，∠A＝60°，∴∠DBC+∠DCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A），∴∠BDC＝90°+∠A＝90°+×60°＝120°，則∠BDH＝60°，∵BD＝4，∴DH＝2，BH＝2，∵CD＝2，∴△DBC的面積＝CD?BH＝＝2，3101（2020杭州）如圖，已知BC是⊙O的直徑，半徑OA⊥BC，點D在劣弧AC上（不與點A，點C重合），BD與OA交于點E．設(shè)∠AED＝α，∠AOD＝β，則（D）A．3α+β＝180° B．2α+β＝180° C．3α﹣β＝90° D．2α﹣β＝90°【解析】選D．∵OA⊥BC，∴∠AOB＝∠AOC＝90°，∴∠DBC＝90°﹣∠BEO＝90°﹣∠AED＝90°﹣α，∴∠COD＝2∠DBC＝180°﹣2α，∵∠AOD+∠COD＝90°，∴β+180°﹣2α＝90°，∴2α﹣β＝90°，3101（2020紹興）如圖，點A，B，C，D，E均在⊙O上，∠BAC＝15°，∠CED＝30°，則∠BOD的度數(shù)為（D）A．45° B．60° C．75° D．90°【解析】選D．連接BE，∵∠BEC＝∠BAC＝15°，∠CED＝30°，∴∠BED＝∠BEC+∠CED＝45°，∴∠BOD＝2∠BED＝90°．3101（2020臺州）如圖，已知線段AB，分別以A，B為圓心，大于AB同樣長為半徑畫弧，兩弧交于點C，D，連接AC，AD，BC，BD，CD，則下列說法錯誤的是（D）A．AB平分∠CAD B．CD平分∠ACB C．AB⊥CD D．AB＝CD【解析】選D．由作圖知AC＝AD＝BC＝BD，∴四邊形ACBD是菱形，∴AB平分∠CAD、CD平分∠ACB、AB⊥CD，不能判斷AB＝CD，3101（2020濱州）在⊙O中，直徑AB＝15，弦DE⊥AB于點C，若OC：OB＝3：5，則DE的長為（C）A．6 B．9 C．12 D．15【解析】選C．如圖所示：∵直徑AB＝15，∴BO＝7.5，∵OC：OB＝3：5，∴CO＝4.5，∴DC＝＝6，∴DE＝2DC＝12．3101（2020聊城）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為點M，連接OC，DB．如果OC∥DB，OC＝2，那么圖中陰影部分的面積是（B）A．π B．2π C．3π D．4π【解析】選B．連接OD，BC，∵CD⊥AB，OC＝OD，∴DM＝CM，∠COB＝∠BOD，∵OC∥BD，∴∠COB＝∠OBD，∴∠BOD＝∠OBD，∴OD＝DB，∴△BOD是等邊三角形，∴∠BOD＝60°，∴∠BOC＝60°，∵DM＝CM，∴S△OBC＝S△OBD，∵OC∥DB，∴S△OBD＝S△CBD，∴S△OBC＝S△DBC，∴圖中陰影部分的面積＝＝2π，3101（2020涼山州）如圖，等邊三角形ABC和正方形ADEF都內(nèi)接于⊙O，則AD：AB＝（B）A．2： B．： C．： D．：2【解析】選B．連接OA、OB、OD，過O作OH⊥AB于H，如圖所示：則AH＝BH＝AB，∵正方形ABCD和等邊三角形AEF都內(nèi)接于⊙O，∴∠AOB＝120°，∠AOD＝90°，∵OA＝OD＝OB，∴△AOD是等腰直角三角形，∠AOH＝∠BOH＝×120°＝60°，∴AD＝OA，AH＝OA?sin60°＝OA，∴AB＝2AH＝2×OA＝OA，∴＝＝，3101（2020遂寧）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，點O在AB上，經(jīng)過點A的⊙O與BC相切于點D，交AB于點E，若CD＝，則圖中陰影部分面積為（B）A．4﹣ B．2﹣ C．2﹣π D．1﹣【解析】選B．連接OD，過O作OH⊥AC于H，如圖，∵∠C＝90°，AC＝BC，∴∠B＝∠CAB＝45°，∵⊙O與BC相切于點D，∴OD⊥BC，∴四邊形ODCH為矩形，∴OH＝CD＝，在Rt△OAH中，∠OAH＝45°，∴OA＝OH＝2，在Rt△OBD中，∵∠B＝45°，∴∠BOD＝45°，BD＝OD＝2，∴圖中陰影部分面積＝S△OBD﹣S扇形DOE＝×2×2﹣＝2﹣π．3101（2020泰安）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD是直徑，AD＝8，則AC的長為（B）A．4 B．4 C． D．2【解析】選B．連接CD，∵AB＝BC，∠BAC＝30°，∴∠ACB＝∠BAC＝30°，∴∠B＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∴∠D＝180°﹣∠B＝60°，∴∠CAD＝30°，∵AD是直徑，∴∠ACD＝90°，∵AD＝8，∴CD＝AD＝4，∴AC＝＝＝4，3101（2020達(dá)州）如圖，在半徑為5的⊙O中，將劣弧AB沿弦AB翻折，使折疊后的恰好與OA、OB相切，則劣弧AB的長為（B）A．π B．π C．π D．π【解析】選B．如圖，作O點關(guān)于AB的對稱點O′，連接O′A、O′B，∵OA＝OB＝O′A＝O′B，∴四邊形OAO′B為菱形，∵折疊后的與OA、OB相切，∴O′A⊥OA，O′B⊥OB，∴四邊形OAO′B為正方形，∴∠AOB＝90°，∴劣弧AB的長＝＝π．3101（2020瀘州）如圖，⊙O中，＝，∠ABC＝70°．則∠BOC的度數(shù)為（C）A．100° B．90° C．80° D．70°【解析】選C．∵＝，∴∠ABC＝∠ACB＝70°，∴∠A＝180°﹣70°﹣70°＝40°，∴∠BOC＝2∠A＝80°．3101（2020牡丹江）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，連接BD．若，∠BDC＝50°，則∠ADC的度數(shù)是（B）A．125° B．130° C．135° D．140°【解析】選B．連接OA，OB，OC，∵∠BDC＝50°，∴∠BOC＝2∠BDC＝100°，∵，∴∠BOC＝∠AOC＝100°，∴∠ABC＝∠AOC＝50°，∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝130°．3101（2020連云港）10個大小相同的正六邊形按如圖所示方式緊密排列在同一平面內(nèi)，A、B、C、D、E、O均是正六邊形的頂點．則點O是下列哪個三角形的外心（D）A．△AED B．△ABD C．△BCD D．△ACD【解析】選D．∵三角形的外心到三角形的三個頂點的距離相等，∴從O點出發(fā)，確定點O分別到A，B，C，D，E的距離，只有OA＝OC＝OD．3101（2020臨沂）如圖，在⊙O中，AB為直徑，∠AOC＝80°．點D為弦AC的中點，點E為上任意一點．則∠CED的大小可能是（C）A．10° B．20° C．30° D．40°【解析】選C．連接OD、OE，∵OC＝OA，∴△OAC是等腰三角形，∵點D為弦的中點，∴∠DOC＝40°，∠BOC＝100°，設(shè)∠BOE＝x，則∠COE＝100°﹣x，∠DOE＝100°﹣x+40°，∵OC＝OE，∠COE＝100°﹣x，∴∠OEC＝∠OCE＝40°+x，∵OD＜OE，∠DOE＝100°﹣x+40°＝140°﹣x，∴∠OED＜20°+x，∴∠CED＝∠OEC﹣∠OED＞（40°+x）﹣（20°+x）＝20°，∵∠CED＜∠ABC＝40°，∴20°＜∠CED＜40°3101（2020武漢）如圖，在半徑為3的⊙O中，AB是直徑，AC是弦，D是的中點，AC與BD交于點E．若E是BD的中點，則AC的長是（D）A． B．3 C．3 D．4【解析】選D．連接OD，交AC于F，∵D是的中點，∴OD⊥AC，AF＝CF，∴∠DFE＝90°，∵OA＝OB，AF＝CF，∴OF＝BC，∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，在△EFD和△ECB中∴△EFD≌△ECB（AAS），∴DF＝BC，∴OF＝DF，∵OD＝3，∴OF＝1，∴BC＝2，在Rt△ABC中，AC2＝AB2﹣BC2，∴AC＝＝＝4，3101（2020青島）如圖，BD是⊙O的直徑，點A，C在⊙O上，＝，AC交BD于點G．若∠COD＝126°，則∠AGB的度數(shù)為（B）A．99° B．108° C．110° D．117°【解析】選B．∵BD是⊙O的直徑，∴∠BAD＝90°，∵＝，∴∠B＝∠D＝45°，∵∠DAC＝∠COD＝×126°＝63°，∴∠AGB＝∠DAC+∠D＝63°+45°＝108°．3101（2020陜西）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠A＝50°．E是邊BC的中點，連接OE并延長，交⊙O于點D，連接BD，則∠D的大小為（B）A．55° B．65° C．60° D．75°【解析】選B．連接CD，∵∠A＝50°，∴∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，∵E是邊BC的中點，∴OD⊥BC，∴BD＝CD，∴∠ODB＝∠ODC＝BDC＝65°，3101（2020福建）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB＝CD，A為中點，∠BDC＝60°，則∠ADB等于（A）A．40° B．50° C．60° D．70°【解析】選A．∵A為中點，∴═，∵AB＝CD，∴＝，∴＝＝，∵圓周角∠BDC＝60°，∴∠BDC對的的度數(shù)是2×60°＝120°，∴的度數(shù)是（360°﹣120°）＝80°，∴對的圓周角∠ADB的度數(shù)是．3101（2020營口）如圖，AB為⊙O的直徑，點C，點D是⊙O上的兩點，連接CA，CD，AD．若∠CAB＝40°，則∠ADC的度數(shù)是（B）A．110° B．130° C．140° D．160°【解析】選B．如圖，連接BC，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠B＝90°﹣∠CAB＝90°﹣40°＝50°，∵∠B+∠ADC＝180°，∴∠ADC＝180°﹣50°＝130°．3102（2020黔東南州）如圖，AB是半圓O的直徑，AC＝AD，OC＝2，∠CAB＝30°，則點O到CD的距離OE為．【解析】∵AC＝AD，∠A＝30°，∴∠ACD＝∠ADC＝75°，∵AO＝OC，∴∠OCA＝∠A＝30°，∴∠OCD＝45°，即△OCE是等腰直角三角形，在等腰Rt△OCE中，OC＝2；因此OE＝．3102（2020湖州）如圖，已知AB是半圓O的直徑，弦CD∥AB，CD＝8，AB＝10，則CD與AB之間的距離是3．【解析】過點O作OH⊥CD于H，連接OC，如圖，則CH＝DH＝CD＝4，在Rt△OCH中，OH＝＝3，所以CD與AB之間的距離是3．3102（2020遵義）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠BAC＝45°，AD⊥BC于點D，延長AD交⊙O于點E，若BD＝4，CD＝1，則DE的長是．【解析】連結(jié)OB，OC，OA，過O點作OF⊥BC于F，作OG⊥AE于G，∵⊙O是△ABC的外接圓，∠BAC＝45°，∴∠BOC＝90°，∵BD＝4，CD＝1，∴BC＝4+1＝5，∴OB＝OC＝，∴OA＝，OF＝BF＝，∴DF＝BD﹣BF＝，∴OG＝，GD＝，在Rt△AGO中，AG＝＝，∴AD＝AG+GD＝，∴AD×DE＝BD×CD，DE＝＝．3102（2020貴陽）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接正三角形，點O是圓心，點D，E分別在邊AC，AB上，若DA＝EB，則∠DOE的度數(shù)是120度．【解析】連接OA，OB，∵△ABC是⊙O的內(nèi)接正三角形，∴∠AOB＝120°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝30°，∵∠CAB＝60°，∴∠OAD＝30°，∴∠OAD＝∠OBE，∵AD＝BE，∴△OAD≌△OBE（SAS），∴∠DOA＝∠BOE，∴∠DOE＝∠DOA+∠AOE＝∠AOB＝∠AOE+∠BOD＝120°，3102（2020龍東）如圖，AD是△ABC的外接圓⊙O的直徑，若∠BCA＝50°，則∠ADB＝50°．【解析】∵AD是△ABC的外接圓⊙O的直徑，∴點A，B，C，D在⊙O上，∵∠BCA＝50°，∴∠ADB＝∠BCA＝50°，3102（2020聊城）如圖，在⊙O中，四邊形OABC為菱形，點D在上，則∠ADC的度數(shù)是60°．【解析】∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠B+∠D＝180°，∵四邊形OABC為菱形，∴∠B＝∠AOC，∴∠D+∠AOC＝180°，∵∠AOC＝2∠D，∴3∠D＝180°，∴∠ADC＝60°.3102（2020甘孜州）如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點H，若AB＝10，CD＝8，則OH的長度為3．【解析】連接OC，∵CD⊥AB，∴CH＝DH＝CD＝×8＝4，∵直徑AB＝10，∴OC＝5，在Rt△OCH中，OH＝＝3，3102（2020南充）△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑，將△ABC繞點C旋轉(zhuǎn)到△EDC，點E在⊙O上，已知AE＝2，tanD＝3，則AB＝．【解析】∵AB為⊙O的直徑，∴∠AEB＝∠ACB＝90°，∵將△ABC繞點C旋轉(zhuǎn)到△EDC，∴AC＝CE，BC＝CD，∠ACE＝∠BCD，∠ECD＝∠ACB＝90°，∵tanD＝＝3，∴設(shè)CE＝3x，CD＝x，∴DE＝x，∵∠ACE＝∠BCD，∠D＝∠ABC＝∠AEC，∴△ACE∽△DCB，∴＝3，∵AE＝2，∴BD＝∴BE＝DE﹣BD＝x﹣，∵AE2+BE2＝AB2，∴22+（x﹣）2＝（x）2，∴x＝，∴AB＝DE＝，3102（2020達(dá)州）已知△ABC的三邊a、b、c滿足b+|c﹣3|+a2﹣8a＝4﹣19，則△ABC的內(nèi)切圓半徑＝1．【解析】：∵b+|c﹣3|+a2﹣8a＝4﹣19，∴|c﹣3|+（a﹣4）2+（）2＝0，∴c＝3，a＝4，b＝5，∵32+42＝25＝52，∴c2+a2＝b2，∴△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r，根據(jù)題意，得S△ABC＝×3×4＝×3×r+×4×r+×r×5，∴r＝1，3102（2020牡丹江）AB是⊙O的弦，OM⊥AB，垂足為M，連接OA．若△AOM中有一個角是30°，OM＝2，則弦AB的長為12或4．【解析】∵OM⊥AB，∴AM＝BM，若∠OAM＝30°，則tan∠OAM＝，∴AM＝6，∴AB＝2AM＝12；若∠AOM＝30°，則tan∠AOM＝，∴AM＝2，∴AB＝2AM＝4．3102（2020襄陽）在⊙O中，若弦BC垂直平分半徑OA，則弦BC所對的圓周角等于60°或120°．【解析】如圖，∵弦BC垂直平分半徑OA，∴OD：OB＝1：2，∴∠BOD＝60°，∴∠BOC＝120°，∴弦BC所對的圓周角等于60°或120°．3102（2020成都）如圖，A，B，C是⊙O上的三個點，∠AOB＝50°，∠B＝55°，則∠A的度數(shù)為30°．【解析】∵OB＝OC，∠B＝55°，∴∠BOC＝180°﹣2∠B＝70°，∵∠AOB＝50°，∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝70°+50°＝120°，∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA＝＝30°．3102（2020攀枝花）如圖，已知銳角三角形ABC內(nèi)接于半徑為2的⊙O，OD⊥BC于點D，∠BAC＝60°，則OD＝1．【解析】連接OB和OC，∵△ABC內(nèi)接于半徑為2的⊙O，∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°，OB＝OC＝2，∵OD⊥BC，OB＝OC，∴∠BOD＝∠COD＝60°，∴∠OBD＝30°，∴OD＝OB＝1，3102（2020青海）已知⊙O的直徑為10cm，AB，CD是⊙O的兩條弦，AB∥CD，AB＝8cm，CD＝6cm，則AB與CD之間的距離為1或7cm．【解析】作OE⊥AB于E，延長EO交CD于F，連接OA、OC，如圖，∵AB∥CD，OE⊥AB，∴OF⊥CD，∴AE＝BE＝AB＝4，CF＝DF＝CD＝3，在Rt△OAE中，OE＝＝3，在Rt△OCF中，OF＝＝4，當(dāng)點O在AB與CD之間時，EF＝OF+OE＝4+3＝7；當(dāng)點O不在AB與CD之間時，EF＝OF﹣OE＝4﹣3＝1；綜上所述，AB與CD之間的距離為1或7cm．3102（2020青海）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，則△ABC的內(nèi)切圓半徑r＝1．【解析】在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，根據(jù)勾股定理，得AB＝5，如圖，設(shè)△ABC的內(nèi)切圓與三條邊的切點分別為D、E、F，連接OD、OE、OF，∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，可得矩形EOFC，根據(jù)切線長定理，得CE＝CF，∴矩形EOFC是正方形，∴CE＝CF＝r，∴AF＝AD＝AC﹣FC＝3﹣r，BE＝BD＝BC﹣CE＝4﹣r，∵AD+BD＝AB，∴3﹣r+4﹣r＝5，解得r＝1．則△ABC的內(nèi)切圓半徑r＝1．3102（2020青海）已知⊙O的直徑為10cm，AB，CD是⊙O的兩條弦，AB∥CD，AB＝8cm，CD＝6cm，則AB與CD之間的距離為1或7cm．【解析】作OE⊥AB于E，延長EO交CD于F，連接OA、OC，如圖，∵AB∥CD，OE⊥AB，∴OF⊥CD，∴AE＝BE＝AB＝4，CF＝DF＝CD＝3，在Rt△OAE中，OE＝＝3，在Rt△OCF中，OF＝＝4，當(dāng)點O在AB與CD之間時，EF＝OF+OE＝4+3＝7；當(dāng)點O不在AB與CD之間時，EF＝OF﹣OE＝4﹣3＝1；綜上所述，AB與CD之間的距離為1或7cm．3102（2020青海）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，則△ABC的內(nèi)切圓半徑r＝1．【解析】在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，根據(jù)勾股定理，得AB＝5，如圖，設(shè)△ABC的內(nèi)切圓與三條邊的切點分別為D、E、F，連接OD、OE、OF，∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，可得矩形EOFC，根據(jù)切線長定理，得CE＝CF，∴矩形EOFC是正方形，∴CE＝CF＝r，∴AF＝AD＝AC﹣FC＝3﹣r，BE＝BD＝BC﹣CE＝4﹣r，∵AD+BD＝AB，∴3﹣r+4﹣r＝5，解得r＝1．則△ABC的內(nèi)切圓半徑r＝1．3103（2020溫州）如圖，C，D為⊙O上兩點，且在直徑AB兩側(cè)，連結(jié)CD交AB于點E，G是上一點，∠ADC＝∠G．（1）求證：∠1＝∠2．（2）點C關(guān)于DG的對稱點為F，連結(jié)CF．當(dāng)點F落在直徑AB上時，CF＝10，tan∠1＝，求⊙O的半徑．【解析】（1）∵∠ADC＝∠G，∴＝，∵AB為⊙O的直徑，∴＝，∴∠1＝∠2；（2）如圖，連接DF，∵＝，AB是⊙O的直徑，∴AB⊥CD，CE＝DE，∴FD＝FC＝10，∵點C，F(xiàn)關(guān)于DG對稱，∴DC＝DF＝10，∴DE＝5，∵tan∠1＝，∴EB＝DE?tan∠1＝2，∵∠1＝∠2，∴tan∠2＝，∴AE＝＝，∴AB＝AE+EB＝，∴⊙O的半徑為．3103（2020杭州）如圖，已知AC，BD為⊙O的兩條直徑，連接AB，BC，OE⊥AB于點E，點F是半徑OC的中點，連接EF．（1）設(shè)⊙O的半徑為1，若∠BAC＝30°，求線段EF的長．（2）連接BF，DF，設(shè)OB與EF交于點P，①求證：PE＝PF．②若DF＝EF，求∠BAC的度數(shù)．【解析】（1）∵OE⊥AB，∠BAC＝30°，OA＝1，∴∠AOE＝60°，OE＝OA＝，AE＝EB＝OE＝，∵AC是直徑，∴∠ABC＝90°，∴∠C＝60°，∵OC＝OB，∴△OCB是等邊三角形，∵OF＝FC，∴BF⊥AC，∴∠AFB＝90°，∵AE＝EB，∴EF＝AB＝．（2）①證明：過點F作FG⊥AB于G，交OB于H，連接EH．∵∠FGA＝∠ABC＝90°，∴FG∥BC，∴△OFH∽△OCB，∴＝＝，同理＝，∴FH＝OE，∵OE⊥AB．FH⊥AB，∴OE∥FH，∴四邊形OEHF是平行四邊形，∴PE＝PF．②∵OE∥FG∥BC，∴＝＝1，∴EG＝GB，∴EF＝FB，∵DF＝EF，∴DF＝BF，∵DO＝OB，∴FO⊥BD，∴∠AOB＝90°，∵OA＝OB，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠BAC＝45°．3103（2020湖州）如圖，已知△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AD是⊙O的直徑，連結(jié)BD，BC平分∠ABD．（1）求證：∠CAD＝∠ABC；（2）若AD＝6，求的長．【解析】（1）∵BC平分∠ABD，∴∠DBC＝∠ABC，∵∠CAD＝∠DBC，∴∠CAD＝∠ABC；（2）∵∠CAD＝∠ABC，∴＝，∵AD是⊙O的直徑，AD＝6，∴的長＝××π×6＝π．3103（2020衢州）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑，AB＝10，AC＝6，連結(jié)OC，弦AD分別交OC，BC于點E，F(xiàn)，其中點E是AD的中點．（1）求證：∠CAD＝∠CBA．（2）求OE的長．【解析】（1）證明：∵AE＝DE，OC是半徑，∴＝，∴∠CAD＝∠CBA．（2）解：∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，∵AE＝DE，∴OC⊥AD，∴∠AEC＝90°，∴∠AEC＝∠ACB，∴△AEC∽△BCA，∴＝，∴＝，∴CE＝3.6，∵OC＝AB＝5，∴OE＝OC﹣EC＝5﹣3.6＝1.4．3103（2020臺州）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，將△ABC沿直線AB翻折得到△ABD，連接CD交AB于點M．E是線段CM上的點，連接BE．F是△BDE的外接圓與AD的另一個交點，連接EF，BF．（1）求證：△BEF是直角三角形；（2）求證：△BEF∽△BCA；（3）當(dāng)AB＝6，BC＝m時，在線段CM上存在點E，使得EF和AB互相平分，求m的值．【解析】（1）證明：∵∠EFB＝∠∠EDB，∠EBF＝∠EDF，∴∠EFB+∠EBF＝∠EDB+∠EDF＝∠ADB＝90°，∴∠BEF＝90°，∴△BEF是直角三角形．（2）證明：∵BC＝BD，∴∠BDC＝∠BCD，∵∠EFB＝∠EDB，∴∠EFB＝∠BCD，∵AC＝AD，BC＝BD，∴AB⊥CD，∴∠AMC＝90°，∵∠BCD+∠ACD＝∠ACD+∠CAB＝90°，∴∠BCD＝∠CAB，∴∠BFE＝∠CAB，∵∠ACB＝∠FEB＝90°，∴△BEF∽△BCA．（3）解：設(shè)EF交AB于J．連接AE．∵EF與AB互相平分，∴四邊形AFBE是平行四邊形，∴∠EFA＝∠FEB＝90°，即EF⊥AD，∵BD⊥AD，∴EF∥BD，∵AJ＝JB，∴AF＝DF，∴FJ＝BD＝，∴EF＝m，∵△ABC∽△CBM，∴BC：MB＝AB：BC，∴BM＝，∵△BEJ∽△BME，∴BE：BM＝BJ：BE，∴BE＝，∵△BEF∽△BCA，∴＝，即＝，解得m＝2（負(fù)根已經(jīng)舍棄）．3103（2020上海）如圖，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圓，BO的延長交邊AC于點D．（1）求證：∠BAC＝2∠ABD；（2）當(dāng)△BCD是等腰三角形時，求∠BCD的大?。唬?）當(dāng)AD＝2，CD＝3時，求邊BC的長．【解析】（1）證明：連接OA．∵AB＝AC，∴＝，∴OA⊥BC，∴∠BAO＝∠CAO，∵OA＝OB，∴∠ABD＝∠BAO，∴∠BAC＝2∠BAD．（2）解：如圖2中，延長AO交BC于H．①若BD＝CB，則∠C＝∠BDC＝∠ABD+∠BAC＝3∠ABD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∴∠DBC＝2∠ABD，∵∠DBC+∠C+∠BDC＝180°，∴8∠ABD＝180°，∴∠C＝3∠ABD＝67.5°．②若CD＝CB，則∠CBD＝∠CDB＝3∠ABD，∴∠C＝4∠ABD，∵∠DBC+∠C+∠CDB＝180°，∴10∠ABD＝180°，∴∠BCD＝4∠ABD＝72°．③若DB＝DC，則D與A重合，這種情形不存在．綜上所述，∠C的值為67.5°或72°．（3）如圖3中，作AE∥BC交BD的延長線于E．則＝＝，∴＝＝，設(shè)OB＝OA＝4a，OH＝3a，∵BH2＝AB2﹣AH2＝OB2﹣OH2，∴25﹣49a2＝16a2﹣9a2，∴a2＝，∴BH＝，∴BC＝2BH＝．3103（2020遂寧）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D為AB邊上的一點，以AD為直徑的⊙O交BC于點E，交AC于點F，過點C作CG⊥AB交AB于點G，交AE于點H，過點E的弦EP交AB于點Q（EP不是直徑），點Q為弦EP的中點，連結(jié)BP，BP恰好為⊙O的切線．（1）求證：BC是⊙O的切線．（2）求證：＝．（3）若sin∠ABC═，AC＝15，求四邊形CHQE的面積．【解析】（1）證明：連接OE，OP，∵PE⊥AB，點Q為弦EP的中點，∴AB垂直平分EP，∴PB＝BE，∵OE＝OP，OB＝OB，∴△BEO≌△BPO（SSS），∴∠BEO＝∠BPO，∵BP為⊙O的切線，∴∠BPO＝90°，∴∠BEO＝90°，∴OE⊥BC，∴BC是⊙O的切線．（2）∵∠BEO＝∠ACB＝90°，∴AC∥OE，∴∠CAE＝∠OEA，∵OA＝OE，∴∠EAO＝∠AEO，∴∠CAE＝∠EAO，∴＝．（3）∵AD為的⊙O直徑，點Q為弦EP的中點，∴EP⊥AB，∵CG⊥AB，∴CG∥EP，∵∠ACB＝∠BEO＝90°，∴AC∥OE，∴∠CAE＝∠AEO，∵OA＝OE，∴∠EAQ＝∠AEO，∴∠CAE＝∠EAO，∵∠ACE＝∠AQE＝90°，AE＝AE，∴△ACE≌△AQE（AAS），∴CE＝QE，∵∠AEC+∠CAE＝∠EAQ+∠AHG＝90°，∴∠CEH＝∠AHG，∵∠AHG＝∠CHE，∴∠CHE＝∠CEH，∴CH＝CE，∴CH＝EQ，∴四邊形CHQE是平行四邊形，∵CH＝CE，∴四邊形CHQE是菱形，∵sin∠ABC═sin∠ACG═＝，∵AC＝15，∴AG＝9，∴CG＝＝12，∵△ACE≌△AQE，∴AQ＝AC＝15，∴QG＝6，∵HQ2＝HG2+QG2，∴HQ2＝（12﹣HQ）2+62，解得：HQ＝，∴CH＝HQ＝，∴四邊形CHQE的面積＝CH?GQ＝×6＝45．3103（2020河南）小亮在學(xué)習(xí)中遇到這樣一個問題：如圖，點D是上一動點，線段BC＝8cm，點A是線段BC的中點，過點C作CF∥BD，交DA的延長線于點F．當(dāng)△DCF為等腰三角形時，求線段BD的長度．小亮分析發(fā)現(xiàn)，此問題很難通過常規(guī)的推理計算徹底解決，于是嘗試結(jié)合學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗研究此問題．請將下面的探究過程補充完整：（1）根據(jù)點D在上的不同位置，畫出相應(yīng)的圖形，測量線段BD，CD，F(xiàn)D的長度，得到下表的幾組對應(yīng)值．BD/cm01.02.03.04.05.06.07.08.0CD/cm8.07.77.26.65.9a3.92.40FD/cm8.07.46.96.56.16.06.26.78.0操作中發(fā)現(xiàn)：①“當(dāng)點D為的中點時，BD＝5.0cm”．則上表中a的值是5；②“線段CF的長度無需測量即可得到”．請簡要說明理由．將線段BD的長度作為自變量x，CD和FD的長度都是x的函數(shù)，分別記為yCD和yFD，并在平面直角坐標(biāo)系xOy中畫出了函數(shù)yFD的圖象，如圖所示．請在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)yCD的圖象；（3）繼續(xù)在同一坐標(biāo)系中畫出所需的函數(shù)圖象，并結(jié)合圖象直接寫出：當(dāng)△DCF為等腰三角形時，線段BD長度的近似值（結(jié)果保留一位小數(shù)）．解析：（1）∵點D為的中點，∴＝，∴BD＝CD＝a＝5cm，答案：5；（2）∵點A是線段BC的中點，∴AB＝AC，∵CF∥BD，∴∠F＝∠BDA，又∵∠BAD＝∠CAF，∴△BAD≌△CAF（AAS），∴BD＝CF，∴線段CF的長度無需測量即可得到；（3）由題意可得：（4）由題意畫出函數(shù)yCF的圖象；由圖象可得：BD＝3.8cm或5cm或6.2cm時，△DCF為等腰三角形．3103（2020哈爾濱）已知：⊙O是△ABC的外接圓，AD為⊙O的直徑，AD⊥BC，垂足為E，連接BO，延長BO交AC于點F．（1）如圖1，求證：∠BFC＝3∠CAD；（2）如圖2，過點D作DG∥BF交⊙O于點G，點H為DG的中點，連接OH，求證：BE＝OH；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接CG，若DG＝DE，△AOF的面積為，求線段CG的長．【解析】證明：（1）∵AD為