遼寧省名校聯(lián)盟2024年高考模擬卷（四）

數(shù)學(xué)

本試卷滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題紙上.

2.答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題紙對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題紙上.寫(xiě)在本試卷上

無(wú)效

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題紙一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.己知z的實(shí)部為-1,且0+i）z為純虛數(shù)，則z=（）

A.-l+2iB.-l-2i

C.-1+iD.-1-i

2.已知集合4={一1,。,°+2},3={）,=爐一2%,%€4},若Au5=A，則。=（）

A.3B.2C.1D.1或3

3.已知直線(xiàn)/與曲線(xiàn)y=/-x+3相切，貝I"的方程不可能是（）

A.y=2x+lB,y=2x+5

C.y=-x+3D.y=-x+5

4.造紙術(shù)是我國(guó)古代四大發(fā)明之一，目前我國(guó)紙張采用國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)，復(fù)印紙A系列紙張尺寸的長(zhǎng)寬比都是

、笈：1，.4紙張的面積為1平方米，長(zhǎng)寬比為e'：1，將4紙張的長(zhǎng)邊對(duì)折切開(kāi)得到兩張A紙張，將A

的長(zhǎng)邊對(duì)折切開(kāi)得到兩張4紙張，依次類(lèi)推得到紙張4，4,…，A。?則4紙張的長(zhǎng)等于（）（參考

數(shù)據(jù)：血=1.414,啦al.189）

A.210毫米B.297毫米C.149毫米D.105毫米

5.為迎接元宵節(jié)，某廣場(chǎng)將一個(gè)圓形區(qū)域分成A,5C,D,E五個(gè)部分（如圖所示），現(xiàn)用4種顏色的鮮花

進(jìn)行裝扮（4種顏色均用到），每部分用一種顏色，相鄰部分用不同顏色，則該區(qū)域鮮花的擺放方案共有

()

B.36種C.24種D.12種.

已知tana+---=1一cosa,貝！Jcos2a=(

6.

cosasina

7788

A.-B.——C.一D.——

9999

22

7.已知點(diǎn)尸在橢圓C::工+匕=1上,C的左、右焦點(diǎn)分別為耳，工，則滿(mǎn)足由「次=23的點(diǎn)尸的個(gè)

2524

數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

8.將一塊棱長(zhǎng)為1的正方體木料，打磨成兩個(gè)球體藝術(shù)品，則兩個(gè)球體的體積之和的最大值為（）

9-兀

A.B.

2

（舁）兀

9154兀

D.——

83

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知第一組樣本數(shù)據(jù)七,々,?，天極差為加一中位數(shù)為4,平均數(shù)為了,標(biāo)準(zhǔn)差為S/第二組樣本數(shù)

，%的極差為加“中位數(shù)為與，平均數(shù)為了，標(biāo)準(zhǔn)差為

據(jù)力，＞2,y?若滿(mǎn)足

l(z=l,2,???,?),則()

X=-2x;.+

A.m=mB.6=_24+1

yv人x

C.y=—2x+1D.sy=4sx

10.已知正三棱柱ABC-A與G的底面邊長(zhǎng)為。，高為力，記異面直線(xiàn)4。與BG所成角為氏則

()

A.若a=h,貝1Jcos。=工B.若cos8=',則〃=/?

44

C.若。=62,則。=90。D.若8=60。，貝！)力=伍

11.已知a=lnl.5,b=e一°5,c=sin0.5,d=0.3,則()

A.c>a>dB.a>c>d

C.b>c>aD.b>a>d

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知向量用，〃不共線(xiàn)，<7=2m+n,/?=(2-l)m-2n,若〃///?,則4=.

13.某廠(chǎng)家為了保證防寒服的質(zhì)量，從生產(chǎn)的保暖絮片中隨機(jī)抽取多組，得到每組纖維長(zhǎng)度(單位:

mm)的均值，并制成如下所示的頻率分布直方圖，由此估計(jì)其纖維長(zhǎng)度均值的90%分位數(shù)是

八頻率

組距

0.120.........-p-i

0.090……-.........

0.080------廠(chǎng)

0.070------------------

0.050------------------

0.0451

0.025-----------------------

0.020…廠(chǎng)

4右，5272931333537397維長(zhǎng)度mm

22

14.已知雙曲線(xiàn)C:。-臺(tái)=1(〃>0,6>0)的右焦點(diǎn)為”O(jiān)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以。尸為直徑的圓與一條漸近線(xiàn)交

ab

于點(diǎn)P(異于點(diǎn)。)，直線(xiàn)尸尸與另一條漸近線(xiàn)交于點(diǎn)。，且EQ=2P尸，則C的離心率為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.已知cABC的內(nèi)角A5C的對(duì)邊分別為a,仇c,(c—J3qsinC=(a-Z?)(sinA+siaB).

⑴求A；

(2)若ABC為銳角三角形，且5=6,求，ABC的周長(zhǎng)/的取值范圍.

16.土壤食物網(wǎng)對(duì)有機(jī)質(zhì)的分解有兩條途徑，即真菌途徑和細(xì)菌途徑.在不同的土壤生態(tài)系統(tǒng)中，由于提

供能源的有機(jī)物其分解的難易程度不同，這兩條途徑所起的作用也不同.以細(xì)菌分解途徑為主導(dǎo)的土壤，

有機(jī)質(zhì)降解快，氮礦化率高，有利于養(yǎng)分供應(yīng)，以真菌途徑為主的土壤，氮和能量轉(zhuǎn)化比較緩慢，有利于

有機(jī)質(zhì)存財(cái)和氮的固持.某生物實(shí)驗(yàn)小組從一種土壤數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽查并統(tǒng)計(jì)了8組數(shù)據(jù)，如下表所示：

編號(hào)i12345678

細(xì)菌X，/百萬(wàn)個(gè)708090100110120130140

真菌yj百萬(wàn)個(gè)8.010.012.515.017.521.027.039.0

其散點(diǎn)圖如下，散點(diǎn)大致分布在指數(shù)型函數(shù)y=aeb\a>0）的圖象附近.

1真菌加百萬(wàn)個(gè)

40-.

30-

20-?

10-.???

全怖80do16。1ioi5oGodo細(xì)富x/百萬(wàn)個(gè)

（1）求y關(guān)于*的經(jīng)驗(yàn)回歸方程（系數(shù)精確到SOD；

（2）在做土壤相關(guān)的生態(tài)環(huán)境研究時(shí)，細(xì)菌與真菌的比值能夠反映土壤的碳氮循環(huán).以樣本的頻率估計(jì)

總體分布的概率，若該實(shí)驗(yàn)小組隨機(jī)抽查8組數(shù)據(jù)，再?gòu)闹腥芜x4組，記真菌》（單位：百萬(wàn)個(gè)）與細(xì)菌

X（單位：百萬(wàn)個(gè)）的數(shù)值之比位于區(qū)間（0.13,0.20）內(nèi)的組數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

〃__

Y.x^-nxy_、

附：經(jīng)驗(yàn)回歸方程，=%+￡斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為g=號(hào)-------,a=y-bx,

%2-nx—2

Ei=l

888on03

%工2449.43,%工22.48,^x,2=92400,^—?0.021.

i=i1=i1=14200

17.如圖，在幾何體ABCDEE中，四邊形A3CD為菱形，四邊形。跳下為梯形,

BE//DF,DF=2BD=2BE=4,且AE=CE.

R

(1)求證：平面QBE/，平面ABCD；

(2)當(dāng)N￡BD=60°時(shí)，平面AEF與平面CEF能否垂直？若能，求出菱形A3CD的邊長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)

說(shuō)明理由.

18.已知定點(diǎn)b(1,0)，動(dòng)點(diǎn)N在直線(xiàn)/:無(wú)=-1上，過(guò)點(diǎn)N作/的垂線(xiàn)，該垂線(xiàn)與NF的垂直平分線(xiàn)交于

點(diǎn)T，記點(diǎn)T的軌跡為曲線(xiàn)￡.

(1)求E的方程；

(2)已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)A,3在E上，滿(mǎn)足以_LPB,且AB與了軸不垂直.請(qǐng)從①尸在

E上；②A(yíng)3,。三點(diǎn)共線(xiàn)；③5-機(jī)=4j+〃=0中選取兩個(gè)作條件，證明另外一個(gè)成立.

注：如果選擇不同組合分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

19.已知函數(shù)/(x)=e*-依2(。＞0).

2

(1)當(dāng)。=，時(shí)，判斷了(九)在區(qū)間(1,+8)內(nèi)的單調(diào)性；

(2)若/(%)有三個(gè)零點(diǎn)X1,%,%,且玉＜%＜七.

(i)求。的取值范圍；

(ii)證明：xl+x2+x3＞3.

參考答案

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.已知z的實(shí)部為-1,且(l+i)z為純虛數(shù)，則2=()

A.-l+2iB.-l-2i

C.-1+iD.-1-i

【答案】D

【解析】

【分析】設(shè)復(fù)數(shù)z=-1+yi,結(jié)合復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算公式和純虛數(shù)定義列方程求丁，由此可得結(jié)論.

【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)z的實(shí)部為-1,

所以可設(shè)z=—l+yi,yeR,

所以(l+i)z=(l+i)(-l+yi)=_l_y+(y_l)i,

因?yàn)?l+i)z為純虛數(shù)，

所以-l_y=O,y_lwO,

所以y=T,

所以z=—1—i,

故選：D.

2.已知集合4={-1"4+2},3={引丁=無(wú)2一2%,尤右4},若Au5=A，則。=()

A.3B.2C.1D.1或3

【答案】C

【解析】

【分析】由題意可求出B中可能的元素，討論。的取值，驗(yàn)證是否符合題意，即可得答案.

【詳解】由題意知：對(duì)于集合B,當(dāng)*=一1時(shí)，y=f_2x=3；當(dāng)x=a時(shí)，y-a2-2a；

當(dāng)x=a+2時(shí)，y=(a+2)~—2(a+2)=ci+2a；

又Au_B=A，故Au_B=A，則_8=4,

若a=3,則4―2a=3,4+2a=15,a+2=5,此時(shí)A={—1,3,5},3={3,15},

不滿(mǎn)足

若a+2=3,.?.a=l,此時(shí)A={—1,1,3},3={3,—1},滿(mǎn)足A,

故a=1,

故選：C

3.已知直線(xiàn)/與曲線(xiàn)＞=/-》+3相切，貝心的方程不可能是()

A,y-2x+lB,y=2x+5

C,y--x+3D.y=-x+5

【答案】D

【解析】

【分析】求出根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的幾何意義，分別解y'=2以及y'=-l,得出切點(diǎn)坐標(biāo)，代入點(diǎn)斜式方程求

解，即可得出答案.

【詳解】由已知可得，V=3J—1,

由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，曲線(xiàn)y=/一》+3在點(diǎn)夕（x°,兀）處的切線(xiàn)的斜率左=了.

對(duì)于A(yíng)、B項(xiàng)，由左=2可得，-1=2,解得xQ—+1.

當(dāng)天=一1時(shí)，切點(diǎn)為爪―1,3）,此時(shí)切線(xiàn)方程為y—3=2（x+l）,

整理可得，切線(xiàn)方程為y=2x+5,故B項(xiàng)正確.

當(dāng)天=1時(shí)，切點(diǎn)為鳥(niǎo)（1,3）,此時(shí)切線(xiàn)方程為y—3=2（%—1）,

整理可得，切線(xiàn)方程為y=2x+l,故A項(xiàng)正確；

對(duì)于C、D項(xiàng)，由％=—1可得，34-1=一1,解得%=0,切點(diǎn)為月（0,3）,

此時(shí)切線(xiàn)方程為y—3=—%,整理可得，切線(xiàn)方程為y=-x+3,故c項(xiàng)正確，D項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：D.

4.造紙術(shù)是我國(guó)古代四大發(fā)明之一，目前我國(guó)紙張采用國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)，復(fù)印紙A系列紙張尺寸的長(zhǎng)寬比都是

、笈：1，紙張的面積為1平方米，長(zhǎng)寬比為④'：1，將4紙張的長(zhǎng)邊對(duì)折切開(kāi)得到兩張A紙張，將A

的長(zhǎng)邊對(duì)折切開(kāi)得到兩張4紙張，依次類(lèi)推得到紙張A3,A4,40.則A紙張的長(zhǎng)等于（）（參考

數(shù)據(jù)：V2?1.414,五al.189）

A.210毫米B.297毫米C.149毫米D.105毫米

【答案】C

【解析】

【分析】依據(jù)題意先得出4的面積，再由長(zhǎng)寬比計(jì)算即可.

4。的面積分別為4。/平方米，4的面積為1

【詳解】由已知A，&，&，&，平方米.設(shè)4

的長(zhǎng)寬分別為J5a，amm,

52_106f_53

則<2。=—^a=-t

故缶=125義正b149mm。

故選：c.

5.為迎接元宵節(jié)，某廣場(chǎng)將一個(gè)圓形區(qū)域分成A5C,D,E五個(gè)部分（如圖所示），現(xiàn)用4種顏色的鮮花

進(jìn)行裝扮（4種顏色均用到），每部分用一種顏色，相鄰部分用不同顏色，則該區(qū)域鮮花的擺放方案共有

;

A.48種B.36種C.24種D.12種.

【答案】A

【解析】

【分析】滿(mǎn)足條件的涂色方案可分為民。區(qū)域同色，且和其它區(qū)域不同色和CE區(qū)域同色兩類(lèi)，且和其它

區(qū)域不同色，結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理，分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理求解即可

【詳解】滿(mǎn)足條件的擺放方案可分為兩類(lèi)，

第一類(lèi)民。區(qū)域同色，且和其它區(qū)域不同色的擺放方案，

滿(mǎn)足條件的方案可分四步完成，

第一步，先擺區(qū)域A有4種方法，

第二步，擺放區(qū)域瓦。有3種方法，

第三步，擺放區(qū)域C有2種方法，

第四步，考慮到區(qū)域A,5c不同色，且4種顏色都要用到，擺放區(qū)域E有1種方法，

由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得第一類(lèi)中共有4x3x2x1=24種方案，

第二類(lèi)，CE區(qū)域同色兩類(lèi)，且和其它區(qū)域不同色的擺放方案，

滿(mǎn)足條件方案可分四步完成，

第一步，先擺區(qū)域A有4種方法，

第二步，擺放區(qū)域8有3種方法，

第三步，擺放區(qū)域CE有2種方法,

第四步，考慮到區(qū)域A,5c不同色，且4種顏色都要用到，擺放區(qū)域。有1種方法，

由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得第一類(lèi)中共有4x3x2x1=24種方案，

根據(jù)分步加法計(jì)數(shù)原理可得該區(qū)域鮮花的擺放方案共有48種，

故選：A.

6.已知tantzd----=2^1_cosa,貝|cos2(z=()

cosasina

7788

A.—B.——C.—D.——

9999

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)已知化簡(jiǎn)可推得后costz=sintz+l，兩邊平方整理得出3sin2a+2sina—1=0，求解得

出sina=L,進(jìn)而根據(jù)二倍角的余弦公式，求解即可得出答案.

3

【詳解】由已知可得，里吧+^_=立二空￡,顯然sinKosewO,

cosacostzsina

兩邊同時(shí)乘以sin。?cosa可得，sin2a+sina-y/2cosa—cos2a，

整理可得0cosa-sina=sin2a+cos2a=1,

所以,6cos夕=sina+1,

兩邊同時(shí)平方可得2cos之a(chǎn)=(sina+1)2=sin2df+2sin<7+l=2-2sin2a,

即3sin2a+2sina—l=0，解得sini=g或sin。二一1.

當(dāng)sina=-l時(shí)，cos2a=1-sin2a=0^此時(shí)cosa=0,不滿(mǎn)足題意，舍去.

所以,cos2cr=l-2sin2a=l-2x

故選：A.

7.已知點(diǎn)P在橢圓C:'+L=l上，C的左、右焦點(diǎn)分別為耳,工,則滿(mǎn)足PFiPF[=23的點(diǎn)P的個(gè)

2524

數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】設(shè)。(m〃)，由題設(shè)可得坐標(biāo)的方程組，求出其解后可判斷P的個(gè)數(shù).

22

【詳解】由橢圓C:|^+以=1可得半焦距c=l,故耳(—1,0),乙(1,0).

設(shè)尸(也”),則PFl=[-l-m,-n),PF2=(l-m,-n),

22

所以？Fi?。月=23=^2—1+〃2即/2+“2=24,而祖+土=1,

22524

故根=0,“=±2n，故滿(mǎn)足條件的P的個(gè)數(shù)為2,

故選：B

8.將一塊棱長(zhǎng)為1的正方體木料，打磨成兩個(gè)球體藝術(shù)品，則兩個(gè)球體的體積之和的最大值為()

A.(1+如B.…卜

22

C(96—15)兀D如

-8-3

【答案】B

【解析】

【分析】先由已知推得兩球球心的位置，設(shè)出圓心、半徑，進(jìn)而推得彳+2=士]叵.代入體積公式，求

導(dǎo)根據(jù)導(dǎo)函數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得出函數(shù)的最值點(diǎn)，代入化簡(jiǎn)，即可得出答案.

【詳解】要使兩個(gè)球的體積之和最大，則應(yīng)滿(mǎn)足兩個(gè)球互相外切，并且分別與正方體的面相切，即應(yīng)有兩

個(gè)球球心連線(xiàn)位于正方體的體對(duì)角線(xiàn)上.

如圖，設(shè)兩球的圓心分別為?！?。2,半徑為？4,

由已知可得，A4=1,AC=、歷，AC=G，

所以，sinZACA

A。3

:5N二島

則。1。2一2廠(chǎng)，0iA=./.=島1，02c二

2，

sinNACA]sinZACA1

又qA+。1。2+。2c=4+石+A/3(ZJ+G)=+1)億+馬)=6,

所以r+r-百-3-石r-3~~6

12

所以‘-^+r2'G—2一’

因?yàn)?<彳<3,0<2<3,所以

f3一百]

4o4a34a4

又兩球的體積之和V=—兀43+—7tr=—7in+—71

3132313

,..f3-A/3Y.Ff3-73

TZ2283一6(3—⑻

V=4兀q—4兀-------r=4TIr----------j=87tX-X^--}

12112

\Jl_\

當(dāng)三叵三彳〈三詆時(shí)，有V'<0,即函數(shù)v=434(3-y/31尸2-63-6),?

在上單調(diào)

=—nr,+—71---------r.24

21433(2)\_)

遞減；

34(3—A/3)f3-A/31

當(dāng)已3’2<—出_￡時(shí)，有v1，>0,即函數(shù)v=—4我

+一兀-------rx在4上單倜遞增.

42331，7\4Z.

當(dāng)（二山1時(shí)，土史_1

=—,

2212

所明V（空］佃C"守］」"5"

可空卜（91卜

所以，函數(shù)V=：叫3+：兀j三8_（、的最大值為（9—56一.

故選：B.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)精：解決球內(nèi)切外接問(wèn)題時(shí)，先分析根據(jù)截面圖得出與半徑有關(guān)的方程，求解得出半徑

或半徑的關(guān)系式.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知第一組樣本數(shù)據(jù)石,9,?，%的極差為7%,中位數(shù)為4,平均數(shù)為最，標(biāo)準(zhǔn)差為s/第二組樣本數(shù)

據(jù)力,當(dāng)，?，%的極差為mV，中位數(shù)為與，平均數(shù)為7,標(biāo)準(zhǔn)差為力.若滿(mǎn)足

X-=-2x;+l（z=1,2,???,?）,則（）

A.my=mxB.ty=-2tx+1

C.y=-2x+1D.sy=4sx

【答案】BC

【解析】

【分析】利用極差的定義可判斷A選項(xiàng)；利用中位數(shù)的定義可判斷B選項(xiàng)；利用平均數(shù)公式可判斷C選項(xiàng)；

利用方差公式可判斷D選項(xiàng).

【詳解】解：因?yàn)椋?-2%+1?=1,2廣?，〃），

對(duì)于A(yíng),設(shè)在數(shù)據(jù)石-，x”中勺最大，七最小，則7%=工「為，

則在數(shù)據(jù)為,%,，，片中為最大，X最小，則

2m

my=%一匕=-2七+1-（-2為+1）=2（%;-%,.）=x>故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)，x”的中位數(shù)為4，

X+X

1

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，t..Ir,

x2

又因?yàn)閄=-2%+1?=1,2,…,〃），

yn+ynt-2居+1+（-2%n+1）

所以樣本數(shù)據(jù)為,%,，%的中位數(shù)為7：5尸_5/廠(chǎng)2f+P

>22*

當(dāng)九為奇數(shù)時(shí)，4=%也，

2

又因?yàn)閄=-2%+1?=1,2,…,〃），

所以樣本數(shù)據(jù),%的中位數(shù)為6==-2x四+1=—2q+l,

22

所以樣本數(shù)據(jù)%,必，-，笫的中位數(shù)為6=-24+1,故B正確；

對(duì)于C,因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)看,九2,?，%的平均數(shù)為最，

―玉+尤+x

即九二」---2--+------n-,

n

所以樣本數(shù)據(jù)X,%,。〃的平均數(shù)為5=…++%=臼+1)+(-2々+1)++(-2七+1)

nn

=-2(X]+X2++x〃)門(mén)

n

=_2x+b故C正確；

對(duì)于D,因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)看,馬,?，%的標(biāo)準(zhǔn)差為外，

樣本數(shù)據(jù)%,%，?，%的標(biāo)準(zhǔn)差為L(zhǎng)，

I---

則s；=—[(不一元)2+(%2—x)2++(x〃—X)2],

n

]_——

sj=—[(%—?+(%—?++(%-"]

n

1___

=—{[(一2%+1)-(~2x+1)]2+[(-2X+1)-(~2x+1)]2++[(—2元〃+1)-(~2x+1)]2}

n2

1___

=—[4(%-x)2+4(X-x)2++4(當(dāng)-x)2],

n2

I___

—4x-[(X1—x)+(%2-九)++(Z—%)2]

n

=4s3

所以％=2%,故D錯(cuò)誤.

故選：BC.

10.已知正三棱柱ABC-A1與G的底面邊長(zhǎng)為〃，高為力，記異面直線(xiàn)AC與3G所成角為。，則

()

A.若a=k,貝!Jcos9=，B.若cos6=L,則〃=/?

44

C.若。="/，則6=90。D.若8=60。，則力=伍

【答案】ACD

【解析】

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，以及相關(guān)向量的坐標(biāo)，根據(jù)空間角的向量求法，一一求解

各選項(xiàng)中所求結(jié)果，即可判斷答案.

【詳解】在正三棱柱ABC-A4G中，設(shè)AC，4G的中點(diǎn)為QE,連接。瓦。8,

則OEL平面ABC,OBLAC,

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)5OCOE所在直線(xiàn)為蒼％z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

對(duì)于A(yíng),當(dāng)時(shí)，(0,-1,a),C(0,1,0),B(^-,0,0),q(0,1,a)，

則4c=(0,a,—a),5G=(—

12

則cos(AC,BC)=A。產(chǎn)=2=_1,

用雨缶.缶4

由于異面直線(xiàn)AC與BG所成角為夕，范圍為大于0小于等于90，

故COS￡=L,A正確；

4

對(duì)于B,(0,,A),C(0,1,0),,0,0),Q(0,^,h)，

則AC=(0,a,—/i),3C]=(—￥。(,丸)，由于cos￡=：，

.12j2

nrll?ACBC5"一九i

則cos(4C,BQ)=————=，2「--------=—，

11時(shí)n陽(yáng)V?2+A2-V?2+A24

解得〃=/z或〃=,B錯(cuò)誤；

對(duì)于c,當(dāng)a=?時(shí)，4(0,—[丸,丸),。(0,當(dāng)丸,0),3(孚,0,0)，G(0,孚，力，

則A1C=（0,及h,—h）,BC]=（—坪，璋,h）,

則=/—/=（）,故4CL5C1，則6=90。，C正確;

對(duì)于D,若6=60°,貝1Jcos9=—,

2

則4（0,g丸）,c（o,|,0）,3（孚,0,0）,G（0,1,A）-

則4C=（0,。,—丸）,3C]=（—￥。（,丸），

12r2

,A.CBC.91

則nilllens/4CRC\l=---------=-----------------=-，

4c忸GJ。2+力2?Ja2+-2

解得=或〃=0（舍），D正確；

故選：ACD

11.已知a=lnl.5,b=e一°',c=sin0.5,d=0.3,則（

A.c>a>dB.a>c>d

C.b>c>aD.b>a>d

【答案】ACD

【解析】

【分析】依次構(gòu)造函數(shù)/(x)=lnx-x+Lx>0、g(x)=eY-x-l,/z(x)=sinx-x,

323

m[x)=sinx-x+->zi(x)=ln(x+l)-x+:1--:1--分別求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)

而證明不等式成立，即可得出答案.

1Y—1

【詳解】令/(x)=lnx—x+l,x>0,則/''(%)=——1=--—,

XX

當(dāng)0<x<l時(shí)，有用勾>0,所以"%)在(0,1)上單調(diào)遞增；

當(dāng)％>1時(shí)，有:(“<0,所以/(%)在。,收)上單調(diào)遞減.

所以，/(%)在x=l處取得唯一極大值，也是最大值/。)=0,

所以，/(1.5)<0,即lnl.5—0.5<0,所以a<0.5；

4g(x)=e'-x-1,貝i]g,x)=eX-l,

當(dāng)x<0時(shí)，有g(shù)'(%)<0,所以g(x)在(-。,0)上單調(diào)遞減；

當(dāng)x>0時(shí)，有g(shù)'(x)>0,所以g(x)在(0,+。)上單調(diào)遞增.

所以，8(%)在％=0處取得唯一極小值，也是最小值g(0)=0,

所以，g(-0.5)>0,即e《5—0.5>0,所以6>0.5；

令丸(x)=sinx-x,則”(x)=cosx-l40恒成立,

所以秋光)在上單調(diào)遞減.

又〃(0)=0,

所以，當(dāng)x>0時(shí)，/i(x)<0恒成立，

所以sinx-x<0,即sinx<x在(0,+e)上恒成立，所以c<0.5；

I2

令k(x)=ln(x+l)-x+—,

則左'(x)=F—l+x=:〉0在(0,+e)上恒成立，

所以，人(九)在(0,+。)上單調(diào)遞增.

又左(0)=0,

所以M%)>o在(0,+。)上恒成立，

22

即ln(x+l)-x+三〉0,即ln(x+l)〉x-三，

0523

所以，lnl.5>0.5-^-=->0.3.

28

所以，a>d

工3%2

令機(jī)(%)=sinx-x+—?貝Um'(x)=cosx-l+—.

令叫(x)=cosx-1+,貝！I(x)=-sinx+x.

因?yàn)閟inx<x在(0,+。)上恒成立，所以*(x)>0在(。,+。)上恒成立,

所以，%(%)在(0,+動(dòng)上單調(diào)遞增.

又飛⑼=0,

所以班(x)>0在(0,+。)上恒成立,

即/〃'□”。在包+動(dòng)上恒成立，/〃(%)在(°，+°°)上單調(diào)遞增?

又加(o)=0,所以MH>o在(o,+8)上單調(diào)遞增,

”=sin0.5—生〉0,即sin0.5>”;

所以，相(0.5)=sin0.5-0.5+

64848

4'?(x)=ln(x+l)-x+^--^-,

則仆)=七一1+》一/=:<0在(0,+")上恒成立,

所以，〃(x)在(0,+e)上單調(diào)遞減.

又"(0)=0,

所以“(％)<0,即in(x+l)<x—(+?,

23

所以，lnl.5<0.5—"05+”05=25.

2312

523

因?yàn)椤?lt;—,所以In1.5<sin0.5,即。<。.

1248

綜上所述，d<a<c<b.

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)求解導(dǎo)函數(shù)，得出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而結(jié)合特殊點(diǎn)處的函數(shù)值，證明

不等式成立.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知向量相，幾不共線(xiàn)，6i=2m+n,/?=（2-l）m-2n,若〃///?,則4=.

【答案】I

【解析】

【分析】借助平面向量共線(xiàn)定理與平面向量基本定理計(jì)算即可得.

【詳解】由相,"不共線(xiàn)，故存在實(shí)數(shù)上W0,使a=

2=^（2-1）

即有Am+n=k^A-i）m-2kn,即有＜

1=一2左

解得

故答案為：—.

3

13.某廠(chǎng)家為了保證防寒服的質(zhì)量，從生產(chǎn)的保暖絮片中隨機(jī)抽取多組，得到每組纖維長(zhǎng)度（單位:

mm）的均值，并制成如下所示的頻率分布直方圖，由此估計(jì)其纖維長(zhǎng)度均值的90%分位數(shù)是

八頻率

組距

0.120---------------p-i

0.090-----------------------

0.080..........-1—

0.070---------------------------

0.050------------------------------

0.045「

0.025——......................................

0.020…廠(chǎng)

J53幺27293133353739東維長(zhǎng)度mm

【答案】36

【解析】

【分析】計(jì)算前6個(gè)以及前面7個(gè)矩形面積之和,確定纖維長(zhǎng)度均值的90%分位數(shù)位于第7組內(nèi)，根據(jù)90%

分位數(shù)的含義，列式計(jì)算，即得答案.

【詳解】由頻率分布直方圖可得從左到右前6個(gè)矩形面積之和為：

0.04+0.09+0.16+0.24+0.18+0.14=0.85,

前7個(gè)矩形面積之和為0.04+0.09+0.16+0.24+0.18+0.14+0.10=0.95,

故纖維長(zhǎng)度均值的90%分位數(shù)位于第7組內(nèi),

設(shè)纖維長(zhǎng)度均值的90%分位數(shù)為無(wú)，則0.85+(%-35)x0.050=0.9,

解得x=36,

即估計(jì)其纖維長(zhǎng)度均值的90%分位數(shù)是36,

故答案為：36

22

14.已知雙曲線(xiàn)C:=-當(dāng)=1(a>0/>0)的右焦點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)尸為直徑的圓與一條漸近線(xiàn)交

a"b

于點(diǎn)p(異于點(diǎn)。)，直線(xiàn)尸產(chǎn)與另一條漸近線(xiàn)交于點(diǎn)Q,且用2=2P尸，則C的離心率為.

［答案］—##-A/3

33

【解析】

【分析】易得右焦點(diǎn)E(c,0)到直線(xiàn)OP的距離為d,再由尸Q二=2PF,得到|PQ|=3Z?,然后在PO廠(chǎng)和

△POQ中，由tanZPOQ=tan2ZPOF求解.

【詳解】解：如圖所示：

18

b

設(shè)，OP:y=—%,BPbx-ay=0,

a

be

則右焦點(diǎn)F(c,0)到直線(xiàn)OP的距離為d=而壽=b，

又FQ=2PF,則PQ=3Z?,又|。尸|=",

在POF中tan/產(chǎn)OF=2,在△尸0。中tanNPOQ=崇=3b

a

又因?yàn)閠anZPOQ=tan2ZPOF=2tan/POb,

1-tan2ZPOF

b

3b2乙a

所以〃=，八,解相勺=-,

七2Qi3

所以離心率為

故答案為：空

3

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.己知_ABC的內(nèi)角A,5c的對(duì)邊分別為a,4c,(c一向^sinC=(a-Z?)(sinA+siaB).

(1)求A；

(2)若ABC為銳角三角形，且6=6,求,ABC的周長(zhǎng)/的取值范圍.

7T

【答案】(1)-

6

(2)(9+373,6+673)

【解析】

【分析】(1)根據(jù)正弦定理角化邊，結(jié)合余弦定理，即可求得答案；

(2)利用正弦定理求出dc的表達(dá)式，根據(jù)二A3。為銳角三角形確定2的范圍，求出三角形周長(zhǎng)的表達(dá)式

并化簡(jiǎn)，結(jié)合正切函數(shù)性質(zhì)，即可求得答案.

【小問(wèn)1詳解】

由題意知ulBC中，卜一J5HsinC=(a-Z?)(sinA+sinB),

即(c-辰)c=(a—>)(a+b),即人2+02一。2,

故cosA=，+U_礦=也，而0<A<7l,；.A=巴；

2bc26

【小問(wèn)2詳解】

5

由(1)知_B+C=—兀，而6=6,

6

,十八〃6ce6sinA3

故由正弦定理得-----=-----=-----，則〃=-------=-----

sinAsinBsinCsinBsinB

6sinC_6sin（A+B）_，sin[i5+j_3C0S5,

sinBsinBsinBsinB

貝。*研0號(hào),研0段)71兀

由5c為銳角三角形,則5c

QQD

故,ABC的周長(zhǎng)/=a+b+c=-----+6+3A/3+——

sinBsinB

“6+-6+3將上AU

，由32sinBcos-

22

=6+3百+

D,

tan—

2

而+Bi忠I、（3,36）

而tan—I（——,1），故，5，

23tan,

故，ABC的周長(zhǎng)的取值范圍為（9+3百,6+6百）.

16.土壤食物網(wǎng)對(duì)有機(jī)質(zhì)的分解有兩條途徑，即真菌途徑和細(xì)菌途徑.在不同的土壤生態(tài)系統(tǒng)中，由于提

供能源的有機(jī)物其分解的難易程度不同，這兩條途徑所起的作用也不同.以細(xì)菌分解途徑為主導(dǎo)的土壤，

有機(jī)質(zhì)降解快，氮礦化率高，有利于養(yǎng)分供應(yīng)，以真菌途徑為主的土壤，氮和能量轉(zhuǎn)化比較緩慢，有利于

有機(jī)質(zhì)存財(cái)和氮的固持.某生物實(shí)驗(yàn)小組從一種土壤數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽查并統(tǒng)計(jì)了8組數(shù)據(jù)，如下表所示：

編號(hào)i12345678

細(xì)菌七/百萬(wàn)個(gè)708090100110120130140

真菌yj百萬(wàn)個(gè)8.010.012.515.017.521027.039.0

其散點(diǎn)圖如下，散點(diǎn)大致分布在指數(shù)型函數(shù)y=aebx（a>0）的圖象附近.

八真菌山百萬(wàn)個(gè)

40-?

30-

20-*?

10...**

廣關(guān)8090向1io60l§0do細(xì)富x/百萬(wàn)個(gè)

（1）求y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程（系數(shù)精確到o.oi）；

（2）在做土壤相關(guān)的生態(tài)環(huán)境研究時(shí)，細(xì)菌與真菌的比值能夠反映土壤的碳氮循環(huán).以樣本的頻率估計(jì)

總體分布的概率，若該實(shí)驗(yàn)小組隨機(jī)抽查8組數(shù)據(jù)，再?gòu)闹腥芜x4組，記真菌y（單位：百萬(wàn)個(gè)）與細(xì)菌

X(單位：百萬(wàn)個(gè))的數(shù)值之比位于區(qū)間(0.13,0.20)內(nèi)的組數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

.__

Y.x^-nxy_

附：經(jīng)驗(yàn)回歸方程Q=口+0的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為石=號(hào)----------，a=y-bx,

%2-nx—2

EZ=1

888on03

Zxjn%a2449.43,Ziny-22.48,2=92400,^—工0.021.

i=ii=iti=i4200

【答案】(1)y=e°61+°02工

(2)分布列見(jiàn)解析，2

【解析】

【分析】(1)令/=lny=lna+公,(a>0),將指數(shù)型回歸方程轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性回歸方程，利用最小二乘法的估

計(jì)系數(shù)公式，即可求得答案；

(2)確定真菌y與細(xì)菌x的數(shù)值之比位于區(qū)間(0.13,0.20)內(nèi)的組數(shù)，即可確定X的取值，求出每個(gè)值對(duì)應(yīng)

的概率，即可得分布列，即可求得數(shù)學(xué)期望.

【小問(wèn)1詳解】

由于y=