高中數(shù)學(xué)必修二《第八章立體幾何初步》復(fù)習(xí)教案《8.1基本立體圖形》復(fù)習(xí)教案第1課時棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.通過對實物模型的觀察，歸納認(rèn)知棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征．(重點)2．理解棱柱、棱錐、棱臺之間的關(guān)系．(難點)3．能運用棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結(jié)構(gòu)和有關(guān)計算．(易混點)通過空間幾何體概念的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)直觀想象、邏輯推理的核心素養(yǎng).【自主預(yù)習(xí)】1．空間幾何體類別多面體旋轉(zhuǎn)體定義一般地，由若干個平面多邊形圍成的幾何體一條平面曲線(包括直線)繞它所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)面，封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的幾何體叫做旋轉(zhuǎn)體圖形2.棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征(1)棱柱的結(jié)構(gòu)特征定義一般地，有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱圖示及相關(guān)概念底面：兩個互相平行的面；側(cè)面：底面以外的其余各面；側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊；頂點：側(cè)面與底面的公共頂點分類按底面多邊形的邊數(shù)分：三棱柱，四棱柱，…思考1：棱柱的側(cè)面一定是平行四邊形嗎？[提示]根據(jù)棱柱的概念可知，棱柱側(cè)面一定是平行四邊形．(2)棱柱的分類直棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱．斜棱柱：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱．正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱．平行六面體：底面是平行四邊形的四棱柱．(3)棱錐的結(jié)構(gòu)特征定義有一面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐圖示及相關(guān)概念底面：多邊形面；側(cè)面：有公共頂點的各三角形面；側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊；頂點：各側(cè)面的公共頂點分類按底面多邊形的邊數(shù)分：三棱錐，四棱錐，…，其中三棱錐又叫四面體，底面是正多邊形，并且頂點與底面中心的連線垂直于底面的棱錐叫正棱錐思考2：有一個面是多邊形，其余各面是三角形的幾何體一定是棱錐嗎？[提示]不一定．因為“其余各面都是三角形”并不等價于“其余各面都是有一個公共頂點的三角形”．(4)棱臺的結(jié)構(gòu)特征定義用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分叫做棱臺圖示及相關(guān)概念上底面：原棱錐的截面；下底面：原棱錐的底面；側(cè)面：除上下底面以外的面；側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊；頂點：側(cè)面與上(下)底面的公共頂點分類由幾棱錐截得，如三棱臺、四棱臺、…思考3：棱臺的上下底面互相平行，各側(cè)棱延長線一定相交于一點嗎？[提示]根據(jù)棱臺的定義可知其側(cè)棱延長線一定交于一點．1．在三棱錐A-BCD中，可以當(dāng)作棱錐底面的三角形的個數(shù)為()A．1個B．2個C．3個D．4個D[每個三角形都可以作為底面．]2．下面說法中，正確的是()A．上下兩個底面平行且是相似的四邊形的幾何體是四棱臺B．棱臺的所有側(cè)面都是梯形C．棱臺的側(cè)棱長必相等D．棱臺的上下底面可能不是相似圖形B[由棱臺的結(jié)構(gòu)特點可知，A、C、D不正確．故B正確．]3．下面屬于多面體的是(填序號)．①建筑用的方磚；②埃及的金字塔；③茶杯；④球．①②[①②屬于多面體，③④屬于旋轉(zhuǎn)體．]【合作探究】棱柱的結(jié)構(gòu)特征【例1】(1)下列命題中，正確的是()A．有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱B．棱柱中互相平行的兩個面叫做棱柱的底面C．棱柱的側(cè)面是平行四邊形，但底面不是平行四邊形D．棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面是平行四邊形(2)如圖所示，長方體ABCD-A1B1C1D1.①這個長方體是棱柱嗎？如果是，是幾棱柱？為什么？②用平面BCNM把這個長方體分成兩部分，各部分形成的幾何體還是棱柱嗎？若是，請指出它們的底面．(1)D[由棱柱的定義可知，只有D正確，分別構(gòu)造圖形如下：①②③圖①中平面ABCD與平面A1B1C1D1平行，但四邊形ABCD與A1B1C1D1不全等，故A錯；圖②中正六棱柱的相對側(cè)面ABB1A1與EDD1E1平行，但不是底面，B錯；圖③中直四棱柱底面ABCD是平行四邊形，C錯，故選D.](2)[解]①長方體是四棱柱．因為它有兩個平行的平面ABCD與平面A1B1C1D1，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊互相平行，這符合棱柱的定義．②用平面BCNM把這個長方體分成兩部分，其中一部分，有兩個平行的平面BB1M與平面CC1N，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊互相平行，這符合棱柱的定義，所以是三棱柱，可用符號表示為三棱柱BB1M-CC1N.同理，另一部分也是棱柱，可以用符號表示為四棱柱ABMA1-DCND1.有關(guān)棱柱結(jié)構(gòu)特征問題的解題策略：(1)有關(guān)棱柱概念辨析問題應(yīng)緊扣棱柱定義：①兩個面互相平行；②其余各面是四邊形；③相鄰兩個四邊形的公共邊互相平行．求解時，首先看是否有兩個面平行，再看是否滿足其他特征．(2)多注意觀察一些實物模型和圖片便于反例排除．1．下列關(guān)于棱柱的說法錯誤的是()A．所有棱柱的兩個底面都平行B．所有的棱柱一定有兩個面互相平行，其余每相鄰面的公共邊互相平行C．有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形的幾何體一定是棱柱D．棱柱至少有五個面C[對于A、B、D，顯然是正確的；對于C，棱柱的定義是這樣的：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面圍成的幾何體叫做棱柱，顯然題中漏掉了“并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行”這一條件，因此所圍成的幾何體不一定是棱柱．如圖所示的幾何體就不是棱柱，所以C錯誤．]棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征【例2】(1)下列關(guān)于棱錐、棱臺的說法：①棱臺的側(cè)面一定不會是平行四邊形；②棱錐的側(cè)面只能是三角形；③由四個面圍成的封閉圖形只能是三棱錐；④棱錐被平面截成的兩部分不可能都是棱錐．其中正確說法的序號是．(2)判斷如圖所示的幾何體是不是棱臺，為什么？(1)①②③[①正確，棱臺的側(cè)面一定是梯形，而不是平行四邊形；②正確，由棱錐的定義知棱錐的側(cè)面只能是三角形；③正確，由四個面圍成的封閉圖形只能是三棱錐；④錯誤，如圖所示，四棱錐被平面截成的兩部分都是棱錐．](2)[解]①②③都不是棱臺．因為①和③都不是由棱錐所截得的，故①③都不是棱臺，雖然②是由棱錐所截得的，但截面不和底面平行，故不是棱臺，只有用平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分才是棱臺．關(guān)于棱錐、棱臺結(jié)構(gòu)特征題目的判斷方法：(1)舉反例法結(jié)合棱錐、棱臺的定義舉反例直接判斷關(guān)于棱錐、棱臺結(jié)構(gòu)特征的某些說法不正確．(2)直接法棱錐棱臺定底面只有一個面是多邊形，此面即為底面兩個互相平行的面，即為底面看側(cè)棱相交于一點延長后相交于一點2．如圖所示，觀察以下四個幾何體，其中判斷正確的是()A．①是棱臺 B．②是圓臺C．③是棱錐 D．④不是棱柱C[圖①中的幾何體不是由棱錐截來的，且上、下底面不是相似的圖形，所以①不是棱臺；圖②中的幾何體上、下兩個面不平行，所以②不是圓臺；圖③中的幾何體是棱錐．圖④中的幾何體前、后兩個面平行，其他面是平行四邊形，且每相鄰兩個平行四邊形的公共邊平行，所以④是棱柱．故選C.]多面體的表面展開圖[探究問題]1．棱柱的側(cè)面展開圖是什么圖形？正方體的表面展開圖又是怎樣的？[提示]棱柱的側(cè)面展開圖是平行四邊形；正方體的表面展開圖如圖：2．棱臺的側(cè)面展開圖又是什么樣的？[提示]棱臺的側(cè)面展開圖是多個相連的梯形．【例3】(1)某同學(xué)制作了一個對面圖案均相同的正方體禮品盒，如圖所示，則這個正方體禮品盒的平面展開圖應(yīng)該為(對面是相同的圖案)()(2)如圖是三個幾何體的平面展開圖，請問各是什么幾何體？[思路探究](1)正方體的平面展開圖?以其中一個面不動把其他面展開．(2)常見幾何體的定義與結(jié)構(gòu)特征?空間想象或動手制作平面展開圖進行實踐．(1)A[由選項驗證可知選A.](2)[解]圖①中，有5個平行四邊形，而且還有兩個全等的五邊形，符合棱柱特點；圖②中，有5個三角形，且具有共同的頂點，還有一個五邊形，符合棱錐特點；圖③中，有3個梯形，且其腰的延長線交于一點，還有兩個相似的三角形，符合棱臺的特點．把平面展開圖還原為原幾何體，如圖所示：所以①為五棱柱，②為五棱錐，③為三棱臺．1.將本例(1)中改為：水平放置的正方體的六個面分別用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如圖是一個正方體的平面展開圖(圖中數(shù)字寫在正方體的外表面上)，若圖中“0”上方的“2”在正方體的上面，則這個正方體的下面是()A．1B．6C．快D．樂B[將圖形折成正方體知選B.]2．將本例(2)的條件改為：一個幾何體的平面展開圖如圖所示．(1)該幾何體是哪種幾何體？(2)該幾何體中與“?！弊置嫦鄬Φ氖悄膫€面？“你”字面相對的是哪個面？[解](1)該幾何體是四棱臺．(2)與“?！毕鄬Φ拿媸恰扒啊?，與“你”相對的面是“程”．多面體展開圖問題的解題策略(1)繪制展開圖：繪制多面體的表面展開圖要結(jié)合多面體的幾何特征，發(fā)揮空間想象能力或者是親手制作多面體模型．在解題過程中，常常給多面體的頂點標(biāo)上字母，先把多面體的底面畫出來，然后依次畫出各側(cè)面，便可得到其表面展開圖．(2)由展開圖復(fù)原幾何體：若是給出多面體的表面展開圖，來判斷是由哪一個多面體展開的，則可把上述過程逆推．同一個幾何體的表面展開圖可能是不一樣的，也就是說，一個多面體可有多個表面展開圖．1．在理解的基礎(chǔ)上，要牢記棱柱、棱錐、棱臺的定義，能夠根據(jù)定義判斷幾何體的形狀．2．棱柱、棱臺、棱錐關(guān)系圖【課堂達標(biāo)練習(xí)】1．判斷正誤(1)棱柱的側(cè)面都是平行四邊形．()(2)有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體叫棱錐．()(3)用一平面去截棱錐底面和截面之間的部分叫棱臺．()[答案](1)√(2)×(3)×2．有一個多面體，共有四個面圍成，每一個面都是三角形，則這個幾何體為()A．四棱柱 B．四棱錐C．三棱柱 D．三棱錐D[根據(jù)棱錐的定義可知該幾何體是三棱錐．]3．下列圖形經(jīng)過折疊可以圍成一個棱柱的是()ABCDD[A，B，C中底面多邊形的邊數(shù)與側(cè)面數(shù)不相等．]4．一個棱柱至少有個面，頂點最少的一個棱臺有條側(cè)棱．53[面最少的棱柱是三棱柱，它有5個面；頂點最少的一個棱臺是三棱臺，它有3條側(cè)棱．]5．畫一個三棱臺，再把它分成：(1)一個三棱柱和另一個多面體；(2)三個三棱錐，并用字母表示．[解]畫三棱臺一定要利用三棱錐．(1)如圖①所示，三棱柱是棱柱A′B′C′-AB″C″，另一個多面體是B′C′CBB″C″.(2)如圖②所示，三個三棱錐分別是A′-ABC，B′-A′BC，C′-A′B′C.①②第2課時圓柱、圓錐、圓臺、球與簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.了解圓柱、圓錐、圓臺、球的定義．2．掌握圓柱、圓錐、圓臺、球的結(jié)構(gòu)特征．(重點)3．認(rèn)識簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，了解簡單組合體的兩種基本構(gòu)成形式．(重點、易混點)通過學(xué)習(xí)有關(guān)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征，培養(yǎng)直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算的數(shù)學(xué)素養(yǎng).【自主預(yù)習(xí)】1．圓柱的結(jié)構(gòu)特征定義以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓柱圖示及相關(guān)概念軸：旋轉(zhuǎn)軸叫做圓柱的軸；底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面；側(cè)面：平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面；圓柱側(cè)面的母線：無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，平行于軸的邊；柱體：圓柱和棱柱統(tǒng)稱為柱體2.圓錐的結(jié)構(gòu)特征定義以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓錐圖示及相關(guān)概念軸：旋轉(zhuǎn)軸叫做圓錐的軸；底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面；側(cè)面：直角三角形的斜邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面；母線：無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，不垂直于軸的邊；錐體：棱錐和圓錐統(tǒng)稱錐體3.圓臺的結(jié)構(gòu)特征定義用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間部分叫做圓臺圖示及相關(guān)概念軸：圓錐的軸；底面：圓錐的底面和截面；側(cè)面：圓錐的側(cè)面在底面與截面之間的部分；母線：圓錐的母線在底面與截面之間的部分；臺體：棱臺和圓臺統(tǒng)稱為臺體思考1：用平面去截圓錐一定會得到一個圓錐和一個圓臺？[提示]不一定．只有當(dāng)平面與圓錐的底面平行時，才能截得一個圓錐和一個圓臺．4．球的結(jié)構(gòu)特征定義以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡稱球圖示及相關(guān)概念球心：半圓的圓心叫做球的球心；半徑：連接球心和球面上任意一點的線段叫做球的半徑；直徑：連接球面上兩點并且經(jīng)過球心的線段叫做球的直徑思考2：球能否由圓面旋轉(zhuǎn)而成？[提示]能．圓面以直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)半周形成的旋轉(zhuǎn)體即為球．5．簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征(1)簡單組合體的定義：由簡單幾何體組合而成的幾何體．(2)簡單組合體的兩種基本形式：簡單組合體eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(由簡單幾何體拼接而成,由簡單幾何體截去或挖去一部分而成.))1．圓錐的母線有()A．1條B．2條C．3條D．無數(shù)條D[由圓錐的結(jié)構(gòu)特征知圓錐的母線有無數(shù)條．]2．下列圖形中是圓柱的是．①②③④②[根據(jù)圓柱的概念可知只有②是圓柱．]3．下列給出的圖形中，繞給出的軸旋轉(zhuǎn)一周(如圖所示)，能形成圓臺的是．(填序號)①②③④①[根據(jù)定義，①形成的是圓臺，②形成的是球，③形成的是圓柱，④形成的是圓錐．]4．下圖由哪些簡單幾何體構(gòu)成？①②[解]①是由兩個四棱錐拼接而成的，②是由一個六棱柱和一個圓柱拼接而成的．【合作探究】旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征【例1】(1)下列說法不正確的是()A．圓柱的側(cè)面展開圖是一個矩形B．圓錐過軸的截面是一個等腰三角形C．直角三角形繞它的一條邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成的幾何體是圓錐D．圓臺平行于底面的截面是圓面(2)給出下列命題：①圓柱的母線與它的軸可以不平行；②圓錐的頂點、圓錐底面圓周上任意一點及底面圓的圓心三點的連線都可以構(gòu)成直角三角形；③在圓臺的上、下兩底面圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓臺的母線；④圓柱的任意兩條母線所在的直線是互相平行的．其中正確的是()A．①②B．②③C．①③D．②④(1)C(2)D[(1)由圓錐的概念知，直角三角形繞它的一條直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所圍成的幾何體是圓錐．強調(diào)一定要繞著它的一條直角邊，即旋轉(zhuǎn)軸為直角三角形的一條直角邊所在的直線，因而C錯．(2)由圓柱、圓錐、圓臺的定義及母線的性質(zhì)可知②④正確，①③錯誤．]簡單旋轉(zhuǎn)體判斷問題的解題策略(1)準(zhǔn)確掌握圓柱、圓錐、圓臺和球的生成過程及其結(jié)構(gòu)特征是解決此類概念問題的關(guān)鍵．(2)解題時要注意兩個明確：①明確由哪個平面圖形旋轉(zhuǎn)而成．②明確旋轉(zhuǎn)軸是哪條直線．1．給出下列說法：①圓柱的底面是圓面；②經(jīng)過圓柱任意兩條母線的截面是一個矩形面；③圓臺的任意兩條母線的延長線可能相交，也可能不相交；④夾在圓柱的兩個截面間的幾何體還是一個旋轉(zhuǎn)體．其中說法正確的是．(填序號)①②[①正確，圓柱的底面是圓面；②正確，如圖所示，經(jīng)過圓柱任意兩條母線的截面是一個矩形面；③不正確，圓臺的母線延長相交于一點；④不正確，圓柱夾在兩個平行于底面的截面間的幾何體才是旋轉(zhuǎn)體．]簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征【例2】如圖①②所示的圖形繞虛線旋轉(zhuǎn)一周后形成的立體圖形分別是由哪些簡單幾何體組成的？[思路探究]先將平面圖形割補成三角形、梯形、矩形，再旋轉(zhuǎn)識別幾何體．[解]旋轉(zhuǎn)后的圖形如圖所示．其中圖①是由一個圓柱O1O2和兩個圓臺O2O3，O3O4組成的；圖②是由一個圓錐O5O4，一個圓柱O3O4及一個圓臺O1O3中挖去圓錐O2O1組成的．旋轉(zhuǎn)體形狀的判斷方法：(1)判斷旋轉(zhuǎn)體形狀的關(guān)鍵是軸的確定，看是由平面圖形繞哪條直線旋轉(zhuǎn)所得，同一個平面圖形繞不同的軸旋轉(zhuǎn)，所得的旋轉(zhuǎn)體一般是不同的．(2)在旋轉(zhuǎn)過程中觀察平面圖形的各邊所形成的軌跡，應(yīng)利用空間想象能力，或親自動手做出平面圖形的模型來分析旋轉(zhuǎn)體的形狀．(3)要熟練掌握各類旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征．2．如圖，AB為圓弧BC所在圓的直徑，∠BAC＝45°.將這個平面圖形繞直線AB旋轉(zhuǎn)一周，得到一個組合體，試說明這個組合體的結(jié)構(gòu)特征．[解]如圖所示，這個組合體是由一個圓錐和一個半球體拼接而成的．幾何體中的計算問題[探究問題]1．圓柱、圓錐、圓臺平行于底面的截面是什么樣的圖形？[提示]圓面．2．圓柱、圓錐、圓臺過軸的截面是什么樣的圖形？[提示]分別為矩形、等腰三角形、等腰梯形．3．經(jīng)過圓臺的任意兩條母線作截面，截面是什么圖形？[提示]因為圓臺可以看成是圓錐被平行于底面的平面所截得到的幾何體，所以任意兩條母線長度均相等，且延長后相交，故經(jīng)過這兩條母線的截面是以這兩條母線為腰的等腰梯形．【例3】如圖所示，用一個平行于圓錐SO底面的平面截這個圓錐，截得圓臺上、下底面的面積之比為1∶16，截去的圓錐的母線長是3cm，求圓臺O′O的母線長．[思路探究]過圓錐的軸作截面圖，利用三角形相似解決．[解]設(shè)圓臺的母線長為lcm，由截得的圓臺上、下底面面積之比為1∶16，可設(shè)截得的圓臺的上、下底面的半徑分別為r,4r，過軸SO作截面，如圖所示．則△SO′A′∽△SOA，SA′＝3cm.所以eq\f(SA′,SA)＝eq\f(O′A′,OA)，所以eq\f(3,3＋l)＝eq\f(r,4r)＝eq\f(1,4).解得l＝9(cm)，即圓臺的母線長為9cm.1．把本例的條件換為“圓臺兩底面半徑分別是2cm和5cm，母線長是3eq\r(10)cm”，則它的軸截面的面積是．63cm2[畫出軸截面，如圖，過A作AM⊥BC于M，則BM＝5－2＝3(cm)，AM＝eq\r(AB2－BM2)＝9(cm)，所以S四邊形ABCD＝eq\f(4＋10×9,2)＝63(cm2)．]2．把本例的條件換為“一圓錐的母線長為6，底面半徑為3，把該圓錐截一圓臺，截得圓臺的母線長為4”，則圓臺的另一底面半徑為．1[作軸截面如圖，則eq\f(r,3)＝eq\f(6－4,6)＝eq\f(1,3)，所以r＝1.]1．簡單旋轉(zhuǎn)體的軸截面及其應(yīng)用(1)簡單旋轉(zhuǎn)體的軸截面中有底面半徑、母線、高等體現(xiàn)簡單旋轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)特征的關(guān)鍵量．(2)在軸截面中解決簡單旋轉(zhuǎn)體問題體現(xiàn)了化空間圖形為平面圖形的轉(zhuǎn)化思想．2．與圓錐有關(guān)的截面問題的解決策略(1)畫出圓錐的軸截面．(2)在軸截面中借助直角三角形或三角形的相似關(guān)系建立高、母線長、底面圓的半徑長的等量關(guān)系，求解便可．1．圓柱、圓錐、圓臺的關(guān)系如圖所示．2．處理臺體問題常采用還臺為錐的補體思想．3．處理組合體問題常采用分割思想．4．重視圓柱、圓錐、圓臺的軸截面在解決幾何量中的特殊作用，切實體會空間幾何平面化的思想．【課堂達標(biāo)練習(xí)】1．判斷正誤(1)直角三角形繞一邊所在直線旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體是圓錐．()(2)夾在圓柱的兩個平行平面之間的幾何體是圓柱．()(3)圓錐截去一個小圓錐后剩余部分是圓臺．()(4)半圓繞其直徑所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成球．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2．圓柱的母線長為10，則其高等于()A．5 B．10C．20 D．不確定B[圓柱的母線長和高相等．]3．下面幾何體的截面一定是圓面的是()A．圓臺B．球C．圓柱D．棱柱B[截面可以從各個不同的部位截取，截得的截面都是圓面的幾何體只有球．]4．指出如圖①②所示的圖形是由哪些簡單幾何體構(gòu)成的．①②[解]分割原圖，使它的每一部分都是簡單幾何體．圖①是由一個三棱柱和一個四棱柱拼接而成的簡單組合體．圖②是由一個圓錐和一個四棱柱拼接而成的簡單組合體．《8.2立體圖形的直觀圖》復(fù)習(xí)教案學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.了解“斜二測畫法”的概念并掌握斜二測畫法的步驟．(重點)2．會用斜二測畫法畫出一些簡單平面圖形和立體圖形的直觀圖．(難點)通過學(xué)習(xí)空間幾何體直觀圖的畫法，培養(yǎng)直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算的數(shù)學(xué)素養(yǎng).【自主預(yù)習(xí)】1．斜二測畫法我們常用斜二測畫法畫空間圖形及水平放置的平面圖形的直觀圖．斜二測畫法是一種特殊的平行投影畫法．2．平面圖形直觀圖的畫法及要求思考1：相等的角在直觀圖中還相等嗎？[提示]不一定．例如正方形的直觀圖為平行四邊形．3．空間幾何體直觀圖的畫法(1)與平面圖形的直觀圖相比，只是多畫一個與x軸、y軸都垂直的z軸，直觀圖中與之對應(yīng)的是z′軸；(2)平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示豎直平面；(3)已知圖形中平行于z軸(或在z軸上)的線段，在其直觀圖中平行性和長度都不變．(4)成圖：去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線．思考2：空間幾何體的直觀圖唯一嗎？[提示]不唯一．作直觀圖時，由于選軸的不同，畫出的直觀圖也不同．1．長方形的直觀圖可能為下圖中的哪一個()A．①② B．①②③C．②⑤ D．③④⑤C[由斜二測畫法知，平行線依然平行，但是直角不再是直角，所以②⑤正確．]2．梯形的直觀圖是()A．梯形 B．矩形C．三角形 D．任意四邊形A[斜二測畫法中平行性保持不變，故梯形的直觀圖仍是梯形．]3．在用斜二測畫法畫水平放置的△ABC時，若∠A的兩邊平行于x軸、y軸，則在直觀圖中，∠A′＝.45°或135°[因為∠A的兩邊平行于x軸、y軸，故∠A＝90°，在直觀圖中，按斜二測畫法規(guī)則知∠x′O′y′＝45°或135°，即∠A′＝45°或135°.]【合作探究】平面圖形的直觀圖【例1】(1)如圖所示，一個水平放置的正方形ABCD，它在直角坐標(biāo)系xOy中，點B的坐標(biāo)為(2,2)，則在用斜二測畫法畫出的正方形的直觀圖A′B′C′D′中，頂點B′到x′軸的距離為．(2)用斜二測畫法畫出圖中五邊形ABCDE的直觀圖．(1)eq\f(\r(2),2)[正方形的直觀圖A′B′C′D′如圖：因為O′A′＝B′C′＝1，∠B′C′x′＝45°，所以頂點B′到x′軸的距離為1×sin45°＝eq\f(\r(2),2).](2)[解]畫法：①在下圖①中作AG⊥x軸于G，作DH⊥x軸于H.②在圖②中畫相應(yīng)的x′軸與y′軸，兩軸相交于點O′，使∠x′O′y′＝45°.③在圖②中的x′軸上取O′B′＝OB，O′G′＝OG，O′C′＝OC，O′H′＝OH，y′軸上取O′E′＝eq\f(1,2)OE，分別過G′和H′作y′軸的平行線，并在相應(yīng)的平行線上取G′A′＝eq\f(1,2)GA，H′D′＝eq\f(1,2)HD；④連接A′B′，A′E′，E′D′，D′C′，并擦去輔助線G′A′，H′D′，x′軸與y′軸，便得到水平放置的正五邊形ABCDE的直觀圖A′B′C′D′E′(如圖③)．①②③畫平面圖形的直觀圖的技巧：(1)在畫水平放置的平面圖形的直觀圖時，選取恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系是關(guān)鍵，一般要使得平面多邊形盡可能多的頂點在坐標(biāo)軸上，以便于畫點．(2)畫平面圖形的直觀圖，首先畫與坐標(biāo)軸平行的線段(平行性不變)，與坐標(biāo)軸不平行的線段通過與坐標(biāo)軸平行的線段確定它的兩個端點，然后連接成線段．1．畫水平放置的直角梯形的直觀圖，如圖所示．[解](1)在已知的直角梯形OBCD中，以底邊OB所在直線為x軸，垂直于OB的腰OD所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系．畫相應(yīng)的x′軸和y′軸，使∠x′O′y′＝45°，如圖①②所示．(2)在x′軸上截取O′B′＝OB，在y′軸上截取O′D′＝eq\f(1,2)OD，過點D′作x′軸的平行線l，在l上沿x′軸正方向取點C′使得D′C′＝DC.連接B′C′，如圖②.(3)擦去輔助線，所得四邊形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直觀圖．如圖③.畫空間幾何體的直觀圖【例2】畫正六棱柱(底面是正六邊形，側(cè)棱垂直于底面)的直觀圖．(底面邊長尺寸不作要求，側(cè)棱長為2cm)[思路探究]先畫軸，再利用斜二測畫法，畫出兩個底面，連線成圖，擦去多余的線．[解]畫法：(1)畫軸．畫x′軸、y′軸、z′軸，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°.(2)畫底面．根據(jù)x′軸，y′軸，畫正六邊形的直觀圖ABCDEF.(3)畫側(cè)棱．過A、B、C、D、E、F各點分別作z′軸的平行線，在這些平行線上分別截取AA′、BB′、CC′、DD′、EE′、FF′都等于側(cè)棱長2cm.(4)成圖．順次連接A′、B′、C′、D′、E′、F′，并加以整理(去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線)，就得到正六棱柱的直觀圖．畫空間幾何體時，首先按照斜二測畫法規(guī)則畫出幾何體的底面直觀圖，然后根據(jù)平行于z軸的線段在直觀圖中長度保持不變，畫出幾何體的各側(cè)面，所以畫空間多面體的步驟可簡單總結(jié)為：eq\x(畫軸)→eq\x(畫底面)→eq\x(畫側(cè)棱)→eq\x(成圖)2．用斜二測畫法畫長、寬、高分別為4cm，3cm,2cm的長方體ABCD-A′B′C′D′的直觀圖．[解]畫法：(1)畫軸．如圖，畫x軸、y軸、z軸，三軸相交于點O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)畫底面．以點O為中點，在x軸上取線段MN，使MN＝4cm；在y軸上取線段PQ，使PQ＝eq\f(3,2)cm.分別過點M和N作y軸的平行線，過點P和Q作x軸的平行線，設(shè)它們的交點分別為A，B，C，D，四邊形ABCD就是長方體的底面ABCD.(3)畫側(cè)棱．過A，B，C，D各點分別作z軸的平行線，并在這些平行線上分別截取2cm長的線段AA′，BB′，CC′，DD′.(4)成圖．順次連接A′，B′，C′，D′，并加以整理(去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線)，就得到長方體的直觀圖．直觀圖的還原與計算[探究問題]1．如圖，△A′B′C′是水平放置的△ABC斜二測畫法的直觀圖，能否判斷△ABC的形狀？[提示]根據(jù)斜二測畫法規(guī)則知：∠ACB＝90°，故△ABC為直角三角形．2．若探究1中△A′B′C′的A′C′＝6，B′C′＝4，則AB邊的實際長度是多少？[提示]由已知得△ABC中，AC＝6，BC＝8，故AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝10.3．如圖所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直觀圖，則在△ABC的三邊及中線AD中，最長的線段是哪個？[提示]由直觀圖可知△ABC是以∠B為直角的直角三角形，所以斜邊AC最長．【例3】(1)如圖①，Rt△O′A′B′是一個平面圖形的直觀圖，若O′B′＝eq\r(2)，則這個平面圖形的面積是()A．1B.eq\r(2)C．2eq\r(2)D．4eq\r(2)①②(2)如圖②所示，梯形A1B1C1D1是一平面圖形ABCD的直觀圖．若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝eq\f(2,3)C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1.試畫出原四邊形，并求原圖形的面積．[思路探究]逆用斜二測畫法，還原圖形．先定點，再連線得原圖形，求面積．(1)C[由題圖知，△OAB為直角三角形．∵O′B′＝eq\r(2)，∴A′B′＝eq\r(2)，O′A′＝2.∴在原△OAB中，OB＝eq\r(2)，OA＝4，∴S△OAB＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×4＝2eq\r(2).選C.](2)[解]如圖，建立直角坐標(biāo)系xOy，在x軸上截取OD＝O′D1＝1；OC＝O′C1＝2.在過點D與y軸平行的直線上截取DA＝2D1A1＝2.在過點A與x軸平行的直線上截取AB＝A1B1＝2.連接BC，便得到了原圖形(如圖)．由作法可知，原四邊形ABCD是直角梯形，上、下底長度分別為AB＝2，CD＝3，直角腰長度為AD＝2.所以面積為S＝eq\f(2＋3,2)×2＝5.1．本例(2)中的條件改為如圖所示的直角梯形，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，求原圖形的面積．[解]如圖①，在直觀圖中，過點A作AE⊥BC，垂足為點E，則在Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45°，所以BE＝eq\f(\r(2),2).而四邊形AECD為矩形，AD＝1，所以EC＝AD＝1.所以BC＝BE＋EC＝eq\f(\r(2),2)＋1.由此可還原原圖形如圖②，是一個直角梯形．①②在原圖形中，A′D′＝1，A′B′＝2，B′C′＝eq\f(\r(2),2)＋1，且A′D′∥B′C′，A′B′⊥B′C′，所以原圖形的面積為S＝eq\f(1,2)(A′D′＋B′C′)·A′B′＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋1＋\f(\r(2),2)))×2＝2＋eq\f(\r(2),2).2．本例(1)若改為“已知△ABC是邊長為a的正三角形，求其直觀圖△A′B′C′的面積”，應(yīng)如何求？[解]由斜二測畫法規(guī)則可知，直觀圖△A′B′C′一底邊上的高為eq\f(\r(3),2)a×eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(6),8)a，所以S△A′B′C′＝eq\f(1,2)×a×eq\f(\r(6),8)a＝eq\f(\r(6),16)a2.3．本例(1)中直觀圖中△O′A′B′的面積與原圖形面積之比是多少？[解]由(1)中直觀圖可得S△O′A′B′＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(2)＝1，原圖形面積為S△OAB＝2eq\r(2).所以eq\f(S△O′A′B′,S△OAB)＝eq\f(1,2\r(2))＝eq\f(\r(2),4).1．直觀圖的還原技巧由直觀圖還原為平面圖的關(guān)鍵是找與x′軸、y′軸平行的直線或線段，且平行于x′軸的線段還原時長度不變，平行于y′軸的線段還原時放大為直觀圖中相應(yīng)線段長的2倍，由此確定圖形的各個頂點，順次連接即可．2．直觀圖與原圖形面積之間的關(guān)系若一個平面多邊形的面積為S，其直觀圖的面積為S′，則有S′＝eq\f(\r(2),4)S或S＝2eq\r(2)S′.利用這一公式可由原圖形面積求其直觀圖面積或由直觀圖面積求原圖形面積．1．斜二測畫法是聯(lián)系直觀圖和原圖形的橋梁，可根據(jù)它們之間的可逆關(guān)系尋找它們的聯(lián)系；在求直觀圖的面積時，可根據(jù)斜二測畫法，畫出直觀圖，從而確定其高和底邊等，而求原圖形的面積可把直觀圖還原為原圖形．2．在用斜二測畫法畫直觀圖時，平行線段仍然平行，所畫平行線段之比仍然等于它的真實長度之比，但所畫夾角大小不一定是其真實夾角大?。菊n堂達標(biāo)練習(xí)】1．判斷正誤用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖.(1)原來相交的仍相交. ()(2)原來垂直的仍垂直. ()(3)原來平行的仍平行. ()(4)原來共點的仍共點. ()[答案](1)√(2)×(3)√(4)√2．利用斜二測畫法畫出邊長為3cm的正方形的直觀圖，正確的是()ABCDC[正方形的直觀圖應(yīng)是一個內(nèi)角為45°的平行四邊形，且相鄰的兩邊之比為2∶1，故選C.]3．如圖，平行四邊形O′P′Q′R′是四邊形OPQR的直觀圖，若O′P′＝3，O′R′＝1，則原四邊形OPQR的周長為．10[由直觀圖可知，原圖形是矩形OPQR，且OP＝3，OR＝2.故原四邊形OPQR的周長為10.]4．畫出水平放置的四邊形OBCD(如圖所示)的直觀圖．[解](1)過點C作CE⊥x軸，垂足為點E，如圖①所示，畫出對應(yīng)的x′軸、y′軸，使∠x′O′y′＝45°，如圖②所示．①②③(2)如圖②所示，在x′軸上取點B′，E′，使得O′B′＝OB，O′E′＝OE；在y′軸上取一點D′，使得O′D′＝eq\f(1,2)OD；過點E′作E′C′∥y′軸，使E′C′＝eq\f(1,2)EC.(3)連接B′C′，C′D′，并擦去x′軸與y′軸及其他一些輔助線，如圖③所示，四邊形O′B′C′D′就是所求的直觀圖．《8.3簡單幾何體的表面積與體積》復(fù)習(xí)教案8.3.1棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.通過對棱柱、棱錐、棱臺的研究，掌握棱柱、棱錐、棱臺的表面積與體積的求法．(重點)2．會求棱柱、棱錐、棱臺有關(guān)的組合體的表面積與體積．(難點、易錯點)1.借助棱柱、棱錐、棱臺的表面積、體積的計算，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．2．通過對棱柱、棱錐、棱臺的體積的探究，提升邏輯推理的素養(yǎng).【自主預(yù)習(xí)】1．棱柱、棱錐、棱臺的表面積多面體的表面積就是圍成多面體各個面的面積的和．2．棱柱、棱錐、棱臺的體積棱柱的體積公式V＝Sh(S為底面面積，h為高)；棱錐的體積公式V＝eq\f(1,3)Sh(S為底面面積，h為高)；棱臺的體積公式V＝eq\f(1,3)h(S′＋eq\r(S′S)＋S)．其中，臺體的上、下底面面積分別為S′、S，高為h.思考：簡單組合體分割成幾個幾何體，其表面積不變嗎？其體積呢？[提示]表面積變大了，而體積不變．1．棱長為3的正方體的表面積為()A．27B．64C．54D．36C[根據(jù)表面積的定義，組成正方體的面共6個，且每個都是邊長為3的正方形．從而，其表面積為6×32＝54.]2．長方體同一頂點上的三條棱長分別為1,2,3，則長方體的體積與表面積分別為()A．6,22 B．3,22C．6,11 D．3,11A[V＝1×2×3＝6，S＝2(1×2)＋2(1×3)＋2(2×3)＝22.]3．棱長都是3的三棱錐的表面積S為．9eq\r(3)[因為三棱錐的四個面是全等的正三角形，所以S＝4×eq\f(\r(3),4)×32＝9eq\r(3).]【合作探究】簡單幾何體的表面積【例1】現(xiàn)有一個底面是菱形的直四棱柱，它的體對角線長為9和15，高是5，求該直四棱柱的側(cè)面積．[解]如圖，設(shè)底面對角線AC＝a，BD＝b，交點為O，對角線A1C＝15，B1D＝9，∴a2＋52＝152，b2＋52＝92，∴a2＝200，b2＝56.∵該直四棱柱的底面是菱形，∴AB2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AC,2)))eq\s\up20(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(BD,2)))eq\s\up20(2)＝eq\f(a2＋b2,4)＝eq\f(200＋56,4)＝64，∴AB＝8.∴直四棱柱的側(cè)面積S＝4×8×5＝160.求幾何體的表面積問題，通常將所給幾何體分成基本幾何體，再通過這些基本幾何體的表面積進行求和或作差，從而獲得幾何體的表面積，另外有時也會用到將幾何體展開求其展開圖的面積進而得表面積．1．側(cè)面都是等腰直角三角形的正三棱錐，底面邊長為a時，該三棱錐的表面積是()A.eq\f(3＋\r(3),4)a2 B.eq\f(3,4)a2C.eq\f(3＋\r(3),2)a2 D.eq\f(6＋\r(3),4)a2A[∵側(cè)面都是等腰直角三角形，故側(cè)棱長等于eq\f(\r(2),2)a，∴S表＝eq\f(\r(3),4)a2＋3×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))eq\s\up20(2)＝eq\f(3＋\r(3),4)a2.]簡單幾何體的體積【例2】三棱臺ABC-A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱錐A1-ABC，三棱錐B-A1B1C，三棱錐C-A1B1C1的體積之比．[解]設(shè)三棱臺的高為h，S△ABC＝S，則S△A1B1C1＝4S.∴VA1-ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·h＝eq\f(1,3)Sh，VC-A1B1C1＝eq\f(1,3)S△A1B1C1·h＝eq\f(4,3)Sh.又V臺＝eq\f(1,3)h(S＋4S＋2S)＝eq\f(7,3)Sh，∴VB-A1B1C＝V臺－VA1-ABC－VC-A1B1C1＝eq\f(7,3)Sh－eq\f(Sh,3)－eq\f(4Sh,3)＝eq\f(2,3)Sh，∴體積比為1∶2∶4.求幾何體體積的常用方法2．如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，E，F(xiàn)分別為線段AA1，B1C上的點，則三棱錐D1-EDF的體積為．eq\f(1,6)[利用三棱錐的體積公式直接求解．VD1-EDF＝VF-DD1E＝eq\f(1,3)S△D1DE·AB＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,6).]棱臺與棱錐之間關(guān)系的綜合問題【例3】已知正四棱臺(上、下底是正方形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)上底面邊長為6，高和下底面邊長都是12，求它的側(cè)面積．[解]如圖，E，E1分別是BC，B1C1的中點，O，O1分別是下、上底面正方形的中心，則O1O為正四棱臺的高，則O1O＝12.連接OE，O1E1，則OE＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)×12＝6，O1E1＝eq\f(1,2)A1B1＝3.過E1作E1H⊥OE，垂足為H，則E1H＝O1O＝12，OH＝O1E1＝3，HE＝OE－O1E1＝6－3＝3.在Rt△E1HE中，E1E2＝E1H2＋HE2＝122＋32＝32×17，所以E1E＝3eq\r(17).所以S側(cè)＝4×eq\f(1,2)×(B1C1＋BC)×E1E＝2×(6＋12)×3eq\r(17)＝108eq\r(17).在本例中，把棱臺還原成棱錐，你能利用棱錐的有關(guān)知識求解嗎？[解]如圖，正四棱臺的側(cè)棱延長交于一點P.取B1C1，BC的中點E1，E，則EE1的延長線必過P點(以后可以證明)．O1，O分別是正方形A1B1C1D1與正方形ABCD的中心．由正棱錐的定義，CC1的延長線過P點，且有O1E1＝eq\f(1,2)A1B1＝3，OE＝eq\f(1,2)AB＝6，則有eq\f(PO1,PO)＝eq\f(O1E1,OE)＝eq\f(3,6)，即eq\f(PO1,PO1＋O1O)＝eq\f(1,2).所以PO1＝O1O＝12.在Rt△PO1E1中，PEeq\o\al(2,1)＝POeq\o\al(2,1)＋O1Eeq\o\al(2,1)＝122＋32＝32×17，在Rt△POE中，PE2＝PO2＋OE2＝242＋62＝62×17，所以E1E＝PE－PE1＝6eq\r(17)－3eq\r(17)＝3eq\r(17).所以S側(cè)＝4×eq\f(1,2)×(BC＋B1C1)×E1E＝2×(12＋6)×3eq\r(17)＝108eq\r(17).解決有關(guān)正棱臺的問題時，常用兩種解題思路：一是把基本量轉(zhuǎn)化到直角梯形中去解決；二是把正棱臺還原成正棱錐，利用正棱錐的有關(guān)知識來解決．1．棱柱、棱錐、棱臺的表面積分別是它們側(cè)面展開圖的面積，因此弄清側(cè)面展開圖的形狀及側(cè)面展開圖中各線段的長，是掌握它們的表面積有關(guān)問題的關(guān)鍵．2．計算棱柱、棱錐、棱臺的體積，關(guān)鍵是根據(jù)條件找出相應(yīng)的底面面積和高，要充分運用多面體的有關(guān)截面，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題．3．在幾何體的體積計算中，注意體會“分割思想”、“補體思想”及“等價轉(zhuǎn)化思想”．【課堂達標(biāo)練習(xí)】1．判斷正誤(1)錐體的體積等于底面積與高之積．()(2)臺體的體積，可轉(zhuǎn)化為兩個錐體體積之差．()(3)正方體的表面積為96，則正方體的體積為64.()[答案](1)×(2)√(3)√2．如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，則三棱錐D1-ACD的體積是()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D．1A[三棱錐D1-ADC的體積V＝eq\f(1,3)S△ADC×D1D＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×AD×DC×D1D＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6).]3．已知高為3的棱柱ABC-A1B1C1的底面是邊長為1的正三角形(如圖)，則三棱錐B1-ABC的體積為()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),6) D.eq\f(\r(3),4)[答案]D4．把一個棱長為a的正方體，切成27個全等的小正方體，則所有小正方體的表面積為．18a2[原正方體的棱長為a，切成的27個小正方體的棱長為eq\f(1,3)a，每個小正方體的表面積S1＝eq\f(1,9)a2×6＝eq\f(2,3)a2，所以27個小正方體的表面積是eq\f(2,3)a2×27＝18a2.]5．如圖所示，三棱錐的頂點為P，PA，PB，PC為三條側(cè)棱，且PA，PB，PC兩兩互相垂直，又PA＝2，PB＝3，PC＝4，求三棱錐P-ABC的體積V.[解]三棱錐的體積V＝eq\f(1,3)Sh，其中S為底面積，h為高，而三棱錐的任意一個面都可以作為底面，所以此題可把B看作頂點，△PAC作為底面求解．故V＝eq\f(1,3)S△PAC·PB＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×4×3＝4.8.3.2圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積第1課時圓柱、圓錐、圓臺的表面積和體積學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.通過對圓柱、圓錐、圓臺的研究，掌握圓柱、圓錐、圓臺的表面積與體積的求法．(重點)2．會求與圓柱、圓錐、圓臺有關(guān)的組合體的表面積與體積．(難點、易錯點)1.借助圓柱、圓錐、圓臺的表面積、體積的計算，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．2．通過對圓柱、圓錐、圓臺的體積的探究，提升邏輯推理的素養(yǎng).【自主預(yù)習(xí)】1．圓柱、圓錐、圓臺的表面積圓柱底面積：S底＝πr2側(cè)面積：S側(cè)＝2πrl表面積：S＝2πrl＋2πr2圓錐底面積：S底＝πr2側(cè)面積：S側(cè)＝πrl表面積：S＝πrl＋πr2圓臺上底面面積：S上底＝πr′2下底面面積：S下底＝πr2側(cè)面積：S側(cè)＝πl(wèi)(r＋r′)表面積：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)2.圓柱、圓錐、圓臺的體積公式V圓柱＝πr2h(r是底面半徑，h是高)，V圓錐＝eq\f(1,3)πr2h(r是底面半徑，h是高)，V圓臺＝eq\f(1,3)πh(r′2＋r′r＋r2)(r′、r分別是上、下底面半徑，h是高)．1．判斷正誤(1)圓柱的表面積就是側(cè)面積．()(2)在一個圓錐中，母線長度不一定相同．()(3)圓臺是用平行于底面的平面截圓錐得到的．()[答案](1)×(2)×(3)√2．圓柱的側(cè)面展開圖是長12cm，寬8cm的矩形，則這個圓柱的體積為()A.eq\f(288,π)cm3 B.eq\f(192,π)cm3C.eq\f(288,π)cm3或eq\f(192,π)cm3 D．192πcm3C[圓柱的高為8cm時，V＝π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,2π)))eq\s\up20(2)×8＝eq\f(288,π)cm3，當(dāng)圓柱的高為12cm時，V＝π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,2π)))eq\s\up20(2)×12＝eq\f(192,π)cm3.]3．圓臺的上、下底面半徑分別為3和4，母線長為6，則其表面積等于()A．72 B．42πC．67π D．72πC[表面積S＝π(3＋4)×6＋π×32＋π×42＝67π.]【合作探究】圓柱、圓錐、圓臺的表面積【例1】(1)一個圓柱的側(cè)面展開圖是一個正方形，這個圓柱的表面積與側(cè)面積的比是()A.eq\f(1＋2π,2π)B.eq\f(1＋4π,4π)C.eq\f(1＋2π,π)D.eq\f(1＋4π,2π)(2)已知圓臺的上、下底面半徑分別是2,6，且側(cè)面面積等于兩底面面積之和．①求圓臺的母線長．②求圓臺的表面積．(1)A[設(shè)圓柱底面半徑為r，則高為2πr，表面積∶側(cè)面積＝[(2πr)2＋2πr2]∶(2πr)2＝eq\f(1＋2π,2π).](2)[解]①設(shè)圓臺的母線長為l，則由題意得π(2＋6)l＝π×22＋π×62，∴8πl(wèi)＝40π，∴l(xiāng)＝5，∴該圓臺的母線長為5.②由①可得圓臺的表面積為S＝π×(2＋6)×5＋π·22＋π×62＝40π＋4π＋36π＝80π.圓柱、圓錐、圓臺的表面積的求解步驟解決圓柱、圓錐、圓臺的表面積問題，要利用好旋轉(zhuǎn)體的軸截面及側(cè)面展開圖，借助于平面幾何知識，求得所需幾何要素，代入公式求解即可，基本步驟如下：(1)得到空間幾何體的平面展開圖．(2)依次求出各個平面圖形的面積．(3)將各平面圖形的面積相加．1．軸截面是正三角形的圓錐稱作等邊圓錐，則等邊圓錐的側(cè)面積是底面積的()A．4倍B．3倍C.eq\r(2)倍 D．2倍D[由已知得l＝2r，eq\f(S側(cè),S底)＝eq\f(πrl,πr2)＝eq\f(l,r)＝2，故選D.]圓柱、圓錐、圓臺的體積【例2】圓錐的過高的中點且與底面平行的截面把圓錐分成兩部分的體積之比是()A．1∶1B．1∶6C．1∶7 D．1∶8C[如圖，設(shè)圓錐底半徑OB＝R，高PO＝h，∵O′為PO中點，∴PO′＝eq\f(h,2)，∵eq\f(O′A,OB)＝eq\f(PO′,PO)＝eq\f(1,2)，∴O′A＝eq\f(R,2)，∴V圓錐PO′＝eq\f(1,3)π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2)))eq\s\up20(2)·eq\f(h,2)＝eq\f(1,24)πR2h.V圓臺O′O＝eq\f(π,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2)))eq\s\up20(2)＋R2＋\f(R,2)·R))·eq\f(h,2)＝eq\f(7,24)πR2h.∴eq\f(V圓錐PO′,V圓臺O′O)＝eq\f(1,7)，故選C.]求幾何體體積的常用方法2．圓臺上、下底面面積分別是π、4π，側(cè)面積是6π，這個圓臺的體積是()A.eq\f(2\r(3),3)πB．2eq\r(3)C.eq\f(7\r(3),6)πD.eq\f(7\r(3),3)πD[S1＝π，S2＝4π，∴r＝1，R＝2，S側(cè)＝6π＝π(r＋R)l，∴l(xiāng)＝2，∴h＝eq\r(3).∴V＝eq\f(1,3)π(1＋4＋2)×eq\r(3)＝eq\f(7,3)eq\r(3)π.故選D.]組合體的表面積與體積【例3】如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD內(nèi)過點C作l⊥CB，以l為軸旋轉(zhuǎn)一周．求旋轉(zhuǎn)體的表面積和體積．[解]如題圖，在梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，∴CD＝eq\f(BC－AD,cos60°)＝2a，AB＝CDsin60°＝eq\r(3)a，∴DD′＝AA′－2AD＝2BC－2AD＝2a，∴DO＝eq\f(1,2)DD′＝a.由于以l為軸將梯形ABCD旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體為圓柱中挖去一個倒放的與圓柱等高的圓錐．由上述計算知，圓柱母線長eq\r(3)a，底面半徑2a，圓錐的母線長2a，底面半徑a.∴圓柱的側(cè)面積S1＝2π·2a·eq\r(3)a＝4eq\r(3)πa2，圓錐的側(cè)面積S2＝π·a·2a＝2πa2，圓柱的底面積S3＝π(2a)2＝4πa2，圓錐的底面積S4＝πa2，∴組合體上底面積S5＝S3－S4＝3πa2，∴旋轉(zhuǎn)體的表面積S＝S1＋S2＋S3＋S5＝(4eq\r(3)＋9)πa2.又由題意知形成的幾何體的體積為一個圓柱的體積減去一個圓錐的體積．V柱＝Sh＝π·(2a)2·eq\r(3)a＝4eq\r(3)πa3，V錐＝eq\f(1,3)S′h＝eq\f(1,3)·π·a2·eq\r(3)a＝eq\f(\r(3),3)πa3，∴V＝V柱－V錐＝4eq\r(3)πa3－eq\f(\r(3),3)πa3＝eq\f(11\r(3),3)πa3.如果將例題的梯形繞著BC邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周，如何求旋轉(zhuǎn)體的表面積和體積？表面積和體積又分別為多少？[解]如圖所示旋轉(zhuǎn)體為一個圓錐和與它同底的一個圓柱組成，由條件可得：AD＝BO＝OC＝a，DO＝AB＝eq\r(3)a，DC＝2a，所以該旋轉(zhuǎn)體的表面積為：S＝S圓柱底＋S圓柱側(cè)＋S圓錐側(cè)＝π·(eq\r(3)a)2＋2πeq\r(3)a·a＋π·eq\r(3)a·2a＝3πa2＋2eq\r(3)πa2＋2eq\r(3)πa2＝(3＋4eq\r(3))πa2，該旋轉(zhuǎn)體的體積為V＝V圓錐＋V圓柱＝eq\f(1,3)π(eq\r(3)a)2·a＋π(eq\r(3)a)2a＝4πa3.求組合體的表面積和體積，首先要認(rèn)清組合體是由哪些簡單幾何體構(gòu)成的．組合體的表面積是可見的圍成組合體的所有面的面積之和，但不一定是組成組合體的幾個簡單幾何體的表面積之和；組合體的體積是構(gòu)成組合體的幾個簡單組合體的體積之和(差)．1．圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積分別是它們側(cè)面展開圖的面積，因此弄清側(cè)面展開圖的形狀及側(cè)面展開圖中各線段與原旋轉(zhuǎn)體的關(guān)系，是掌握它們的側(cè)面積公式及解有關(guān)問題的關(guān)鍵．2．計算柱體、錐體和臺體的體積，關(guān)鍵是根據(jù)條件找出相應(yīng)的底面面積和高，要充分運用多面體的有關(guān)截面及旋轉(zhuǎn)體的軸截面，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題．【課堂達標(biāo)練習(xí)】1．若圓錐的高等于底面直徑，則它的底面積與側(cè)面積之比為()A．1∶2 B．1∶eq\r(3)C．1∶eq\r(5) D.eq\r(3)∶2C[設(shè)圓錐底面半徑為r，則高h(yuǎn)＝2r，∴其母線長l＝eq\r(5)r.∴S側(cè)＝πrl＝eq\r(5)πr2，S底＝πr2.則S底∶S側(cè)＝1∶eq\r(5).]2．圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3倍，母線長為3，圓臺的側(cè)面積為84π，則圓臺較小底面的半徑為()A．7B．6C．5D．3A[設(shè)圓臺較小底面半徑為r，則另一底面半徑為3r.由S＝π(r＋3r)·3＝84π，解得r＝7.]3．已知圓臺上、下底面半徑分別為1,2，高為3，則圓臺體積為．7π[由已知圓臺上、下底面積分別為S上＝π，S下＝4π.則V圓臺＝eq\f(1,3)·(π＋eq\r(π·4π)＋4π)·3＝7π.]4．一個高為2的圓柱，底面周長為2π，該圓柱的表面積為．6π[由底面周長為2π可得底面半徑為1.S底＝2πr2＝2π，S側(cè)＝2πr·h＝4π，所以S表＝S底＋S側(cè)＝6π.]5．已知圓錐的底面半徑為2，高為5，求這個圓錐的體積．[解]由題意V錐體＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)πr2·h＝eq\f(20π,3).第2課時球的表面積和體積學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.了解并掌握球的體積和表面積公式．2．會用球的體積與表面積公式解決實際問題．(重點)3．會解決球的切、接問題．(難點、易混點)1.通過對球的概念的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)直觀想象的數(shù)學(xué)素養(yǎng)；2．通過學(xué)習(xí)球的表面積、體積公式，培養(yǎng)邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運算的數(shù)學(xué)素養(yǎng).【自主預(yù)習(xí)】1．球的表面積設(shè)球的半徑為R，則球的表面積S＝4πR2，即球的表面積等于它的大圓面積的4倍．思考：球有底面嗎？球面能展開成平面圖形嗎？[提示]球沒有底面，球的表面不能展開成平面圖形．2．球的體積設(shè)球的半徑為R，則球的體積V＝eq\f(4,3)πR3.1．若球的過球心的圓面的周長是C，則這個球的表面積是()A.eq\f(C2,4π)B.eq\f(C2,2π)C.eq\f(C2,π)D．2πC2C[由2πR＝C，得R＝eq\f(C,2π)，所以S球面＝4πR2＝eq\f(C2,π).]2．表面積為4π的球的半徑是．1[設(shè)球的半徑為R，則S＝4πR2＝4π，得R＝1.]3.若一個球的體積為36π，則它的表面積為．36π[由eq\f(4,3)πR3＝36π，可得R＝3，因此其表面積S＝36π.]4．兩個半徑為1的實心鐵球，熔化成一個球，這個大球的半徑是．eq\r(3,2)[設(shè)大球的半徑為R，則有eq\f(4,3)πR3＝2×eq\f(4,3)π×13，R3＝2，∴R＝eq\r(3,2).]【合作探究】球的表面積與體積【例1】(1)已知球的表面積為64π，求它的體積；(2)已知球的體積為eq\f(500,3)π，求它的表面積．[解](1)設(shè)球的半徑為r，則由已知得4πr2＝64π，r＝4.所以球的體積：V＝eq\f(4,3)×π×r3＝eq\f(256,3)π.(2)設(shè)球的半徑為R，由已知得eq\f(4,3)πR3＝eq\f(500,3)π，所以R＝5，所以球的表面積為：S＝4πR2＝4π×52＝100π.求球的表面積與體積的一個關(guān)鍵和兩個結(jié)論(1)關(guān)鍵：把握住球的表面積公式S球＝4πR2，球的體積公式V球＝eq\f(4,3)πR3是計算球的表面積和體積的關(guān)鍵，半徑與球心是確定球的條件．把握住公式，球的體積與表面積計算的相關(guān)題目也就迎刃而解了．(2)兩個結(jié)論：①兩個球的表面積之比等于這兩個球的半徑比的平方；②兩個球的體積之比等于這兩個球的半徑比的立方．1．如果兩個球的體積之比為8∶27，那么兩個球的表面積之比為．4∶9[根據(jù)球的體積及表面積公式可知，兩個球的體積之比等于半徑之比的立方，表面積的比等于半徑之比的平方，因為兩個球的體積之比為8∶27，所以兩個球的半徑之比為2∶3，所以兩個球的表面積的比為4∶9.]球的截面問題【例2】(1)平面α截球O的球面所得圓的半徑為1.球心O到平面α的距離為eq\r(2)，則此球的體積為()A.eq\r(6)πB．4eq\r(3)πC．4eq\r(6)πD．6eq\r(3)π(2)已知半徑為5的球的兩個平行截面圓的周長分別為6π和8π，則這兩個截面間的距離為．(1)B(2)1或7[(1)如圖，設(shè)截面圓的圓心為O′，M為截面圓上任一點，則OO′＝eq\r(2)，O′M＝1，∴OM＝eq\r(\r(2)2＋1)＝eq\r(3)，即球的半徑為eq\r(3)，∴V＝eq\f(4,3)π(eq\r(3))3＝4eq\r(3)π.(2)若兩個平行截面在球心同側(cè)，如圖①，則兩個截面間的距離為eq\r(52－32)－eq\r(52－42)＝1；若兩個平行截面在球心異側(cè)，如圖②，則兩個截面間的距離為eq\r(52－32)＋eq\r(52－42)＝7.]①②1．有關(guān)球的截面問題，常畫出過球心的截面圓，將問題轉(zhuǎn)化為平面中圓的有關(guān)問題解決．2．注意一個直角三角形，即由球心距(球心到截面圓心的距離)、截面圓的半徑、球的半徑圍成一個直角三角形，滿足勾股定理．2．已知OA為球O的半徑，過OA的中點M且垂直于OA的平面截球面得到圓M.若圓M的面積為3π，則球O的表面積等于．16π[如圖，圓M面積為3π，則圓M半徑MB為eq\r(3)，OA＝2，則球O的表面積等于4π×22＝16π.]與球有關(guān)的切、接問題[探究問題]1．若長方體的長、寬、高分別為a，b，c，則其外接球半徑R與三條棱長有何關(guān)系？[提示]2R＝eq\r(a2＋b2＋c2).2．棱長為a的正方體的外接球，其半徑R與棱長a有何數(shù)量關(guān)系？其內(nèi)切球呢？[提示]外接球半徑R＝eq\f(\r(3),2)a；內(nèi)切球半徑R＝eq\f(1,2)a.3．若一球與正方體的12條棱相切，則球半徑R與棱長a有何數(shù)量關(guān)系？[提示]R＝eq\f(\r(2),2)a.【例3】(1)一球與棱長為2的正方體的各個面相切，則該球的體積為.(2)正方體的全面積是a2，它的頂點都在一個球面上，則這個球的表面積是．(1)eq\f(4,3)π(2)eq\f(πa2,2)[(1)由題意可知球是正方體的內(nèi)切球，因此球的半徑為1，其體積為eq\f(4,3)π.(2)正方體內(nèi)接于球，則由球及正方體都是中心對稱圖形知，它們的中心重合．可見，正方體的對角線是球的直徑．設(shè)球的半徑是r，則正方體的對角線長是2r.依題意，2r＝eq\r(3)·eq\r(\f(a2,6))，即r2＝eq\f(1,8)a2，所以S球＝4πr2＝4π·eq\f(1,8)a2＝eq\f(πa2,2).]1．將本例(1)變?yōu)椋洪L方體的一個頂點處的三條棱長分別是eq\r(3)，eq\r(3)，eq\r(6)，這個長方體它的八個頂點都在同一個球面上，這個球的表面積是()A．12πB.18πC．36πD.6πA[由題意可知，該長方體的體對角線即為球的直徑，其長度為2eq\r(3)，從而球的半徑為eq\r(3)，球表面積為12π.]2．將本例(1)變?yōu)椋簣A柱內(nèi)接于球，圓柱的底面半徑為3，高為8，則球的表面積為．100π[如圖，由條件知，O1A＝3，OO1＝4，所以O(shè)A＝5，所以球的表面積為100π.]常見的幾何體與球的切、接問題的解決策略：(1)處理有關(guān)幾何體外接球或內(nèi)切球的相關(guān)問題時，要注意球心的位置與幾何體的關(guān)系，一般情況下，由于球的對稱性，球心總在幾何體的特殊位置，比如中心、對角線的中點等．(2)解決此類問題的實質(zhì)就是根據(jù)幾何體的相關(guān)數(shù)據(jù)求球的直徑或半徑，關(guān)鍵是根據(jù)“切點”和“接點”，作出軸截面圖，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題來計算．1．球的表面積、體積基本性質(zhì)是解決有關(guān)問題的重要依據(jù)，它的軸截面圖形，球半徑、截面圓半徑、球心到截面的距離所構(gòu)成的直角三角形是把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的主要方法．2．與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時要認(rèn)真分析圖形，明確切點和接點的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖．【課堂達標(biāo)練習(xí)】1．判斷正誤(1)球的體積之比等于半徑比的平方．()(2)球面展開一定是圓形的平面．()(3)長方體既有外接球又有內(nèi)切球．()[答案](1)×(2)×(3)×2．某幾何體的三視圖如圖所示，則其表面積為．3π[由三視圖可知，該幾何體為一個半徑為1的半球，其表面積為半個球面面積與截面面積的和，即eq\f(1,2)×4π＋π＝3π.]3．一個正方體的八個頂點都在體積為eq\f(4,3)π的球面上，則正方體的表面積為．8[設(shè)球的半徑為R，正方體的棱長為a，則eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π，故R＝1，由eq\r(3)a＝2R＝2，所以a＝eq\f(2,\r(3))，所以正方體的表面積為S＝6a2＝6×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,\r(3))))eq\s\up20(2)＝8.]4．(1)已知球的直徑為2，求它的表面積和體積；(2)已知球的體積為eq\f(108π,3)，求它的表面積．[解](1)由R＝1，所以S球＝4πR2＝4π，V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π.(2)由V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(108,3)π，所以R＝3，所以S＝4πR2＝36π.《8.4空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系》復(fù)習(xí)教案8.4.1平面學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.了解平面的概念，掌握平面的畫法及表示方法．(難點)2．能用符號語言描述空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系．(重點)3．能用圖形、文字、符號三種語言描述三個公理，理解三個公理的地位與作用．(難點、易錯點)1.通過對平面有關(guān)概念的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)直觀想象的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．2．通過平面基本性質(zhì)的應(yīng)用，培養(yǎng)邏輯推理、直觀想象的數(shù)學(xué)素養(yǎng).【自主預(yù)習(xí)】1．平面的概念幾何里所說的“平面”，是從課桌面、黑板面、平靜的水面等一些物體中抽象出來的．幾何里的平面是無限延展的．思考1：一個平面能否把空間分成兩部分？[提示]因為平面是無限延展的，一個平面把空間分成兩部分．2．平面的畫法(1)水平放置的平面通常畫成一個平行四邊形，它的銳角通常畫成45°，且橫邊長等于其鄰邊長的2倍．如圖①.(2)如果一個平面被另一個平面遮擋住，為了增強它的立體感，把被遮擋部分用虛線畫出來．如圖②.①②3．平面的表示法上圖①的平面可表示為平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD.4．平面的基本性質(zhì)基本事實內(nèi)容圖形符號基本事實1過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面A，B，C三點不共線?存在唯一的平面α使A，B，C∈α基本事實2如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi)A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α事實3如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線P∈α，P∈β?α∩β＝l且P∈l思考2：經(jīng)過空間任意三點能確定一個平面嗎？[提示]不一定，只有經(jīng)過空間不共線的三點才能確定一個平面．5．推論推論1：經(jīng)過一條直線和直線外一點，有且只有一個平面．推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面．推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面．1．用符號表示“點A在直線l上，l在平面α外”，正確的是()A．A∈l，l?α B．A∈l，l?αC．A?l，l?α D．A?l，l?α[答案]B2．如圖所示的平行四邊形MNPQ表示的平面不能記為()A．平面MNB．平面NQPC．平面αD．平面MNPQA[表示平面不能用一條線段的兩個端點表示，但可以表示為平面MP，選A.]3．任意三點可確定平面的個數(shù)是()A．0B．1C．2D．1或無數(shù)個D[當(dāng)這三點共線時，可確定無數(shù)個平面；當(dāng)這三點不共線時，可確定一個平面．]【合作探究】立體幾何三種語言的相互轉(zhuǎn)化【例1】用符號表示下列語句，并畫出圖形．(1)平面α與β相交于直線l，直線a與α，β分別相交于點A，B；(2)點A，B在平面α內(nèi)，直線a與平面α交于點C，點C不在直線AB上．[解](1)用符號表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如圖．(2)用符號表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C?AB，如圖．三種語言的轉(zhuǎn)換方法：(1)用文字語言、符號語言表示一個圖形時，首先仔細(xì)觀察圖形有幾個平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何，試著用文字語言表示，再用符號語言表示．(2)要注意符號語言的意義.如點與直線的位置關(guān)系只能用“∈”或“?”，直線與平面的位置關(guān)系只能用“?”或“?”．(3)由符號語言或文字語言畫相應(yīng)的圖形時，要注意實線和虛線的區(qū)別．1．用符號語言表示下列語句，并畫出圖形：(1)三個平面α，β，γ相交于一點P，且平面α與平面β相交于PA，平面α與平面γ相交于PB，平面β與平面γ相交于PC；(2)平面ABD與平面BDC相交于BD，平面ABC與平面ADC相交于AC.[解](1)符號語言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC，圖形表示：如圖①.(2)符號語言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC，圖形表示：如圖②.點線共面問題【例2】如圖，已知：a?α，b?α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求證：PQ?α.[證明]∵PQ∥a，∴PQ與a確定一個平面β.∴直線a?β，點P∈β.∵P∈b，b?α，∴P∈α.又∵a?α，∴α與β重合．∴PQ?α.解決點線共面問題的基本方法：2．求證：兩兩相交且不過同一點的三條直線必在同一個平面內(nèi)．[解]已知：AB∩AC＝A，AB∩BC＝B，AC∩BC＝C.求證：直線AB，BC，AC共面．證明：法一：因為AC∩AB＝A，所以直線AB，AC可確定一個平面α.因為B∈AB，C∈AC，所以B∈α，C∈α，故BC?α.因此直線AB，BC，AC都在平面α內(nèi)，所以直線AB，BC，AC共面．法二：因為A不在直線BC上，所以點A和直線BC可確定一個平面α.因為B∈BC，所以B∈α，又A∈α，所以AB?α.同理AC?α，故直線AB，BC，AC共面．法三：因為A，B，C三點不在同一條直線上，所以A，B，C三點可以確定一個平面α.因為A∈α，B∈α，所以AB?α，同理BC?α，AC?α，故直線AB，BC，AC共面．點共